高考數(shù)學(xué)圓錐曲線重難點專題訓(xùn)練專題21圓錐曲線的綜合運用（含答案）

1、專題21 圓錐曲線的綜合應(yīng)用一、單選題1已知F是拋物線C：的焦點，O為坐標(biāo)原點，過F的直線交C于A，B兩點，則三角形OAB面積的最小值為（ ）ABCD22直線過橢圓的中心與橢圓交于M，N兩點（點M在第一象限），過點M作x軸的垂線，垂足為E，直線NE與橢圓交于另一個點P，則的值為（ ）AB1CD3設(shè)是橢圓上一點，分別是圓和上的點，則的最大值為（ ）ABCD4橢圓的左、右焦點分別為，O為坐標(biāo)原點，則下列說法正確的是（ ）A過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，則的周長為4B橢圓C上不存在點P，使得C橢圓C的離心率為DP為橢圓C上一點，Q為圓上一點，則點P，Q的最大距離為35過拋物線的焦點F的直線于C交

2、于A，B兩點則取得最小值時，（ ）ABCD6已知A，B是雙曲線實軸的兩個端點，M，N是雙曲線上關(guān)于x軸對稱的兩點，直線的斜率分別為若雙曲線的離心率為2，則的最小值為（ ）AB1CD7已知斜率不為0的直線過橢圓的左焦點且交橢圓于，兩點，軸上的點滿足，則的取值范圍為（ ）A，B，C，D，8設(shè)A，B分別是雙曲線x2-=1的左、右頂點，設(shè)過P的直線PA，PB與雙曲線分別交于點M，N，直線MN交x軸于點Q，過Q的直線交雙曲線的右支于S，T兩點，且=2，則BST的面積為（ ）ABCD二、多選題9已知橢圓：上有一點，分別為左右焦點，的面積為，則下列選項正確的是（ ）A若，則；B若，則滿足題意的點有四個；C橢

3、圓內(nèi)接矩形周長的最大值為20；D若為鈍角三角形，則；10過拋物線的焦點的直線與相交于，兩點.若的最小值為，則（ ）A拋物線的方程為B的中點到準(zhǔn)線的距離的最小值為3CD當(dāng)直線的傾斜角為時，為的一個四等分點11已知橢圓的左右焦點分別為是圓上且不在軸上的一點，的面積為，設(shè)的離心率為，則（ ）ABCD12已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點P為橢圓與雙曲線的一個公共點，橢圓與雙曲線的離心率分別為，下列說法中正確的有（ ）A若a2，b，且，則B若a2，b，且，則C若a5，m，則D若，且，則三、填空題13已知直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點在圓上，則的值是_.14雙曲線的焦點在圓上，圓O與雙

4、曲線C的漸近線在第一、四象限分別交于P，Q兩點滿足（其中O是坐標(biāo)原點），則的面積是_15已知橢圓：，三角形的三個頂點都在橢圓上，設(shè)它的三條邊的中點分別為D、E、M，且三條邊所在直線的斜率分別為，且均不為0.為坐標(biāo)原點，若直線、的斜率之和為1.則_.16設(shè)橢圓的左右焦點分別為，是橢圓上一點，則橢圓離心率的取值范圍為_.四、解答題17已知直線與橢圓相交于、兩點，是橢圓上一點（1）當(dāng)時，求面積的最大值；（2）設(shè)直線和與軸分別相交于點、，為原點證明：為定值18已知圓的圓心為，過點作直線與圓交于點、，連接、，過點作的平行線交于點；（1）求點的軌跡方程；（2）已知點，對于軸上的點，點的軌跡上存在點，使得，

5、求實數(shù)的取值范圍19已知為坐標(biāo)原點，橢圓：的左右焦點分別為，為橢圓的上頂點，以為圓心且過，的圓與直線相切.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓交于，兩點，若，點在上，.證明：存在點，使得為定值.20在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，點，動點到點的距離是它到直線的距離的倍，記的軌跡為曲線（1）求曲線的方程；（2）過點且斜率大于的直線交于，兩點，點，連接，交直線于，兩點，證明：點在以為直徑的圓上21已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸，長軸長為，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過橢圓的左焦點作直線，且直線交橢圓于，兩點，問軸上是否存在一點，使得為常數(shù)，若存在，求出坐標(biāo)及該常數(shù)，若不存在，說明理由

6、22已知的兩個頂點坐標(biāo)分別為，該三角形的內(nèi)切圓與邊分別相切于P，Q，S三點，且，設(shè)的頂點A的軌跡為曲線E（1）求E的方程；（2）直線交E于R，V兩點在線段上任取一點T，過T作直線與E交于M，N兩點，并使得T是線段的中點，試比較與的大小并加以證明專題21 圓錐曲線的綜合應(yīng)用一、單選題1已知F是拋物線C：的焦點，O為坐標(biāo)原點，過F的直線交C于A，B兩點，則三角形OAB面積的最小值為（ ）ABCD2【解析】由得，設(shè)由已知直線的斜率存在設(shè)為，所以直線，聯(lián)立得，當(dāng)時，三角形面積的最小值為，故選：D2直線過橢圓的中心與橢圓交于M，N兩點（點M在第一象限），過點M作x軸的垂線，垂足為E，直線NE與橢圓交于另

7、一個點P，則的值為（ ）AB1CD【解析】設(shè)，則，所以，即，所以，所以，即，所以，即.故選：B.3設(shè)是橢圓上一點，分別是圓和上的點，則的最大值為（ ）ABCD【解析】根據(jù)題意作出如圖所示的圖象，其中、是橢圓的左，右焦點，在中可得：，當(dāng)且僅當(dāng)、三點共線時，等號成立，在中可得：，當(dāng)且僅當(dāng)、三點共線時，等號成立，由得：，由橢圓方程可得：，即，由橢圓定義可得：，所以，.故選：A.4橢圓的左、右焦點分別為，O為坐標(biāo)原點，則下列說法正確的是（ ）A過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，則的周長為4B橢圓C上不存在點P，使得C橢圓C的離心率為DP為橢圓C上一點，Q為圓上一點，則點P，Q的最大距離為3【解析】對于

8、選項A，由橢圓定義，可得，因此的周長為，故A錯誤對于選項B，設(shè)，則，且又，所以，因此，解得，故B錯誤對于選項C，因為，所以=，即，所以離心率，故C錯誤對于選項D，設(shè)，則點P到圓的圓心的距離為因為，所以，故D正確故選：D5過拋物線的焦點F的直線于C交于A，B兩點則取得最小值時，（ ）ABCD【解析】拋物線的焦點坐標(biāo)為，設(shè)點，又由題意得直線的斜率一定存在，設(shè)其為，則其方程為.由，得，得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以.故選：A.6已知A，B是雙曲線實軸的兩個端點，M，N是雙曲線上關(guān)于x軸對稱的兩點，直線的斜率分別為若雙曲線的離心率為2，則的最小值為（ ）AB1CD【解析】由題設(shè)可設(shè)，則，故

9、，因為雙曲線的離心率為2，故，故，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最小值為.故選：D.7已知斜率不為0的直線過橢圓的左焦點且交橢圓于，兩點，軸上的點滿足，則的取值范圍為（ ）A，B，C，D，【解析】很明顯點為線段的垂直平分線與軸的交點，設(shè)直線，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，可得，因此，所以線段的中點坐標(biāo)為，的垂直平分線的方程為，當(dāng)時，則，因此，所以，故選：B8設(shè)A，B分別是雙曲線x2-=1的左、右頂點，設(shè)過P的直線PA，PB與雙曲線分別交于點M，N，直線MN交x軸于點Q，過Q的直線交雙曲線的右支于S，T兩點，且=2，則BST的面積為（ ）ABCD【解析】雙曲線x2-=1的左、右頂點分別為A

10、(-1，0)，B(1，0)，又P，直線PA的方程為x=-1，PB的方程為x=-+1，聯(lián)立可得y2-=0，解得y=0或y=，將y=代入x=-1可得x=，即有M，聯(lián)立可得y2-y=0，解得y=0或y=，將y=代入x=-+1，可得x=，即N設(shè)Q(s，0)，由M，N，Q三點共線，可得kMN=kQN，即有=，將M，N的坐標(biāo)代入化簡可得=，解得s=2，即Q(2，0)，設(shè)過Q的直線方程為x=my+2，聯(lián)立得(3m2-1)y2+12my+9=0，設(shè)S(x1，y1)，T(x2，y2)，可得y1+y2=-，y1y2=，=144m2-36(3m2-1)>0恒成立，又=2，y1=-2y2，-2·=，解

11、得m2=，可得SBST=|BQ|·|y1-y2|=|y1-y2|=·=3·=故選：A二、多選題9已知橢圓：上有一點，分別為左右焦點，的面積為，則下列選項正確的是（ ）A若，則；B若，則滿足題意的點有四個；C橢圓內(nèi)接矩形周長的最大值為20；D若為鈍角三角形，則；【解析】橢圓：，設(shè)，則，若，則，所以不存在，故A錯誤；若，則，可得，故滿足題意的點有四個，故B正確；設(shè)橢圓內(nèi)接矩形的一個頂點為，則橢圓內(nèi)接矩形周長為其中，由得，橢圓內(nèi)接矩形周長的范圍為，即，故C正確；由上知不可能為鈍角，由對稱性不妨設(shè)是鈍角，先考慮臨界情況，當(dāng)為直角時，易得，此時，當(dāng)為鈍角三角形時，所以，故D

12、正確.故選：BCD10過拋物線的焦點的直線與相交于，兩點.若的最小值為，則（ ）A拋物線的方程為B的中點到準(zhǔn)線的距離的最小值為3CD當(dāng)直線的傾斜角為時，為的一個四等分點【解析】當(dāng)直線的斜率不存在時，因為直線過拋物線的焦點，所以的方程為：，由 可得，此時，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為：，由可得：，所以，所以，對于A：由以上證明可知：當(dāng)直線的斜率不存在時，可得，所以拋物線的方程為，故選項A正確；對于B：當(dāng)直線的斜率不存在時，的中點到準(zhǔn)線的距離為，當(dāng)直線的斜率存在時，的中點橫坐標(biāo)為，此時的中點到準(zhǔn)線的距離，故選項B正確；對于C：當(dāng)直線的斜率不存在時，此時，故選項C不正確；對于D：當(dāng)直線的傾斜角為時

13、，直線的方程為：，由可得：，即，不妨設(shè)，所以，所以，所以為的一個四等分點，故選項D正確；故選：ABD11已知橢圓的左右焦點分別為是圓上且不在軸上的一點，的面積為，設(shè)的離心率為，則（ ）ABCD【解析】如圖，連接，設(shè)交橢圓于，則，故正確；設(shè)，故錯誤；設(shè)，則，又的面積為，即，又，故正確；由，兩式作商可得：，故正確故選：ACD12已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點P為橢圓與雙曲線的一個公共點，橢圓與雙曲線的離心率分別為，下列說法中正確的有（ ）A若a2，b，且，則B若a2，b，且，則C若a5，m，則D若，且，則【解析】對于A，若a2，b， ，則，故A錯誤，對于B：若a2，b，c1， ， ，所以 ， ，

14、 ，故 B正確，對于C，若a5，m ， 因為橢圓與雙曲線共焦點， ，設(shè)，則，故C錯誤對于D，設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可得，解得，在三角形中，可得，即有，可得，即，當(dāng)時可得，故D正確故選：BD三、填空題13已知直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點在圓上，則的值是_.【解析】設(shè)點，線段的中點，由，得（判別式，點，在圓上，則，故.14雙曲線的焦點在圓上，圓O與雙曲線C的漸近線在第一、四象限分別交于P，Q兩點滿足（其中O是坐標(biāo)原點），則的面積是_【解析】因為雙曲線的焦點在圓上，所以，設(shè)線段與軸的交點坐標(biāo)為，結(jié)合雙曲線與圓的對稱性可知為線段的中點，又因為，即，且，則，又因為直線的方程為，所

15、以，又因為在圓上，所以，又因為，則，所以，從而，故,故答案為：.15已知橢圓：，三角形的三個頂點都在橢圓上，設(shè)它的三條邊的中點分別為D、E、M，且三條邊所在直線的斜率分別為，且均不為0.為坐標(biāo)原點，若直線、的斜率之和為1.則_.【解析】設(shè),因為,在橢圓上,所以,兩式相減得:,即,同理可得,所以因為直線的斜率之和為1,所以,16設(shè)橢圓的左右焦點分別為，是橢圓上一點，則橢圓離心率的取值范圍為_.【解析】設(shè)，由橢圓的定義可得，設(shè)，則，所以，即，因為，所以，兩式相除可得，令可得，所以，因為，所以，所以當(dāng)即，時取得最小值，此時最小為，當(dāng)或即，時取得最大值，此時最大為，所以橢圓離心率的取值范圍為四、解答題

16、17已知直線與橢圓相交于、兩點，是橢圓上一點（1）當(dāng)時，求面積的最大值；（2）設(shè)直線和與軸分別相交于點、，為原點證明：為定值【解析】（1）當(dāng)時，將代入，解得， 當(dāng)為橢圓的頂點時，到直線的距離取得最大值， 面積的最大值是（2）證明：設(shè)、兩點坐標(biāo)分別為、，從而 設(shè)，則有， 直線的方程為，令，得，從而 直線的方程為，令，得，從而 所以，為定值18已知圓的圓心為，過點作直線與圓交于點、，連接、，過點作的平行線交于點；（1）求點的軌跡方程；（2）已知點，對于軸上的點，點的軌跡上存在點，使得，求實數(shù)的取值范圍【解析】（1），故，即，故軌跡為橢圓，故，故軌跡方程為：（）.（2）設(shè)，則，即，即，即，設(shè)，.故實

17、數(shù)的取值范圍為.19已知為坐標(biāo)原點，橢圓：的左右焦點分別為，為橢圓的上頂點，以為圓心且過，的圓與直線相切.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓交于，兩點，若，點在上，.證明：存在點，使得為定值.【解析】（1）由題意，則.又圓與直線相切，則圓的半徑，而圓又過兩個焦點，結(jié)合橢圓定義可知，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）顯然直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為：，將帶入得：，所以，所以，所以，解得，直線過定點或，根據(jù)題意，在以為直徑的圓上，該圓的圓心為或，半徑等于，所以存在定點或，使得為定值.20在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，點，動點到點的距離是它到直線的距離的倍，記的軌跡為曲線（1）求曲線的

18、方程；（2）過點且斜率大于的直線交于，兩點，點，連接，交直線于，兩點，證明：點在以為直徑的圓上【解析】（1）設(shè)，由題意得，化簡得，所以曲線的方程為.（2）證明：設(shè)，設(shè)直線，且，聯(lián)立得，由韋達(dá)定理可得，由，解得，由，解得，故點在以為直徑的圓上21已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸，長軸長為，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）經(jīng)過橢圓的左焦點作直線，且直線交橢圓于，兩點，問軸上是否存在一點，使得為常數(shù)，若存在，求出坐標(biāo)及該常數(shù)，若不存在，說明理由【解析】（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，解得，所以，故橢圓的方程為；（2）由（1）可知，假設(shè)在軸上存在一點，使得恒為常數(shù)當(dāng)直線與軸不垂直時，設(shè)其方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，可得，所以，故，因為是與無關(guān)的常數(shù)，則有，即，此時；當(dāng)直線與軸垂直時，此時點、的坐標(biāo)分別為，當(dāng)時，亦有綜上所述，在軸上有在定點，