橋梁結(jié)構(gòu)分析的有限元法學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1橋梁橋梁(qioling)結(jié)構(gòu)分析的有限元法結(jié)構(gòu)分析的有限元法第一頁(yè)，共62頁(yè)。第1頁(yè)/共62頁(yè)第二頁(yè)，共62頁(yè)。ij xMxMxQxQN N 第2頁(yè)/共62頁(yè)第三頁(yè)，共62頁(yè)。18501850年矩陣符號(hào)問(wèn)世，年矩陣符號(hào)問(wèn)世，19561956年年Turner Turner 等人將剛架位移法推廣應(yīng)等人將剛架位移法推廣應(yīng)用到彈性力學(xué)的平面問(wèn)題，并在分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)獲得成功用到彈性力學(xué)的平面問(wèn)題，并在分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)獲得成功現(xiàn)代有限元法在各個(gè)領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用現(xiàn)代有限元法在各個(gè)領(lǐng)域都得到廣泛應(yīng)用: :1.1.由彈性力學(xué)平面問(wèn)題擴(kuò)展到空間問(wèn)題和板殼問(wèn)題：拱壩、渦輪由彈性力學(xué)平面問(wèn)題擴(kuò)展到空間問(wèn)題和板殼

2、問(wèn)題：拱壩、渦輪葉片、飛機(jī)、船體及大型橋梁葉片、飛機(jī)、船體及大型橋梁2.2.由平衡問(wèn)題擴(kuò)展到穩(wěn)定問(wèn)題與動(dòng)力問(wèn)題：結(jié)構(gòu)地震、抗風(fēng)與波由平衡問(wèn)題擴(kuò)展到穩(wěn)定問(wèn)題與動(dòng)力問(wèn)題：結(jié)構(gòu)地震、抗風(fēng)與波浪力、動(dòng)力反應(yīng)浪力、動(dòng)力反應(yīng)(fnyng)(fnyng)3.3.由彈性問(wèn)題擴(kuò)展到彈塑性與粘彈性問(wèn)題、土力學(xué)與巖石力學(xué)問(wèn)由彈性問(wèn)題擴(kuò)展到彈塑性與粘彈性問(wèn)題、土力學(xué)與巖石力學(xué)問(wèn)題，疲勞與脆性斷裂問(wèn)題題，疲勞與脆性斷裂問(wèn)題4.4.由結(jié)構(gòu)計(jì)算問(wèn)題擴(kuò)展到結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題由結(jié)構(gòu)計(jì)算問(wèn)題擴(kuò)展到結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題5.5.由固體力學(xué)擴(kuò)展到流體力學(xué)、滲流與固結(jié)理論、熱傳導(dǎo)與熱應(yīng)由固體力學(xué)擴(kuò)展到流體力學(xué)、滲流與固結(jié)理論、熱傳導(dǎo)與熱應(yīng)力問(wèn)

3、題（焊接殘余應(yīng)力、原子反應(yīng)力問(wèn)題（焊接殘余應(yīng)力、原子反應(yīng)(fnyng)(fnyng)堆結(jié)構(gòu)的熱應(yīng)力）、堆結(jié)構(gòu)的熱應(yīng)力）、磁場(chǎng)問(wèn)題（感應(yīng)電動(dòng)機(jī)的磁場(chǎng)分析）以及建筑聲學(xué)與噪音問(wèn)題磁場(chǎng)問(wèn)題（感應(yīng)電動(dòng)機(jī)的磁場(chǎng)分析）以及建筑聲學(xué)與噪音問(wèn)題6.6.由工程力學(xué)擴(kuò)展到力學(xué)的其它領(lǐng)域（冰川與地質(zhì)力學(xué)、血管與由工程力學(xué)擴(kuò)展到力學(xué)的其它領(lǐng)域（冰川與地質(zhì)力學(xué)、血管與眼球力學(xué)等）眼球力學(xué)等）第3頁(yè)/共62頁(yè)第四頁(yè)，共62頁(yè)。 傳統(tǒng)的桿單元、板單元、塊單元、殼單元不斷完善，索單元、虛擬層合單元等使得復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析得以簡(jiǎn)化. 本章(bn zhn)-簡(jiǎn)述有限元法的基本思路 匯總出橋梁結(jié)構(gòu)分析中的常用單元?jiǎng)偠染仃?介紹一種通用三

4、維單元構(gòu)造方法 虛擬層合單元在橋梁結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用第4頁(yè)/共62頁(yè)第五頁(yè)，共62頁(yè)。橋梁結(jié)構(gòu)(jigu)有限元法的分析過(guò)程 結(jié)構(gòu)有限元法的分析過(guò)程六個(gè)步驟：（1）結(jié)構(gòu)的離散化 將要分析的橋梁結(jié)構(gòu)物分割成有限個(gè)單元體，并在單元體的指定點(diǎn)設(shè)置結(jié)點(diǎn)，使相鄰單元的有關(guān)參數(shù)具有一定的連續(xù)性，并構(gòu)成一個(gè)單元的集合體，以它代替原來(lái)的結(jié)構(gòu)。（2）選擇位移模式 假定位移是坐標(biāo)的某種函數(shù)，稱為位移模式或插值函數(shù)。根據(jù)所選定的位移模式，就可以(ky)導(dǎo)出用結(jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)任一點(diǎn)位移的關(guān)系式：賀賀:例如分析對(duì)象例如分析對(duì)象是桁架橋時(shí)，可以是桁架橋時(shí)，可以取每根桿件作為一取每根桿件作為一個(gè)單元，因?yàn)殍旒軅€(gè)單元，因?yàn)殍?/p>

5、架橋本來(lái)就是由桿件橋本來(lái)就是由桿件組成的。但如果分組成的。但如果分析的對(duì)象是連續(xù)體析的對(duì)象是連續(xù)體，如板橋，那末為，如板橋，那末為了了(wi le)有效地有效地逼近實(shí)際的連續(xù)體逼近實(shí)際的連續(xù)體，就需要考慮選擇，就需要考慮選擇單元的形狀和分割單元的形狀和分割方案以及確定單元方案以及確定單元和結(jié)點(diǎn)的數(shù)目等問(wèn)和結(jié)點(diǎn)的數(shù)目等問(wèn)題。題。賀賀:選擇適當(dāng)?shù)奈贿x擇適當(dāng)?shù)奈灰坪瘮?shù)是有限單元移函數(shù)是有限單元法分析中的關(guān)鍵。法分析中的關(guān)鍵。通常通常選擇多項(xiàng)式選擇多項(xiàng)式作作為位移模式。其原因?yàn)槲灰颇Ｊ?。其原因是因?yàn)槎囗?xiàng)式的是因?yàn)槎囗?xiàng)式的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算（微分和積分）運(yùn)算（微分和積分）比較方便比較方便，并且由，并且由于所有

6、光滑函數(shù)的于所有光滑函數(shù)的局部，都可以用多局部，都可以用多項(xiàng)式逼近。項(xiàng)式逼近。至于多至于多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)和階次項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)和階次的選擇，則要考慮的選擇，則要考慮到單元的自由度和到單元的自由度和解的收斂性要求解的收斂性要求。一般來(lái)說(shuō)，多項(xiàng)式的一般來(lái)說(shuō)，多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于單元的自項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于單元的自由度數(shù)由度數(shù)，它的階，它的階次應(yīng)包含常數(shù)次應(yīng)包含常數(shù)項(xiàng)和線性項(xiàng)等項(xiàng)和線性項(xiàng)等。這里所謂單。這里所謂單元的元的自由度是指單自由度是指單元結(jié)點(diǎn)獨(dú)立位移的個(gè)元結(jié)點(diǎn)獨(dú)立位移的個(gè)數(shù)數(shù)。eNf第5頁(yè)/共62頁(yè)第六頁(yè)，共62頁(yè)。（3）分析單元(dnyun)的力學(xué)特性 利用幾何方程，由位移表達(dá)式導(dǎo)出用結(jié)點(diǎn)位移表示單元(dnyu

7、n)應(yīng)變eB 利用本構(gòu)方程，由應(yīng)變的表達(dá)式導(dǎo)出用結(jié)點(diǎn)位移表示(biosh)單元應(yīng)力 eBD 利用變分原理，建立(jinl)單元的平衡方程eeeKF00zyxBDBKTeddd0 單元坐標(biāo)系與結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系不一致時(shí)，需用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換0TKTKeTe 單元?jiǎng)偠染仃囀菃卧匦苑治龅暮诵膬?nèi)容第6頁(yè)/共62頁(yè)第七頁(yè)，共62頁(yè)。（4）建立(jinl)整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程 兩個(gè)方面：一是將各個(gè)單元的剛度矩陣，集合成整個(gè)物體的整體剛度矩陣；二是將作用于各單元的等效結(jié)點(diǎn)力列陣，集合成總的荷載列陣。常用方法-直接剛度法 集合所依據(jù)的理由是要求所有的相鄰的單元在公共結(jié)點(diǎn)處的位移相等。整個(gè)結(jié)構(gòu)的平衡方程FK（5）求解未知結(jié)點(diǎn)位

8、移 考慮幾何邊界條件將方程作適當(dāng)修改之后，根據(jù)方程組的特點(diǎn)，選擇合適的計(jì)算方法，可解出未知位移。（6）計(jì)算單元應(yīng)力及所需要的結(jié)果(ji gu) 利用已求出的結(jié)點(diǎn)位移，計(jì)算各單元應(yīng)力，加以整理得出所要求的結(jié)果(ji gu)。 第7頁(yè)/共62頁(yè)第八頁(yè)，共62頁(yè)。桁架橋結(jié)構(gòu)一般(ybn)均為空間結(jié)構(gòu)，可按空間桿單元進(jìn)行分析，每個(gè)桁架桿即為一個(gè)單元。取結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系（ ），單元坐標(biāo)系（ ）zyx,000,zyxTjjjiiiewvuwvu,TzjyjxjziyixieFFFFFFF,eeeeekkkkK00000 0000000010lEAke00ttTxxzyxzyxxxyzyxllaalaalalaa

9、aat / / 0 / /桁架橋結(jié)構(gòu)(jigu)分析單元(dnyun)坐標(biāo)系下單元(dnyun)剛度矩陣第8頁(yè)/共62頁(yè)第九頁(yè)，共62頁(yè)。lxxaijx/ )(lzzaijz/ )(22yxxaallyyaijy/ )(222)()()(ijijijzzyyxxl經(jīng)運(yùn)算，在結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系單元?jiǎng)偠?n d)矩陣為eeeeekkkkK 222 zzyzxyyxxeaaaaaaaaalEAk對(duì)稱桁架(hngji)橋及其單元第9頁(yè)/共62頁(yè)第十頁(yè)，共62頁(yè)。在初步設(shè)計(jì)時(shí)，可將空間問(wèn)題簡(jiǎn)化(jinhu)為平面問(wèn)題，用平面桁架來(lái)計(jì)算，如圖所示。結(jié)點(diǎn)位移列陣 結(jié)點(diǎn)力列陣 單元坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃嚤磉_(dá)式同前，但

10、Tjjiiewuwu,TzjxjzixieFFFFF,00010lEAke結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下單元(dnyun)剛度矩陣表達(dá)式同前，但 22scscsclEAkesin,cossc22)()(ijijzzxxl 平面桁架(hngji)及其單元第10頁(yè)/共62頁(yè)第十一頁(yè)，共62頁(yè)。多梁式簡(jiǎn)支、連續(xù)(linx)及懸臂梁橋，可取板梁組合單元，也可取抗扭梁?jiǎn)卧?。如圖所示，此種梁?jiǎn)卧慕Y(jié)點(diǎn)位移列陣為結(jié)點(diǎn)力列陣為 Tyjxjjyixiieww,TyjxjzjyixizieMMFMMFF,梁式橋及其單元(dnyun)梁式橋結(jié)構(gòu)(jigu)分析第11頁(yè)/共62頁(yè)第十二頁(yè)，共62頁(yè)。lEIlEIlEIlEIlGJl-G

11、JlEIlEIlEIlEIlEIlGJlEIKyyyyyyyyye/4 0 6 2 0 6 0 0 0 12 6 0 12 4 0 6 0 1222223230對(duì)稱00ttTcssct0000 1 單元?jiǎng)偠?n d)矩陣第12頁(yè)/共62頁(yè)第十三頁(yè)，共62頁(yè)。梁及其單元(dnyun) 單梁式梁橋，單元坐標(biāo)系和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系一致（下圖），去掉扭轉(zhuǎn)(nizhun)位移，單元結(jié)點(diǎn)位移向量可寫為Tjjiieww,結(jié)點(diǎn)(ji din)力列陣 TyjzjyizieMFMFF,2 3 1 36/ 3 62 3 622220/lll/lllllEIKKyee/對(duì)稱第13頁(yè)/共62頁(yè)第十四頁(yè)，共62頁(yè)。慮剪切變形影響

12、時(shí)，梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠?n d)矩陣 14 16 12 16 112 16 112 14 16 112222zzzzzzzzzzzzzellllllllEIK)()()()()()()(對(duì)稱 剪切影響(yngxing)系數(shù)212lGAEIzyz/桿截面沿 軸方向的有效(yuxio)抗剪面積材料抗剪模量 zAzG第14頁(yè)/共62頁(yè)第十五頁(yè)，共62頁(yè)。分析(fnx)懸臂梁橋時(shí)，會(huì)遇到一端鉸接另一端剛接的梁?jiǎn)卧?，單元結(jié)點(diǎn)位移列陣 Tjiieww,TzjyizieFMFF, 1 3212120llllllEIKKyee對(duì)稱鉸接(jioji)懸臂梁鉸接(jioji)懸臂梁?jiǎn)卧獑卧獎(jiǎng)偠染仃嚱Y(jié)點(diǎn)力列陣第15頁(yè)/共6

13、2頁(yè)第十六頁(yè)，共62頁(yè)。剛架橋結(jié)構(gòu)(jigu)分析空間(kngjin)梁?jiǎn)卧欠治鰟偧軜虻某Ｓ脝卧?，如圖所示，單元兩端各有6個(gè)自由度結(jié)點(diǎn)位移(wiy)列陣Tjzjyjxjjjiziyixiiiewvuwvu,空間梁?jiǎn)卧Y(jié)點(diǎn)力列陣TzjyjxjzjyjxjziyixiziyixieMMMFFFMMMFFFF,第16頁(yè)/共62頁(yè)第十七頁(yè)，共62頁(yè)。單元?jiǎng)偠?n d)矩陣 24 0 0 0 0 26- 0 2 0 0 0 26 04 0 26 - 0 0 0 0 2 0 26 - 0 0 0 0 0 0 0 0 0 03 12 0 0 0 26- 0 312 - 0 0312 0 26 - 0 0

14、0 312 - 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 26 - 0 4 0 26- 0 0 0 0 0312 0 0312 00lzEIlzEIlyEIlyEIlyEIlzEIlyEIlyEIGJ/l-GJ/llyEIlzEIlyEIlzEIlzEIlzEIAE/llzEIlzEIlyEIlyEIGJ/llyEIlzEIeKlAElAE/對(duì)稱(duchn)第17頁(yè)/共62頁(yè)第十八頁(yè)，共62頁(yè)?？紤]剪切變形影響(yngxing)的單元?jiǎng)倧澗仃?14 0 0 0 126- 0 12 0 0 0 126 014 0 126 0 0 0 12 0 126- 0 0 0 0 0 0 0 0 0 013

15、12 0 0 0 126- 0 1312- 0 01312- 0 126- 0 0 0 1312- 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 126- 0 14 0 126- 0 0 0 0 01312 0 01312 00)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(ylzEIyylzEIylzEIyylzEIzlyEIzzlyEIzlyEIzzlyEIlGJlGJzlyEIzlyEIzlyEIylzEIylzEIylzEIlEAlEAylzEIyylzEIylyEIzzlyEIlGJzlyEIylzEIlEIek對(duì)稱(duchn)第

16、18頁(yè)/共62頁(yè)第十九頁(yè)，共62頁(yè)。 0 0 00 0 00 0 00 0 0 ttttT22/12,/12lGAEIlGAEIzyzyzy對(duì) 、 軸方向的剪切影響系數(shù) 、 桿截面(jimin)沿 、 軸方向的有效抗剪面積 0y0zyAzA0y0zzyxzyxzyxcccbbbaaat 111sgagagaagbsgagagaagbsgagagaagbzzyyxxzzzzzyyxxyyyzzyyxxxxx/)(/)(/)(111sgagacsgagacsgagacxyyxzzxxzyyzzyx/ )(/ )(/ )(2221)()()(xyyxzxxzyzzygagagagagagaskikx

17、lxxg/ )(kikylyyg/ )(kikzlzzg/ )(222)()()(ikikikkzzyyxxl第19頁(yè)/共62頁(yè)第二十頁(yè)，共62頁(yè)。單梁式剛架橋可按平面剛架進(jìn)行(jnxng)分析，如圖所示lEIlEIlEIlEIlEIlEIlEIlEAlEAlEIlEIlEIlEAKyyyyyyyyyye/6 6 0 2 6- 0 12 0 6- 12 0 0 0 4- 6- 012 0 22323230對(duì)稱00ttT0 0 00 0cssct剛架橋及其單元(dnyun)第20頁(yè)/共62頁(yè)第二十一頁(yè)，共62頁(yè)。在結(jié)構(gòu)(jigu)坐標(biāo)系中，單元?jiǎng)偠染仃噀rebeKKK2 3 s3- 1 3- s

18、36 6- 3 6 s6 6 3- s6 62 3- s3 6 6 62222222222222222cllcllclcslclclclslslclslcllclcslsllEIkeb對(duì)稱第21頁(yè)/共62頁(yè)第二十二頁(yè)，共62頁(yè)。0 0 00 0 0 0 0 - s 0 s 0 0 0 222222 scssc cccscsclEAKer對(duì)稱采用同樣方法，亦可考慮剪切變形(bin xng)的影響。 薄壁箱梁橋結(jié)構(gòu)分析 在初等梁理論中，計(jì)入翹曲變形、剪力滯及畸變影響后，發(fā)展起來(lái)的薄壁梁解析理論能合理地反映薄壁箱梁結(jié)構(gòu)的固有變形特性。本節(jié)以單箱室對(duì)稱截面箱形梁為對(duì)象(duxing)，建立結(jié)構(gòu)空間分析

19、的剛度矩陣及其求解方程。 第22頁(yè)/共62頁(yè)第二十三頁(yè)，共62頁(yè)。薄壁箱梁斷面(dun min)及分析采用的坐標(biāo)系（1）位移(wiy)模型及平衡方程第23頁(yè)/共62頁(yè)第二十四頁(yè)，共62頁(yè)。節(jié)點(diǎn)(ji din)位移列陣TDjDjjxjzjsjjyjsjjGejTDiDiixizisiiyisiGieifwvufwvu, eieie 截面形心位置； 截面剪切中心(zhngxn)位置； 截面畸變中心(zhngxn)位置； 形心位置 沿 方向（梁軸方向）位移； 剪切中心(zhngxn)位置 在 方向（橫向）位移； 剪切中心(zhngxn)位置 在 方向（豎向）位移； 分別為斷面繞三坐標(biāo)軸的角位移； 扭

20、轉(zhuǎn)翹曲位移； 畸度角； ，畸變翹曲位移； 上翼板最大相對(duì)剪切轉(zhuǎn)角位移差。GSDGuGxsuSyswSzzyx,fDDxrDdd第24頁(yè)/共62頁(yè)第二十五頁(yè)，共62頁(yè)。翹曲和剪滯位移(wiy)只在軸向產(chǎn)生，薄壁箱梁的斷面位移(wiy)模型 DwxssDvxsDDyzGDzzwzywDyvzyvwrwwfzyuzyu)(),(),(),(xwxuszsy/,/單元平衡(pnghng)方程eeeFK1201202020 ,yyjzjjDiDiIixiziyiiyiziieMMFNBMBMMFMMFNFTDjDjIjxjzjyjBMBMMF,第25頁(yè)/共62頁(yè)第二十六頁(yè)，共62頁(yè)。),(1612116

21、21jiKij由彎曲變形(bin xng)分析給出 ),(181787jiKij由扭轉(zhuǎn)變形(bin xng)分析給出 ),(2019109jiKij由畸變(jbin)分析給出 直線梁的彎、扭變形互不耦聯(lián)，可分別討論（2）彎曲變形剛度211bbbyzWinii彎曲變形剛度方程 eeFKKKKKKKKKKKKKKKK 16,1611,166,161 ,1616,1111,116,111 ,1116, 611, 66, 61 , 616, 111, 16, 11 , 1第26頁(yè)/共62頁(yè)第二十七頁(yè)，共62頁(yè)。單元?jiǎng)偠?n d)系數(shù)),(141141jiKij lxszGmlxzsymlxzsymlx

22、GmvIEuSEIEKIEvIEKIEvIEKSEuAEK11114111311121111, lxszGmlxzsymlxzsymlxGmvIEuSEIEKIEvIEKIEvIEKSEuAEK11114111311121111,1411, 41m1211210176598657656AxAxAIEGKAekIIAekIIAxvAxAeASAeASAxuAeAeAxzkxyzkxyzskxkxGkxkx)()()(yjzklyzklyzsjzklyzklyzGjklkljklklyiyzyzsiyzyzGiiAlAAlIEGKAeIIAeIIvAlAAlAlIEGKAekIIAekIIuAlA

23、AeASAeASAAeAeAAIIAIIvAAkIIAkIIuAAASAASAAA111072165121110273165986576511651265965765226第27頁(yè)/共62頁(yè)第二十八頁(yè)，共62頁(yè)。yzIIASIEGKk221/)/(2111 EEAAdAKdAS2,AAzdAIdAzI2,iininibbbynz211 翼板局部坐標(biāo)，其原點(diǎn)除懸臂板取在懸臂端外， 其余均取板中點(diǎn)，且方向與 軸一致 翼板修正系數(shù)，可根據(jù)(gnj)試驗(yàn)或解析取得 iyyi第28頁(yè)/共62頁(yè)第二十九頁(yè)，共62頁(yè)。除平面(pngmin) 內(nèi)的力素外，在平面(pngmin) 各力素如下 xoyxoz sz

24、GszzzsyyGzsyzszyvIEuSEIEMwIEMIEvIEMSEuAENIEvIEFwIEF11111111111（3） 扭轉(zhuǎn)(nizhun)變形剛度扭轉(zhuǎn)變形剛度(n d)方程 IjxjIixijxjixiBMBMffKKKKKKKKKKKKKKKK18,1817,188 ,187 ,1818,1717,178 ,177 ,1718, 817, 88 , 87 , 818,717,78 ,77 ,7 第29頁(yè)/共62頁(yè)第三十頁(yè)，共62頁(yè)。剛度(n d)系數(shù) 為 ijK)()()()()()()(,klklGIklklklkKhklklklGIklklklkKKklGIklklklKk

25、KKKklkGIklklklKKKddddshshch121schshch121ch1shch121shshch121188181888181718171878717717777（4）畸變(jbin)剛度DjDjDiDiDjDjDiDiBMBMKKKKKKKKKKKKKKKK20,2019,2010,209 ,2020,1919,1910,199 ,1920,1019,1010,109 ,1020, 919, 910, 99 , 9 第30頁(yè)/共62頁(yè)第三十一頁(yè)，共62頁(yè)。cossin,lllpIEKKDchsh431191999llpIEKKD22212019109ch2cos,cossin

26、,lllpIEKDshch431199llpIEKKDsin,sh4211910209lllpIEKKDcossin,chsh2120201010lllpIEKDcossin,shch2120104224shDRIIllp/,sin第31頁(yè)/共62頁(yè)第三十二頁(yè)，共62頁(yè)。復(fù)雜組合截面橋梁結(jié)構(gòu)分析的虛擬層合單元 上世紀(jì)90年代初，浙江大學(xué)徐興教授從8-20節(jié)點(diǎn)三維實(shí)體等參元出發(fā)，直接引進(jìn)基本假定，構(gòu)造了一系列退化的單元，形成了退化單元系列： 中厚板單元 Kirchhoff板單元 膜單元 空間梁?jiǎn)卧?平面梁?jiǎn)卧?它們均是協(xié)調(diào)單元，單元自由度數(shù)與已有相應(yīng)的單元相同(xin tn)。 其突出的優(yōu)點(diǎn)是

27、： 單元列式簡(jiǎn)單劃一， 各類退化單元間及實(shí)體單元連結(jié)十分方便 后來(lái)發(fā)展了虛擬層合單元對(duì)于 層合結(jié)構(gòu)（鋼與concrete） 復(fù)雜的箱形、T形結(jié)構(gòu)的總體分析十分簡(jiǎn)單有效，計(jì)算精度能夠滿足工程需要。大大提高了復(fù)雜組合結(jié)構(gòu)的靜、動(dòng)力和非線性分析的計(jì)算效率。 第32頁(yè)/共62頁(yè)第三十三頁(yè)，共62頁(yè)。1） 經(jīng)典(jngdin)的三維實(shí)體等參元 一般的實(shí)際問(wèn)題都是空間問(wèn)題，解決問(wèn)題的方法就是建立用三維坐標(biāo)描述的空間模型進(jìn)行求解。描述空間問(wèn)題最簡(jiǎn)單的單元是四面體，但是一個(gè)空間區(qū)域分割一些四面體小區(qū)域非常困難，甚至有些使人難以想象，如果用六面體來(lái)分割空間區(qū)域就能清楚地區(qū)分各個(gè)(gg)六面體之間的相互關(guān)系，因此

28、用六面體來(lái)進(jìn)行有限元分割是最方便的。空間三維等參元常用的是八節(jié)點(diǎn)二十節(jié)點(diǎn)的六面體，其中八節(jié)點(diǎn)六面體的形狀完全由其八節(jié)點(diǎn)的位置或坐標(biāo)所決定，其棱邊是直線，其側(cè)面是由兩族直線所構(gòu)成的直紋面，所以其計(jì)算精度和逼近物體的彎曲邊界有時(shí)顯得不夠理想，二十節(jié)點(diǎn)六面體空間等參元能很好地滿足計(jì)算精度和逼近物體的彎曲邊界的要求，對(duì)空間問(wèn)題通常是最有效的單元，而十二節(jié)點(diǎn)、十六節(jié)點(diǎn)六面體空間等參元是空間八節(jié)點(diǎn)等參元在一個(gè)或兩個(gè)方向提高了精度第33頁(yè)/共62頁(yè)第三十四頁(yè)，共62頁(yè)。 8-20結(jié)點(diǎn)(ji din)等參元母單元 第34頁(yè)/共62頁(yè)第三十五頁(yè)，共62頁(yè)。 8-20結(jié)點(diǎn)等參數(shù)(cnsh)單元 第35頁(yè)/共62頁(yè)

29、第三十六頁(yè)，共62頁(yè)。實(shí)際單元坐標(biāo)與母單元坐標(biāo)之間的關(guān)系(gun x)可表示為niiiniiiniiizNzyNyxNx111),(),(),(),()()(),()()(),()()(),()()()(20191817111411615141311141121110911141821211181222iNiNiNiNiiiiiiiiiiiiiiii形函數(shù)(hnsh) 記三維等參元的節(jié)點(diǎn) 位 移(wiy)矢量為TnnnTnwvuwvuwvu,55511151第36頁(yè)/共62頁(yè)第三十七頁(yè)，共62頁(yè)。那么單元(dnyun)內(nèi)任一點(diǎn)的位移可表示為niiiniiiniiiwNwvNvuNu111),(

30、),(),(按幾何(j h)關(guān)系可得應(yīng)變計(jì)算式,BBBBTnn5121xNzNyNzNxNyNzNyNxNBiiiiiiiiii 0 0 0 0 00 000有下列(xili)關(guān)系iNiNiNxNiyNizNi第37頁(yè)/共62頁(yè)第三十八頁(yè)，共62頁(yè)。zNyNxNJzyxzyxzyxNNNiiiiiiJacobi矩陣(j zhn) ,21nDBDBDBBDD本構(gòu)關(guān)系(gun x) 彈性(tnxng)矩陣 665544332313232212131211 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ddddddddddddD第38頁(yè)/共62頁(yè)第三

31、十九頁(yè)，共62頁(yè)。三維等參元的剛度(n d)矩陣可分成 個(gè)子矩陣，典型的子矩陣nn 111111dddJBDBdxdydzBDBkjTijTiij單元體積力 等效(dn xio)到節(jié)點(diǎn)上的等效(dn xio)節(jié)點(diǎn)力為 Tvzvyvxvpppp ddd111111JpppNFFFFvzvyvxivzivyivxivi 將單元(dnyun)的表面力Tszsysxspppp SJpppNFFFFszsysxiszisyisxisidJacobi行列式的值 等效到節(jié)點(diǎn)上的等效節(jié)點(diǎn)力為第39頁(yè)/共62頁(yè)第四十頁(yè)，共62頁(yè)。（2）退化的實(shí)體(sht)單元經(jīng)典的板殼單元都是根據(jù)板殼理論構(gòu)造出來(lái)的，而經(jīng)典板殼

32、理論則是一般的三維彈性理論根據(jù)板殼結(jié)構(gòu)特殊的幾何形狀引入一定(ydng)的簡(jiǎn)化假定后得到的，因此可以認(rèn)為板殼理論是一種特定條件下簡(jiǎn)化的三維彈性理論。從三維彈性理論直接導(dǎo)出的是三維實(shí)體等參元。由此不難看出，板殼單元其實(shí)是一種特定條件下的簡(jiǎn)化的三維實(shí)體等參元，只要在三維實(shí)體等參元中引入必要的簡(jiǎn)化的假定即可發(fā)展成由三維實(shí)體等參元退化的板殼單元，如圖所示，稱之為退化的實(shí)體單元。 三維彈性理論三維彈性理論薄板殼理論厚板假定薄板單元三維實(shí)體等參元中厚板殼單元薄板假定單元構(gòu)造單元構(gòu)造單元構(gòu)造 板殼理論與板殼單元厚板假定薄板假定第40頁(yè)/共62頁(yè)第四十一頁(yè)，共62頁(yè)。（a）相對(duì)位移的引入如圖所示的16節(jié)點(diǎn)板殼

33、單元(dnyun)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有 、 、 三個(gè)自由度，共48個(gè)自由度。單元(dnyun)坐標(biāo)和位移插值形函數(shù)和三維實(shí)體單元(dnyun)相同?？紤]到扁平單元(dnyun)會(huì)使剛度矩陣病態(tài)，采用R.D.Wood的建議，用相對(duì)位移的辦法克服。記16節(jié)點(diǎn)三維等參元的節(jié)點(diǎn)位移矢量為 uvw16節(jié)點(diǎn)(ji din)板殼單元第41頁(yè)/共62頁(yè)第四十二頁(yè)，共62頁(yè)。,16555111wwvuwvu引入相對(duì)位移(wiy)后，單元節(jié)點(diǎn)位移(wiy)矢量改為 . Twwvuwvu,16555111155uuu155vvv155www165115www（b）Reissner厚板單元(dnyun) 板的彈性理論是三維彈

34、性理論的退化形式(xngsh)，我們?cè)趯懗鯮eissner板的彈性本構(gòu)關(guān)系時(shí)仍保留三維彈性理論的形式(xngsh)，為方便起見(jiàn)，取坐標(biāo) 方向?yàn)榘宸ň€方向，根據(jù)Reissner板理論的假定 ， ，因此可以忽略 不計(jì)，有zyzxz,z)(yxz即 為不獨(dú)立的應(yīng)變分量，對(duì)上式沿厚度方向積分，得相對(duì)撓度z2 2 2 2 ddhhyxhhzzzw)(第42頁(yè)/共62頁(yè)第四十三頁(yè)，共62頁(yè)。假定(jidng)0w約束 后16節(jié)點(diǎn)的單元自由度數(shù)從48降至40，與8節(jié)點(diǎn)40自由度厚殼單元相同，但在所有自由度中沒(méi)有轉(zhuǎn)角自由度而只有位移自由度，這樣產(chǎn)生的單元，可以方便地與其它單元連接，而且(r qi)有限元列式更

35、加簡(jiǎn)單統(tǒng)一。如果引入中面不伸長(zhǎng)的假定w00下上下上vvuu又將約束 自由度，單元變成16節(jié)點(diǎn)(ji din)24自由度厚板單元，與8節(jié)點(diǎn)(ji din)24自由度厚板元相同。為了與三維單元的形式一致， 和 的約束也可用罰系數(shù)的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。 在三維彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系中引入一個(gè)罰系數(shù) ，當(dāng)計(jì)算剛度矩陣時(shí)， 取一大數(shù)，一般可取1000，使得 ，當(dāng)計(jì)算應(yīng)力時(shí)，取 =1或 =0，使 這樣在三維彈性理論中，引入了Reissner板的假定，將三維彈性理論退化成Reissner板理論，具體的Reissner板的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為16280z0w0z0z第43頁(yè)/共62頁(yè)第四十四頁(yè)，共62頁(yè)。xyzxyzzyxxyx

36、zyzzyxdddddddddddd665544332313232212131211 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 第44頁(yè)/共62頁(yè)第四十五頁(yè)，共62頁(yè)。（c）Kirchhoff板單元根據(jù)Kirchhoff板理論假定， ，即薄板橫向的剪切剛度無(wú)限大，為此對(duì)相應(yīng)(xingyng)的剛度系數(shù)進(jìn)行修正，即乘以一個(gè)大數(shù) =1000。此時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系修正為0yzxz2xyzxyzzyxxyxzyzzyxdddddddddddd665524423312313232212131211 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

37、0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 其它約束(yush)處理同Reissner板第45頁(yè)/共62頁(yè)第四十六頁(yè)，共62頁(yè)。（d）薄膜單元根據(jù)類似分析如果(rgu)引入約束000下上下上下上wwwvvvuuu可得到(d do)16節(jié)點(diǎn)24自由度膜單元 （e）單元?jiǎng)偠?n d)矩陣上述分析表明，通過(guò)修正應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系和約束一部分相對(duì)位移可引入Reissner板、Kirchhoff板和膜的理論的基本假定。簡(jiǎn)單比較可見(jiàn)Reissner板、Kirchhoff板和膜結(jié)構(gòu)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系擴(kuò)階后與三維彈性問(wèn)題相似，因此板、膜單元的元素矩陣和三維塊體等參元元素矩陣的具有完全相同的形式。 （f）相對(duì)位移引入后剛

38、度矩陣的修改考慮如下形式的單元平衡方程212122211211ffuukkkk第46頁(yè)/共62頁(yè)第四十七頁(yè)，共62頁(yè)。作變換(binhun)21211211101uuuuuuu則單元平衡(pnghng)方程變?yōu)?12122211211101111011011ffuukkkk整理(zhngl)得 22121222221221222211211fffuukkkkkkkkk對(duì)于一般的殼問(wèn)題，上述推導(dǎo)在以法向 方向的局部坐標(biāo)系內(nèi)仍然成立。適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換可把上述推導(dǎo)推廣到一般殼單元，也可以得到一系列的正交曲線坐標(biāo)系下的殼單元。采用類似的方法，可以從平面單元退化得到平面梁?jiǎn)卧?z第47頁(yè)/共62頁(yè)第四十

39、八頁(yè)，共62頁(yè)。 （3）三維梁?jiǎn)卧?dnyun)在12-20節(jié)點(diǎn)三維等參單元中，引入梁的基本假設(shè)，便可得到三維梁?jiǎn)卧Ｋ梢杂靡苑治龈鞣N截面形狀（包括變截面的）的空間梁的彎曲、扭轉(zhuǎn)，也能很方便地與三維塊體單元、三維板殼單元連接，以解決復(fù)雜橋梁結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題。根據(jù)梁的幾何特點(diǎn)引入以下假定(jidng)：橫向正應(yīng)力相對(duì)于其他應(yīng)力是小量，可以忽略。即由假設(shè)可知 ， 不獨(dú)立， ， 也不獨(dú)立，且為小量，也應(yīng)約束掉。如果不考慮剪切變形，則還有 為梁的軸線方向?？紤]橫向剪切變形的梁的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以表示為0yzzyvw0 xzyxxzyxzyxxzyxzxyxGGGE第48頁(yè)/共62頁(yè)第四十九頁(yè)，共62頁(yè)。不

40、考慮橫向(hn xin)剪切變形的梁的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系z(mì)yxzyxxzyxzyxxGGGE與一維梁?jiǎn)卧容^，不考慮(kol)扭轉(zhuǎn)翹曲的梁?jiǎn)卧總€(gè)節(jié)點(diǎn)有6個(gè)自由度， 。矩形截面三維梁?jiǎn)卧?，每個(gè)截面4個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)3個(gè)自由度 ，共12個(gè)自由度。根據(jù)假定zyxwvu,wvu,003243vvww令44321uuuuu平截面(jimin)假定有 uuuuuu2,24213共有6個(gè)約束方程，故每個(gè)截面也只有6個(gè)自由。與一維單元相同。除應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系略有不同外，單元的元素矩陣相同，同樣可以構(gòu)造虛擬的層合的梁?jiǎn)卧??？梢苑奖愕胤治鰲U件的約束扭轉(zhuǎn)問(wèn)題 第49頁(yè)/共62頁(yè)第五十頁(yè)，共62頁(yè)。（4） 虛擬(xn)層合單

41、元由不同材料組成的橋梁結(jié)構(gòu)（如結(jié)合梁、鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)、鋼管混凝土、鋼箱混凝土等）的總體分析是一個(gè)比較煩瑣的力學(xué)問(wèn)題，目前對(duì)這類結(jié)構(gòu)的有限元分析常采用兩種方法（a）用三維實(shí)體單元對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行細(xì)致的離散。這一方法的優(yōu)點(diǎn)是能夠準(zhǔn)確地描述橋梁的幾何形狀，它的缺點(diǎn)是龐大的計(jì)算量對(duì)總體分析而言是一種浪費(fèi)（b）另一種方法則是把結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為桿、梁、板、殼或它們的組合結(jié)構(gòu)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量少，但很難描述復(fù)雜橋梁結(jié)構(gòu)的實(shí)際幾何特性，特別是變截面主梁和有中空的區(qū)域箱梁，因此其結(jié)果往往不能反映橋梁的整體特性。如何建立一個(gè)能描述結(jié)構(gòu)幾何形狀、受力特征的簡(jiǎn)潔有效(yuxio)的有限元模型是整體分析的關(guān)鍵。（1）層合

42、板殼單元在上節(jié)三維等參元的單元?jiǎng)偠群蛦卧饬τ?jì)算公式中，我們可以看出這些計(jì)算都是在單元內(nèi)的積分，如果將區(qū)域積分用一些小區(qū)域（m個(gè)）的積分之和來(lái)替代，或者說(shuō)將區(qū)域積分分解成一些小區(qū)域的積分，如第50頁(yè)/共62頁(yè)第五十一頁(yè)，共62頁(yè)。vmiviiVFVF1ddmVUUVUVVV321用上可對(duì)八節(jié)點(diǎn)二十節(jié)點(diǎn)空間三維等參實(shí)體單元進(jìn)行改進(jìn)。由于同一單元中可能包含m個(gè)不同的材料區(qū)域，單元元素矩陣(j zhn)的積分按m個(gè)不同的材料區(qū)域分區(qū)進(jìn)行，為mkjkTijTiijzyxBDBzyxBDBk1ddd ddd 不失一般性，假定(jidng)每種材料區(qū)域可以由8-20個(gè)單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)描述。每個(gè)單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)可由該節(jié)

43、點(diǎn)在母單元中的坐標(biāo)表示。記第 個(gè)材料區(qū)域第 個(gè)節(jié)點(diǎn)的母單元坐標(biāo)為 ，則材料區(qū)域中任意點(diǎn)的母單元坐標(biāo)為ki),(kikikimnikiikmnikiikmnikiikNNN 1 1 1),(),(),( 1 , 1,1 , 1,1 , 1第51頁(yè)/共62頁(yè)第五十二頁(yè)，共62頁(yè)。則單元(dnyun)的元素矩陣可改為 ddd),(),(1111111JJBDBkmkkkkjktkkkiij 材料分區(qū)(fn q)數(shù) 區(qū)域內(nèi)坐標(biāo)變換矩陣的Jacobi行列式的值 在每個(gè)材料區(qū)域采用高斯積分，有mJtsrmkgrrgssgttkkkjkTkkkiijHHHJJBDBkktkskr,1111),(),( 分別

44、為一個(gè)材料(cilio)區(qū)域內(nèi)的各個(gè)方向的 高 斯積分點(diǎn)數(shù)目； 高斯積分點(diǎn)的權(quán)系數(shù)。tsrggg,tsrHHH,第52頁(yè)/共62頁(yè)第五十三頁(yè)，共62頁(yè)。（2）虛擬層合單元對(duì)圖所示的一矩形箱梁，如用傳統(tǒng)有限元分析，為了反映箱梁有中空的區(qū)域的結(jié)構(gòu)特征，劃分單元的必須采用相當(dāng)多的實(shí)體單元來(lái)離散箱梁結(jié)構(gòu)如圖a），如果將該箱梁劃分成三個(gè)經(jīng)典的二十節(jié)點(diǎn)空間(kngjin)三維等參元如圖b），那么箱梁的中空結(jié)構(gòu)特征就描述不出來(lái)了。ab 懸臂(xunb)矩形箱梁 第53頁(yè)/共62頁(yè)第五十四頁(yè)，共62頁(yè)。用上述的分區(qū)(fn q)積分的辦法，將單元積分區(qū)(fn q)域分成兩個(gè)區(qū)域（a）有真實(shí)材料的區(qū)域（頂板、底板

45、和腹板）（b）沒(méi)有材料的區(qū)域（中空區(qū)域）在這個(gè)中空區(qū)域中由于沒(méi)有材料，它的積分值將是零，因此單元的積分只要在有材料的區(qū)域內(nèi)積分就可以了，這樣就可以將箱梁有中空區(qū)域的復(fù)雜結(jié)構(gòu)整體特征反映出來(lái)了。再進(jìn)一步分析如果有材料的區(qū)域（頂板、底板和腹板）有不同的材料特性（彈性模量、質(zhì)量密度），還可以分為不同材料特性參數(shù)的區(qū)域（如頂板、底板與腹板的材料特性參數(shù)不同）的積分沒(méi)有材料的區(qū)域（中空區(qū)域）可以認(rèn)為是材料特性（彈性模量、質(zhì)量密度）為“零”的材料。將單元的積分區(qū)(fn q)域人為地分為幾個(gè)小的積分區(qū)(fn q)域，在每個(gè)小的積分區(qū)(fn q)域內(nèi)有不同的材料特性參數(shù)，包括“零”材料特性參數(shù)，此概念亦可在虛擬段