同濟(jì)-高等數(shù)學(xué)-第三版(1.3) 第三節(jié) 函數(shù)極限

1、例：例：設(shè)有作變速直線運(yùn)動的物體，其路程函數(shù)為設(shè)有作變速直線運(yùn)動的物體，其路程函數(shù)為 S = S( t )= 2( t 2 - - t )，求該物體在時(shí)刻求該物體在時(shí)刻 t 0 = 1 時(shí)的速度時(shí)的速度 V( t 0 )對非勻速直線運(yùn)動，由于在同樣長的時(shí)間段內(nèi)對非勻速直線運(yùn)動，由于在同樣長的時(shí)間段內(nèi)物體走過的路程不盡相同，故不能直接利用速度公式物體走過的路程不盡相同，故不能直接利用速度公式 V = S/ /T 計(jì)算其速度。計(jì)算其速度。 然而，變和不變是相對的，因此可考慮取較短的時(shí)然而，變和不變是相對的，因此可考慮取較短的時(shí)間段，在此時(shí)間段內(nèi)物體可近似看作間段，在此時(shí)間段內(nèi)物體可近似看作勻速直線

2、運(yùn)動，于勻速直線運(yùn)動，于是可是可將將變速直線運(yùn)動局部視作變速直線運(yùn)動局部視作勻速直線運(yùn)動進(jìn)行考察。勻速直線運(yùn)動進(jìn)行考察。 考察物體在時(shí)間段考察物體在時(shí)間段 t 0 , ,t 內(nèi)的平均速度內(nèi)的平均速度 對對 t 0 = 1 有有故求得故求得 000 S tS tV tVttt, 2 1120122 11tS tSttVttt , 2 1121lim2 .1ttttVV tt0tt從函數(shù)性質(zhì)討論的角從函數(shù)性質(zhì)討論的角度看，盡管函數(shù)度看，盡管函數(shù) V = V( t )在在點(diǎn)點(diǎn) t 0 = 1 處處沒有定義，但卻沒有定義，但卻可確定自變量可確定自變量 t 趨向于趨向于 1 時(shí)時(shí)函數(shù)值函數(shù)值的變化趨勢的

3、變化趨勢。 當(dāng)當(dāng) t 1時(shí)，時(shí)，函數(shù)值趨于函數(shù)值趨于一個(gè)確定一個(gè)確定“數(shù)值數(shù)值”，這個(gè)值，這個(gè)值并不是函數(shù)并不是函數(shù) V = V( t )在點(diǎn)在點(diǎn) t 0 = 1 處處的的函數(shù)函數(shù)值，而是另值，而是另一種性質(zhì)的一種性質(zhì)的“值值” 。tOV 221ttV tt12對于函數(shù)對于函數(shù) y = f( x )，如果當(dāng)自變量，如果當(dāng)自變量 x 的變化趨向于的變化趨向于某一定值某一定值 x 0 時(shí)，函數(shù)值時(shí)，函數(shù)值 f( x )的變化無限接近于某個(gè)常的變化無限接近于某個(gè)常數(shù)數(shù) A ，就稱當(dāng)，就稱當(dāng) x x 0 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù) y = f( x )以以 A 為極限，為極限，或常數(shù)或常數(shù) A 是函數(shù)是函數(shù) y

4、 = f( x )當(dāng)當(dāng) x x 0 時(shí)的極限，記作：時(shí)的極限，記作：0limxxfAx, , 0 .xxfAx 或或 極限值與函數(shù)值是兩種不同性質(zhì)的極限值與函數(shù)值是兩種不同性質(zhì)的“值值”的概念。的概念。這兩種值是相互獨(dú)立的，一般情況下二者獨(dú)立存在，彼這兩種值是相互獨(dú)立的，一般情況下二者獨(dú)立存在，彼此沒有直接聯(lián)系。此沒有直接聯(lián)系。例例：函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) t 0 = 1 沒有函數(shù)值，但卻沒有函數(shù)值，但卻有極限值，即有有極限值，即有 221ttV tt 2112limlim2.1ttttVttt1OV 221ttV tt 1?V 2112limlim21ttttVtt 21tt, , 2例例：函數(shù)

5、函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 0 = 0 處的函處的函數(shù)值為數(shù)值為 f( 0 )= 0 ，但其在，但其在 x 0 = 0 處的極限值卻不存在。處的極限值卻不存在。 1sin000 xxyfxx,., ,xOy yfx11例例：函數(shù)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) x 0 = 1 處的函數(shù)值為處的函數(shù)值為 g( 1 )= 1 ， 在在點(diǎn)點(diǎn) x 0 = 1 處的極限值為處的極限值為 在點(diǎn)在點(diǎn) x 0 = 1 處函數(shù)值和極限值處函數(shù)值和極限值都存在，但二者不相等都存在，但二者不相等。 221111xxxxygxx,. 2112limlim2.1xxxxgxxOy1x1 221111xxxygxxx,. 11g 2112liml

6、im21xxxxgxx2 究竟什么叫究竟什么叫 x x 0 時(shí)，時(shí)，f( x ) A ？由數(shù)列極限的討論可推知由數(shù)列極限的討論可推知x x 0，f( x ) A 的的意義就是，對意義就是，對 0，隨著隨著 x 的變化的變化當(dāng)當(dāng) x 和和 x 0接近接近到到一定程度后一定程度后，最終可使得最終可使得f( x )- - A | | 問題是問題是“一定程度一定程度”究竟是究竟是什么樣一種什么樣一種程度呢？程度呢？ 為弄清當(dāng)為弄清當(dāng) x x 0 時(shí)，時(shí)，| | f( x )- - A | | 的具體的具體過過程，可先通過實(shí)例進(jìn)行考察。程，可先通過實(shí)例進(jìn)行考察。 設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù) f( x )= 2 x

7、 - - 1，考察其，考察其在點(diǎn)在點(diǎn) x 0 = 1 處取得的極限處取得的極限 1 的情形的情形。 f( x )與與 A = 1 的接近程度可用絕的接近程度可用絕對值對值| | f( x )- - 1 | |的大小來表達(dá)，的大小來表達(dá)， x 與與 x 0 = 1的接近程度可用絕對值的接近程度可用絕對值 | x - - 1 |的大小來表達(dá)。的大小來表達(dá)。 由于由于 f( x )與與 1 無限接近可通過無限接近可通過 | f( x )- - 1 | 0，當(dāng)當(dāng)| x - - 1 |變得多么小時(shí)可使得變得多么小時(shí)可使得 | | f( x )- - 1 | | 成立成立。 若取若取 1 = 10 - -

8、 2，即要求有即要求有 | | f( x )- - 1 | | 10 - -2， 由于由于 | | f( x )- - 1 | |= | |( 2 x - - 1 )- - 1 | |= 2| | x - - 1 | |，因此只要因此只要 x 滿足滿足 就就可使可使 | | f( x )- - 1 | |= 2| | x - - 1 | | 10 - -2 . 若取若取 2 = 10 - -4，即要求有，即要求有 | | f( x )- - 1 | | 10 - - 4，則只要則只要 x 滿足滿足 就就可使可使 | | f( x )- - 1 | |= 2| | x - - 1 | | 10

9、- -4 .21110122 10 x ,42110122 10 x , 由此可以推想，所謂當(dāng)由此可以推想，所謂當(dāng) x 和和 x 0接近到一定程度后有接近到一定程度后有| | f( x )- - A | | 0，可找到一個(gè)和可找到一個(gè)和 相關(guān)的某個(gè)正數(shù)，用以相關(guān)的某個(gè)正數(shù)，用以刻劃刻劃 | | f( x )- - A | | 時(shí)，時(shí)，x 與與 x 0 所需所需接近的程度接近的程度。 若用若用 來表示這一正數(shù)，則為使來表示這一正數(shù)，則為使 | | f( x )- - A | | ，相應(yīng)相應(yīng) x 與與 x 0 的的接近程度可表為接近程度可表為 0 | | x - - x 0 | | 0，總存在這樣

10、一個(gè)正數(shù)總存在這樣一個(gè)正數(shù) 當(dāng)當(dāng) x 滿足滿足 0 | | x - - x 0 | | 時(shí)有時(shí)有f( x )- - A | | A A xyOA02x 01x yfx 0 xxfAx , , Q 0 xP | | f( x )- - A | | A- - f( x ) 0 , ,并取并取 = Min 1 , , 2 ，則當(dāng)，則當(dāng) x 0 - - x x 0 + + 時(shí)便有時(shí)便有 A - - f( x ) A + 由函數(shù)由函數(shù) y = f( x )在點(diǎn)在點(diǎn) 處處取極限過程的直觀認(rèn)識取極限過程的直觀認(rèn)識可見，可見，正數(shù)正數(shù) 定量地表達(dá)了定量地表達(dá)了x 和和 接近到何種程度時(shí)接近到何種程度時(shí)就會有就

11、會有 f ( x )- - A | | 所謂所謂當(dāng)當(dāng) x 和和 接近到接近到“一定程度一定程度”實(shí)際是通過實(shí)際是通過 的具體數(shù)值來體現(xiàn)的。的具體數(shù)值來體現(xiàn)的。 因此，能否確定這樣的因此，能否確定這樣的正數(shù)正數(shù) 或或這樣的這樣的正數(shù)正數(shù) 是否是否存在，就存在，就是函數(shù)是函數(shù) y = f( x )在在點(diǎn)點(diǎn) 處處是否存在極限的關(guān)鍵！是否存在極限的關(guān)鍵！ 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )在點(diǎn)在點(diǎn) x 0 的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，如的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)果存在常數(shù) A，對于任意給定的正數(shù)，對于任意給定的正數(shù) ( 無論它多么小無論它多么小),總存在正數(shù)總存在正數(shù) ，使得當(dāng)，使得當(dāng) x 滿足不等式滿

12、足不等式 0 | | x - - x 0 | | 時(shí)時(shí), ,對應(yīng)的函數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)值 f ( x )就滿足不等式就滿足不等式 | | f( x )- - A| | ，那么常數(shù)那么常數(shù) A 就叫做函數(shù)就叫做函數(shù) f( x )當(dāng)當(dāng) x x 0 時(shí)的極限，記作時(shí)的極限，記作: : 如果這樣的常數(shù)不存在，那么稱如果這樣的常數(shù)不存在，那么稱 x x 0 時(shí)時(shí) f( x )沒沒有極限，或有極限，或 不存在。不存在。 0 0lim.xxfAfA xxxx 或或 0limxxfAx例例：用定義證明：用定義證明 由函數(shù)極限的由函數(shù)極限的“ “ - - ”定義知：定義知： f( x ) A , ,( x x 0

13、)，就是對任意就是對任意給定的正數(shù)給定的正數(shù) ，一定存在這樣的正數(shù)，一定存在這樣的正數(shù) ，使得當(dāng)使得當(dāng) 0 | | x - - x 0| | 時(shí)時(shí)不等式不等式 | | f( x )- - A| | 能成立。能成立。 對本例，對本例，| f( x )- - A |=| C - - C |= 0 ，因此，因此，對任意給定的正數(shù)對任意給定的正數(shù) ，總有，總有 | f( x )- - A| ，于于是可取任意正數(shù)作為是可取任意正數(shù)作為 ，使得當(dāng)，使得當(dāng) 0 | x - - x 0| 時(shí)時(shí)不不等式等式| | f( x )- - A| | 成立。因此有成立。因此有 0lim.xxCC 0lim.xxCCxy

14、O yfCxA A C0 x例例：用定義證明：用定義證明 用極限的用極限的“ “ - - ”定義證明函數(shù)定義證明函數(shù) y = f( x )在一點(diǎn)在一點(diǎn)x 0 處的處的極限為某值極限為某值 A，就是對任意給定的正數(shù)就是對任意給定的正數(shù) ，要說明一定，要說明一定存在正數(shù)存在正數(shù) ，使得當(dāng)，使得當(dāng) 0| | x - - x 0| | 時(shí)，時(shí)，不等式不等式| | f( x )- - A| | 能成立。能成立。 要說明要說明這樣的這樣的 存在，最直接的辦存在，最直接的辦法就是將法就是將 找出來。由于式子找出來。由于式子 | f( x )- - A| 隨隨 | x - - x 0 |的的不斷變小而不斷變小

15、而逐步變小逐步變小，故可從所證式子，故可從所證式子 | | f( x )- - A| | 0 ，從不等式從不等式 | | f( x )- - A| | 出發(fā)去找出出發(fā)去找出 的過程的過程。 00lim.xxxx 對本例，由于對本例，由于 | | f( x )- - A | | = | | x - - x 0 | |. 因此因此對任意給定的正數(shù)對任意給定的正數(shù) ，只要取只要取 = ，則當(dāng)，則當(dāng) 0 | | x - - x 0| | = 時(shí)就有時(shí)就有 | | f( x )- - A| |= | | x - - x 0 | | = ，由極限的由極限的“ “ - - ”定義知定義知 00lim.xxx

16、xxOy yfxx0 x 0 x 0 x0 x例例：用定義證明：用定義證明 用極限的用極限的“ “ - - ”定義證明函數(shù)定義證明函數(shù) y = f( x )在一點(diǎn)在一點(diǎn)x 0 處的處的極限為某值極限為某值 A，就是對任意給定的正數(shù)就是對任意給定的正數(shù) ，要說，要說明一定存在正數(shù)明一定存在正數(shù) ，使得當(dāng)，使得當(dāng) 0| | x - - x 0| | 時(shí)，時(shí)，不等式不等式| | f( x )- - A| | 能成立。能成立。 要說明要說明這樣的這樣的 存在，最直接的辦法就是將存在，最直接的辦法就是將 找出找出來。由于式子來。由于式子 | | f( x )- - A| | 是隨是隨 | | x - -

17、 x 0 | | 的不斷變小而的不斷變小而逐逐步變小步變小的，故可從所證式子的，故可從所證式子 | | f( x )- - A| | 0 ，從不等式從不等式 | | f( x )- - A| | 出發(fā)去出發(fā)去找出找出 的過程的過程 1lim4 .31xx 對本例，由于對本例，由于 | | f( x )- - A | | = | |- - 4 | |= 3| | |故故對任意給定的正數(shù)對任意給定的正數(shù) ，要使要使 | | - - A | |= 3| |- -1| | ，只需，只需 | |x - - 1| | / /3 因此取因此取 = / / 3，則對這個(gè)確定的，則對這個(gè)確定的 ，當(dāng)當(dāng) 0 |

18、| x - - 1| | = / / 3 時(shí)有時(shí)有 | |( 3x + 1 )- - 4 | |= 3| | x - - 1 | | 0，由由| | f( x )- - A | | k| | x - - x 0 | | 解出解出 | | x - - x 0 | | / /k； 取取 = / /k，驗(yàn)證驗(yàn)證 0 | | x - - x 0 | | 時(shí)時(shí) 有有| | f( x )- - A| | . . 0lim.xxfAx 按照極限的一般概念，按照極限的一般概念，函數(shù)函數(shù) f( x )在一點(diǎn)在一點(diǎn) x 0 的取極的取極限過程中，動點(diǎn)限過程中，動點(diǎn) x 趨于定點(diǎn)趨于定點(diǎn) x 0 的方式必須是任意的

19、，的方式必須是任意的，但但出出于某些特殊問題的研究需要，有時(shí)需考慮動點(diǎn)于某些特殊問題的研究需要，有時(shí)需考慮動點(diǎn) x 按按某種特殊方式某種特殊方式趨于定點(diǎn)趨于定點(diǎn) x 0 時(shí)函數(shù)的變化趨勢。時(shí)函數(shù)的變化趨勢。 在在動點(diǎn)動點(diǎn) x 趨于定點(diǎn)趨于定點(diǎn) x 0 的各種方式中，有兩種特殊的各種方式中，有兩種特殊方式值得關(guān)注，即方式值得關(guān)注，即 x 僅僅從從 x 0 左側(cè)趨于左側(cè)趨于 x 0(記作記作: :x x0- - )時(shí)時(shí)的極限和的極限和 x 僅從僅從 x 0 右側(cè)趨于右側(cè)趨于 x 0 (記作記作: :x x0+ +)時(shí)時(shí)的的極限，這就是單側(cè)極限的概念。極限，這就是單側(cè)極限的概念。 相應(yīng)地，相應(yīng)地，x

20、 以任意方式趨向于定點(diǎn)以任意方式趨向于定點(diǎn) x 0 時(shí)時(shí)的極限稱為的極限稱為雙側(cè)極限。雙側(cè)極限。 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f( x )在點(diǎn)在點(diǎn) x 0 的左鄰域內(nèi)有定義，如果的左鄰域內(nèi)有定義，如果對于任意給定的正數(shù)對于任意給定的正數(shù) ( (無論它多么小無論它多么小) )，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) , ,使得對于適合不等式使得對于適合不等式 - - x - - x 0 0 的一切的一切 x，對應(yīng)的函，對應(yīng)的函數(shù)值數(shù)值 f( x )都滿足不等式都滿足不等式 | | f( x )- - A | | ，則常數(shù)，則常數(shù) A 就叫就叫做函數(shù)做函數(shù) y = f( x )當(dāng)當(dāng) x x 0 時(shí)的左極限，記作：時(shí)的左

21、極限，記作： 00lim .xxfAfAxx 或或xyO0 x yfx0fx 類似地，設(shè)函數(shù)類似地，設(shè)函數(shù) y = f( x )在點(diǎn)在點(diǎn) x 0 的右鄰域內(nèi)有定的右鄰域內(nèi)有定義，如果對于任意給定的正數(shù)義，如果對于任意給定的正數(shù) ( (無論它多么小無論它多么小) )，總存，總存存在正數(shù)存在正數(shù) ，使得對于適合不等式，使得對于適合不等式 0 x - - x 0 的一切的一切x，對應(yīng)函數(shù)值，對應(yīng)函數(shù)值 f( x )都滿足不等式都滿足不等式 | | f( x )- - A| | 0，存在，存在 0 , ,使得當(dāng)使得當(dāng) 0 | | x - - x 0| | 時(shí)，時(shí)，| | f( x )- - A| |

22、，即即 當(dāng)當(dāng) x 0 - - x x 0 時(shí)，有時(shí)，有 | | f( x )- - A| | ， 當(dāng)當(dāng) x 0 x x 0 + + 時(shí)，有時(shí)，有 | | f( x )- - A| | 0，存在，存在 1 , , 2 0，使得使得 當(dāng)當(dāng) x 0 - - 1 x x 0 時(shí)，有時(shí)，有 | | f( x )- - A| | ， 當(dāng)當(dāng) x 0 x x 0 + + 2 時(shí)，有時(shí)，有 | | f( x )- - A| | . . 取取 = min 1, , 2 ，則當(dāng)則當(dāng) 0 | | x - - x 0| | 時(shí)，以上時(shí)，以上兩式均成立，即恒有兩式均成立，即恒有 | | f( x )- - A| | .

23、. 由極限定義知：由極限定義知： 0 lim.xxfAx 00limlimxxxxfAfxx 00limlimxxxxfAfxx 0 limxxfAx. .于單側(cè)極限形式相對簡單，利用這一結(jié)果?？捎趩蝹?cè)極限形式相對簡單，利用這一結(jié)果?？蓪?fù)雜的雙側(cè)極限問題轉(zhuǎn)化為較簡單的單側(cè)極限問題將復(fù)雜的雙側(cè)極限問題轉(zhuǎn)化為較簡單的單側(cè)極限問題進(jìn)行討論，特別是對分段函數(shù)在分段點(diǎn)處極限問題，進(jìn)行討論，特別是對分段函數(shù)在分段點(diǎn)處極限問題，應(yīng)用這一結(jié)果尤為方便。應(yīng)用這一結(jié)果尤為方便。例例：設(shè)函數(shù)：設(shè)函數(shù)證明：當(dāng)證明：當(dāng) x 0 時(shí)時(shí)，f( x )的極限不存在。的極限不存在。 這是個(gè)分段函數(shù)在分這是個(gè)分段函數(shù)在分段點(diǎn)處

24、的極限討論問題。段點(diǎn)處的極限討論問題。 由于該分段函數(shù)在分段由于該分段函數(shù)在分段點(diǎn)點(diǎn) x = 0 兩側(cè)的表達(dá)式不同，兩側(cè)的表達(dá)式不同，故宜分別通過兩個(gè)單側(cè)極限故宜分別通過兩個(gè)單側(cè)極限來考察此分段點(diǎn)處的極限。來考察此分段點(diǎn)處的極限。 100010 xxfxxxx. .,xOy111yx1yx 當(dāng)當(dāng) x 0，存在，存在 = ，使得使得 當(dāng)當(dāng) - - x 0 時(shí)，有時(shí)，有 |( x - -1 )- -( - -1 )|= | x| 0 時(shí)，時(shí)，f( x )= x +1 ，易看出應(yīng)有，易看出應(yīng)有 與左極限的情形相類似，可方便地證明這一結(jié)果。與左極限的情形相類似，可方便地證明這一結(jié)果。 因?yàn)樵诜侄吸c(diǎn)因?yàn)?/p>

25、在分段點(diǎn) x = 0 處有處有 由函數(shù)在一點(diǎn)的極限與單側(cè)極限的關(guān)系知：由函數(shù)在一點(diǎn)的極限與單側(cè)極限的關(guān)系知： 不存在。不存在。 00limlim11xxfxx. . 001limlim1xxffxx . . 0limxfx 對函數(shù)性質(zhì)的直觀認(rèn)識通常是建立在有限區(qū)間基對函數(shù)性質(zhì)的直觀認(rèn)識通常是建立在有限區(qū)間基礎(chǔ)之上的。然而，通過這種認(rèn)識方法對函數(shù)性質(zhì)的了解礎(chǔ)之上的。然而，通過這種認(rèn)識方法對函數(shù)性質(zhì)的了解往往還只是往往還只是“局部的局部的”或或“有限的有限的”。 從微積分研究需要和某些實(shí)際問從微積分研究需要和某些實(shí)際問題的討論要求看，題的討論要求看，對定義在無窮區(qū)間對定義在無窮區(qū)間上的函數(shù)上的函數(shù)

26、 f( x )，要了解其，要了解其“總體總體”或或“全局全局”的性質(zhì)，還的性質(zhì)，還需要考慮需要考慮自變量自變量 x 無限增大時(shí)函數(shù)的性質(zhì)，無限增大時(shí)函數(shù)的性質(zhì)，即需研究即需研究 x 時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù) f( x )的變化的變化趨勢及性質(zhì)。趨勢及性質(zhì)。 例如，對于函數(shù)例如，對于函數(shù) f( x )= arctan x，要了其沿，要了其沿 x 軸的軸的兩端無限遠(yuǎn)去時(shí)的性狀，就必須研究兩端無限遠(yuǎn)去時(shí)的性狀，就必須研究 x 時(shí)，時(shí)，f( x )的的變化趨勢。變化趨勢。 又如，在考慮點(diǎn)電荷電場的作功問題時(shí)，就會遇到又如，在考慮點(diǎn)電荷電場的作功問題時(shí)，就會遇到如下形式的極限如下形式的極限問題：問題： f( x )

27、= kq / /x 2 0, ,( x ). .yOx2kqfxx arctanfxx2 2 設(shè)有定義在設(shè)有定義在( - - ,+,+ )上的函數(shù)上的函數(shù) y = f( x )，直觀地，直觀地考慮極限問題：考慮極限問題： f( x ) A，x . .xOy yfxx , , A A A2X1XQP 12maxXXX , 取取XX 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f( x )當(dāng)當(dāng)| | x | |大于某正數(shù)大于某正數(shù) M 時(shí)定義，如果存時(shí)定義，如果存在常數(shù)在常數(shù) A，使得對于任意給定的正數(shù)，使得對于任意給定的正數(shù) (無論它多么小無論它多么小), ,總存在著正數(shù)總存在著正數(shù) X，只要自變量，只要自變量 x 適合不等

28、式適合不等式 | x | X ，對應(yīng)的函數(shù)值對應(yīng)的函數(shù)值 f( x )就就都滿足不等式都滿足不等式| | f( x )- - A | | X 時(shí)，時(shí)，不等式不等式| f( x )- - A| 能成立。能成立。 要說明要說明這樣的這樣的 X 存在，最直接的辦法就是將存在，最直接的辦法就是將 X 找出找出來。由于式子來。由于式子 | | f( x )- - A| | 是隨著是隨著| x | 的不斷變大而的不斷變大而逐步逐步變小變小的，故可從所證式子的，故可從所證式子 | f( x )- - A| 0 ，從不等式從不等式 | f( x )- - A| 出發(fā)出發(fā)去找出去找出 X 的過程的過程 1lim

29、0 .xx 1 / / 因此取因此取 X = 1 / / ，則對這個(gè)確定的，則對這個(gè)確定的 X ，當(dāng)當(dāng) | |x| | X = 1 / / 時(shí)有時(shí)有由極限的由極限的“ “ - -X ”定義知定義知 11 0 fAxxx, 1 fAxx , 1111 01Xxx , 1lim0 .xx 由于由于 x 的過程可以是取正值而無限增大，也可的過程可以是取正值而無限增大，也可以是取負(fù)值而絕對值無限增大，因此以是取負(fù)值而絕對值無限增大，因此 x 的過程也是的過程也是一種雙向極限過程。在某些具體問題討論中，常需要分一種雙向極限過程。在某些具體問題討論中，常需要分別考察函數(shù)當(dāng)別考察函數(shù)當(dāng) x - - 和和 x

30、 + 時(shí)的時(shí)的極限問題，于是極限問題，于是有了相應(yīng)單側(cè)極限的概念。有了相應(yīng)單側(cè)極限的概念。xOy yfxA 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f( x )當(dāng)當(dāng) x 大于某正數(shù)時(shí)定義，如果存在大于某正數(shù)時(shí)定義，如果存在常數(shù)常數(shù) A，使得對于任意給定的正數(shù)，使得對于任意給定的正數(shù) (無論它多么小無論它多么小)，總存在正數(shù)總存在正數(shù) X，只要自變量，只要自變量適合不等式適合不等式 x X ，對應(yīng)的，對應(yīng)的函數(shù)值函數(shù)值 f( x )都滿足不等式都滿足不等式 | | f( x )- - A | | ，那么常數(shù)，那么常數(shù) A就叫做函數(shù)就叫做函數(shù) y = f( x )當(dāng)當(dāng) x + 時(shí)的極限，時(shí)的極限，記作：記作： 如果

31、這樣的常數(shù)不存在，如果這樣的常數(shù)不存在，那么稱那么稱 x + 時(shí)時(shí) f( x )沒有極限。沒有極限。 limxfAx , . fAxx 或或, 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y = f( x )當(dāng)當(dāng) x 小于某負(fù)數(shù)時(shí)定義，如果存在小于某負(fù)數(shù)時(shí)定義，如果存在常數(shù)常數(shù) A，使得對于任意給定的正數(shù)，使得對于任意給定的正數(shù) (無論它多么小無論它多么小)，總存在正數(shù)總存在正數(shù) X，只要自變量，只要自變量適合不等式適合不等式 x - - X ，對應(yīng)，對應(yīng)的的函數(shù)值函數(shù)值 f( x )都滿足不等式都滿足不等式 | | f( x )- - A | | 0 ，要設(shè)法找出正數(shù)，要設(shè)法找出正數(shù) X，使得當(dāng)使得當(dāng) x - - X 時(shí)

32、，時(shí)，不等式不等式| f( x )- - A| 能成立。能成立。 找找 X 的過程實(shí)際是由的過程實(shí)際是由不等式不等式 | f( x )- - A| 解出解出 x ( )，再取再取 X = - - ( )的過程。的過程。 lim01.xxaa , 其其中中 對任意給定的正數(shù)對任意給定的正數(shù) ，為證明方便，為證明方便 不妨設(shè)不妨設(shè) 0 1 . . 于是，于是，要使不等式要使不等式 | f( x )- - A|= | a x - - 0|= a x ，成立，只需成立，只需 x ln a ln ，即，即 x 1 時(shí)，指數(shù)函數(shù)時(shí)，指數(shù)函數(shù) a x 單單調(diào)增，故調(diào)增，故當(dāng)當(dāng) x - - X 時(shí)有時(shí)有 |

33、a x - - 0|= a x 0，存在，存在 X 0 , ,使得當(dāng)使得當(dāng) | | x | | X 時(shí)，時(shí)，| | f( x )- - A| | ，即即 當(dāng)當(dāng) x - - X 時(shí)，有時(shí)，有 | | f( x )- - A| | X 時(shí)，有時(shí)，有 | | f( x )- - A| | 0，存在，存在 X 1 , ,X 2 0，使得使得 當(dāng)當(dāng) x - - X 1 時(shí)，有時(shí)，有 | | f( x )- - A| | X 2 時(shí)，有時(shí)，有 | | f( x )- - A| | X 時(shí)，以上兩式時(shí)，以上兩式均成立，即恒有均成立，即恒有 | | f( x )- - A| | . . 由極限定義知：由極限定

34、義知： lim.xfAx limlimxxfAfxx limlimxxfAfxx limxfAx. .xOy yfxx , , A A A2X1XQP 12maxXXX , 取取XX例：例：判別極限判別極限 是否存在，若存在，試確定是否存在，若存在，試確定之；若不存在，試說明理由。之；若不存在，試說明理由。 由于基本初等函數(shù)由于基本初等函數(shù) arctan x 只是形式表達(dá)式而只是形式表達(dá)式而非運(yùn)算式。因此可直接從其幾何性質(zhì)考察極限存在性。非運(yùn)算式。因此可直接從其幾何性質(zhì)考察極限存在性。由函數(shù)圖形易看出，當(dāng)由函數(shù)圖形易看出，當(dāng) x- 和和 x+ 時(shí)，該函數(shù)有時(shí)，該函數(shù)有不同的變化趨勢，故可由單側(cè)

35、極限確定該極限不存在。不同的變化趨勢，故可由單側(cè)極限確定該極限不存在。 因?yàn)橐驗(yàn)楣视蓡蝹?cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系知，極限故由單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系知，極限不存在。不存在。 lim arctanxx lim arctanlim arctan22xxxx , . . lim arctanxx xOy yfxx , , A A A2X1XQP 12maxXXX , 取取XX 自變量趨向于無窮大時(shí)函數(shù)取極限的幾何特征是函自變量趨向于無窮大時(shí)函數(shù)取極限的幾何特征是函數(shù)圖形無限接近于一條水平直線。由此可建立所謂水平數(shù)圖形無限接近于一條水平直線。由此可建立所謂水平漸近線的概念。漸近線的概念。 若函數(shù)若函數(shù) y

36、 = f( x )具有下列三種情形之一：具有下列三種情形之一：則稱直線則稱直線 y = A 為函數(shù)為函數(shù) y = f( x )圖形的水平漸近線。圖形的水平漸近線。 函數(shù)函數(shù) y = f( x )圖形的漸近線對了解函數(shù)的幾何性質(zhì)圖形的漸近線對了解函數(shù)的幾何性質(zhì)及函數(shù)作圖都有重要作用。及函數(shù)作圖都有重要作用。 limlimlim.xxxfAfAfAxxx , , , , xOy yfxyA limxfAx limxfAx limxfAx 已證得極限已證得極限 由定義知，由定義知，直線直線 y = 0 為曲線為曲線 y = 1/ /x 的一條水的一條水平漸近線。平漸近線。 1lim0 xx . .x

37、Oy1yx 因?yàn)橐驗(yàn)?故故直線直線y = / /2, , y = - - / /2 均為曲線均為曲線 y = arctan x 的水平漸近線。的水平漸近線。 lim arctan lim arctan22xxxx ,yOx arctanfxx2y 2y 函數(shù)在一點(diǎn)的性質(zhì)是由其在該點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)決定函數(shù)在一點(diǎn)的性質(zhì)是由其在該點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)決定的，而函數(shù)在一點(diǎn)的極限的，而函數(shù)在一點(diǎn)的極限反映了反映了函數(shù)在該點(diǎn)函數(shù)在該點(diǎn)鄰域內(nèi)的性鄰域內(nèi)的性質(zhì)。同理，質(zhì)。同理，函數(shù)當(dāng)自變量趨于無窮函數(shù)當(dāng)自變量趨于無窮大時(shí)的極限反映了函數(shù)在無窮遠(yuǎn)大時(shí)的極限反映了函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的處的性質(zhì)。因此，研究和了解性質(zhì)。因此，研究和了解函函數(shù)極限數(shù)極限性質(zhì)是研究函數(shù)性質(zhì)的性質(zhì)是研究函數(shù)性質(zhì)的基本手段和方法?；臼侄魏头椒?。 C. P. U. Math. Dept. 楊訪楊訪 如果如果 ，且，且 A 0，那么必存在某個(gè)正數(shù)，那么必存在某個(gè)正數(shù) ，使得當(dāng)，使得當(dāng) 0 | | x - - x 0 | | X 時(shí)時(shí) f( x )恒不為恒不為零且與零且與 A 有相同符號。有相同符號。 0limxxfAx limxfAx 定理是按兩種極限形式敘述的，每一種極限形式定理是按兩種極限形式