選修2-1直線的方向向量與平面的法向量及平行和垂直ppt課件

1、淮陽一高高二B段數(shù)學(xué)組：楊留杰 直線與平面垂直的斷定定理：向量證明直線與平面垂直的斷定定理：向量證明由線線垂直可以得到線面垂直由線線垂直可以得到線面垂直YXZABCD1A1B1C1DEF練習(xí)：練習(xí)： 在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1 中中 E、F分別分別是是 BB1 、CD 的中點(diǎn)的中點(diǎn) ，求證：，求證：D1F 平面平面ADE 由線線垂直可以得到線面垂直，再由線面垂直又可以得到線線垂直。平面的斜線、斜線在平面內(nèi)的射影平面的斜線、斜線在平面內(nèi)的射影PAB圖圖1圖圖2如圖如圖2，不垂直，不垂直,思索：平面的斜線在平面內(nèi)的射影是什么圖形？思索：平面的斜線在平面內(nèi)的射影是什么圖形？答案：仍是一

2、條直線答案：仍是一條直線BA直線直線PA-叫做平面叫做平面的斜線；的斜線；點(diǎn)點(diǎn)A叫做斜足叫做斜足.線段線段PA叫做斜線段叫做斜線段.證明：PA 平面PABmPAPBm PBmBAmm平面PAB性質(zhì)定理斷定定理性質(zhì)定理線面垂直線線垂直線面垂直線線垂直三垂線定理：三垂線定理： 在平面內(nèi)的一條直線，假設(shè)在平面內(nèi)的一條直線，假設(shè)和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直直，那么它也和這條斜線垂直一面一面平面平面根底平面根底平面 ；四線四線PB 的垂線，的垂線， PA斜線，斜線，BA射影，射影， m 內(nèi)的直線內(nèi)的直線三垂直三垂直PB m, BA m, PA m故稱

3、“三垂線定理一面四線三垂直一面四線三垂直 直線a 一定要在平面內(nèi)，假設(shè) a 不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。PAOa例如：當(dāng) b 時(shí)， 那么 bOA留意：定理中“在平面內(nèi)的條件不能去掉。b但但 b不垂直于不垂直于OP 線影垂直線影垂直線線垂直線線垂直PAOaPAOa平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆命題思索題：想一想？如圖，如圖，PA 垂直于以垂直于以AB為直徑的圓平面，為為直徑的圓平面，為圓上任一點(diǎn)異于，試判別圖中共有圓上任一點(diǎn)異于，試判別圖中共有幾個(gè)直角三角形，并闡明理由。幾個(gè)直角三角形，并闡明理由。OCBAP研討 從今天開場

4、,我們將進(jìn)一步來領(lǐng)會(huì)向量這一工具在立體幾何中的運(yùn)用.為了用向量的方法研討空間的線面位置關(guān)系，我為了用向量的方法研討空間的線面位置關(guān)系，我們首先要知道如何用向量來描寫直線和平面的們首先要知道如何用向量來描寫直線和平面的“方方向呢？向呢？1、直線的方向向量、直線的方向向量a le直線直線 上的非零向量上的非零向量 以及與以及與 共線的非零向量叫做直共線的非零向量叫做直線線 的方向向量的方向向量leel 給定一點(diǎn)給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量和一個(gè)向量 ,那么那么過點(diǎn)過點(diǎn)A,以向量以向量 為法向量的平面是為法向量的平面是完全確定的完全確定的.A平面的法向量：假設(shè)表示向量平面的法向量：假設(shè)表示向量 的有向線段所

5、在直線的有向線段所在直線垂直于平面垂直于平面 ，那么稱這個(gè)向量垂直于平面，那么稱這個(gè)向量垂直于平面 ,記作記作 ，假設(shè)，假設(shè) ，那，那 么么 向向 量量 叫做平面叫做平面 的法向的法向量量.a aa aa aa an a an n n n n n 幾點(diǎn)留意：幾點(diǎn)留意：1.法向量一定是非零向量法向量一定是非零向量;2.一個(gè)平面的一切法向量都一個(gè)平面的一切法向量都相互平行相互平行;3.向量向量 是平面的法向量，向是平面的法向量，向量量 是與平面平行或在平面是與平面平行或在平面內(nèi)，那么有內(nèi)，那么有0n m n m l2例例1 在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)直線在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)直線 經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn) ，直線

6、直線 的方向向量為的方向向量為 ， 是是直線直線 上恣意一點(diǎn)，求上恣意一點(diǎn)，求 滿足的關(guān)系式。滿足的關(guān)系式。lll),(000zyxP)0(),(CBACBAe),(zyxMzyx,練習(xí)練習(xí)設(shè)設(shè) 分別是分別是 的方向向量，判別的方向向量，判別 的位置關(guān)系的位置關(guān)系ba,21,ll21,ll)3 , 3 , 6(),4 , 1 , 2()3()0 , 4 , 0(),2 , 0 , 5()2()3 , 9, 6(),1, 3 , 2() 1 (bababa1111ABCDA B C D 1DB 1ACD例例2 在正方體在正方體中，求證：中，求證：是平面是平面的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量.待定系數(shù)法求

7、平面的法向量待定系數(shù)法求平面的法向量二二.立體幾何問題的類型及解法立體幾何問題的類型及解法 1.斷定直線、平面間的位置關(guān)系 (1)直線與直線的位置關(guān)系 不重合的兩條直線a,b的方向向量分別為a ,b. 假設(shè)ab,即a=b,那么ab. 假設(shè)ab,即ab = 0,那么abababl1l21e 2e 12/ll 1212/eeee l11e l22e 12ll12120eeee 例例2知平行六面體知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面的底面ABCD是菱形是菱形,C1CB=C1CD=BCD=,求證求證: C C1BDA1B1C1D1CBAD 證明：設(shè) a, b, c, 依題意有| a |=| b

8、 |， 于是 a b = c (a b)= ca cb = |c|a|cos|c|b| cos=0 C C1BDCDCB1CCBDCBCD 1CCBD (2)直線與平面的位置關(guān)系 直線L的方向向量為a,平面的法向量為n,且L . 假設(shè)an,即a =n,那么 L 假設(shè)an,即an = 0,那么a .nanaLLa al11n 1e 11/la a11110enen 11la aa a1n 1111/enen l1e 例例3棱長都等于棱長都等于2的正三棱柱的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分別是分別是AC,CC1的中點(diǎn)的中點(diǎn),求證求證: (1)A1E 平面平面DBC1; (2)AB1 平面平

9、面DBC1A1C1B1ACBEDzxy 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DB為y軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz.那么 A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2). 設(shè)平面DBC1的法向量為n=(x,y,z),那么 解之得 ， 取z = 1得n=(-2,0,1) (1) =- n,從而A1E 平面DBC1 (2) ,而 n =-2+0+2=0 AB1 平面DBC1330302yzx02yzx) 1, 0 , 2(1EA)2 , 3, 1 (1AB1AB (3)平面與平面的位置關(guān)系 平面的法向量為n1 ,平面的法向量為

10、n2 假設(shè)n1n2,即n1=n2,那么 假設(shè)n1n2,即n1 n2= 0,那么n2n1n1n21a a1n 2a a2n 12/aaaa1212/nnnn 1a a1n 2a a2n 12aaaa12110nnnn 例例4 正方體正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，E、F分別分別是是BB1、CD的中點(diǎn)的中點(diǎn),求證求證:平面平面AED平面平面A1FDzxyABCDFEA1B1C1D1 證明:以A為原點(diǎn)建立如下圖的的直角坐標(biāo)系A(chǔ)- xyz, 0202yzx021yzx平面平面AED平面平面A1FDn1 n2 = -2+0+2=0同理可得平面A1FD的法向量為n2=(2,0,1)取z=2得n1=

11、(-1,0,2)解得：設(shè)平面AED的法向量為n1=(x,y,z)得) 1 , 0 , 2(AE)0 , 2 , 0(AD于是 ，設(shè)：正方體的棱長為2,那么E(2,0,1),A1(0,0,2), F(1,2,0),D(0,2,0),穩(wěn)定性訓(xùn)練11.設(shè)設(shè) 分別是直線分別是直線l1,l2的方向向量的方向向量,根據(jù)根據(jù)下下 列條件列條件,判別判別l1,l2的位置關(guān)系的位置關(guān)系.ba,)3, 0 , 0(),1 , 0 , 0()3()2 , 3 , 2(),2, 2 , 1 ()2()6, 3, 6(),2, 1, 2() 1 (bababa平行平行垂直垂直平行平行穩(wěn)定性訓(xùn)練21.設(shè)設(shè) 分別是平面分別

12、是平面,的法向量的法向量,根據(jù)根據(jù) 以下條件以下條件,判別判別,的位置關(guān)系的位置關(guān)系.vu,)4, 1 , 3(),5 , 3, 2()3()4 , 4, 2(),2, 2 , 1 ()2()4 , 4, 6(),5 , 2 , 2() 1 (vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交1、設(shè)平面、設(shè)平面 的法向量為的法向量為(1,2,-2),平面平面 的法向量為的法向量為(-2,-4,k),假設(shè)假設(shè) ，那么，那么k= ；假設(shè)；假設(shè) 那么那么 k= 。2、知、知 ，且，且 的方向向量為的方向向量為(2,m,1)，平面的，平面的法向量為法向量為(1,1/2,2),那么那么m= .3、假設(shè)、假設(shè) 的方向向量為的方向向量為(2,1,m),平面平面 的法向量的法向量為為(1,1/2,2),且且