[經(jīng)濟(jì)學(xué)]14 隨機(jī)事件的獨(dú)立性ppt課件

1、數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計一、事件的相互獨(dú)立性一、事件的相互獨(dú)立性(一一) 兩個事件的獨(dú)立性兩個事件的獨(dú)立性由條件概率，知由條件概率，知)()()(BPABPBAP 一般地，一般地，)()(APBAP 這意味著：事件這意味著：事件B的發(fā)生對事件的發(fā)生對事件A發(fā)生的概發(fā)生的概率有影響率有影響. 然而，在有些情形下又會出現(xiàn)：然而，在有些情形下又會出現(xiàn)：)()(APBAP 1.4 隨機(jī)事件的獨(dú)立性數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計,.,),23(5取取到到綠綠球球第第二二次次抽抽取取取取到到綠綠球球第第一一次次抽抽取取記記有

2、有放放回回地地取取兩兩次次每每次次取取出出一一個個紅紅綠綠個個球球盒盒中中有有 BA則有則有 )(ABP.發(fā)發(fā)生生的的可可能能性性大大小小的的發(fā)發(fā)生生并并不不影影響響它它表表示示BA)()(BPABP )()()(BPAPABP 53)(BP 1.引例引例，則，則若若0)( AP數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計.,)()()(,獨(dú)獨(dú)立立簡簡稱稱相相互互獨(dú)獨(dú)立立則則稱稱事事件件如如果果滿滿足足等等式式是是兩兩事事件件設(shè)設(shè)BABABPAPABPBA 2. 定義定義1注注. 1則則若若, 0)( AP)()(BPABP )()()(BPAPABP 說明說明 事件事

3、件 A 與與 B 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,是指事件是指事件 A 的的發(fā)生與事件發(fā)生與事件 B 發(fā)生的概率無關(guān)發(fā)生的概率無關(guān).數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計2 獨(dú)立與互斥的關(guān)系獨(dú)立與互斥的關(guān)系這是兩個不同的概念這是兩個不同的概念.兩事件相互獨(dú)立兩事件相互獨(dú)立)()()(BPAPABP 兩事件互斥兩事件互斥 AB,21)(,21)( BPAP若若).()()(BPAPABP 則則例如例如二者之間沒二者之間沒有必然聯(lián)系有必然聯(lián)系獨(dú)立是事獨(dú)立是事件間的概件間的概率屬性率屬性互斥是事互斥是事件間本身件間本身的關(guān)系的關(guān)系11ABAB由此可見由此可見兩事件兩事件相互獨(dú)立相互獨(dú)

4、立但兩事件但兩事件不互斥不互斥.兩事件兩事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立兩事件兩事件互斥互斥.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計AB)(21)(,21)(如圖如圖若若 BPAP)()()(BPAPABP 故故由此可見由此可見兩事件兩事件互斥互斥但但不獨(dú)立不獨(dú)立., 0)( ABP則則,41)()( BPAP又如：又如：兩事件兩事件相互獨(dú)立相互獨(dú)立.兩事件兩事件互斥互斥數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計3.性質(zhì)性質(zhì)(1) 必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件與任何事件與任何事件A相互獨(dú)立相互獨(dú)立.(2) 若事件若事件A與與B相互獨(dú)立相

5、互獨(dú)立, 則以下三對事件則以下三對事件也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立.；與與 BA；與與 BA.BA 與與注注 稱此為二事件的獨(dú)立性稱此為二事件的獨(dú)立性 關(guān)于逆運(yùn)算封閉關(guān)于逆運(yùn)算封閉.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 甲甲, 乙兩人乙兩人同時同時向敵人炮擊向敵人炮擊,已知甲擊中敵機(jī)的已知甲擊中敵機(jī)的概率為概率為0.6, 乙擊中敵機(jī)的概率為乙擊中敵機(jī)的概率為0.5, 求敵機(jī)被擊中求敵機(jī)被擊中的概率的概率.解解設(shè)設(shè) A= 甲擊中敵機(jī)甲擊中敵機(jī) B= 乙擊中敵機(jī)乙擊中敵機(jī) C=敵機(jī)被擊中敵機(jī)被擊中 .BAC 則則依題設(shè)依題設(shè),5 . 0)(, 6 . 0)( BPAP A與

6、與B不互斥不互斥 ( P(A)+P(B)=1.11P(A+B) )例例1數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計由于由于 甲，乙甲，乙同時同時射擊，甲擊中敵機(jī)并不影射擊，甲擊中敵機(jī)并不影響乙擊中敵機(jī)的可能性，所以響乙擊中敵機(jī)的可能性，所以 A與與B獨(dú)立獨(dú)立,進(jìn)而進(jìn)而.獨(dú)獨(dú)立立與與 BABAC BA )(1)(CPCP )()(1BPAP )(1)(11BPAP )5 . 01)(6 . 01(1 = 0.8數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計1. 三事件三事件兩兩兩兩相互獨(dú)立的概念相互獨(dú)立的概念(二二) 多個事件的獨(dú)立性多個事件的獨(dú)立

7、性定義定義2.,),()()(),()()(),()()(,兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個事件是三個事件設(shè)設(shè)CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計2. 三事件相互獨(dú)立的概念三事件相互獨(dú)立的概念定義定義3.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互獨(dú)立相互獨(dú)立則稱事件則稱事件如果滿足等式如果滿足等式是三個事件是三個事件設(shè)設(shè)CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)

8、計概率論與數(shù)理統(tǒng)計例例2.CBA 【解解】設(shè)三人各自譯出的事件分別為設(shè)三人各自譯出的事件分別為A,B,C;A,B,C;則則“三人中至少有一人能將此密碼譯出三人中至少有一人能將此密碼譯出”的事件為的事件為 已知已知P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4,由加法公式和由加法公式和獨(dú)立性得獨(dú)立性得:)(CBAP)()()(CPBPAP)()()()(ABCPACPBCPABP數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計)(CBAP)()()(CPBPAP)()()()(ABCPACPBCPABP)()()()()()()(CPBPBPAPCPBPAP)()()(

9、)()(CPBPAPCPAP413151415141313151413151106 在實際問題中在實際問題中,常?？筛鶕?jù)實際意義來判斷與應(yīng)用常?？筛鶕?jù)實際意義來判斷與應(yīng)用事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 設(shè)設(shè) A1，A2 ， ，An為為n 個事件個事件，若對于任意若對于任意k(1kn), 及及 1i 1 i 2 i kn 3. n 個事件的獨(dú)立性個事件的獨(dú)立性定義定義4 若事件若事件 A1，A2 ， ，An 中任意兩個事件中任意兩個事件相互獨(dú)立，即對于一切相互獨(dú)立，即對于一切 1 i j n, 有有)()()(jijiAPAPAAP

10、 .21兩兩兩兩相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則稱稱nAAA.12)11(1032個式子個式子共共nCCCCCnnnnnnnn 定義定義5)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP 有有.21相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則稱稱nAAA數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計注注. 相互獨(dú)立相互獨(dú)立nAAA,21兩兩相互獨(dú)立兩兩相互獨(dú)立nAAA,21數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計.)2(,)2(,. 121個事件也是相互獨(dú)立個事件也是相互獨(dú)立其中任意其中任意則則相互獨(dú)立相互獨(dú)立若事件若事件nkknAAAn )( . ,)(,.運(yùn)運(yùn)

11、算算封封閉閉獨(dú)獨(dú)立立性性關(guān)關(guān)于于個個事事件件仍仍相相互互獨(dú)獨(dú)立立所所得得的的立立事事件件們們的的對對中中任任意意多多個個事事件件換換成成它它則則將將相相互互獨(dú)獨(dú)立立個個事事件件若若nAAAnAAAnnn212122 兩個結(jié)論兩個結(jié)論數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計n 個獨(dú)立事件和的概率公式個獨(dú)立事件和的概率公式:nAAA,21設(shè)設(shè)事件事件 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, ,則則）nAAAP211( )(121nAAAP )()()(nAPAPAP211也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立nAAA,21即即 n個獨(dú)立事件至少有一個發(fā)生的概率等于個獨(dú)立事件至少有一個發(fā)生的概率等于1減去各自

12、對立事件概率的乘積減去各自對立事件概率的乘積.)(nAAAP21結(jié)論的應(yīng)用結(jié)論的應(yīng)用數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計nAAA,21則則“ 至少有一個發(fā)生至少有一個發(fā)生”的概率為的概率為 P(A1 An) =1- (1-p1 ) (1-pn )()()(121nAPAPAP,1npp nAAA,21若設(shè)若設(shè)n個獨(dú)立事件個獨(dú)立事件發(fā)生的概率發(fā)生的概率分別為分別為類似可以得出：類似可以得出：nAAA,21至少有一個不發(fā)生至少有一個不發(fā)生”的概率為的概率為“)(nAAAP21=1- - p1 pn 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計

13、若每個人血清中含有肝炎病毒的概率為若每個人血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%, 假假設(shè)每個人血清中是否含有肝炎病毒相互獨(dú)立，混設(shè)每個人血清中是否含有肝炎病毒相互獨(dú)立，混合合100個人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的個人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率概率.解解毒毒個人的血清含有肝炎病個人的血清含有肝炎病第第記記iAi 則則004. 0)( iAP10021AAAB 例例3100肝肝炎炎病病毒毒個個人人的的混混合合血血清清中中含含有有 B(1, 2,100)i 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計依題設(shè)，依題設(shè)，相互獨(dú)立相互獨(dú)立10021,AAA)()(100

14、21AAAPBP )(110021AAAP )(110021AAAP )()()(110021APAPAP 1001)(11AP 100)004. 01(1 100)996. 0(1 33. 0 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計事件的獨(dú)立性在事件的獨(dú)立性在可靠性理論可靠性理論中的應(yīng)用：中的應(yīng)用：一個元件的可靠性一個元件的可靠性：該元件正常工作的概率該元件正常工作的概率.一個系統(tǒng)的可靠性一個系統(tǒng)的可靠性：由元件組成的系統(tǒng)正常由元件組成的系統(tǒng)正常工作的概率工作的概率.設(shè)一個系統(tǒng)由設(shè)一個系統(tǒng)由2n 個元件組成，每個元件個元件組成，每個元件的可靠性均為的可靠性均為

15、r，且各元件能否正常工作，且各元件能否正常工作是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的.求下列兩個系統(tǒng)求下列兩個系統(tǒng)和和的可靠性的可靠性.例例4數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計系統(tǒng)系統(tǒng).系統(tǒng)系統(tǒng).解解,個個元元件件正正常常工工作作第第設(shè)設(shè)iAi rAPi )(則則設(shè)設(shè) B1= 系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作正常工作n+22nn+112nn+22nn+112n),2, 1(ni 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計 B2= 系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作正常工作考察系統(tǒng)考察系統(tǒng)：設(shè)設(shè) C = 通路通路正常工作正常工作 ， D= 通路通路正常工作正常工作 每條通路正常工作每

16、條通路正常工作通路上各元件通路上各元件都正常工作都正常工作而而 系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作正常工作兩條通路中兩條通路中至少至少有一條正常工作有一條正常工作DCB 1nnnnAAAAAA22121 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計)()(21nAAAPCP )()()(21nAPAPAP nr )()(221nnnAAAPDP )()()(221nnnAPAPAP nr )()(1DCPBP )(1DCP )(1DCP )()(1DPCP 2)1(1nr )2(nnrr 系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作的概率：正常工作的概率：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與

17、數(shù)理統(tǒng)計考察系統(tǒng)考察系統(tǒng)：系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作正常工作通路上的每對并通路上的每對并聯(lián)元件正常工作聯(lián)元件正常工作 B2= 系統(tǒng)系統(tǒng)正常工作正常工作)()(22211nnnnAAAAAA )(1)(iniiniAAPAAP )(1iniAAP )()(1iniAPAP 2)1(1r )2(rr ), 2, 1(ni 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計)()()()(222112nnnnAAPAAPAAPBP 所以，系統(tǒng)所以，系統(tǒng)正常工作的概率：正常工作的概率：nrr)2( nnrr)2( 練練 習(xí)習(xí), 1)|()|(, 1)(0 , 1)(0BAPBAPBPAP設(shè)證明

18、證明A、B相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計二、試驗的獨(dú)立性二、試驗的獨(dú)立性1. 定義定義6 設(shè)將試驗設(shè)將試驗E重復(fù)進(jìn)行重復(fù)進(jìn)行n次次,且各次試驗且各次試驗結(jié)果互不影響結(jié)果互不影響,則稱這則稱這n次試驗是相互獨(dú)立次試驗是相互獨(dú)立的的,也稱為也稱為n重獨(dú)立試驗重獨(dú)立試驗,記為記為En.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計則稱這則稱這n次重復(fù)試驗為次重復(fù)試驗為n重貝努里試驗，簡稱為重貝努里試驗，簡稱為貝努里概型貝努里概型.若若n 次重復(fù)試驗具有下列次重復(fù)試驗具有下列特點：特點：2. n 重貝重貝努利努利(Ber

19、noulli)試驗試驗1) 每次試驗的可能結(jié)果只有兩個每次試驗的可能結(jié)果只有兩個A 或或,ApAPpAP 1)(,)(且且2) 各次試驗的結(jié)果相互獨(dú)立，各次試驗的結(jié)果相互獨(dú)立，( 在各次試驗中在各次試驗中p是常數(shù)，保持不變）是常數(shù)，保持不變）數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計實例實例1 拋一枚硬幣觀察得到正面或反面拋一枚硬幣觀察得到正面或反面. 若將若將 硬幣拋硬幣拋 n 次次,就是就是n重伯努利試驗重伯努利試驗.實例實例2 拋一顆骰子拋一顆骰子n次次,觀察是否觀察是否 “出現(xiàn)出現(xiàn) 1 點點”, 就就是是 n重伯努利試驗重伯努利試驗.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院

20、徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計例例5 設(shè)某射手每射一發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率設(shè)某射手每射一發(fā)子彈命中目標(biāo)的概率.現(xiàn)對現(xiàn)對同一個目標(biāo)重復(fù)射擊同一個目標(biāo)重復(fù)射擊3發(fā)子彈，試求恰有發(fā)子彈，試求恰有2發(fā)命中發(fā)命中目標(biāo)的概率目標(biāo)的概率.解解設(shè)事件設(shè)事件 ； 則有則有 . 事件事件B表示表示A在三次射擊中恰好發(fā)生兩次件，在三次射擊中恰好發(fā)生兩次件， 則可知則可知 由于事件由于事件 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立， 所以所以ii=1 2 3iA 第 發(fā)命中目標(biāo) ，B=2恰有 發(fā)命中目標(biāo)()( )=iP A = P Ap321121323BA A AA A AA A A123,A A A2331212()() (

21、) ()(1)P A A AP A P A P App數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計而其余兩種方式相應(yīng)的事件的概率也均為，由此得：而其余兩種方式相應(yīng)的事件的概率也均為，由此得：同理，若重復(fù)射擊同理，若重復(fù)射擊4發(fā)子彈，發(fā)子彈， 同上同上 設(shè)設(shè) 則：則：故故 一般地，對于一般地，對于n重貝努里試驗重貝努里試驗，事件事件A恰好發(fā)恰好發(fā)生生k次的概率次的概率問題有如下公式：問題有如下公式：22223 233( )(1)(1)P BC ppC pp( )=P Apii=1 2 3iA 第 發(fā)命中目標(biāo) ，B=2,恰有 發(fā)命中目標(biāo)C=3恰有 發(fā)命中目標(biāo)34242314

22、1312121314232434BA A A AA A A AA A A AA A A AA A A AA A A A4321123124134234CA A A AA A A AA A A AA A A A222224 244( )(1)(1)P BC ppC pp331334 344( )(1)(1)P CC ppC pp數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計定理定理如果在貝努里試驗中，事件如果在貝努里試驗中，事件A出現(xiàn)的出現(xiàn)的概率為概率為p (0p1), 則在則在n次試驗中，次試驗中，A恰好出現(xiàn)恰好出現(xiàn) k 次的概率為：次的概率為：knkknnppCkP )1()()1;, 2, 1 , 0(pqnk knkknqpC . 1)(0 nknkP且且3. 二項概率公式數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 徐徐 鑫鑫概率論與數(shù)理統(tǒng)計概率論與數(shù)理統(tǒng)計,發(fā)發(fā)生生的的次次數(shù)數(shù)重重伯伯努努利利試試驗驗中中事