第五章數(shù)值微分與數(shù)值積分

1、1第五章第五章 數(shù)值微分與數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分與數(shù)值積分2數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分hhxfhxfhhxfxfhxfhxfxfhhh2)()(lim)()(lim)()(lim)( 0001. 函數(shù)函數(shù)f(x)以離散點列給出時，而要求我們給出導(dǎo)數(shù)值，以離散點列給出時，而要求我們給出導(dǎo)數(shù)值，2. 函數(shù)函數(shù)f(x)過于復(fù)雜過于復(fù)雜這兩種情況都要求我們用數(shù)值的方法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值這兩種情況都要求我們用數(shù)值的方法求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值微積分中，關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義如下：微積分中，關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義如下：自然，而又簡單的方法就是，取極限的近似值，即差商自然，而又簡單的方法就是，取極限的近似值，即差商3hxfhxfxf)()()( 000

2、由由Taylor展開展開hxxfhxhfxfhxf002000),( ! 2)( )()(因此，有誤差因此，有誤差)()( ! 2)()()( )(000hOfhhxfhxfxfxR向前差商向前差商4hhxfxfxf)()()( 000由由Taylor展開展開hxxfhxhfxfhxf002000),( ! 2)( )()(因此，有誤差因此，有誤差)()( ! 2)()()( )(000hOfhhhxfxfxfxR向后差商向后差商5hhxfhxfxf2)()()( 000由由Taylor展開展開23000010102300002020()()()()( ),2!3!()()()()(),2!3

3、!hhf xhf xhfxfxfxxhhhf xhf xhfxfxfxhx因此，有誤差因此，有誤差)()( 6)( )( 12 2)()()( )(22212000hOfhffhhhxfhxfxfxR中心差商中心差商6 由誤差表達(dá)式，由誤差表達(dá)式，h越小，誤差越小，但同時舍入誤差增越小，誤差越小，但同時舍入誤差增大，所以，有個最佳步長大，所以，有個最佳步長我們可以用事后誤差估計的方法來確定我們可以用事后誤差估計的方法來確定設(shè)設(shè)D(h),D(h/2)分別為步長為分別為步長為h,h/2的差商公式。則的差商公式。則)2()(hDhD時的步長時的步長h/2就是合適的步長就是合適的步長( )( )( )

4、( )( /2)( /2)fxD hO hfxD hO h( )( )( )2( )( /2)( /2)fxD hO hfxD hO h( )( )2( )2 ( /2)fxD hfxD h( )( /2)( )( /2)fxD hD hD h7f(x)=exp(x)h hf(1.15)f(1.15)R(xR(x) )h hf(1.15)f(1.15) R(xR(x) )0.100.103.16303.1630-0.0048-0.00480.050.053.15903.1590-0.0008-0.00080.090.093.16223.1622-0.0040-0.00400.040.043.1

5、5883.1588-0.0006-0.00060.080.083.16133.1613-0.0031-0.00310.030.033.15833.1583-0.0001-0.00010.070.073.16073.1607-0.0025-0.00250.020.023.15753.1575-0.0007-0.00070.060.063.16003.1600-0.0018-0.00180.010.013.15503.1550-0.0032-0.0032例：8 插值是建立逼近函數(shù)的手段，用以研究原函數(shù)的性質(zhì)。插值是建立逼近函數(shù)的手段，用以研究原函數(shù)的性質(zhì)。因此，可以用插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)近似為原函數(shù)的導(dǎo)

6、數(shù)因此，可以用插值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)近似為原函數(shù)的導(dǎo)數(shù))()()()(xLxfknk誤差誤差)()()()!1()()()1(xLxfxnfxRnnnn)()!1()()()1()(xnfdxdxRnnkkkn插值型數(shù)值微分插值型數(shù)值微分9給定點列給定點列10( ,( )iiixf x且且10 xxh，求，求10(),()fxfx解：解：01101()()( )()()xxxxL xf xf xhh-例例1101()() ( )f xf xLxh余項余項10010()()() ()( )2f xf xhfxLxfh10111()()() ()( )2f xf xhfxLxfhTaylor展開分析，可以

7、知道，它們都是展開分析，可以知道，它們都是( )O h稱為稱為兩點公式兩點公式10給定點列給定點列20)(,(iiixfx且且hxxxx0112，求，求)( ),( ),( 012xfxfxf解：解：)(2)()()()(2)()(2210122002212xfhxxxxxfhxxxxxfhxxxxxL)(2)()()()(2)()(2210122002212xfhxxxxxfhxxxxxfhxxxxxL例例21120200121() ()3 ()4 ()()( )23hfxLxf xf xf xfh2121021() ()()()( )26hfxLxf xf xfh22220121() ()

8、()4 ()3 ()( )23hfxLxf xf xf xfhTaylor展開分析，可以知道，它們都是展開分析，可以知道，它們都是)(2hO稱為稱為三點公式三點公式2(4)0200121221() ()()2 ()()( )()6hfxLxf xf xf xhffh 2(4)11201221() ()()2 ()()( )12hfxLxf xf xf xfh2(4)2220121221() ()()2 ()()( )()6hfxLxf xf xf xhffh12例例3已知函數(shù)已知函數(shù)y=ex的下列數(shù)值的下列數(shù)值x2.52.62.72.82.9y=ex12.182513.463714.87971

9、6.444618.1741試用兩點數(shù)值微分公式和三點數(shù)值微分公式計算試用兩點數(shù)值微分公式和三點數(shù)值微分公式計算x=2.7處函處函數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)值。數(shù)的一、二階導(dǎo)數(shù)值。解：取解：取h=0.2，x0=2.5,x1=2.7,x2=2.9，計算結(jié)果如下：，計算結(jié)果如下：114.8797 12.1825(2.7) (2.7)13.4860.2fL（兩點）218.1741 12.1825(2.7) (2.7)14.9792 0.2fL（三點）121(2.7) (2.7)12.18252 14.8797 18.174114.930(0.2)fL 13 取取h=0.1，x0=2.6,x1=2.7,x2=2.

10、8，計算結(jié)果如下：，計算結(jié)果如下：114.8797 13.4637(2.7) (2.7)14.1600.1fL（兩點）216.4446 13.4637(2.7) (2.7)14.9052 0.1fL（三點）121(2.7) (2.7)13.46372 14.8797 16.444614.890(0.1)fL f(2.7)與與f(2.7)的真值都是的真值都是14.87973，上面計算表明，上面計算表明，三點公式三點公式 比兩點公式準(zhǔn)確，步長比兩點公式準(zhǔn)確，步長h越小結(jié)果也越準(zhǔn)確。越小結(jié)果也越準(zhǔn)確。14)()()(aFbFdxxfba關(guān)于積分，有關(guān)于積分，有Newton-Leibniz公式公式但是

11、，在很多情況下，還是要數(shù)值積分：但是，在很多情況下，還是要數(shù)值積分：1、函數(shù)、函數(shù)f(x)的積分存在，但的積分存在，但F(x)不能用初等函數(shù)表示，不能用初等函數(shù)表示，例如：例如：2、被積函數(shù)、被積函數(shù)f(x)表達(dá)式未知，表達(dá)式未知，f(x)是用表格形式給出的。是用表格形式給出的。3、用微積分中的換元積分、分部積分等方法能積出、用微積分中的換元積分、分部積分等方法能積出f(x)的原函數(shù)，但過程復(fù)雜（比如復(fù)雜的有理函數(shù)積分）。的原函數(shù)，但過程復(fù)雜（比如復(fù)雜的有理函數(shù)積分）。11200sin,sinxdxx dxx數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分15積分中值定理告訴我們積分中值定理告訴我們 若若f(x)在區(qū)間在區(qū)間

12、a,b上連續(xù)，則在上連續(xù)，則在a,b上至少存在一點上至少存在一點 ， 滿足滿足( )() ( )baf x dxba f幾何意義：幾何意義：b( )yfxyxOa16梯形公式：梯形公式：( )( )2baTf af b矩形公式：矩形公式：()2abRba f幾何意義：幾何意義：（5.1）（5.2）yxOab( )yf x17更一般地，定義數(shù)值積分是離散點上的函數(shù)值的線性組合更一般地，定義數(shù)值積分是離散點上的函數(shù)值的線性組合0()()()nbiinaifx dxa fxIf稱為求積系數(shù)，與稱為求積系數(shù)，與f(x)無關(guān)，與積分區(qū)間和求積節(jié)點無關(guān)，與積分區(qū)間和求積節(jié)點xi有關(guān)有關(guān)這類數(shù)值積分方法通常

13、稱為這類數(shù)值積分方法通常稱為機械求積機械求積。兩個問題：兩個問題：1、系數(shù)、系數(shù)ai如何選取，即選取原則如何選取，即選取原則2、若節(jié)點可以自由選取，取什么點好？、若節(jié)點可以自由選取，取什么點好？（5.3）18求積公式的求積公式的余項余項（截斷誤差）：（截斷誤差）： 0( )( )nbniiaiRff x dxa f x19代數(shù)精度代數(shù)精度)()(0iniinxfafI為數(shù)值積分，為數(shù)值積分，badxxffI)()(為積分，則稱數(shù)值為積分，則稱數(shù)值積分有積分有m階代數(shù)精度階代數(shù)精度是指：是指：11()(),0,;()()iimmnnIxI xim IxI x定義定義對任意次數(shù)不高于對任意次數(shù)不高

14、于m次的多項式次的多項式f(x)，數(shù)值積分沒有誤差，數(shù)值積分沒有誤差 可以驗證，梯形公式（可以驗證，梯形公式（5.1）和矩形公式（）和矩形公式（5.2）均具）均具有一次代數(shù)精度。有一次代數(shù)精度。20例例4、確定求積公式、確定求積公式的代數(shù)精度。的代數(shù)精度。解：引入記號，記求積公式解：引入記號，記求積公式(5.3）的左邊為）的左邊為I(f)，當(dāng)，當(dāng)f(x)分別取分別取1,x,x2,x3,x4時，計算如下：時，計算如下：1111( )33f x dxff11111222133133314414441(1)12,(1)1 12.11( )0,( )0.332112(),().333311()0,()

15、0.332112(),().5933nnnnnIdxII xxdxIxI xx dxIxI xx dxIxI xx dxIx 21 可見，當(dāng)可見，當(dāng)f(x)分別為分別為1,x,x2,x3時，求積公式（時，求積公式（5.3）的）的左右兩邊精確相等，而當(dāng)左右兩邊精確相等，而當(dāng)f(x)= x4 時，左右兩邊不等，所時，左右兩邊不等，所以該求積公式具有以該求積公式具有3次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。顯然，一個求積公式的代數(shù)精度越高，用它來進(jìn)行積分的顯然，一個求積公式的代數(shù)精度越高，用它來進(jìn)行積分的近似計算越具有好的實際計算意義。近似計算越具有好的實際計算意義。22用插值函數(shù)的積分，作為數(shù)值積分用插值函數(shù)的積

16、分，作為數(shù)值積分)()()()()()(00inibaiibaniibannxfdxxldxxfxldxxLfI ia代數(shù)精度代數(shù)精度:由由Lagrange插值的余項表達(dá)式插值的余項表達(dá)式(1)1( )( )( )(1)!nnnfR xxn于是，余項于是，余項(1)1()()()( )( )( ,)(1)!nbbnnnxaafIfIfRx dxx dxa bn可以看出，至少可以看出，至少n階代數(shù)精度階代數(shù)精度nkxxfxfkn,)(, 0)()1(插值型插值型（5.4）23 反之，如果求積公式反之，如果求積公式(5.3)至少具有至少具有n次代數(shù)精次代數(shù)精度，則它必是插值型的。度，則它必是插值型

17、的。 事實上，如果求積公式事實上，如果求積公式(5.3)至少具有至少具有n次代數(shù)精度，則次代數(shù)精度，則當(dāng)當(dāng)f(x)分別取分別取l0(x),l1(x),ln(x)（注意到它們都是（注意到它們都是n次多項式）次多項式）時，求積公式均精確成立。比如取時，求積公式均精確成立。比如取f(x)=li(x)代入得代入得因此，求積公式是插值型的。因此，求積公式是插值型的。0011( )()()()(0,1, )biiin inail x dxa l xal xa l xain定理定理1、形如、形如(5.3)的求積公式至少具有的求積公式至少具有n次代數(shù)精度的充分必次代數(shù)精度的充分必要條件是，它是插值型的。要條件

18、是，它是插值型的。24例例5、驗證求積公式、驗證求積公式是插值型求積公式。是插值型求積公式。解：從求積公式中可以看出，求積節(jié)點為解：從求積公式中可以看出，求積節(jié)點為求積系數(shù)求積系數(shù)a0=1,a1=1.要驗證求積公式是插值型的，就是要驗要驗證求積公式是插值型的，就是要驗證證計算知計算知1111( )33f x dxff0111,33xx 11( )0,1iial x dxi11001113( )11133xlx dxdxa 2511111113( )11133xl x dxdxa 所以所給求積公式是插值型求積公式。所以所給求積公式是插值型求積公式。26例例6、給定求積節(jié)點、給定求積節(jié)點x0=0,

19、x1=1,試推導(dǎo)出積分試推導(dǎo)出積分的插值型求積公式，并寫出其截斷誤差。的插值型求積公式，并寫出其截斷誤差。解：設(shè)求積公式為解：設(shè)求積公式為要使其成為插值型，則要使其成為插值型，則所以求積公式為所以求積公式為11( )f x dx1011( )(0)(1)f x dxa fa f1100111111111( )20 10( )01 0 xalx dxdxxal x dxdx11( )2 (0)f x dxf27該插值型求積公式的該插值型求積公式的截斷誤差截斷誤差為為 111111( )1()(0)(1)2xRfR x dxfxxdx其中其中( 1,1)x 28Newton-Cotes 積分積分

20、將積分區(qū)間將積分區(qū)間a,bn等分，分點記為等分，分點記為 a=x0 x1xn=b, 則有則有xi=a+ih, (i=0,1,2,n) 在求積節(jié)點等距情形下，構(gòu)造的插值型求積公式稱為在求積節(jié)點等距情形下，構(gòu)造的插值型求積公式稱為牛牛頓柯特斯（頓柯特斯（NewtonCotes）公式）公式。bahn29dtntititttnininhdthinintititttdxxlaninninthaxbaii00)() 1)(1() 1()!( !) 1( ) 1()!( !)() 1)(1() 1()()()(niiCaba)( niC(b-a)僅與步長僅與步長n有關(guān)，可以預(yù)先求出有關(guān)，可以預(yù)先求出30于是

21、，插值型求積公式于是，插值型求積公式(5.4)可寫成可寫成( )0( )()( )( )nbniinaif x dxbaCf xIx（5.5）式（式（5.5）稱為）稱為Newton-Cotes求積公式求積公式， 叫做叫做柯特斯系數(shù)柯特斯系數(shù)，其求積其求積截斷誤差截斷誤差為為( )niC (1)()1(1)!2(1)0( )() (1)()( , )(1)!nxbfnnnannnxxRfx dxhft ttn dta bn（5.6）31( )01nniiC（權(quán)質(zhì)性）.數(shù)(n)(n)i i柯柯特特斯斯系系C 的C 的性性：證數(shù)為對積將n nb b( (n n) )i ii ia ai i= =0

22、0n nb b( (n n) )i ii ia ai i= =0 0n n( (n n) )i ii ii i= =0 0明明：由由于于N Ne ew wt to on nC Co ot te es s公公式式代代精精度度至至少少n n次次，故故f f( (x x) )= = 1 1, ,求求公公式式f f( (x x) )d dx x( (b b - - a a) )C Cf f( (x x ) )精精確確成成立立，f f( (x x) )= = 1 1代代入入得得1 1d dx x = =( (b b - - a a) )C Cf f( (x x ) )即即C Cf f( (x x ) )

23、= = 1 132N1時2121) 1(10)1(110)1(0dttCdttC1( )( )( )2baIff af b梯形公式33N2時時61) 1(4164)2(2161)2)(1(4120)2(220)2(120)2(0dtttCdtttCdtttC2( )( )4 ()( )62babaIff aff bSimpson公式34N4時，計算可得柯特斯系數(shù)為時，計算可得柯特斯系數(shù)為4( )7 ( )32 ( ) 12 ( )32 ( )7 ( )90baIff af df cf ef b柯特斯公式柯特斯公式(4)(4)(4)(4)(4)01234732123279090909090CCC

24、CC其中其中3,424baabdaceaba351、梯形公式、梯形公式31( )( )()( )()()()()( )2!2!12bbaaffb aE fx a x bdxx a x bdxf 此處用了積分中值定理此處用了積分中值定理誤差誤差362、Simpson公式公式2332(4)2(4)5(4)( )( )( )( )()()( )( ) ()()4!2( )() ()()( )4!22880babaEfI fS fI fI PI PS ffabxaxxb dxfabbaxaxxb dxf 注意到，注意到，Simpson公式有公式有3次代數(shù)精度，因此為了對誤差有次代數(shù)精度，因此為了對誤差

25、有更精確地估計，我們用更精確地估計，我們用3次多項式估計誤差次多項式估計誤差)2( )2( ),2()2(),()(),()(3333bafbaPbafbaPbfbPafaP為037 猜想：猜想：N-C積分，對偶數(shù)有積分，對偶數(shù)有n1次代數(shù)次代數(shù)精度，而奇數(shù)為精度，而奇數(shù)為n次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。38定理定理3、當(dāng)?shù)确謹(jǐn)?shù)、當(dāng)?shù)确謹(jǐn)?shù)n為偶數(shù)時，為偶數(shù)時，NewtonCotes公式公式(5.5)至少至少具有具有n+1次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。證明：由定理證明：由定理1可知，可知， (5.5)至少具有至少具有n次代數(shù)精度。下面只次代數(shù)精度。下面只需證明，需證明，當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時，式為偶數(shù)時，式(5.5

26、)對對f(x)=xn+1精確成立精確成立。也就。也就是截斷誤差是截斷誤差Rnf=0. 由于由于f(x)=xn+1,所以所以f(n+1)(x)=(n+1)!，由式，由式(5.6)得得令積分變量變換令積分變量變換 ，因為，因為n為偶數(shù)，故為偶數(shù)，故 為整數(shù)，為整數(shù)， 20(1)()nnnRfht ttn dt2ntz2n39 222222222222()(1)22(1) (1)(1)()22(1 )(2 )20nnnnnnnnnRfhzznnzz zzzdznhz zzzdz證畢。證畢。40復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式 復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式 將區(qū)間將區(qū)間a,b劃分為劃分為n等分，分點等分，分點在每

27、個子區(qū)間在每個子區(qū)間xk,xk+1(k=0,1,n-1)上采用梯形公式，則上采用梯形公式，則,0,1,.,kb axakh hknn110110( )( )()()( )2kknbxaxknkknkIf x dxf x dxhf xf xRf41記記11011()()2( )2()( )2nnkkknkkhTf xf xhf af xf b（5.7）稱為稱為復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式，其余項為，其余項為3110( )() ,(,)12nnnkkkkkhRfITfxx42 項為當(dāng)長時斂n-1n-1kkkkkk0 k n-10 k n-10 k n-10 k n-1k=0k=0n-1n-1k kk=

28、0k=0n nn na a2 2b b2 21 1min f (min f ()f ()f ()max f ()max f () )n n1 1f (f ()=f ()=f (由由于于f(x) C a,b,且f(x) C a,b,且所所以以 (a,b)使(a,b)使于于是是復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式余余由由上上式式可可知知，步步h h 0即0即n n +，R (R (復(fù)復(fù)) )n nb-ab-aR (f)= -R (f)= -化化梯梯形形公公式式是是收收于于f(f(f)f) 0 0 x)dxx)dx, ,h f (h f (1212故故) )的的。（5.8）43 復(fù)化復(fù)化Simpson公式公式

29、將區(qū)間將區(qū)間a,b劃分為劃分為n等分，在每個子區(qū)間等分，在每個子區(qū)間xk,xk+1 上采用上采用Simpson公式，若記公式，若記xk+1/2=xk+h/2，則，則11011/210( )( )()4 ()()( )6kknbxaxknkkknkIf x dxf x dxhf xf xf xRf44記記11/210111/201()4 ()()6( )4()2()( )6nnkkkknnkkkkhSf xf xf xhf af xf xf b(5.9)稱為稱為復(fù)化復(fù)化Simpson公式公式，其余項為，其余項為41(4)10( )(),(,)180 2nnnkkkkkhhRfISfxx 4544

30、(4)( ) ,( )02(18nbahRfff xC a b 于是當(dāng)時，類似復(fù)化梯形公式余項有與復(fù)化梯形公式的復(fù)化Simps討論類似，可以on公式證明，是收斂的。(5.10)46例例7、已知某河寬為、已知某河寬為20m，測得水深，測得水深f(x)如下表（單位：如下表（單位：m）：）：xk02468101214161820f(xk)1.01.51.83.02.82.53.02.82.01.81.4分別用復(fù)化梯形公式及復(fù)化分別用復(fù)化梯形公式及復(fù)化Simpson公式計算河水的截面公式計算河水的截面積積200( )f x dx47解解：用復(fù)化梯形公式。取用復(fù)化梯形公式。取n=10，步長，步長h=2,

31、于是于是92010100912( )()()2( )2()( )221.02(1.5 1.83.02.82.523.02.82.0 1.8) 1.444.8()kkkkkhf x dx Tf xf xhf af xf bm48（2）用復(fù)化）用復(fù)化Simpson公式。公式。n=5,h=4,這時這時12051/2100441/2012( )()4 ()()64( )4()2()( )641.04(1.53.02.52.8 1.8)62(1.82.83.02.0) 1.445.3()nkkkkkkkkhf x dxSf xf xf xf af xf xf bm49計積時斷 誤絕 對過問 應(yīng) 將 區(qū)

32、間1 1- - x x0 0- - 4 4例例 8 8 、 用用 復(fù)復(fù) 化化 梯梯 形形 公公 式式算算分分e ed d x x 的的 近近 似似 值值，1 1要要 求求 截截差差 的的值值 不不 超超 1 1 0 0，2 2 0 0 , ,1 1 分分 成成 多多 少少 等等 份份 ？01222424,( ),max |( ) |1,1| |()()1212112111| |10102122140.841)xxxefxefxbaRfhfhfhRfhnh 解 ： f(x)=求 出 導(dǎo) 數(shù)于 是用 復(fù) 化 梯 形 公 式 時 ， 根 據(jù) 其 余 項 估 計 式要 使， 只 需因 此h0.0244

33、9從 而n=（ 取50龍貝格（龍貝格（RombergRomberg）求積公式）求積公式v 復(fù)化梯形公式逐次分半算法復(fù)化梯形公式逐次分半算法11211121 , 2 (0,1,2,)(0,1,2,2 ).2( )2()( )2mmmmmkmmmmka bnmbahxakhkhTf af akhf b將積分區(qū)間分成等份，步長記為，則分點根據(jù)復(fù)化梯形公式，可以計算有當(dāng)，于時是m-1m-1mm1 12 2n = 2T的n = 2T的值值51現(xiàn)將區(qū)間將時個區(qū)間個間遞計mmm mm mm mm m1 1mm-1mm-12 22 2 2 2m m2 2k 1k 12 21 1m m= =a,b分a,b分成成

34、2 等2 等份份，也也就就是是2等2等分分的的每每小小逐逐分分半半，下下面面根根據(jù)據(jù)復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式，算算T Th hT=f(a)+2f(a+kh )+f(b)T=f(a)+2f(a+kh )+f(b)下下面面建建立立T T2 2與與T 之T 之的的推推公公式式。52于是m mm mm m- -1 1m m- -1 1m m- -1 1m m- -1 1m mm m- -1 12 2 1 1m mm m2 2k k= =1 12 21 1m mm mk k= =1 12 2m mk k= =1 12 21 1m mm m- -1 1k k= =1 12 2m mm mk k= =1 1

35、m mm m2 22 2k k= =h hT Tf f( (a a) )+ + 2 2f f( (a a + + k kh h ) )+ + f f( (b b) )2 2h hf f( (a a) )+ + 2 2f f( (a a + + 2 2k kh h ) )2 2+ +2 2f f( (a a + +( (2 2k k - -1 1) )h h ) )+ + f f( (b b) )h hf f( (a a) )+ + 2 2f f( (a a + + k kh h) )+ + f f( (b b) )2 2+ +h hf f( (a a + +( (2 2k k - -1 1)

36、)h h ) )1 1T TT Th hf f( (a a + +( (2 2k k - -1 1) )h h ) )2 2(1,2,)m m m- -1 12 21 1(5.11)53式（式（5.11）稱為復(fù)化梯形公式的）稱為復(fù)化梯形公式的逐次分半計算公式逐次分半計算公式。注意注意：運用逐次分半算法時，一般預(yù)先給定誤差限：運用逐次分半算法時，一般預(yù)先給定誤差限，當(dāng)，當(dāng)|T2mT2m-1|時，停止計算，取時，停止計算，取T2m為所給積分的近似值。為所給積分的近似值。例例9、用復(fù)化梯形公式逐次分半算法計算、用復(fù)化梯形公式逐次分半算法計算的近似值，要求的近似值，要求|T2mT2m-1|10-512041dxx5421214241()0,1111(0)(1)(42)322120,15.1121113.12221330,1445.1111133.131176742444fxxTffxTTfxxTTff解 ： （ ）， 在 區(qū) 間上 用 梯 形 公 式（ ） 將分 成 兩 等 份 ，是 新 分 點 ， 由 （） 式 得（ ） 將分 成 四 等 份 ， 這 時,是 新 分 點 ， 由（） 式 得這 樣 不 斷1248,TTTT-5512256512將 區(qū) 間 逐 次 分 半 ， 由 遞 推 公 式 可 依 次 求 出