接觸問題的非線性問題

1、第五章接觸問題的非線性有限元分析5.1引言在工程結(jié)構(gòu)中，經(jīng)常會遇到大量的接觸問題?；疖囓囕喤c鋼軌之間，齒輪的嚙合是典型的接觸問題。在水利和土木工程中，建筑物基礎(chǔ)與地基，混凝土壩分縫兩側(cè)，地下洞室襯砌與【韋I巖之河，巖體結(jié)構(gòu)面兩側(cè)都存在接觸問題。對于具有接觸面的結(jié)構(gòu)，在承受荷載的過程中，接觸面的狀態(tài)通常是變化的，這將影響接觸體的應(yīng)力場。而應(yīng)力場的改變反過來又影響接觸狀態(tài)，這是一個非線性的過程。由于接觸問題對工程實踐的重要性，本章將作為專門問題進(jìn)行研究。最早對接觸問題進(jìn)行系統(tǒng)研究的是H.Hertz,他在1882年發(fā)表了彈性接觸問題一書中，提出經(jīng)典的Hertz彈性接觸理論。后來Boussmesg等其

2、他學(xué)者又進(jìn)一步發(fā)展了這個理論。但他們都是采用一些簡單的數(shù)學(xué)公式來研究接觸問題，因而只能解決形狀簡單(如半無限犬體)、接觸狀態(tài)不復(fù)雜的接觸問題。二十世紀(jì)六十年代以后，隨著計算機(jī)和計算技術(shù)的發(fā)展，使應(yīng)用數(shù)值方法解決復(fù)雜接觸問題成為可能。目前，分析接觸問題的數(shù)值方法人致可分為三類：有限元法、邊界元法和數(shù)學(xué)規(guī)劃法。數(shù)學(xué)規(guī)劃法是一種優(yōu)化方法，求解接觸問題時，根據(jù)接觸準(zhǔn)則或變分不等式建立數(shù)學(xué)模型，然后采用二次規(guī)劃或罰函數(shù)方法給出解答。邊界元方法也被用來求解接觸問題，1980年和1981年，Anderson先后發(fā)表兩篇文章，用于求解無摩擦彈性接觸和有摩擦彈性接觸問題。近年來雖有所發(fā)展，但仍主要用于解決彈性接

3、觸問題。就目前的發(fā)展水平來看，數(shù)學(xué)規(guī)劃法和邊界元法只適合于解決比較簡單的彈性接觸問題。對于相對復(fù)雜的接觸非線性問題，如人變形、彈塑性接觸問題，還是有限元方法比較成熟、比較有效。早在1970年，Wilson和Parsons提出一種位移有限元方法求解接觸問題。Chan和Tuba,Ohte等進(jìn)一步發(fā)展了這類方法。它的基本思想是假定接觸狀態(tài)，求出接觸力，檢驗接觸條件，若與假定的接觸狀態(tài)不符，則重新假定接觸狀態(tài)，直至迭代計算得到的接觸狀態(tài)與假定狀態(tài)一致為止。具體做法是：對于彈性接觸的兩個物體，通過有限元離散，建立支配方程(5.1)式中，K為初始的整體勁度矩陣，它與接觸狀態(tài)有關(guān)，通常根據(jù)經(jīng)驗和實際情況假定

4、。叭是結(jié)點位移列陣，&為結(jié)點荷載列陣。求解式(5.1),得到結(jié)點位移,再計算接觸點的接觸力人，將叭和P代入與假定接觸狀態(tài)相應(yīng)的接觸條件，如果不滿足接觸條件，就要修改接觸狀態(tài)。根據(jù)修改后新的接觸狀態(tài)，建立新的勁度矩陣和支配方程K2=R2(5.2)再由式(5.2)解得兀，進(jìn)一步計算接觸力匚，將52和匚代入接觸條件，驗算接觸條件是否滿足。這樣不斷的迭代循環(huán)，直至d“和代滿足接觸條件為止，此時得到的解答就是真實接觸狀態(tài)下的解答。在以上的研究中，沒有考慮接觸面的摩擦力。不考慮摩擦力的接觸過程是一種可逆的過程，即最終結(jié)果與加載途徑無關(guān)。此時，只需要進(jìn)行一次加載，就能得到最終穩(wěn)定的解。如果考慮接觸面

5、的摩擦力，接觸過程就是不可逆的，必須采用增量加載的方法進(jìn)行接觸分析。1973年，Tusta和Yaniaji的文章詳細(xì)討論了接觸過程的可逆性和不可逆性。從Wilson和Parsons的方法可看出，每一次接觸狀態(tài)的改變，都要重新形成整體勁度矩陣，求解全部的支配方程，既占內(nèi)存，又費機(jī)時。實際上，接觸狀態(tài)的改變是局部的，只有與接觸區(qū)域有關(guān)的一小部分需要變動，為此又提出一些改進(jìn)的方法。1975年，F(xiàn)rancavilla和Zieiikiewicz提出相對簡單的柔度法。圖5.1示出兩個相互接觸的物體A和E,假定A上有外力R作用,B有固定邊界。接觸面作用在A上的接觸力是作用在B上的接觸力是對于二維問題,Apf

6、=<0這些接觸力是未知的，假定有m個接觸點對，則增加了4加個未知量，為此需要補(bǔ)充4/«個方程?，F(xiàn)列出接觸點的柔度方程m叫F工咖+工咖;=1*=1其中，和5沛分別是物體A和B在接觸點i處的位移，和分別表示物體A和B因j點作用單位力時在j點引起的位移(即柔度系數(shù))所組成的柔度子矩陣，3是外荷載作用的點數(shù)，為第k個荷載作用點上的荷載向量。如果物體A和B之河的接觸屬于連續(xù)接觸，則接觸條件為P：=-P：(5.6)(5.5) 和(5.6)是4加個補(bǔ)充方程，式中，是第i個接觸點對的初始間隙向量。由于式(5.6) 的存在，令P；=_P：=P,未知量數(shù)目減少，增加的未知量剩卞2加個。將式(5.4

7、)和(5.6)代入(5.5)得加叫工(C：+C；)號一工W+%(5.7)/=!*=1式(5.7)共有2加個補(bǔ)充方程。對于滑動接觸和不接觸的自由邊界，同樣可根據(jù)相應(yīng)的接觸條件列出與式(5.7)類似的補(bǔ)充方程求解。引入接觸條件后，接觸狀態(tài)變化時，計算對彖的整體勁度矩陣不再改變，出現(xiàn)的問題是增加了未知量數(shù)，需要建立補(bǔ)充方程。但由于補(bǔ)充方程(5.7)中，味和不隨接觸狀態(tài)的改變而變化，而且接觸點的數(shù)目遠(yuǎn)小于整體的結(jié)點數(shù)，因而可人人節(jié)約計算時間，提高了求解接觸問題的效率。另外一種提高接觸問題計算效率的方法是把接觸點對作為“單元”考慮。1979年，Okamoto和Nakazawa提出“接觸單元”，它是根據(jù)接

8、觸點對位移與力之間的接觸條件建立的。接觸單元和普通單元一樣，可以直接組裝到整體勁度矩陣中去。然后對支配方程進(jìn)行“靜力凝聚”，保留接觸面各點的自由度，得到在接觸點凝聚的支配方程。由于接觸點數(shù)遠(yuǎn)小于結(jié)點數(shù)，凝聚后的方程階數(shù)比未凝聚時方程階數(shù)低得多。當(dāng)接觸狀態(tài)改變時，只需對凝聚的支配方程進(jìn)行修正和求解，因而可節(jié)約計算時間。1975年，Schafer根據(jù)虛功原理推導(dǎo)了“連接單元”，也可以象普通單元一樣地形成和組裝到整體勁度矩陣中。連接單元包含有接觸面的接觸特性，通過改變形成單元的某些參數(shù),來反映不同的接觸狀態(tài)。1977年，J.T.Stadter和R.O.Weiss提出間隙元方法?！伴g隙元”是一種虛設(shè)的

9、具有一定物理性質(zhì)的特殊接觸單元，其內(nèi)部的應(yīng)力應(yīng)變反映了接觸狀態(tài)，并利用塑性力學(xué)中的“應(yīng)力不變”準(zhǔn)則來模擬接觸過程。目前的接觸研究主要集中在彈性接觸問題，關(guān)于彈塑性接觸問題的研究也有了相當(dāng)?shù)倪M(jìn)展，但有關(guān)大變形彈塑性接觸的研究成果還很少。5.2彈性接觸問題5.2.1基本假定在分析彈性接觸問題時，有如下的基本假定：(1) 接觸物體的材料是線彈性的，位移和變形是微小的：(2) 作用在接觸面上的摩擦力服從Molu-Coulomb準(zhǔn)則；(3) 接觸面連續(xù)平滑。5.2.2接觸條件所謂接觸條件，是指接觸面上接觸點處的位移和力的條件。利用接觸條件，可以判斷接觸物體之間的接觸狀態(tài)。接觸狀態(tài)可分為三類：連續(xù)接觸，滑

10、動接觸和自由邊界。為了更方便地表示接觸條件，需要在接觸面上建立局部坐標(biāo)系。士旳',如圖5.2所示。由于一般情況下，A、E兩個物體在接觸點處無公共切面和公共法線，因此，局部坐標(biāo)系的藝軸只能盡可能地接近公法線方向，o'x'y'平面盡可能地接近公切面。令耳和©分別是第j個接觸物體(尸A.E)沿第i個局部坐標(biāo))的位移和接觸力，則三類接觸條件可表示為：(1) 連續(xù)接觸條件pm=PBi(j=x',；z')(5.8)=hi(5-9)同時要滿足沿接觸面的切平面方向不滑動的條件:&'<0和螢+隘"隊|(5.10)以上式中，

11、5。；，是接觸面在才方向的初始間隙，/是接觸面之間的滑動摩擦系數(shù)。(2) 滑動接觸條件%=(51)PAi=)或者表示為匕廠一比和何+號仇|(5其中，比=/|%|cos8,心T隊|sin&cos0=P"'=,sin0=小=J晾+氐J晾+氐(3) 自由邊界條件PAi=PBi=0)(5.13)浜，>5血+%(5.14)以上接觸條件中出現(xiàn)的位移和接觸力通常都是未知量，因此需要采用迭代算法，即首先假定接觸狀態(tài)，根據(jù)假定的接觸狀態(tài)建立有限元求解的支配方程，求解方程得到接觸面的位移和接觸力，并校核接觸條件是否與原來假定的接觸狀態(tài)相符。若不同，就要修正接觸狀態(tài),這樣不斷地循壞，

12、直到接觸狀態(tài)穩(wěn)定為止。實際上，這是一個局部的幾何非線性問題。5.2.3接觸問題的可逆性對于接觸問題，存在可逆和不可逆兩種接觸狀態(tài)。所謂“可逆”，是指沿不同的加載途徑，其最終的結(jié)果是相同的?！安豢赡妗眲t是指對于不同的加載途徑，最后的結(jié)果不同。發(fā)生不可逆過程的原因是由于接觸面出現(xiàn)了滑動摩擦，下面的例子可以說明這一點。a圖5.3示出一個由A、E、C三個物體組成的接觸問題。物體A上面作用有勻布荷載R,左邊為較支座。物體C左邊和下面均有較支座。物體E在勻布荷載Q的作用下，可以沿著上下兩個接觸面滑移。加載分三步：(1) 施加荷載R，并保持/?。不變；(2) 施加荷載0,從0増加到°):(3) 逐

13、漸減小荷載回到0?，F(xiàn)考察A、B接觸面上某一點s的切向力q隨荷載Q的變化過程。當(dāng)0=0時，假定彳=0。隨著Q的增大，q也增犬，直到物體B發(fā)生滑動，此時q=-fP。,見圖5.3中的門點。q保持此值，直至Q=為止，此時，相應(yīng)的點為d接著，Q開始減小，從平衡的角度，q也減小，逐漸到零。由于這時0還未減小到零，q會繼續(xù)減小，實際上是改變符號，向相反方向增加，直到q=/P°5點)，當(dāng)0減小到零時，回到點G可以看出，由于接觸面滑動摩擦的存在，最終狀態(tài)I與初始狀態(tài)A)是不同的，說明切向接觸力是不可逆的。因此，凡是考慮接觸面切向摩擦力的接觸問題，都應(yīng)當(dāng)按復(fù)雜加載過程來研究，即通過增量的方式求解。對于不

14、考慮摩擦的可逆過程，是一種簡單加載過程，可以一步加載完成求解。5.3彈性接觸問題有限元基本方程和柔度法求解假設(shè)A、B是相互接觸的兩個物體，為了研究的方便，將它們分開，代之以接觸力PA和卩巧如圖5.4所示。然后建立各自的有限元支配方程：(5.15)Ka6a=ra+pa=Rh+PH式中，Ka、和用"分別是物體A的整體勁度矩陣、結(jié)點位移列陣和外荷載，Kb、力“和RB分別是物體E的整體勁度矩陣、結(jié)點位移列陣和外荷載。顯然，接觸力嚴(yán)和嚴(yán)都是增加的未知量，無法由式（5.15）求出，必須根據(jù)接觸面上接觸點對的相容條件確定。設(shè)A、E上的接觸點對為淬和廬（j=l,2,，加），假定勁度矩陣氐和血非奇異，

15、可求逆，則由式（5.15）得到接觸點的柔度方程時=工c：p：+工咖（5.16）、處分別為作用在物體A和E；=1*=1ntM那=工C；町+；=1*=1式中,i、j=,2，,川表示結(jié)點號，加是接觸點對數(shù)目，nA上外荷載的作用點數(shù)，和晴表示物體A和E上接觸點i的位移=k<剣P；'、P,是A和E上接觸點j的接觸力Pf=P-P-戊7R,、為A和B上結(jié)點k的外荷載r：=k<席=k朋咫C：、表示物體A和E上，由_/點的單位力引起的i點在;I、），、乙三個方向的位移，是一個3X3階的柔度矩陣。在列出相容條件，求解接觸問題之前，有兩個問題需要解決。首先是消除剛體位移的問題。因為得到方程（5.

16、16）的前提是氐和忌非奇異可求逆，也就是說物體A和E要有足夠的約束，不會發(fā)生剛體位移。但是有些接觸物問題中，可能會有某個物體由于約束不夠產(chǎn)生剛體位移，此時須對剛體位移進(jìn)行處理。以圖5.4中的物體A為例，假定它的約束不夠，則Ka為奇異矩陣，記為K；。引入虛rora+pa擬的約束，消除A的剛體位移，則(5.15)的第一式可改寫為(5.17)I0K(aKt其中，是與虛擬約束相應(yīng)的位移向量，/是單位矩陣。由上式得到(5.18)從式(5.18)導(dǎo)岀物體A上接觸點的柔度方程mn.A列(Al,2,，川)(5.19)y=lA=1Ft是與剛體位移相應(yīng)的柔度矩陣。第二個問題是，要將上述整體坐標(biāo)系下的量轉(zhuǎn)化到接觸面

17、的局部坐標(biāo)系oxyz。接觸點位移和接觸力在不同坐標(biāo)系下的表達(dá)式有以卜的關(guān)系PA=T；P-列=T：(A、B)(5.20)AA式中，7；是結(jié)點i的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，P：、為分別是接觸面局部坐標(biāo)系卞，結(jié)點/的接觸力和位移。將式(5.20)代入式(5.19),得(521)其中，Cij=rcrj,Cik=TfC,Fi=TFi.同樣，將式(5.20)代入式(5.16)的第二式，得B啟一BB啟一B口<5/=工5Pj+(5.22)y=ia=i以卜將針對三類接觸條件建立相應(yīng)的相容方程。(1) 連續(xù)邊界根據(jù)前面的連續(xù)邊界條件(5.9),可以建立接觸點的位移相容方程6,0(5.23)厶。是第i個接觸點對在局部坐標(biāo)

18、系下的初始間隙。將(5.21)和(5.22)代入(5.23),并4w注意有Pj=Pj=Pj,可得j+FycJ1=Ri<5/o(5.24)式中,(5.25)兀=丈0次一丈況心(5.26)（2）滑動邊界接觸面局部坐標(biāo)系方向的位移仍然滿足式（5.23）,但在切平面的I和亍方向，接觸力的合力己經(jīng)達(dá)到摩擦極限，按照Mohi-Coulomb定律，則有(5.27)（3）自由邊界(5.28)Pj=0以上建立的相容方程，為原來的有限元支配方程增加了3加個補(bǔ)充方程，以求解3川個增加的未知接觸力巴0=1，2,，加）。在建立相容方程時，必須知道接觸狀態(tài)，而接觸狀態(tài)事先也是未知的，因此這是一個迭代求解的過程。一般

19、先假定為連續(xù)接觸狀態(tài)，按式（5.24）建立全部接觸點的相容方程，求出接觸力后，驗證接觸條件是否滿足連續(xù)接觸，若是則不作修改：若為滑動狀態(tài)，就用式（5.27）來代替這個接觸點在I和亍兩個方向相應(yīng)的方程；若是自由狀態(tài)，就用式（5.28）替換這個接觸點的所有相應(yīng)方程。這樣通過反復(fù)迭代，就可以求得真正的接觸力和相應(yīng)的相容方程。5.2.4相容方程的增量形式對于具有滑動摩擦的接觸問題，由于接觸過程的不可逆，需要采用増量方式加載、假定分級加載的次數(shù)為小，在進(jìn)行第/級加載前已經(jīng)施加的混雜為尺£_和RJ,本級荷載增童為dR爲(wèi)和這樣式（5.24）就變成(5.29)ijPjj+Fi3=/?“Ao注意式中的各項有,PJJ=P+PjJ斤"丈況隅一丈況昭=*=1k=l切B"I4“_b心_4=C嘰一工“R爲(wèi)+工C：dR：-工dd瞄A=1*=1A=1A