熵值法的原理及實例講解

1、嫡值法1.算法簡介燔值法是一種客觀賦權法，其根據(jù)各項指標觀測值所提供的信息的大小來確定指標權重。設有m個待評方案，n項評價指標，形成原始指標數(shù)據(jù)矩陣*=（七兀=，對于某項指標X）,指標值X”的差距越大，則該指標在綜合評價中所起的作用越大：如果某項指標的指標值全部相等，則該指標在綜合評價中不起作用。在信息論中，埼是對不確定性的一種度量。信息量越大，不確定性就越小，埼也就越小:信息最越小，不確定性就越大，燧也越大.根據(jù)燧的特性，我們可以通過計算尷值來判斷一個方案的隨機性及無序程度，也可以用燧值來判斷某個指標的離散程度，指標的離散程度越大，該指標對綜合評價的影響越大！因此，可根據(jù)各項指標的變異程度，

2、利用信息燔這個工H.計算出各個指標的權重，為多指標綜合評價提供依據(jù)！2.算法實現(xiàn)過程2.1 數(shù)據(jù)矩陣A=；：其中X"為第i個方案第j個指標的數(shù)值x.X口】皿/nxm2.2 數(shù)據(jù)的非負數(shù)化處理由于墻值法計算采用的是各個方案某一指標占同一指標值總和的比值，因此不存在量綱的影響，不需要進行標準化處理，若數(shù)據(jù)中有負數(shù)，就需要對數(shù)據(jù)進行非負化處理！此外，為了避免求焙值時對數(shù)的無意義，需要進行數(shù)據(jù)平移：對于越大越好的指標：Xmin(X1j,X力,XQ.X,=+1,1=1,2,，n;jJmax(Xlj,X2j,.,Xnj)-miii(Xlj,X2j,.,Xnj)對于越小越好的指標：maxKjXzj

3、,一,%)-%.%=+1,1=1,2,11；j=1,2,，mJmax(X1j,X2j,，XGmm(XX，X.)為了方便起見，仍記非負化處理后的數(shù)據(jù)為X“2.3 計算第j項指標下第i個方案占該指標的比重片(j=l,2,-m)1=12.4 計算第j項指標的煙值ej=-k*之PJog?),其中kO.ln為自然對數(shù)，e3>0=,式中常數(shù)k與樣本數(shù)in有關,i=l一般令k=%1m，則OVeKl2.5 計算第j項指標的差異系數(shù).對于第j項指標，指標值X”的差異越大，對方案評價的作用越大，焙值就越小gj=lYj,則：gj越大指標越重要2.6 求權數(shù)Wj=,j=l,2mZgjj=l2.7 計算各方案的綜

4、合得分(i=U,.-n)j-i3,墻值法的優(yōu)缺點燧值法是根據(jù)各項指標指標值的變異程度來確定指標權數(shù)的，這是一種客觀賦權法，避免了人為因素帶來的偏差，但由于忽略了指標本身重要程度，行時確定的指標權數(shù)會與預期的結果相差甚遠，同時烯值法不能減少評價指標的維數(shù)！理解精值法學習嫡值法，熔值法是一種理論的數(shù)學方法，從計算機科學角度上看，屬于一種算法。要運用精值法當然要理解它，搞懂它。牖值法原理：焙的概念源于熱力學，是對系統(tǒng)狀態(tài)不確定性的一種度量。在信息論中信息是系統(tǒng)有序程度的一種度量。而墻是系統(tǒng)無序程度的一種度量,兩者絕對值相等，但符號相反。根據(jù)此性質，可以利用評價中各方案的固有信息，通過精值法得到各個指

5、標的信息烯，信息熠越小，信息的無序度越低，其信息的效用值越大，指標的權重越大。具體的方法步驟見附圖課件。燔是不確定性的度量，如果用Pj表示的j個信息不確定度（也即出現(xiàn)的概率）則破個信息（設有n個）的不確定度量也可用下式表示:S=-k£尸,ln(Py)這就是嫡。其中K為正常數(shù)，當各個信息發(fā)生的概率相等時，即Pj=l/n,S取值最大，此府烯最大?？衫玫招畔⒌母拍畲_定權重,假設多屬性決策矩陣如下：4xx24Xy.工”X、”Af=*一mLmlm2rnn.則用p=上(/m表示第7個成性下第i個方案4的貢獻度。 可以用百來表示所有方案對屬性%的貢獻總量：mE/=-KZ舄In明)其中，常數(shù)K=l

6、/ln(m),Utk就能保證O=EjV=l,即耳最夫為1。由式中可以看出,當某個屬性下各方案的貢獻度趨于,致時，與趨廣1：特別是當全相等時，也就可以不考慮該目標而屈性在決策中的作用，也即此時屈性的權重:為零。這樣，可看出屬性值由所有方案差異大小來決定權系數(shù)的大小.為此可定義可為第/屈性卜各方案貢獻度公致性程度。dj=l-Ej 則各屬性權重助如下：JdI< 當=0時，第j屬性可以就除，其權乖等于0。 如果決策者事先已有些經(jīng)驗的主觀估計權幣A，則可借助上述的wj來對人進行修正。Z7» 埼值法最大的特點是宜接利用決策矩陣所紇小的片兄計算權重，而沒有引入決策者的主觀判斷。利用Excel

7、進行熔值法計算求解1. 給出算例，題干是購買教車的一個決策矩陣，給出了四個方案供我們進行選擇，每個方案中均有相同的六個屬性，我們需要利用熠值法求出各屬性的權S,級在方案中的貢獻度。油耗功率費用安全性維護性操作性本田51.46357奧迪9230759桑塔納81.81157別克122.5187552.一：求第j個屬性下第i個方案Ai的貢獻度，公式為附圖一，在excel中，先求出各列的和，然后用每行的數(shù)值比上列和，形成新的矩陣，如附圖2a2M=.可利用燧信息的概念確定權重，假設多屬性決策矩陣如下：4則用p=_A_IX)表示第/個屬性下第i個方案4的貢獻度。L油耗功率急用安全性維護性操作性?本田51.

8、463573奧迪9230759桑塔納81.8115755別克122.518755347.7652222267P矩陣30.1470390.181S18O.09230769O.136364O.227273O.2f192310.2647060.259740.46153«460.3181W20.2272730.3461540.2352940.233766。16923077O.2272730.31818?，192308120.3529410.3246750.276923080.3181820.2<3G."2S08）購買辛喬車決策矩陣3.求出所有方案對屬性Xj的貢獻總量，用附圖一

9、所示的算法。在excel操作中，將剛才生成的矩陣每個元素變成每個元素與該In（元素）的積，如附圖2所示?？梢杂民R來表示所有方案對屬性%的貢獻總量：m馬=-K1與In代）其中，常數(shù)K=l/ln（m）,武需，就能保證OKEfj即Ej最大為L由式中可以看出，當某個屬性下各方案的貢獻度趨于一致時，鳥趨于1;特別是當全相等時，也就可以不考慮該目標的屬性在決策中的作用，也即此時屬性的權重為零。0.1470590.1818180.092307690.1363640.2272730.2692310.2647060.259740.461538460.3181820.2272730.3461540.2352940

10、.2337660.169230770.2272730.3181820.1923080.3529410.3246750.276923080.3181820.2272730.1923081J1-0.2819-0.30995-0.2199349-0.2717-0.33673-0.35328-0.35183-0.35015-0.3568569-0.36436-0.33673-0.367220.34045-0.33976-0.3006371-0.33673-0.3643C-0.31705-0.36757-0.36524-0.3555735-0.36436-0.33673-C.317054. 求出常數(shù)k,

11、k為1/ln（方案數(shù)）,本例中有4個方案，4中車的類型，所以求得k為0.721348,再求k與新矩陣每一列和的乘積，這樣獲得的6個積為所有方案對屬性xj的貢獻度。至此所有的Ej就求出來了。-0.2819-0.30995-0.2199349-0.2717-0.33673-0.35328-0.35183-0.35015-0.3568569-0.36436-0.33673-0.36722-0.34045-0.339760.3006371-0.33673-0.36436-0.31705-0.36757-0.36524-0.3555735-0.36436-0.33673-0.31705-1.34175-

12、1.3651-1.2330024-1.33714-1.37455-1.354615. dj為第j屬性下各方案貢獻度的一致性程度。dj=l-Ej,利用上面求得的Ej,可以得到djCl9Ej=0.9678710.9847140.889423210.9645450.9915250.9771410Dj=0.0321290.0152860.110576790.0354550.0084750.0228596. 各屬性權重為對應的dj與所有dj和的商©dj的和為0.22478,求得各89Ej=0DJ=1力之34屬性的權重為0.140.070.490.160.040.100.9678710.9847140.889423210.9645450.9915250.9771410.0321290.0152860.110576790.0354550.0084750.0228590.224787.【二二工二工Q?Q.9QQ'Q】所以在購買汽車時，據(jù)所提供信息，利用燧