大學(xué)物理——振動和波

1、1第四章第四章振振 動動 和波和波24-1 簡諧振動 簡諧振動機械振動：物體在它的平衡位置附近所作的往復(fù)運動。 如聲源的振動、鐘擺的擺動等。kl0 xmoAA0 , 0Fx彈簧振子的振動3物體發(fā)生簡諧振動的條件：物體受到始終指向平衡位置的回復(fù)力；物體具有慣性。水平光滑面，彈簧勁度 k，質(zhì)量可忽略，物體質(zhì)量 m 。以物體受力為零的平衡位置為坐標(biāo)原點O物體在任一位置受的彈性力：kxFkl0 xmoAA4makxFxtx222ddmk2令xa2)sin(ddtAtx)cos(dd222tAtxa)cos(tAxkl0 xmoAA積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定5tx圖t圖ta圖TAA2A2AxatttAA

2、oooTT)cos(tAx0取2T)2cos(tA)sin(tA)cos(2tA)cos(2tAa6 周期、振幅和相位)cos(tAx2T周期：21T頻率：T22圓頻率：)(cosTtAkmT2彈簧振子周期周期和頻率僅與振動系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)注 意7振幅：物體在振動過程中離開平衡位置的最大位移的絕對值。 描述了振動物體往返運動的范圍和幅度。kEA2決定因素：振動系統(tǒng)的總能量初始條件00 , , 0 xxtsin , cos 00AAx8sincos00AAx22020 xA00tanx) cos( tx A振幅，圓頻率，初相位是描述簡諧振動的三個特征量。對給定振動系統(tǒng)，圓頻率由系統(tǒng)本身性質(zhì)

3、決定，振幅和初相位由初始條件決定。注 意9 旋轉(zhuǎn)矢量法1. 存在一一對應(yīng)的關(guān)系;),(vxt202. 相位在 內(nèi)變化，質(zhì)點無相同的運動狀態(tài)； 3. 初相位 描述質(zhì)點初始時刻的運動狀態(tài). ) 0( t20 ( 取 或 )對于一個給定的簡諧振動，通常用相位來描述 t 時刻振動物體的運動狀態(tài)，而不用時間來描述。旋轉(zhuǎn)矢量的長度 A 為投影點簡諧振動的振幅；它的轉(zhuǎn)動角速度為簡諧振動的圓頻率；它在 t 時刻與 x 軸的夾角是相位。10彈簧振子的能量：動能：)sin(tA)(sin21212222tmAmEkmk/2)(sin2122tkA勢能：選原長處為勢能零點)cos(tAx)(cos2121222tk

4、AkxEp總機械能：221kAEEpk4-2 簡諧振動的能量11例4-1 一根質(zhì)量為 m 、長度為 l 的均勻細(xì)棒懸掛在水平軸 O 點，如圖所示，開始棒在垂直位置 OO ，處于平衡位置，將棒拉開微小角度后放手，棒將在重力矩作用下，繞 O 點在豎直平面內(nèi)來回擺動，若不計棒與軸的摩擦力和空氣阻力，棒將擺動不止，試證明在擺角很小的情況下，細(xì)棒擺動為簡諧振動，并求其振動周期。mgCOO解：根據(jù)22ddtIIM231mlI 已知：M?12mgCOO以逆時針轉(zhuǎn)向為正方向sin21mglM222dd31tmlJMmgl21023dd22lgt0dd222xtx故細(xì)棒擺動為簡諧振動glT3222lg232令1

5、3例4-2 如圖所示的水平彈簧振子，設(shè)彈簧勁度系數(shù) k = 1.6Nm-1，物體質(zhì)量 m = 0.4kg ，今把物體向右拉至距平衡位置 0.1m 處，并給以一向右的初速度。大小為 0.2ms-1，然后放手，試求物體在放手后第 3s 末的運動狀態(tài)。kl0 xmoAA解：要確定運動狀態(tài)，應(yīng)首先建立物體的運動方程建立如圖坐標(biāo)系，rad/s2mk14kl0 xmoAArad/s2題設(shè)初始條件：m/s2 . 0 , m1 . 000 x0022020tanxxAm14. 0141 , 43150sin0cos00AAx41 , 4341m14. 0 rad/s,2 A物體振動方程：)42cos(14.

6、0txs3t時：m07. 0)46cos(14. 0 xm/s25. 0)46sin(14. 0216例 4-3 有兩個完全相同的彈簧振子 A 和 B，并排的放在光滑的水平面上，測得它們的周期都是 2s ，現(xiàn)將兩個物體從平衡位置向右拉開 5cm，然后先釋放 A 振子，經(jīng)過 0.5s 后，再釋放 B 振子，如圖所示，如以 B 釋放的瞬時作為時間的起點，（1）分別寫出兩個物體的振動方程；（2）它們的相位差是多少？分別畫出它們的 xt 圖。xOcm517解： （1）振動方程初始條件s2 , 0 , m05. 000Txrad/s 2 Tm05. 022020 xA0tan00 xB對B振子：0 B振

7、動方程：txB cos05. 018振動方程：)2 cos(05. 0txA2BA（2） 相位差：tOxBA對A振子：初相位25 . 0tA194-3 簡諧振動的合成 兩個同方向同頻率的簡諧振動的合成11A1xxOAx2x2A2)cos()cos(222111tAxtAx質(zhì)點參與了兩個同頻率的簡諧振動合成后：)cos()cos( 221121tAtAxxx2011A1xxOAx2x2A222112211coscossinsintanAAAA)cos(212212221AAAAA21xxx)cos(tAx兩個同方向同頻率簡諧運動合成后仍為簡諧運動。合成初相 與計時起始時刻有關(guān)。分振動初相差 與計

8、時起始時刻無關(guān)，但它對合成振幅是相長還是相消合成起決定作用。1221xxtoo)cos()(21tAAx21221kAAA1A2AT1. 相位差212k), 2 1 0( ，k)cos(212212221AAAAAA討 論22xxtoo221AAA)2/3cos()(12tAAx)cos(212212221AAAAAT2A21AA2. 相位差) 12(12k) , 1 0( ，k)2/3cos()/2cos(2211tAxtAx233.一般情況2121AAAAA1.相位差21AAA212k)10( ， k相互加強相互削弱21AAA2.相位差) 12(12k)10( ， k總 結(jié)240ta0Tx

9、0 +x1+x3+x5t0T方波： x1t0 x3t0 x5t0ta0 / 20 x0 x2n = 0 , n = 1 , 2 , 3 , 奇次諧波疊加成方波254-5 簡諧波 惠更斯原理振動的傳播過程稱為波動 波源帶動彈性媒質(zhì)中與其相鄰的質(zhì)點發(fā)生振動，振動相繼傳播到后面各相鄰質(zhì)點，其振動時間和相位依次落后。 波動現(xiàn)象是媒質(zhì)中各質(zhì)點運動狀態(tài)的集體表現(xiàn)，各質(zhì)點仍在其各自平衡位置附近作振動。產(chǎn)生機械波的必要條件：波源作機械振動的物體；媒質(zhì)能夠傳播機械振動的彈性媒質(zhì)。26在機械波中，橫波只能在固體中出現(xiàn)；縱波可在氣體、液體和固體中出現(xiàn)?？諝庵械穆暡ㄊ强v波。液體表面的波動情況較復(fù)雜，不是單純的縱波或橫

10、波。在波傳播方向上相位差為2的兩點之間的距離，它反映了波動的空間周期性，與介質(zhì)有關(guān)。F 波的周期 T一定的振動相位向前傳播一個波長距離所需要的時間。F 波長27單位時間內(nèi)波前進距離中所包含的完整波的數(shù)目。F 波速 u一定的振動相位在一介質(zhì)中傳播的速度，它與波長、周期的關(guān)系是：TuT1uF 波的頻率28波動過程的幾何描述F 波面 波動空間中振動相位相同的點所聯(lián)成的面。F 波前 在波傳播方向上最前面的那個波面。（波陣面）F 惠更斯原理 波所到達的每一點都可看作發(fā)射次級子波 的波源，新的波陣面就是這些次級子波波 陣面的包跡。F 波線 表示波傳播方向的射線，波線恒與波面垂直。波 前波 面波 線平面波球

11、面波29簡諧波的一個重要模型是平面簡諧波。平面簡諧波的波面是平面，有確定的波長和傳播方向，波列足夠長，各質(zhì)點振動的振幅恒定。簡諧波又稱余弦波或正弦波，是規(guī)律最簡單、最基本的波。各種復(fù)雜的波都可以看作是許多不同頻率的簡諧波的疊加。 簡諧波30一列平面簡諧波（假定是橫波）波沿 x 軸正向傳播（正向行波）uy0 xxP如何描述任意時刻 t 、波線上距原點為 x 的任一點 P 的振動規(guī)律？已知振動狀態(tài)以速度 u 沿 x 軸正向傳播 。對應(yīng)同一時刻 t ，P點的振動狀態(tài)與原點在時刻 的振動狀態(tài)相同。設(shè)位于原點0處質(zhì)點的振動方程為)cos(0tAy)(uxt 31因此，在設(shè)定坐標(biāo)系中，波線上任一點、任意時

12、刻的振動規(guī)律為)(cosuxtAy這就是沿 x 軸正向傳播的平面簡諧波動方程。它是時間和空間的雙重周期函數(shù)。同一時刻，沿 x 軸正向，波線上各質(zhì)點的振動相位依次落后。同一時刻，沿 x 軸正向，波線上各質(zhì)點的振動相位依次超前。F 波沿 x 軸正向傳播F 波沿 x 軸負(fù)向傳播32利用u22T和考慮到波的兩種傳播方向，平面簡諧波波動方程標(biāo)準(zhǔn)形式為：)(2cos)(2cos)(cos)2cos(xtAyxTtAyuxtAyxtAy33例4-5 一平面簡諧波波動方程為試求：（1）波的振幅、頻率、波速和波長；（2）x1=0.2 m處質(zhì)元在t1=1.0 s時的運動狀態(tài)；（3）此運動狀態(tài)在t2=1.5 s時傳

13、到波線上哪一點？)410cos(05. 0 xty解：（1）將波動方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式)5 . 2(10cos05. 0)(cosxtuxtAy故：振幅0.05m頻率5Hz波速2.5m/s波長0.5m34（2） x1=0.2 m處質(zhì)元，t1=1.0 s時相位2 . 9410),(1111xttx運動狀態(tài)位移：速度：),(cos11txAy),(sin11txAm04. 0sm /92. 0說明質(zhì)元此時位于 y 軸負(fù)向0.04m處，以速度0.92m/s的速度向 y 軸正向運動。35（3） t1=1.0 s ，t2=1.5 s此段時間內(nèi)傳播距離為：mmtux25. 15 . 05 . 2已知 x1=0

14、.2 mmxxx45. 11在t2=1.5 s時傳到波線上1.45m處36能量 = 動能 + 勢能當(dāng)機械波在媒質(zhì)中傳播時，媒質(zhì)中各質(zhì)點均在其平衡位置附近振動，因而具有振動動能；同時，介質(zhì)發(fā)生彈性形變，因而具有彈性勢能。 波的能量和能流質(zhì)元的動能、勢能：)(sind21dd222uxtVAEEpk質(zhì)元的總能量：)(sindddd222uxtVAEEEpk37a.體積元在平衡位置時，動能、勢能和總機械能均最大。b. 體積元的位移最大時，三者均為零。1. 在波動傳播的媒質(zhì)中，任一體積元的動能、勢能、總機 械能均隨 x，t 作周期性變化，且變化是同相位的。討 論)(sindd222uxtVAE2. 任

15、一體積元都在不斷地接收和放出能量，即不斷地傳播 能量。任一體積元的機械能不守恒。波動是能量傳遞的 一種方式。38能量密度：單位體積介質(zhì)中的波動能量。)(sindd222uxtAVWw平均能量密度：能量密度在一個周期內(nèi)的平均值。22021d1AtwTwT能流：單位時間內(nèi)垂直通過某一面積的能量。uAuwI2221平均能流密度：39頻率相同、振動方向平行、相位相同或相位差恒定的兩列波相遇時，使某些地方振動始終加強，而使另一些地方振動始終減弱的現(xiàn)象，稱為波的干涉現(xiàn)象。能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的波稱為相干波，其波源稱為相干波源。1.頻率相同；2. 振動方向平行；3. 相位相同或相位差恒定。波的相干條件： 4-6 波的干涉40波源的振動方程)cos()cos(222111tAytAy)2cos()2cos(22221111rtAyrt