數(shù)理統(tǒng)計課程論文

1、大學生考試成績的量化分析摘要：本文以某某大學化學化工學院2009級高等代數(shù)成績?yōu)闃颖?，結合概率論理論基礎及統(tǒng)計學原理，探討學生成績的整理、成績分布曲線的描繪以及怎樣研究分布曲線所包含的教”與學”兩方面的信息的方法。關鍵詞：正態(tài)分布頻數(shù)直方圖數(shù)字特征值優(yōu)度檢驗偏度1、 引言目前，考試仍然是高校教學過程中不可或缺的組成部分，對教與學雙方而言，考試均起著檢查工作成果進而評價績效、查漏補缺的重要作用?？荚囀欠答伣虒W信息，檢測和評價教學質(zhì)量，調(diào)控教學過程的重要手段。大學生在校期間的考試成績可從多個層面折射出學生學習努力的程度、教師教學的效果、試卷的質(zhì)量和學校教學管理水平等。正態(tài)分布是連續(xù)隨機變量概率分布

2、的一種，對于一門課程的考核從掌握參照的角度來說，如果命題設計的合理，學生分數(shù)一般服從或近似服從正態(tài)分布。當然并不是所有考試都要求其分布為正態(tài)分布，這要根據(jù)考試的目的和性質(zhì)等因素來決定。對于大學成績，已經(jīng)不再是諸如各種競賽性測驗和擇優(yōu)錄取的升學測驗等選拔性的測驗，而是一種成就測驗，即合格水平測驗。從而，目的在于考核學生是否達到了預定的教學目標和要求，反映了學生的學習功效。此時，不要求學生成績呈現(xiàn)正態(tài)分布，反而希望學生成績的分布能呈現(xiàn)負偏態(tài)分布。從學校的教育目的的角度來看，合格水平測驗具有普遍意義、更重要的測驗。因此，學生成績測驗呈現(xiàn)負偏態(tài)分布時，說明教學恰恰是成功的教學。本文對某某大學化學化工學

3、院2009級高等代數(shù)成績加以統(tǒng)計，運用英國統(tǒng)計學家K.Pearson提出的/2檢驗方法進行了實證分析，得到合理的結論。2、 學生成績分布直方圖、成績分布曲線在剛得到數(shù)據(jù)時，各種數(shù)據(jù)信息是雜亂無章的，本文通過對數(shù)據(jù)進行由低到高分組分類得到各組的頻數(shù)，求出各組的比例，然后編制出頻數(shù)直方圖，并求出數(shù)字特征。某某大學化學化工學院2009級高等代數(shù)成績表（百分制）95699266834547658750296062767930676078672746909091659875938710066667881746162804896676368778884438343879443203260487594666

4、849766585604049424960837139676161676066726171806063784997796965459270689033387783426265607485492.1 數(shù)據(jù)整理本文將所得數(shù)據(jù)采用百分制方法，按將從小到大分成了5組。利用excel軟件編制累積次數(shù)表如下：按成績分組（分）頻數(shù)（個）頻率（）0-2000.00%20-4087.41%40-601816.67%60-805450.00%80-1002825.93%合計108100.00%2.2 繪制頻數(shù)直方圖建立以分數(shù)為橫坐標，頻數(shù)為縱坐標的直角坐標系，分別以組距為寬，頻數(shù)為高作矩形構成分數(shù)頻數(shù)直方圖如下:

5、成績散點圖及頻數(shù)趨勢用橫坐標表示第幾個分組，縱坐標表示該組內(nèi)的頻數(shù)，繪制成績散點圖級頻數(shù)趨勢，如下圖：2.4數(shù)字特征隨機變量完全有它的概率分布（函數(shù)）描述，而確定其分布函數(shù)一般來說是相當麻煩的。在實際問題中，有時只需知道隨機變量的某些數(shù)字特征就夠了。以下是本文根據(jù)搜集的數(shù)據(jù)，利用數(shù)理統(tǒng)計的知識，結合計算機，分析算出的數(shù)字特征：平均值65.97標準誤差1.831291中位數(shù)66標準差18.31291力差335.3627偏度-0.26385最小值20最大值100求和6597(1)100最小(1)20置信度(95.0%)3.633679三、分布擬合優(yōu)度檢驗3.1正態(tài)性檢驗本文將成績總體分成5類，由上

6、述數(shù)據(jù)整理可以得出每類情況出現(xiàn)的頻率。記A為對該總體進行的分類，P(Aj)為各種情況出現(xiàn)的頻率，P為各種情況出現(xiàn)的概率。原假設Ho：P(Aj)=P,i=1,2,3,4,5其中P.0,且P之和等于1.被擇假設Hi:P(Aj)=P等式不完全成立1 ,22 二、ni-咕tnpi若在Ho成立時對充分大的n,檢驗統(tǒng)計量”近似服從自由度為k-1的評分布。由于統(tǒng)計量殍度量的是觀測頻數(shù)n與理論頻數(shù)np的偏離程度，*值大，表示偏離的程度大，偏離的程度越大越傾向于拒絕原假設H。對給定的顯著水平a(0<a<1),該檢驗的拒絕域為：W=爐上7%一1)本文用搜集的108個數(shù)據(jù)作為容量為108的樣本的一個樣本

7、值，設：Ho：2009級高等代數(shù)成績服從N(65.97,335.36)H1:2009級高等代數(shù)成績不服從N(65.97,335.36)由爐-擬合優(yōu)度檢驗法的要求，將實數(shù)軸分成5個不相交的區(qū)間：此20),120,40,40,60,160,80,80,100如前面數(shù)據(jù)整理所述。用F（x）表示N（65.97,335.36）的分布函數(shù)，P表示在H。為真的條件下數(shù)據(jù)落入個區(qū)間的理論概率，即公式中的R:R=F20|：I：2.51030.006F2=F40-F20-力-1.4181-i-2.5103：0.0718P3=F60-F40-中-0.3260：1.41810.2929巳=F80-F60）：中|0.7

8、661-力-0.3260：0.4087B=F100-F80=中1.8583-：，0.76610.1892本文取置信水平a=0.05,用Pearsonl僉驗方法驗證本文所收集的某某大學化學化工學院2009級高等代數(shù)成績是否服從正態(tài)分布。將上述數(shù)據(jù)代入公式得：522n-nPi2="11.54idnpi由于區(qū)間數(shù)m=5,未知參數(shù)l=2,故自由度為m-1-1=2。經(jīng)過查表，可以得出？20.95（2）=5.9915。由于？2A0.95（2）,在拒絕域內(nèi)，故應該拒絕原假設，即某某大學化學化工學院2009級高等代數(shù)成績不服從正態(tài)分布。3.2檢驗的p值假設檢驗的結論通常是簡單的，在給定的顯著水平下，

9、不拒絕原假設就是保留原假設。然而有時也會出現(xiàn)這樣的情況：在一個較大的顯著水平（比如0=0.05）下得到拒絕原假設的結論，而在一個較小的顯著水平（比如0=0.01）下卻回到相反的結論。因此引進檢驗的p值得概念有明顯的好處。第一、它比較客觀，避免了事先確定的顯著水平；其次，有檢驗的p值與人們心目中的顯著性水平a進行比較可以很容易做出檢驗的結論：如果之p,則在顯著水平«下拒絕原假設H。；如果口<p,則在顯著性水平"下應該保留H。這個p值反映了數(shù)據(jù)與假設的分布擬合程度的高度，p值越大，擬合越好。本文中，以T記服從矛（2）的隨機變量，則使用統(tǒng)計軟件可以算出：p=P：T11.54

10、）=0.178717309由上述結果可以看出，p值相對于a較大，故擬合得較好。四、結論1、運用正態(tài)分布科學地分析學生的成績是一項重要意義的工作，是高校教學過程控制的一個重要環(huán)節(jié)，是衡量教學效果、保證教學質(zhì)量的重要手段。成績的統(tǒng)計分析是挖掘成績數(shù)據(jù)資料的有效途徑，為教學管理和改革服務。通過對正態(tài)分布和正態(tài)分布率的分析，我們可以較方便地發(fā)現(xiàn)哪些班和哪些專業(yè)學生的學習存在問題，從而加強管理和強化學風教育.2、偏態(tài)是統(tǒng)計學家K.Pearson于1895年首次提出的，它是對數(shù)據(jù)分布的對稱測度。而偏態(tài)系數(shù)是對數(shù)據(jù)分布不對稱性的度量值。偏態(tài)系數(shù)可以描述分布的形狀特征，其取值的正負反映的是：當PA0時，分布為

11、正偏或右偏，當P=0時，分布關于其均值E(x)對稱，當P<0時，分布為負偏或左偏.本文中偏度是負的，則成績的分布呈低度負偏或左偏。說明總體分數(shù)較高，高分段學生很多，命題較易。3、我們通過Excel軟件對上述成績進行了正態(tài)分析得出了上述考試成績的一些數(shù)字特征。對于大學成績，已經(jīng)不再是諸如各種競賽性測驗和擇優(yōu)錄取的升學測驗等選拔性的測驗，而是一種成就測驗，即合格水平測驗。從而，目的在于考核學生是否達到了預定的教學目標和要求，反映了學生的學習功效。此時，不要求學生成績呈現(xiàn)正態(tài)分布，反而希望學生成績的分布能呈現(xiàn)負偏態(tài)分布。從學校的教育目的的角度來看，合格水平測驗具有普遍意義、更重要的測驗。因此，

12、學生成績測驗呈現(xiàn)負偏態(tài)分布時，說明教學恰恰是成功的教學。比如本文所作的成績檢測，呈現(xiàn)出低度負偏態(tài)分布，從實際出發(fā)，達到了學校教育目的，是學校教育成功的表現(xiàn)。4、實際中，成績評價的主要依據(jù)僅是平均分和不及格率。而平均成績是可以被教師通過考題的難度及考前復習所控制的。事實上，在很多學校的成人教學中，學生大面積缺課、從不完成作業(yè)等現(xiàn)象非常嚴重，但是考試成績卻高分很多，不及格率極低，可見由平均成績和不及格率很難發(fā)現(xiàn)學生學習中的異常情況。誠然,不及格率高會給教師造成很多壓力，但我們不應該因此而降低考試的難度，如果試題太容易，則用功和不用功的學生考試成績相差無幾的情況就會發(fā)生，勤奮學生的學習積極性會受到打

13、擊。更嚴重的是，如果各屆學生之間口口相傳，學生的學風可能一屆比一屆差，這將嚴重影響大學的教學質(zhì)量。當然，不及格率過高也是不合適的。因此，保持試卷有一定的難度，而通過平時成績適當?shù)丶右哉{(diào)整，控制較低的不及格率，這才是一種較為現(xiàn)實的做法。對學生而言，這樣做既有一定的學習壓力，又能保證大部分學生獲得合格的成績。如上所述，本文所采用的成績數(shù)據(jù)不及格率達到了68.51%,均分65.97,良好地反映了學生的學習功效和教學成果。成績眾數(shù)為60分，如果將其歸為不及格，則成績分布呈正態(tài)分布，有理由懷疑是否應將60劃為及格線?？傊?，正態(tài)分布分析具有科學計算的精確性、規(guī)律性和客觀真實性的特點，但是應正確地運用這一工具，不應該簡單化地評價正態(tài)分布分析結果。例如，認為學生成績不呈正態(tài)分布就是教師的教學有問題。正態(tài)分布分析和其他指標如平均分、標準差、及格率等若能有機結合來，就可以較好地獲得學生學習狀況的信息，從而有利于學校、學院和任課老師采取切實措施，提高教學質(zhì)量。參考文獻1其詩松，程依鳴，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程.高等教育