廣東工業(yè)大學(xué)袁兵結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定

1、第十三章 結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定13-1 概述13-2 用靜力法確定臨界荷載13-3 具有彈性支座壓桿的穩(wěn)定13-4 用能量法確定臨界荷載13-5 變截面壓桿的穩(wěn)定13-6 剪力對(duì)臨界荷載的影響13-7 組合壓桿的穩(wěn)定13-8 彈性介質(zhì)上壓桿的穩(wěn)定13-9 圓環(huán)及拱的穩(wěn)定13-10 窄條梁的穩(wěn)定13-11 用矩陣位移法計(jì)算剛架的穩(wěn)定13-1 概 述結(jié)構(gòu)失穩(wěn)現(xiàn)象分為：第一類失穩(wěn)現(xiàn)象、第二類失穩(wěn)現(xiàn)象。結(jié)構(gòu)失穩(wěn)現(xiàn)象分為：第一類失穩(wěn)現(xiàn)象、第二類失穩(wěn)現(xiàn)象。 圖圖a所示理想中心受壓直桿。當(dāng)所示理想中心受壓直桿。當(dāng)F值達(dá)到值達(dá)到某一特定數(shù)值時(shí)，由于干擾壓桿發(fā)生微小彎某一特定數(shù)值時(shí)，由于干擾壓桿發(fā)生微小彎曲，取消干擾后

2、，壓桿將停留在彎曲位置上，曲，取消干擾后，壓桿將停留在彎曲位置上，不能回到原來(lái)的直線位置，如圖不能回到原來(lái)的直線位置，如圖b。 此時(shí)壓桿既具有原來(lái)只有軸力的直線平衡形此時(shí)壓桿既具有原來(lái)只有軸力的直線平衡形式，也具有新的同時(shí)受壓和受彎的彎曲平衡形式式，也具有新的同時(shí)受壓和受彎的彎曲平衡形式這種現(xiàn)象為壓桿這種現(xiàn)象為壓桿喪失了第一類穩(wěn)定性喪失了第一類穩(wěn)定性。分支點(diǎn)失穩(wěn)分支點(diǎn)失穩(wěn)13-1 概 述 圖圖a所示承受均布水壓力的圓環(huán)，當(dāng)壓所示承受均布水壓力的圓環(huán)，當(dāng)壓力達(dá)到臨界值力達(dá)到臨界值qcr時(shí)，出現(xiàn)了新的非圓的平衡時(shí)，出現(xiàn)了新的非圓的平衡形式。形式。 圖圖b所示承受均布荷載的所示承受均布荷載的拋物線拱

3、，圖拋物線拱，圖c 所示剛架，荷所示剛架，荷載達(dá)到臨界值之前處于受壓載達(dá)到臨界值之前處于受壓狀態(tài)，荷載達(dá)到臨界值時(shí)出狀態(tài)，荷載達(dá)到臨界值時(shí)出現(xiàn)同時(shí)具有壓縮和彎曲變形現(xiàn)同時(shí)具有壓縮和彎曲變形的新的平衡形式。的新的平衡形式。 圖圖c所示工字梁，荷載達(dá)到臨界值前僅所示工字梁，荷載達(dá)到臨界值前僅在復(fù)板平面內(nèi)彎曲，荷載達(dá)到臨界值時(shí)發(fā)生在復(fù)板平面內(nèi)彎曲，荷載達(dá)到臨界值時(shí)發(fā)生斜彎曲和扭轉(zhuǎn)。斜彎曲和扭轉(zhuǎn)。13-1 概 述喪失第一類穩(wěn)定性的特征：?jiǎn)适У谝活惙€(wěn)定性的特征：結(jié)構(gòu)的平衡形式及內(nèi)力和變形狀態(tài)發(fā)生質(zhì)的突變，結(jié)構(gòu)的平衡形式及內(nèi)力和變形狀態(tài)發(fā)生質(zhì)的突變，原有平衡形式已不穩(wěn)定，同時(shí)出現(xiàn)新的有質(zhì)的區(qū)別的平衡形式。

4、原有平衡形式已不穩(wěn)定，同時(shí)出現(xiàn)新的有質(zhì)的區(qū)別的平衡形式。 圖圖a所示由塑性材料制成所示由塑性材料制成的偏心受壓直桿，一開始就處的偏心受壓直桿，一開始就處于同時(shí)受壓和彎曲的狀態(tài)。當(dāng)于同時(shí)受壓和彎曲的狀態(tài)。當(dāng)F達(dá)到臨界值達(dá)到臨界值Fcr時(shí)，荷載不增時(shí)，荷載不增加或減小，撓度仍繼續(xù)增加如加或減小，撓度仍繼續(xù)增加如圖圖b喪失第二類穩(wěn)定性。喪失第二類穩(wěn)定性。極值點(diǎn)失穩(wěn)極值點(diǎn)失穩(wěn) 工程結(jié)構(gòu)實(shí)際上均屬于第二類穩(wěn)工程結(jié)構(gòu)實(shí)際上均屬于第二類穩(wěn)定問題。可將其簡(jiǎn)化為一類穩(wěn)定問題定問題?？蓪⑵浜?jiǎn)化為一類穩(wěn)定問題來(lái)處理。來(lái)處理。13-1 概 述確定臨界荷載的方法確定臨界荷載的方法靜力法靜力法應(yīng)用靜力平衡條件求解；應(yīng)用靜

5、力平衡條件求解；能量法能量法應(yīng)用以能量形式表示的平衡條件。應(yīng)用以能量形式表示的平衡條件。結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的自由度結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的自由度：為確定結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)所有可能的變形狀態(tài)：為確定結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)所有可能的變形狀態(tài) 所需的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目。所需的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目。 圖圖a所示所示支承在抗轉(zhuǎn)支承在抗轉(zhuǎn)彈簧上的剛彈簧上的剛性壓桿，確性壓桿，確定失穩(wěn)時(shí)變定失穩(wěn)時(shí)變形狀態(tài)的獨(dú)形狀態(tài)的獨(dú)立參數(shù)為立參數(shù)為1，只有只有一個(gè)自一個(gè)自由度由度。 圖圖b所示結(jié)所示結(jié)構(gòu)，則構(gòu)，則需兩個(gè)需兩個(gè)獨(dú)立參獨(dú)立參數(shù)，具數(shù)，具有有兩個(gè)兩個(gè)自由度自由度。 圖圖c所所示彈性壓示彈性壓桿，則需桿，則需無(wú)限多個(gè)無(wú)限多個(gè)獨(dú)立參數(shù)，獨(dú)立參數(shù)，具有具有無(wú)限無(wú)限多自由

6、度多自由度。13-2 用靜力法確定臨界荷載靜力法靜力法依據(jù)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)平衡的二重性，應(yīng)用靜力平衡條件，依據(jù)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)平衡的二重性，應(yīng)用靜力平衡條件， 求解結(jié)構(gòu)在新的形式下能維持平衡的荷載，其最小值求解結(jié)構(gòu)在新的形式下能維持平衡的荷載，其最小值 即為臨界荷載。即為臨界荷載。 圖圖a所示單自由度結(jié)構(gòu)，設(shè)壓桿偏所示單自由度結(jié)構(gòu)，設(shè)壓桿偏離豎直位置時(shí)仍處于平衡狀態(tài)如圖離豎直位置時(shí)仍處于平衡狀態(tài)如圖b。由由MA=0有有0sinkFl0當(dāng)當(dāng) 時(shí)上式滿足，對(duì)應(yīng)原有的平衡形式時(shí)上式滿足，對(duì)應(yīng)原有的平衡形式位移很小時(shí)可認(rèn)為位移很小時(shí)可認(rèn)為sin故有故有0)(kFl穩(wěn)定方程或特征方程穩(wěn)定方程或特征方程0對(duì)于新的平衡

7、形式，對(duì)于新的平衡形式， 則有則有0kFl13-2 用靜力法確定臨界荷載由穩(wěn)定方程解得由穩(wěn)定方程解得lkF cr結(jié)構(gòu)處于隨遇平衡狀態(tài)，如圖結(jié)構(gòu)處于隨遇平衡狀態(tài)，如圖c中的中的AB段。段。sinlkF 若采用精確的方程則有若采用精確的方程則有若只求臨界荷載，可采用近似方程求解。若只求臨界荷載，可采用近似方程求解。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 與與F的數(shù)值仍是一一對(duì)應(yīng)的數(shù)值仍是一一對(duì)應(yīng)的，如圖的，如圖c中的中的AC段。段。0n個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)對(duì)新的平衡形式列出對(duì)新的平衡形式列出n個(gè)平衡方程個(gè)平衡方程n個(gè)獨(dú)立參數(shù)的齊次方程個(gè)獨(dú)立參數(shù)的齊次方程系數(shù)行列式系數(shù)行列式D=0的條的條件件建立穩(wěn)定方程建立穩(wěn)定

8、方程n個(gè)根中的最小值為個(gè)根中的最小值為臨界荷載臨界荷載13-2 用靜力法確定臨界荷載例例13-1 試求圖試求圖a所示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。兩抗移彈性支座的剛所示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。兩抗移彈性支座的剛 度均為度均為k。解：結(jié)構(gòu)有兩個(gè)自由度，失穩(wěn)時(shí)解：結(jié)構(gòu)有兩個(gè)自由度，失穩(wěn)時(shí)A、 B點(diǎn)的位移如圖點(diǎn)的位移如圖b。設(shè)位移是微小的，由設(shè)位移是微小的，由MB=0，MC=0020)(211112lkylkyFylkyyyF即即)a (0)2(0)(2121klyyFklFyyFkly1、y2不全為零，則應(yīng)有不全為零，則應(yīng)有0)2()(klFklFFkl展開展開0)(322klklFF解得解得klklklF382. 0

9、618. 2253臨界荷載臨界荷載klF382. 0cr13-2 用靜力法確定臨界荷載由由(a)式不能求得式不能求得y1、y2的確定解答，但可以求出兩者的比值。的確定解答，但可以求出兩者的比值。將將klF253代回代回(a)式可得式可得618. 0535112yy相應(yīng)的位移圖如圖相應(yīng)的位移圖如圖c。將將klF253代回代回(a)式可得式可得618. 1535112yy相應(yīng)的位移圖如圖相應(yīng)的位移圖如圖d。實(shí)際結(jié)構(gòu)必先以圖實(shí)際結(jié)構(gòu)必先以圖d的形式失穩(wěn)，圖的形式失穩(wěn)，圖c只是理論上存在。只是理論上存在。13-2 用靜力法確定臨界荷載 圖圖a所示一端固定另一端鉸支的等截面中心受壓彈性直所示一端固定另一

10、端鉸支的等截面中心受壓彈性直桿，設(shè)其已處于新的曲線平衡形式，則任一截面的彎矩為桿，設(shè)其已處于新的曲線平衡形式，則任一截面的彎矩為)(SxlFFyM撓曲線的近似微分方程為撓曲線的近似微分方程為)(SxlFFyMyEI )(SxlEIFyEIFy 令令EIFn 2)(S22xlFFnyny 微分方程的通解為微分方程的通解為)(sincosSxlFFnxBnxAy邊界條件為邊界條件為0000ylxyyx，代入通解得代入通解得0sincos00nlBnlAFFBnlFFASS(b) 方程方程(b)是關(guān)于是關(guān)于A、B、FS/F的齊次方程組，的齊次方程組，A=B=FS/F=0時(shí)時(shí)滿足，此時(shí)各點(diǎn)位移滿足，此

11、時(shí)各點(diǎn)位移y均為零。對(duì)新的平衡形式要求三者不全均為零。對(duì)新的平衡形式要求三者不全為零，方程為零，方程(b)的系數(shù)行列式應(yīng)為零，得穩(wěn)定方程為的系數(shù)行列式應(yīng)為零，得穩(wěn)定方程為13-2 用靜力法確定臨界荷載00sincos1001nlnlnl展開展開nlnl tan此超越方程圖解法求解，如圖此超越方程圖解法求解，如圖b。nly 1nlytan2與與 交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。最交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。最小根小根nl在在3/24.7左側(cè)附近，試算左側(cè)附近，試算求得準(zhǔn)確解。求得準(zhǔn)確解。493. 4nl求得臨界荷載值為求得臨界荷載值為EIlEIlEInF222cr19.20493. 413-3 具有彈性

12、支座的壓桿穩(wěn)定 圖圖a所示剛架，所示剛架，AB桿上端鉸支；下桿上端鉸支；下端不能移動(dòng)但可轉(zhuǎn)端不能移動(dòng)但可轉(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)受動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)受BC桿桿的彈性約束，可用的彈性約束，可用抗轉(zhuǎn)彈簧表示，如抗轉(zhuǎn)彈簧表示，如圖圖b?？罐D(zhuǎn)彈簧剛度抗轉(zhuǎn)彈簧剛度k1：使梁：使梁BC的的B端發(fā)生單位轉(zhuǎn)端發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)所需的力矩。由圖角時(shí)所需的力矩。由圖c可得可得1113lEIk 圖圖b所示壓桿失穩(wěn)時(shí)，所示壓桿失穩(wěn)時(shí)，由由MB=0可得可得lklMF111S13-3 具有彈性支座的壓桿穩(wěn)定壓桿撓曲線的平衡微分方程為壓桿撓曲線的平衡微分方程為)(SxlFFyyEI 令令EIFn 2)(112xlEIlkyny 通解為通解為)(s

13、incos11xlFlknxBnxAy式中三個(gè)未知常數(shù)式中三個(gè)未知常數(shù)A、B、1邊界條件為邊界條件為0001ylxyyx，可建立可建立0sincos0101111nlBnlAFlkBnFkAA、B和和 不能全為零，則不能全為零，則 100sincos) 1(00111nlnlFlknFk穩(wěn)穩(wěn)定定方方程程k1給定給定nl 最小正根最小正根Fcr21)(1tannllkEInlnlk1=0時(shí)時(shí)sinnl =0：兩端鉸支：兩端鉸支k1=時(shí)時(shí)tannl =nl：一端鉸支一端固定一端鉸支一端固定13-3 具有彈性支座的壓桿穩(wěn)定穩(wěn)定方程為穩(wěn)定方程為EIlknlnl1tan穩(wěn)定方程為穩(wěn)定方程為333)(ta

14、nlknlEInlnl一端彈性固定一端彈性固定另一端自由的壓桿另一端自由的壓桿一端固定另一端有一端固定另一端有抗移彈簧支座的壓桿抗移彈簧支座的壓桿13-3 具有彈性支座的壓桿穩(wěn)定兩端各有一抗轉(zhuǎn)彈簧，上端有一抗移彈簧的壓桿如圖兩端各有一抗轉(zhuǎn)彈簧，上端有一抗移彈簧的壓桿如圖c按靜力法導(dǎo)出穩(wěn)定方程為按靜力法導(dǎo)出穩(wěn)定方程為01cossin00sincos1013121133223FknlnnlnkkkFklkFknFknlnlFkFlk彈性支座壓桿穩(wěn)定方程的一般形式彈性支座壓桿穩(wěn)定方程的一般形式其他各種特殊情況的穩(wěn)定方程均可由此推求。其他各種特殊情況的穩(wěn)定方程均可由此推求。13-3 具有彈性支座的壓桿

15、穩(wěn)定例例13-2 試求圖試求圖a所示剛架的臨界荷載。所示剛架的臨界荷載。解：此為對(duì)稱剛架承受正對(duì)稱荷載，其失穩(wěn)形式為正對(duì)稱解：此為對(duì)稱剛架承受正對(duì)稱荷載，其失穩(wěn)形式為正對(duì)稱 的如圖的如圖b或反對(duì)稱的如圖或反對(duì)稱的如圖c。13-3 具有彈性支座的壓桿穩(wěn)定正對(duì)稱失穩(wěn)時(shí)，取半結(jié)構(gòu)計(jì)算如圖正對(duì)稱失穩(wěn)時(shí)，取半結(jié)構(gòu)計(jì)算如圖d。 立柱為下端鉸支上端彈性固定的壓桿，立柱為下端鉸支上端彈性固定的壓桿，彈性固定端的抗轉(zhuǎn)剛度為彈性固定端的抗轉(zhuǎn)剛度為lEIik4211試算法解得最小正根為試算法解得最小正根為nl=3.83求得穩(wěn)定方程為求得穩(wěn)定方程為 41tan2nlnlnl臨界荷載為臨界荷載為22cr67.14lEI

16、EInF13-3 具有彈性支座的壓桿穩(wěn)定反對(duì)稱失穩(wěn)時(shí)，取半結(jié)構(gòu)計(jì)算如圖反對(duì)稱失穩(wěn)時(shí)，取半結(jié)構(gòu)計(jì)算如圖e。 立柱為上端彈性固定，上下兩端有相對(duì)立柱為上端彈性固定，上下兩端有相對(duì)側(cè)移而無(wú)水平反力。彈性固定端的抗轉(zhuǎn)剛度側(cè)移而無(wú)水平反力。彈性固定端的抗轉(zhuǎn)剛度為為lEIik12611求得穩(wěn)定方程為求得穩(wěn)定方程為12tannlnl試算法解得最小正根為試算法解得最小正根為nl=1.45臨界荷載為臨界荷載為22cr10. 2lEIEInF結(jié)構(gòu)以反對(duì)稱形式失穩(wěn)，臨界荷載為結(jié)構(gòu)以反對(duì)稱形式失穩(wěn)，臨界荷載為22cr10. 2lEIEInF13-4 用能量法確定臨界荷載勢(shì)能駐值原理：對(duì)于彈性結(jié)構(gòu)，在滿足支承條件及位移

17、連續(xù)條勢(shì)能駐值原理：對(duì)于彈性結(jié)構(gòu)，在滿足支承條件及位移連續(xù)條件件 的一切虛位移中，同時(shí)又滿足平衡條件的位移的一切虛位移中，同時(shí)又滿足平衡條件的位移 （就是真實(shí)的位移）使結(jié)構(gòu)的勢(shì)能（就是真實(shí)的位移）使結(jié)構(gòu)的勢(shì)能EP為駐值，為駐值，即即0PEVVEPV結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能；結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能； V外力勢(shì)能。外力勢(shì)能。外力勢(shì)能定義為外力勢(shì)能定義為niiiFV1 Fi 結(jié)構(gòu)上的外力結(jié)構(gòu)上的外力i 與外力相應(yīng)的虛位移與外力相應(yīng)的虛位移有限自由度結(jié)構(gòu)有限自由度結(jié)構(gòu)所有可能的位移狀態(tài)只用有限個(gè)獨(dú)立參數(shù)所有可能的位移狀態(tài)只用有限個(gè)獨(dú)立參數(shù)a1，a2，an即可表示，即可表示，EP只是這有限個(gè)獨(dú)立參數(shù)的函數(shù)。只是這有限個(gè)獨(dú)立參

18、數(shù)的函數(shù)。單自由度結(jié)構(gòu)單自由度結(jié)構(gòu)EP只是參數(shù)只是參數(shù)a1的一元函數(shù)，勢(shì)能的變分為的一元函數(shù)，勢(shì)能的變分為11PPddaaEE 結(jié)構(gòu)處于平衡時(shí)結(jié)構(gòu)處于平衡時(shí)0PE1a是任意的是任意的0dd1PaE故故13-4 用能量法確定臨界荷載0dd1PaE由由可建立穩(wěn)定方程以求解臨界荷載。可建立穩(wěn)定方程以求解臨界荷載。多自由度結(jié)構(gòu)勢(shì)能的變分為多自由度結(jié)構(gòu)勢(shì)能的變分為nnaaEaaEaaEEP22P11PP由由EP=0及及a1， a2， ，an的任意性，必須有的任意性，必須有000P2P1PnaEaEaE 由此獲得一組含由此獲得一組含a1， a2， ，an的齊次線性代數(shù)的齊次線性代數(shù)方程，要使方程，要使a1

19、， a2， ，an不全為零，則此方程組的不全為零，則此方程組的系數(shù)行列式應(yīng)為零系數(shù)行列式應(yīng)為零建立穩(wěn)定方程建立穩(wěn)定方程確定臨界荷載。確定臨界荷載。13-4 用能量法確定臨界荷載例例13-3 圖圖a所示壓桿所示壓桿EI為無(wú)窮大，上端水平彈簧的剛度為為無(wú)窮大，上端水平彈簧的剛度為k， 試確定其臨界荷載。試確定其臨界荷載。解：?jiǎn)巫杂啥冉Y(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)發(fā)生微小的偏解：?jiǎn)巫杂啥冉Y(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)發(fā)生微小的偏 離如圖離如圖b。lylylllyllyll221112122121221212彈簧的應(yīng)變能為彈簧的應(yīng)變能為21112121kyykyV外力勢(shì)能為外力勢(shì)能為212ylFFV結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為21P2ylFkl

20、VVE若圖若圖b結(jié)構(gòu)能維持平衡則有結(jié)構(gòu)能維持平衡則有0dd11PylFklyEy10，故，故0 Fkl臨界荷載為臨界荷載為klF cr13-4 用能量法確定臨界荷載例例13-4 用能量法求圖用能量法求圖a所示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。所示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。解：結(jié)構(gòu)具有兩個(gè)自由度，失穩(wěn)時(shí)發(fā)生解：結(jié)構(gòu)具有兩個(gè)自由度，失穩(wěn)時(shí)發(fā)生 圖圖b所示位移。所示位移。結(jié)構(gòu)處于平衡時(shí)結(jié)構(gòu)處于平衡時(shí)22212121kykyV結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為lyylyFFV2)(221222)2(2)(21222121PyFklyFyyFkllVVE0)2(10)(1212P211PyFklFylyEFyyFkllyEy1、y2不能全為

21、零不能全為零0)2()(FklFFFkl13-4 用能量法確定臨界荷載03222lkklFF展開整理得展開整理得klklklF382. 0618. 2253解得解得klF382. 0cr最小值為臨界荷載最小值為臨界荷載 圖示彈性壓桿為無(wú)限自由度結(jié)構(gòu)，失穩(wěn)圖示彈性壓桿為無(wú)限自由度結(jié)構(gòu)，失穩(wěn)時(shí)發(fā)生彎矩變形，應(yīng)變能為：時(shí)發(fā)生彎矩變形，應(yīng)變能為：lxEIMV02d21yEIM 2代入代入將將 lxyEIV02d)(21xyyxyxxyxxsd)(21 1)(211 d 1)(1(dd)(1ddd222122任一微段任一微段ds與其投影與其投影dx之差為之差為此式沿桿長(zhǎng)此式沿桿長(zhǎng)l積分得積分得lxy02

22、d)(2113-4 用能量法確定臨界荷載外力勢(shì)能為外力勢(shì)能為lxyFFV02d)(2結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為 llxyFxyEIVVE0202Pd)(2d)(21撓曲線撓曲線y是未知的，它可以看作無(wú)限多個(gè)獨(dú)立參數(shù)。是未知的，它可以看作無(wú)限多個(gè)獨(dú)立參數(shù)。EP是撓曲線函數(shù)是撓曲線函數(shù)y的函數(shù)，即是一個(gè)泛函，的函數(shù)，即是一個(gè)泛函，EP=0是求泛函是求泛函極值的問題極值的問題變分問題。變分問題。瑞利瑞利-李茲法李茲法：將無(wú)限自由度近似簡(jiǎn)化為有限自由度。：將無(wú)限自由度近似簡(jiǎn)化為有限自由度。設(shè)設(shè) a)()()()(12211niiinnxaxaxaxay)(xi滿足位移邊界條件的已知函數(shù)滿足位移邊界條件的

23、已知函數(shù)ia任意參數(shù)任意參數(shù)結(jié)構(gòu)所有變形狀態(tài)由結(jié)構(gòu)所有變形狀態(tài)由a1，a2，an所確定，簡(jiǎn)化為所確定，簡(jiǎn)化為n個(gè)自由度。個(gè)自由度。13-4 用能量法確定臨界荷載如果在如果在(1)式中只取一項(xiàng)：式中只取一項(xiàng)：是簡(jiǎn)化為單自由度求解。是簡(jiǎn)化為單自由度求解。)(11xay通常取某一橫向荷載作用下的撓曲線作為失穩(wěn)時(shí)的近似撓曲線通常取某一橫向荷載作用下的撓曲線作為失穩(wěn)時(shí)的近似撓曲線例例13-5 試求圖試求圖a所示兩端鉸支等截面壓桿的臨界荷載。所示兩端鉸支等截面壓桿的臨界荷載。解：撓曲線函數(shù)只取一項(xiàng)，即簡(jiǎn)化為單自由度解：撓曲線函數(shù)只取一項(xiàng)，即簡(jiǎn)化為單自由度 結(jié)構(gòu)計(jì)算。結(jié)構(gòu)計(jì)算。(1) 設(shè)撓曲線為正弦曲線設(shè)撓

24、曲線為正弦曲線lxaysin顯然顯然y滿足位移邊界條件滿足位移邊界條件234024d)(21alEIxyEIVl 22024d)(2FalxyFVl結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為2234P44aFllEIVVE13-4 用能量法確定臨界荷載022dd234PaFllEIaE而而a0，故有，故有022234FllEI得得22crlEIF 與精確解相同，特殊情形。與精確解相同，特殊情形。(2) 設(shè)撓曲線為拋物線設(shè)撓曲線為拋物線)(422xlxlay滿足位移邊界條件滿足位移邊界條件230232d)(21alEIxyEIVl 20238d)(2FalxyFVl23P3832aFllEIVVE0ddPaE由由

25、和和a0，可求得，可求得2cr12lEIF 誤差達(dá)誤差達(dá)21.6%。13-4 用能量法確定臨界荷載(3) 圖圖b所示撓曲線作為近似曲線所示撓曲線作為近似曲線)20()43()1216(3332SlxlxlxaxxlEIFy2320224d)(22alEIxyEIVl 2202512d)(22FalxyFVl23P51224aFllEIVVE0ddPaE由由和和a0，可求得，可求得2cr10lEIF 誤差僅為誤差僅為1.3%。13-4 用能量法確定臨界荷載例例13-6 試求圖示壓桿的臨界荷載。試求圖示壓桿的臨界荷載。解：按兩個(gè)自由度計(jì)算，查表取級(jí)數(shù)的解：按兩個(gè)自由度計(jì)算，查表取級(jí)數(shù)的 前兩項(xiàng)前兩

26、項(xiàng))()(3221xlxaxlxay)35351152(2)52484(2227216215225214213PalaalalFalaalalEIE0dd0ddPPaEaE，a1、a2不全為零應(yīng)有不全為零應(yīng)有2cr92.20lEIF 整理得整理得0)353524()1014(0)1014()1524(23122312aFlEIlaFlEIaFlEIlaFlEI03535241014101415243232FlEIlFlEIFlEIlFlEI022401282222lEIFlEIF比精確解大比精確解大3.6%。13-4 用能量法確定臨界荷載例例13-7 試求圖試求圖a所示等截面豎直壓桿在自重作用

27、下的臨界荷載。所示等截面豎直壓桿在自重作用下的臨界荷載。解：壓桿承受的是均布荷載。解：壓桿承受的是均布荷載。 如圖如圖b，微段，微段ds的轉(zhuǎn)角為的轉(zhuǎn)角為y(x)，微段以上部分的豎向位移為微段以上部分的豎向位移為xyxyxxsd)(21d)(1ddd22 微段以上部分荷載微段以上部分荷載FS=q(l-x)在此位移上作功為在此位移上作功為xyxlqd)(21)(2外力勢(shì)能為外力勢(shì)能為lxyxlqV02d)(21查表取三角級(jí)數(shù)的前兩項(xiàng)有查表取三角級(jí)數(shù)的前兩項(xiàng)有l(wèi)xalxay23cos12cos12113-4 用能量法確定臨界荷載qaaaaxyxlqVl2222121202324943324d)(21

28、322421402648164d)(21lEIaaxyEIVl 222342121234P324964814332464aqlEIaqaaqlEIE0164932814304316432223412P212341PaqlEIqaaEqaaqlEIaE13-4 用能量法確定臨界荷載a1、a2不全為零應(yīng)有不全為零應(yīng)有016493281434316432234234qlEIqqqlEI整理得整理得05576.7505915.106382413. 12332lEIqlEIq方程的最小根即為臨界荷載方程的最小根即為臨界荷載3cr838. 7lEIq此問題的精確解為此問題的精確解為3cr837. 7lEI

29、q13-5 變截面壓桿的穩(wěn)定工程中變截面壓桿的類型：階形桿，工程中變截面壓桿的類型：階形桿， 截面慣性矩按冪函數(shù)連續(xù)變化。截面慣性矩按冪函數(shù)連續(xù)變化。 圖圖a為一階形直桿，以為一階形直桿，以y1、y2分分別表示壓桿失穩(wěn)時(shí)上、下兩部分的別表示壓桿失穩(wěn)時(shí)上、下兩部分的撓度，如圖撓度，如圖b。兩部分的平衡微分。兩部分的平衡微分方程為方程為)()(222111yFyEIyFyEI 通解為通解為xnBxnAyxnBxnAy2222211111sincossincos式中式中2211EIFnEIFn，是五個(gè)未知常數(shù)。是五個(gè)未知常數(shù)。、2211BABA邊界條件邊界條件 00)2(00) 1 (22yxyx，

30、2121)4()3(yylxylx，212)5(yylx ，13-5 變截面壓桿的穩(wěn)定由邊界條件由邊界條件(1)、(2)可得可得)cos1 (02222xnyBA，將將y2和和y1代入邊界條件代入邊界條件(3)、(4) 、(5)可得齊次方程組可得齊次方程組0sincossin0cossincos0sincos22221112111222112111111lnnlnnBlnnAlnlnBlnAlnBlnA穩(wěn)定方程為穩(wěn)定方程為0sincossincossincos0sincos2212212122212111lnnnlnlnlnlnlnlnln展開整理得展開整理得212211tantannnlnl

31、n給出給出I1/I2和和l1/l2時(shí)才能求解時(shí)才能求解13-5 變截面壓桿的穩(wěn)定當(dāng)柱頂承受當(dāng)柱頂承受F1，在截面突變處承受，在截面突變處承受F2作用時(shí)，可推得穩(wěn)定方程為作用時(shí)，可推得穩(wěn)定方程為 ) c (tantan121212211FFFnnlnln2212111EIFFnEIFn，式中式中給出給出I1/I2、l1/l2和和F1/F2時(shí)才能求解。時(shí)才能求解。如圖所示壓桿如圖所示壓桿1221125nEIFFnEIFn，穩(wěn)定方程穩(wěn)定方程(c)成為成為3tan112ln最小根為最小根為311ln可得臨界荷載為可得臨界荷載為212121cr4lEIEInF13-5 變截面壓桿的穩(wěn)定 圖圖a所示壓桿的

32、截面慣性矩按冪函數(shù)變化，任一截面的所示壓桿的截面慣性矩按冪函數(shù)變化，任一截面的慣性矩為慣性矩為 mxaxII1I1柱頂截面慣性矩柱頂截面慣性矩I2柱底截面慣性矩柱底截面慣性矩malaII12有有1e)/ln(112IImla不同的不同的m值對(duì)應(yīng)不同形狀的桿件值對(duì)應(yīng)不同形狀的桿件 如圖如圖b，具有直線外形的圓形截面或正方形截面的實(shí)心壓，具有直線外形的圓形截面或正方形截面的實(shí)心壓桿，桿，m=4。13-5 變截面壓桿的穩(wěn)定 如圖如圖c，具有直線外形由四個(gè)截面，具有直線外形由四個(gè)截面不變的角鋼組成的組合壓桿，不變的角鋼組成的組合壓桿，m=2。圖圖b、圖、圖c兩種情況兩種情況圖圖d所示壓桿，所示壓桿，m

33、=2時(shí)微分方程為時(shí)微分方程為112hhlaFyyaxEI 21或或0221 FyyxaEI變系數(shù)微分方程變系數(shù)微分方程令令t=lnx0dddd1222yEIFatyty常系數(shù)方程常系數(shù)方程令令4112EIFak解為解為tiktikBAy2121ee13-5 變截面壓桿的穩(wěn)定)lncos()lnsin(axkBaxkAxy將將t=lnx代入代入邊界條件邊界條件0)2(0) 1 (ylaxyax，由條件由條件(1)：B=0由條件由條件(2)得穩(wěn)定方程為得穩(wěn)定方程為kk2)ln2tan(若若已知，可用試算法解出已知，可用試算法解出k的最小根，進(jìn)而求得臨界荷載的最小根，進(jìn)而求得臨界荷載Fcr。m=4時(shí)

34、微分方程為時(shí)微分方程為041 FyyaxEI令令142EIFa024 yyx解為解為xBxAxysincos邊界條件邊界條件0)2(0) 1 (ylaxyax，導(dǎo)出穩(wěn)定方程為導(dǎo)出穩(wěn)定方程為alaalalatan1tantanlaa令令13-6 剪力對(duì)臨界荷載的影響設(shè)設(shè)yM和和yS分別表示彎矩和剪力影響所產(chǎn)生的撓度，總的撓度為分別表示彎矩和剪力影響所產(chǎn)生的撓度，總的撓度為SMyyy對(duì)對(duì)x求二階導(dǎo)數(shù)可得曲率的近似公式求二階導(dǎo)數(shù)可得曲率的近似公式彎矩引起的曲率彎矩引起的曲率為為EIMxy2M2dd2S22M222ddddddxyxyxy 如圖如圖a、b，先求由剪力引起的，先求由剪力引起的桿軸切線的附

35、加轉(zhuǎn)角桿軸切線的附加轉(zhuǎn)角 。xyddSGAFkSxMGAkGAFkxyddddSS從而有從而有222S2ddddxMGAkxy撓曲線微分方程為撓曲線微分方程為2222ddddxMGAkEIMxy對(duì)圖對(duì)圖a所示結(jié)構(gòu)所示結(jié)構(gòu)yFMFyM 可求得可求得yGAkFEIFyy 13-6 剪力對(duì)臨界荷載的影響撓曲線方程可寫為撓曲線方程可寫為0)1 ( FyyGAkFEI令令)1 (2GAkFEIFm微分方程的通解為微分方程的通解為mxBmxAysincos邊界條件邊界條件0)2(0) 1 (ylxyax，導(dǎo)出穩(wěn)定方程為導(dǎo)出穩(wěn)定方程為0sinml最小正根最小正根ml可得可得E2222cr11FlEIlEIG

36、AkF22ElEIF 歐拉臨界荷載歐拉臨界荷載修正系數(shù)修正系數(shù)GkGAkFlEIGAkEE22111111E 歐拉臨界應(yīng)力歐拉臨界應(yīng)力13-6 剪力對(duì)臨界荷載的影響設(shè)壓桿由鋼材制成，取設(shè)壓桿由鋼材制成，取E為比例極限為比例極限MPa200PE切變彈性模量切變彈性模量G=80GPa，則有，則有4001EGGkE11在實(shí)體桿件中，剪力影響很小，通?？陕匀?。在實(shí)體桿件中，剪力影響很小，通?？陕匀ァ?3-7 組合壓桿的穩(wěn)定 組合壓桿通常由兩個(gè)型鋼用若干聯(lián)結(jié)件組合壓桿通常由兩個(gè)型鋼用若干聯(lián)結(jié)件相聯(lián)組成，聯(lián)結(jié)件的形式有：綴條式，綴板相聯(lián)組成，聯(lián)結(jié)件的形式有：綴條式，綴板式。如圖式。如圖a、b。 當(dāng)組合壓桿

37、的節(jié)間數(shù)目較多時(shí)，其臨界當(dāng)組合壓桿的節(jié)間數(shù)目較多時(shí)，其臨界荷載可用實(shí)體壓桿的公式計(jì)算。即荷載可用實(shí)體壓桿的公式計(jì)算。即 對(duì)式中對(duì)式中k/GA需另行處理，以反映聯(lián)需另行處理，以反映聯(lián)結(jié)件的影響。結(jié)件的影響。GAk單位剪力作用下的剪切角。單位剪力作用下的剪切角。用用代替式中的代替式中的k/GA即可。即可。E2222cr11FlEIlEIGAkF(d)13-7 組合壓桿的穩(wěn)定1、綴條式組合壓桿、綴條式組合壓桿 綴條通常采用單根角鋼，其截面較小，綴條通常采用單根角鋼，其截面較小，其兩端可視為鉸結(jié)?，F(xiàn)取出一個(gè)節(jié)間來(lái)分其兩端可視為鉸結(jié)?，F(xiàn)取出一個(gè)節(jié)間來(lái)分析，如圖。析，如圖。d11tan位移位移lEAF21

38、N11綴條的橫桿綴條的橫桿11NF綴條的斜桿綴條的斜桿cos1NF桿長(zhǎng)桿長(zhǎng)sindtandb 桿長(zhǎng)桿長(zhǎng)tan1cossin1P2q11AAEd因而因而tan1cossin11P2qAAE13-7 組合壓桿的穩(wěn)定E1P2qEEcrtan1cossin11FAAEFFFAd主要桿件的截面積；主要桿件的截面積；Id 主要桿件的截面對(duì)其本身形心軸的慣性矩，近似認(rèn)為其主要桿件的截面對(duì)其本身形心軸的慣性矩，近似認(rèn)為其 形心軸到形心軸到z軸的距離為軸的距離為b/2。2dd212bAII當(dāng)斜桿與橫桿當(dāng)斜桿與橫桿EA相同相同=45時(shí)，有時(shí)，有183. 211E1EAF斜桿的影響斜桿的影響橫桿的影響橫桿的影響用用

39、代替代替(d)式中的式中的k/GA，即得，即得13-7 組合壓桿的穩(wěn)定斜桿比橫桿對(duì)臨界荷載的影響更大，略去橫桿的影響，則斜桿比橫桿對(duì)臨界荷載的影響更大，略去橫桿的影響，則2qEEcrcossin211AEFFFAq一根斜桿的截面積。一根斜桿的截面積。設(shè)設(shè)2q22cossin211AlI臨界荷載寫成歐拉問題的基本形式臨界荷載寫成歐拉問題的基本形式22cr)(lEIFr兩主要桿件的截面對(duì)整個(gè)截面形心軸兩主要桿件的截面對(duì)整個(gè)截面形心軸z的回轉(zhuǎn)半徑。的回轉(zhuǎn)半徑。2d2rAI 一般一般=3060，設(shè)長(zhǎng)細(xì)比，設(shè)長(zhǎng)細(xì)比=l/r，可得，可得2qd271AA換算長(zhǎng)細(xì)比換算長(zhǎng)細(xì)比qd2h27AArl鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范中推

40、薦的公式鋼結(jié)構(gòu)規(guī)范中推薦的公式13-7 組合壓桿的穩(wěn)定2、綴板式組合壓桿、綴板式組合壓桿 組合壓桿采用綴板聯(lián)結(jié)時(shí)，綴板與主要桿件的聯(lián)結(jié)可視為組合壓桿采用綴板聯(lián)結(jié)時(shí)，綴板與主要桿件的聯(lián)結(jié)可視為剛結(jié)。近似認(rèn)為主要桿件的反彎點(diǎn)在節(jié)間中間，剪力平均分配剛結(jié)。近似認(rèn)為主要桿件的反彎點(diǎn)在節(jié)間中間，剪力平均分配于兩主要構(gòu)件。取圖于兩主要構(gòu)件。取圖a所示部分分析。所示部分分析。由圖由圖b所示彎矩圖圖乘得所示彎矩圖圖乘得b2d321111224dEIbdEIdEIsMbd2111224EIbdEIdd13-7 組合壓桿的穩(wěn)定2dbd212bAEIII 節(jié)間長(zhǎng)度節(jié)間長(zhǎng)度d增加，修正系數(shù)增加，修正系數(shù)2減小。一般情

41、況下綴板的剛減小。一般情況下綴板的剛度很大，近似取度很大，近似取EIb=，則，則用用代替代替(d)式中的式中的k/GA，即得，即得E2Ebd2Ecr12241FFEIbdEIdFFd222EEd2EEcr241241IlIdFFEIdFFF整個(gè)組合桿件的截面慣性矩整個(gè)組合桿件的截面慣性矩 整個(gè)組合桿件的長(zhǎng)細(xì)比；整個(gè)組合桿件的長(zhǎng)細(xì)比；d一根主要桿件在一個(gè)節(jié)間內(nèi)的長(zhǎng)細(xì)比。一根主要桿件在一個(gè)節(jié)間內(nèi)的長(zhǎng)細(xì)比。dd,rdrl13-7 組合壓桿的穩(wěn)定22dEd2d2d222Ecr83. 012421FArlArdFF近似地以近似地以1代替代替0.83則有則有E2d22crFF相應(yīng)的長(zhǎng)度系數(shù)為相應(yīng)的長(zhǎng)度系數(shù)

42、為22d2換算長(zhǎng)細(xì)比為換算長(zhǎng)細(xì)比為2d2hrl規(guī)范中確定綴板組合壓桿長(zhǎng)細(xì)比的公式規(guī)范中確定綴板組合壓桿長(zhǎng)細(xì)比的公式可得可得13-8 彈性介質(zhì)上壓桿的穩(wěn)定 支承于彈性介質(zhì)上的壓桿由于失穩(wěn)發(fā)生彎曲時(shí)，彈性介支承于彈性介質(zhì)上的壓桿由于失穩(wěn)發(fā)生彎曲時(shí)，彈性介質(zhì)將對(duì)它產(chǎn)生分布反力。如圖所示。質(zhì)將對(duì)它產(chǎn)生分布反力。如圖所示。 采用采用文克勒假定文克勒假定：分布反力的集度：分布反力的集度q與撓度與撓度y成正比，即成正比，即kyq k基床系數(shù)基床系數(shù)能量法能量法設(shè)撓曲線為設(shè)撓曲線為lxmaysin壓桿彎曲時(shí)的應(yīng)變能為壓桿彎曲時(shí)的應(yīng)變能為42340214d)(2malEIxyEIVl 彈性介質(zhì)的應(yīng)變能為彈性介質(zhì)

43、的應(yīng)變能為202024d2)d(21aklxykyxkyVll荷載勢(shì)能為荷載勢(shì)能為222024d)(212malFxyFVl13-8 彈性介質(zhì)上壓桿的穩(wěn)定因因VVVE21P并有并有0ddPaE022222434amlFklmlEI可得可得a不能為零，故有不能為零，故有EImklmlEIF444222(e)半波數(shù)半波數(shù)m的確定條件的確定條件 必須是大于零的整數(shù)，否則不能滿足兩端鉸支的邊界條件。必須是大于零的整數(shù)，否則不能滿足兩端鉸支的邊界條件。 (2) 應(yīng)使特征荷載應(yīng)使特征荷載F值為最小。值為最小。13-8 彈性介質(zhì)上壓桿的穩(wěn)定F與與m的關(guān)系曲線如圖所示的關(guān)系曲線如圖所示由極值條件由極值條件0d

44、dmF可得可得EIklm(f)F雖為極小，但雖為極小，但m不一定是整數(shù)。不一定是整數(shù)。 取按取按(f)式算出的式算出的m值的鄰近整數(shù)值的鄰近整數(shù)mi和和mi+1，代入式，代入式(e)求求F，取其較小者為臨界荷載，取其較小者為臨界荷載Fcr。 k/EI愈大，愈大，m值愈大。即介質(zhì)與桿件的剛度比愈大時(shí)，值愈大。即介質(zhì)與桿件的剛度比愈大時(shí)，壓干失穩(wěn)時(shí)撓曲線的半波數(shù)愈多。壓干失穩(wěn)時(shí)撓曲線的半波數(shù)愈多。 k=0時(shí)取時(shí)取m=1，與無(wú)介質(zhì)的兩端鉸支壓桿的結(jié)果相符。，與無(wú)介質(zhì)的兩端鉸支壓桿的結(jié)果相符。13-8 彈性介質(zhì)上壓桿的穩(wěn)定 半穿式桁架橋的上弦桿在各結(jié)點(diǎn)處受到斜桿傳來(lái)的壓力半穿式桁架橋的上弦桿在各結(jié)點(diǎn)處

45、受到斜桿傳來(lái)的壓力Dicos如圖如圖a，壓力由跨中向兩端逐漸增大。，壓力由跨中向兩端逐漸增大。 上弦桿失穩(wěn)時(shí)將離開原桁架平面發(fā)生側(cè)向彎曲，從而受上弦桿失穩(wěn)時(shí)將離開原桁架平面發(fā)生側(cè)向彎曲，從而受到起橫向聯(lián)結(jié)系作用的剛架的抵抗。如圖到起橫向聯(lián)結(jié)系作用的剛架的抵抗。如圖b。 將上弦桿看作在各結(jié)點(diǎn)處具有彈性支座，在兩端處為剛性將上弦桿看作在各結(jié)點(diǎn)處具有彈性支座，在兩端處為剛性鉸支座。計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖鉸支座。計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖c。13-8 彈性介質(zhì)上壓桿的穩(wěn)定 若將上弦桿看作是支承于連續(xù)彈性介質(zhì)上的壓桿，則介質(zhì)若將上弦桿看作是支承于連續(xù)彈性介質(zhì)上的壓桿，則介質(zhì)的基床系數(shù)可表示為的基床系數(shù)可表示為d節(jié)間長(zhǎng)度；節(jié)間長(zhǎng)

46、度；FR0結(jié)點(diǎn)側(cè)向位移為結(jié)點(diǎn)側(cè)向位移為1時(shí)彈性支座的反力。時(shí)彈性支座的反力。dFkR01R0F由圖由圖d221323EIbhEIhI1、h豎桿的慣性矩和長(zhǎng)度豎桿的慣性矩和長(zhǎng)度I2、b橫梁的慣性矩和長(zhǎng)度橫梁的慣性矩和長(zhǎng)度 作用在各結(jié)點(diǎn)處的集中力作用在各結(jié)點(diǎn)處的集中力Dicos近似地用三角形分布荷載近似地用三角形分布荷載代替，如圖代替，如圖e?？傻每傻?213R0231EIbhEIhF)2(0 xllqqx13-8 彈性介質(zhì)上壓桿的穩(wěn)定能量法計(jì)算能量法計(jì)算壓桿彎曲時(shí)的應(yīng)變能為壓桿彎曲時(shí)的應(yīng)變能為xyEIVld)(2021 彈性介質(zhì)的應(yīng)變能為彈性介質(zhì)的應(yīng)變能為lxykV022d2x處微段處微段ds傾

47、斜時(shí)引起的位移為傾斜時(shí)引起的位移為xyxsd)(21dd2使該微段以右（使該微段以右（l-x）長(zhǎng)度上的外力作功為）長(zhǎng)度上的外力作功為xyxllqxxllqxylxd)(2(2d )2(d)(212002推得外力勢(shì)能為推得外力勢(shì)能為xyxlxlqVld)( )(220013-8 彈性介質(zhì)上壓桿的穩(wěn)定采用三角級(jí)數(shù)表示撓曲線采用三角級(jí)數(shù)表示撓曲線lxiayisin求得臨界壓力的近似值，為便于實(shí)用將臨界壓力寫為求得臨界壓力的近似值，為便于實(shí)用將臨界壓力寫為22cr0)(4lEIlq式中長(zhǎng)度系數(shù)式中長(zhǎng)度系數(shù)與比值與比值 有關(guān)，可查表有關(guān)，可查表13-3。EIkl4結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為結(jié)構(gòu)的勢(shì)能為xyxlxlqx

48、ykxyEIVVVEllld)( )(2d2d)(2200020221P 13-9 圓環(huán)及拱的穩(wěn)定 在半徑為在半徑為R的等截面圓弧曲桿上取出長(zhǎng)為的等截面圓弧曲桿上取出長(zhǎng)為ds的微段的微段AB，其失穩(wěn)后的位置為其失穩(wěn)后的位置為AB，如圖，如圖(a)。EIMRRR11 設(shè)設(shè)A、B兩點(diǎn)的環(huán)向位移分別為兩點(diǎn)的環(huán)向位移分別為u、u+du，徑向位移分別為，徑向位移分別為w、w+dw。如圖。如圖b。 曲率的改變與彎曲率的改變與彎矩之間的關(guān)系如下矩之間的關(guān)系如下 彎矩彎矩M以使曲率以使曲率減小為正，上式可為減小為正，上式可為EIMssddddd即即EIMsdd13-9 圓環(huán)及拱的穩(wěn)定當(dāng)僅發(fā)生環(huán)向位移時(shí)如圖當(dāng)僅

49、發(fā)生環(huán)向位移時(shí)如圖c，兩截面相對(duì)轉(zhuǎn)角為，兩截面相對(duì)轉(zhuǎn)角為RuRuRuuddd1當(dāng)僅發(fā)生徑向位移時(shí)如圖當(dāng)僅發(fā)生徑向位移時(shí)如圖d，兩截面相對(duì)轉(zhuǎn)角為，兩截面相對(duì)轉(zhuǎn)角為sswswsswsswddddddddddddd22213-9 圓環(huán)及拱的穩(wěn)定故有故有sswRuddddddd2221軸向變形忽略不計(jì)，應(yīng)有軸向變形忽略不計(jì)，應(yīng)有0ddwuIdddd122EMswsuR可得可得得得wudd代代入入Idd222EMswRw有有用位移用位移w和彎矩和彎矩M表達(dá)的平衡微分方程表達(dá)的平衡微分方程或或MEIRww222dd(g)13-9 圓環(huán)及拱的穩(wěn)定 圓形曲桿承受均布徑向荷載圓形曲桿承受均布徑向荷載q時(shí)，失穩(wěn)前

50、只承受軸力，時(shí)，失穩(wěn)前只承受軸力，彎矩和剪力均為零，取微段彎矩和剪力均為零，取微段ds如圖如圖(a)所示。所示。由平衡條件由平衡條件qRF0N失穩(wěn)后微段的受力如圖失穩(wěn)后微段的受力如圖(b)所示所示其軸力為其軸力為N0NNFFF由隔離體的平衡方程得由隔離體的平衡方程得SNSSNddddddFsMqRRFsFRRFsF13-9 圓環(huán)及拱的穩(wěn)定將將FN0、FN、ds=Rd代入上式有代入上式有SNNSSSNdd)(ddd)d(RFMRqFRRRqFRFFRRRFF將上式整理消去將上式整理消去FN和和FS可得可得0dd1dd333MEIqRM(h)將將(g)式代入式代入(h)式可得式可得0dddd1dd

51、dd3333355wwEIqRww(i)彎矩與位移之間的微分關(guān)系彎矩與位移之間的微分關(guān)系以位移以位移w和荷載和荷載q表達(dá)的圓形曲桿彎曲平衡微分方程表達(dá)的圓形曲桿彎曲平衡微分方程13-9 圓環(huán)及拱的穩(wěn)定令令EIqRn321則式則式(i)的一般解可表示為的一般解可表示為由式由式(g)有有nAnAAAAwcossincossin54321(j)nnAnnAAAAAusincossincos543210(k)cos)1 (sin)1 (252412nnAnnAAREIM(m) 對(duì)具體問題，根據(jù)邊界條件寫出含積分常數(shù)對(duì)具體問題，根據(jù)邊界條件寫出含積分常數(shù)A0A5的齊次的齊次代數(shù)方程，其系數(shù)行列式應(yīng)為零代

52、數(shù)方程，其系數(shù)行列式應(yīng)為零穩(wěn)定方程穩(wěn)定方程求解臨界荷載。求解臨界荷載。13-9 圓環(huán)及拱的穩(wěn)定 圓環(huán)承受均布水壓力時(shí)的失穩(wěn)情況如圖所示。顯然其解圓環(huán)承受均布水壓力時(shí)的失穩(wěn)情況如圖所示。顯然其解答應(yīng)是以答應(yīng)是以2為周期的函數(shù)。應(yīng)有為周期的函數(shù)。應(yīng)有將式將式(j)代入上式有代入上式有)2()0(ww2cos2sin5431531nAnAAAAAA題意要求題意要求12cos0,2sinnn可推得可推得32) 1(REInq應(yīng)取應(yīng)取n=2，可得，可得q的最小值即臨界荷載為的最小值即臨界荷載為3cr3REIq13-9 圓環(huán)及拱的穩(wěn)定兩鉸圓拱的失穩(wěn)形式有反對(duì)稱和正對(duì)稱兩種，如圖兩鉸圓拱的失穩(wěn)形式有反對(duì)稱和

53、正對(duì)稱兩種，如圖a、b所示。所示。 反對(duì)稱失穩(wěn)時(shí)，反對(duì)稱失穩(wěn)時(shí)，w和和M應(yīng)為應(yīng)為的奇函數(shù)，由式的奇函數(shù)，由式(m)有有邊界條件邊界條件=，M=0，可得，可得nnAREIMsin)1 (2420sinn),2,1 ,0(kkn取取q的最小正值為臨界荷載，的最小正值為臨界荷載，k=1有有可推得可推得3222) 1(REIkq322cr) 1(REIq=/2時(shí)時(shí)qcr的值與圓環(huán)的臨界荷載相同的值與圓環(huán)的臨界荷載相同13-9 圓環(huán)及拱的穩(wěn)定 正對(duì)稱失穩(wěn)時(shí)，正對(duì)稱失穩(wěn)時(shí)，w和和M應(yīng)為應(yīng)為的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， u應(yīng)為應(yīng)為的奇函的奇函數(shù)，故有數(shù)，故有nAAAwcoscos431cos)1 (2512nnAA

54、REIMnnAAAusinsin531邊界條件邊界條件=，u=0，M=0，可建立穩(wěn)定方程，可建立穩(wěn)定方程0sin1sincos)1 (01coscos12nnnnn展開得展開得tan)(tan33nnnn給定給定解出解出n 求得臨界荷載。計(jì)算表明：求得臨界荷載。計(jì)算表明：對(duì)于兩鉸圓拱，臨界荷載是反對(duì)稱時(shí)的臨界荷載。對(duì)于兩鉸圓拱，臨界荷載是反對(duì)稱時(shí)的臨界荷載。13-9 圓環(huán)及拱的穩(wěn)定無(wú)鉸圓拱的最小臨界荷載發(fā)生于反對(duì)稱失穩(wěn)情況下；無(wú)鉸圓拱的最小臨界荷載發(fā)生于反對(duì)稱失穩(wěn)情況下；三鉸圓拱的最小臨界荷載發(fā)生于正對(duì)稱失穩(wěn)情況下。三鉸圓拱的最小臨界荷載發(fā)生于正對(duì)稱失穩(wěn)情況下。各種圓拱的臨界荷載可表示為各種圓

55、拱的臨界荷載可表示為31crlEIKq式中：式中：l跨度；跨度；K1與高跨比與高跨比f(wàn)/l有關(guān)的系數(shù)，可查表。有關(guān)的系數(shù)，可查表。 拋物線拱在豎向均布荷載作用下的穩(wěn)定問題很復(fù)雜，拋物線拱在豎向均布荷載作用下的穩(wěn)定問題很復(fù)雜，采用數(shù)值積分法求解，其臨界荷載也可表示為采用數(shù)值積分法求解，其臨界荷載也可表示為32crlEIKq系數(shù)系數(shù)K2查表可得。查表可得。13-10 窄條梁的穩(wěn)定 圖圖a所示狹長(zhǎng)矩形截面梁，兩端簡(jiǎn)支處截面可繞所示狹長(zhǎng)矩形截面梁，兩端簡(jiǎn)支處截面可繞z、y軸轉(zhuǎn)動(dòng)。軸轉(zhuǎn)動(dòng)。兩端作用一對(duì)兩端作用一對(duì)xy平面內(nèi)的力偶。平面內(nèi)的力偶。v、w梁失穩(wěn)時(shí)任一截面形心的豎向位移、側(cè)向水平位移，與梁失穩(wěn)

56、時(shí)任一截面形心的豎向位移、側(cè)向水平位移，與 坐標(biāo)軸一致為正。坐標(biāo)軸一致為正。 截面繞截面繞x軸的轉(zhuǎn)角，右手螺旋規(guī)則。如圖軸的轉(zhuǎn)角，右手螺旋規(guī)則。如圖b、c所示。所示。13-10 窄條梁的穩(wěn)定xyz截面新位置形心處的坐標(biāo)系；截面新位置形心處的坐標(biāo)系；x沿梁軸的切線方向；沿梁軸的切線方向；y、z截面的兩主軸。截面的兩主軸?？山⒎匠炭山⒎匠蘂It截面抗扭剛度；截面抗扭剛度； It截面抗扭二次矩。截面抗扭二次矩。)63. 01 (33thbhbIh、b矩形截面的高度、寬度。矩形截面的高度、寬度。取隔離體如圖取隔離體如圖dxyyzzMxGIMxwEIMxvEIddddddt2222(n)將將M沿沿y

57、、z向分解向分解MMMxwMMMxcosddsinMMMMMMzycossin將以上將以上Mi代入式代入式(n)得得13-10 窄條梁的穩(wěn)定xwMxGIEIMxwEIEIMxvyyzddddddddt2222整理得整理得0ddt222GIEIMxy命命(o)t22GIEIMny則有則有0dd222nx一般解為一般解為nxBnxAcossin邊界條件邊界條件000，lxx得得B=00sinnlA穩(wěn)定方程為穩(wěn)定方程為0sinnl 最小正根為最小正根為nl=，代入式，代入式(o)得臨界彎矩為得臨界彎矩為yyEIGIlEIMtcr13-11 用矩陣位移法計(jì)算剛架的穩(wěn)定壓桿單元壓桿單元：?jiǎn)卧治鲋锌紤]軸

58、力對(duì)彎矩變形的影響。：?jiǎn)卧治鲋锌紤]軸力對(duì)彎矩變形的影響。 圖示一等截面壓桿，兩端壓力為圖示一等截面壓桿，兩端壓力為F，桿端之間無(wú)荷載。不，桿端之間無(wú)荷載。不計(jì)軸向變形，桿端位移和桿端力列向量可表示為計(jì)軸向變形，桿端位移和桿端力列向量可表示為T4321TeeeeejejeieievvT4321TSSeeeeejejeieieFFFFMFMFF13-11 用矩陣位移法計(jì)算剛架的穩(wěn)定假設(shè)桿件的撓曲線為假設(shè)桿件的撓曲線為32)(DxCxBxAxy邊界條件邊界條件eeeeyyxyyx4321l0，求出求出A、B、C、D代入上式代入上式eeeelxlxlxlxlxlxxlxlxxy42323332222

59、3213322)()23()2()231 ()(可寫為可寫為)()(41xxyiiei232433221232233221)(23)(2)(231)(lxlxxlxlxxlxlxxxlxlxx，式中式中分別表示分別表示 所引起的撓曲線。未考慮軸向力的影響，是近似的。所引起的撓曲線。未考慮軸向力的影響，是近似的。1ei13-11 用矩陣位移法計(jì)算剛架的穩(wěn)定單元的總勢(shì)能為單元的總勢(shì)能為 4102410241410202QPPd)(2d)(21d)(2d)(21ieieiliieiliieiieieillFxxFxxEIFxyFxyEIVVVE由勢(shì)能駐值原理，體系平衡時(shí)由勢(shì)能駐值原理，體系平衡時(shí))4

60、321(0P，iEei式中式中可得可得)4321(PQ，iVVVeieiei 410041P410041Qdd)()(dd)()(jljiejlijjejeijjilejlijjejeieieixFxxxFVxEIxxxEIVFV13-11 用矩陣位移法計(jì)算剛架的穩(wěn)定壓桿單元的剛度方程為壓桿單元的剛度方程為)4321(4141，iskFjejijjejijei(p)式中式中4)321j4321(dd00，；， ixFsxEIkljiijjilij式式(p)寫成矩陣形式寫成矩陣形式eeeeeeeeeeeesssssssssssssssskkkkkkkkkkkkkkkkFFFF4321444342