化工過程分析與合成化工過程系統(tǒng)的優(yōu)化

1、會計學1化工過程分析與合成化工過程系統(tǒng)的優(yōu)化工過程分析與合成化工過程系統(tǒng)的優(yōu)化化第1頁/共151頁學習重點與難點J線性規(guī)劃問題；J非線性規(guī)劃問題學習目的第1頁/共151頁第2頁/共151頁4.1.1 優(yōu)化問題的產(chǎn)生通過對化工過程系統(tǒng)的分析，可以建立過程系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)的數(shù)學模型。這些數(shù)學模型是對實際過程系統(tǒng)進行模擬的基礎。所謂系統(tǒng)仿真（或系統(tǒng)模擬）實際上就是建立過程的數(shù)學模型。 對于化工過程系統(tǒng)而言，建立數(shù)學模型不僅僅是為了對過程進行模擬，其最終目的是要對過程進行優(yōu)化。 化工系統(tǒng)工程的基礎是模擬，但其核心內(nèi)容是過程系統(tǒng)的最優(yōu)化。第2頁/共151頁第3頁/共151頁4.1.2 優(yōu)化問題F生產(chǎn)每噸

2、產(chǎn)品的成本最小: 與目標大小相關的操作變量，如T，P，U等； 實際上，就是求解當成本最小時的最佳操作條件。優(yōu)化目標第3頁/共151頁第4頁/共151頁4.1.3 優(yōu)化問題的類型A 參數(shù)優(yōu)化 （設計參數(shù)、操作參數(shù)）一 過程系統(tǒng)優(yōu)化問題二 求解方法優(yōu)化問題B 結構優(yōu)化C 管理優(yōu)化過程系統(tǒng)合成問題，在第7/8章介紹第4頁/共151頁第5頁/共151頁A 參數(shù)優(yōu)化 （設計參數(shù)、操作參數(shù)）一 過程系統(tǒng)優(yōu)化問題確定設計參數(shù)、操作參數(shù)，使系統(tǒng)某個技術指標最佳。 例如： 在設計化工設備或成套裝置時，總會碰到設備投資費用和操作費用之間的矛盾，即如何在設備投資費用與操作費用之間求得平衡，使總的投資效益最好； 設計

3、參數(shù)優(yōu)化問題如:精餾塔設計中適宜回流比的選擇第5頁/共151頁第6頁/共151頁又如： 對于運行著的化工裝置，則需要我們通過定性的和定量的分析來確定能使單元或系統(tǒng)的某個目標函數(shù)達到最大（?。┲禃r的生產(chǎn)操作條件 .操作參數(shù)最優(yōu)化 在實際生產(chǎn)過程中,調(diào)節(jié)溫度、壓力，使原料轉(zhuǎn)化率最大第6頁/共151頁第7頁/共151頁僅當某些因素（變量）從正反兩方面影響優(yōu)化目標時，才會存在最優(yōu)化問題。注意：并非所有的系統(tǒng)均存在最優(yōu)化問題。這類問題中，決策變量（參數(shù)、生產(chǎn)條件）與目標間的函數(shù)關系必定存在一個以上的峰（谷），即參數(shù)最優(yōu)化問題。第7頁/共151頁第8頁/共151頁B 結構優(yōu)化達到一定的生產(chǎn)目的，應采用什么

4、樣的工藝路線、什么樣的流程結構最為合理，即流程方案的優(yōu)化。即確定系統(tǒng)的構造（流程），使達到一定的生產(chǎn)目的，且系統(tǒng)合成。 F費用最小，同時還應保證該方案滿足安全、環(huán)保、易于實現(xiàn)等要求。第8頁/共151頁第9頁/共151頁流程方案的優(yōu)化第9頁/共151頁第10頁/共151頁結構優(yōu)化和參數(shù)優(yōu)化的最終目的：尤其是大型化工企業(yè)，由于其龐大的投資和漫長的建設周期，建成后是否具有競爭力至關重要，生產(chǎn)效益成為關注的焦點，故化工過程系統(tǒng)的優(yōu)化也就變得十分重要。第10頁/共151頁第11頁/共151頁二 求解方法優(yōu)化問題一旦最優(yōu)化問題提出，就還涉及到問題的求解，即求解方法的最優(yōu)化問題。1、如何將研究對象轉(zhuǎn)化成最優(yōu)

5、化數(shù)學模型；需要解決的問題：2、采用什么樣的數(shù)學方法來求解最優(yōu)化數(shù)學模型。A 分析問題屬于哪種類型：連續(xù)操作還是間歇操作；穩(wěn) 態(tài)操作還是動態(tài)操作；單目標優(yōu)化還是多目標優(yōu)化等。B 選擇建立何種模型進行優(yōu)化：確定性模型、統(tǒng)計模型還是 半經(jīng)驗模型。第11頁/共151頁第12頁/共151頁4.2 化工過程系統(tǒng)優(yōu)化問題基本概念4.2.1 最優(yōu)化問題的數(shù)學描述問題的提出及數(shù)學模型： A、優(yōu)化的目標是什么？ B、哪些變量/參數(shù)與優(yōu)化目標關系密切？；C、系統(tǒng)優(yōu)化問題的數(shù)學描述如何進行？D、如何求解描述系統(tǒng)的優(yōu)化數(shù)學模型？原則：與目標關系大、靈敏；生產(chǎn)上可調(diào)；盡可能少第12頁/共151頁第13頁/共151頁J最

6、優(yōu)化：在給定條件下獲得最好的結果。 在數(shù)學上，求解最優(yōu)化問題就是找到一組決策變量，使目標函數(shù)J達到最大或最小值。 由于目標函數(shù)J的最小值就是-J的最大值，即：min J=max -J。所以求解最小值的方法完全可以用于求解最大值問題。求目標函數(shù)的最小值：min J=min F(y) 服從約束條件： 不等式等式 g(y)=0 e(y)=0 y=(y1,y2,yn)T 第13頁/共151頁第14頁/共151頁一、目標函數(shù)（性能函數(shù)、評價函數(shù)）目標函數(shù):最優(yōu)化問題所要達到的目標. 不同的決策，其好壞優(yōu)劣要以它們使目標函數(shù)達到多少為評判標準。系統(tǒng)的產(chǎn)量最大、經(jīng)濟收益最大、能量消耗最小、原料利用率最高、操

7、作成本最低、投資成本最低、穩(wěn)定操作周期最長等. 也可以是以上某些單個目標的組合，構成復合目標，即多目標問題: F操作費用和設備投資折舊的綜合目標；能耗與投資的綜合目標；產(chǎn)品質(zhì)量與產(chǎn)量的綜合目標等 第14頁/共151頁第15頁/共151頁系統(tǒng)的最優(yōu)化是建筑在單元最優(yōu)化的基礎上的：系統(tǒng)最優(yōu)化單元最優(yōu)化的簡單組合第15頁/共151頁第16頁/共151頁二、優(yōu)化變量min J=min F(y)中的y為n維優(yōu)化變量向量。 對于過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化問題，優(yōu)化變量向量是過程變量向量。 過程變量向量 = 決策變量 + 狀態(tài)變量 決策變量等于系統(tǒng)的自由度，它們是系統(tǒng)變量中可以獨立變化以改變系統(tǒng)行為的變量； 狀態(tài)變量

8、是決策變量的函數(shù)，它們是不能獨立變化的變量，服從于描述系統(tǒng)行為的模型方程。第16頁/共151頁第17頁/共151頁過程系統(tǒng)模型方程:f(w,x)=0m維狀態(tài)變量r維決策變量又稱狀態(tài)方程，它表示的是系統(tǒng)狀態(tài)變量與決策變量之間的關系 狀態(tài)方程數(shù)目與狀態(tài)變量x的維數(shù)相同。若狀態(tài)方程數(shù)目 = 過程變量數(shù)n，則可獨立變化的決策變量 = 0，即系統(tǒng)自由度 = 0。此時，無最優(yōu)解可尋，只有狀態(tài)方程構成的非線性方程組的唯一解。 自由度為0的系統(tǒng)優(yōu)化問題即系統(tǒng)模擬問題 第17頁/共151頁第18頁/共151頁狀態(tài)方程的一般形式為：f(w,x,z)=0 S維單元內(nèi)部變量向量 一般來說，在過程系統(tǒng)優(yōu)化問題中，決策變

9、量數(shù)僅占整個過程變量中很小的一部分，這一特性在縮小優(yōu)化搜索時是有用的。第18頁/共151頁第19頁/共151頁狀態(tài)方程限制了狀態(tài)變量與決策變量間的關系,故是一種約束條件。對于設計參數(shù)優(yōu)化問題，設計規(guī)定要求也是一種約束條件。過程系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化問題顯然都是有約束條件的。三、約束條件和可行域當過程變量向量y的各分量為一組確定的數(shù)值時，稱為一個方案。 實際上，有的方案在技術上行不同或明顯的不合理，因此，變量y的取值范圍一般都要給以一定的限制，稱為約束條件。第19頁/共151頁第20頁/共151頁約束條件有等式約束和不等式約束之分。過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化的不等式約束條件 = 過程變量的不等式約束條件 + 不等

10、式設計規(guī)定要求 等式約束條件 = 等式設計規(guī)定要求 + 尺寸成本關系式 h(w,x)=0與c(w,x,z)=0 +狀態(tài)方程式f(w,x,z)=0 l維等式設計約束方程 s維尺寸成本方程組 0),(xwg第20頁/共151頁第21頁/共151頁滿足約束條件的方案集合，構成了最優(yōu)化問題的可行域，記作R。 可行域中的方案稱為可行方案。 每組方案y為n維向量，它確定了n維空間中的一個點。 過程系統(tǒng)最優(yōu)化問題是在可行域內(nèi)尋求使目標函數(shù)達到最小值的一個點。這樣的點稱為最優(yōu)化問題的最優(yōu)解。 第21頁/共151頁第22頁/共151頁過程系統(tǒng)優(yōu)化問題可以表示成： s.t.: f(w,x,z)=0;c(w,x,z

11、)=0;h(w,x)=0; g(w,x)=0min F(w,x)r維 m維 s維 +m維 s維 l維 +變量數(shù)等式約束方程數(shù)自由度為：d = 變量數(shù) - 方程數(shù) = (r+m+s) - (m+s+l) = r - l第22頁/共151頁第23頁/共151頁自由度為：d = 變量數(shù)-方程數(shù) = r-l即:自由度d = 決策變量數(shù)r - 等式設計約束方程數(shù)l 若 l = 0，自由度等于決策變量數(shù) r；若 r = l，自由度等于0，此時最優(yōu)化問題的解是唯一的; 若 l r，則最優(yōu)化問題無解；若 l =0（不等式設計約束方程）min F(w,x)s.t.:適用于穩(wěn)態(tài)過程系統(tǒng)設計參數(shù)優(yōu)化和離線參數(shù)優(yōu)化。

12、 代數(shù)方程 第41頁/共151頁第42頁/共151頁四、動態(tài)優(yōu)化模型 引入了時間變量，過程變量、目標函數(shù)和約束條件均可為時間變量的函數(shù)。 集中參數(shù)動態(tài)優(yōu)化模型 常微分-代數(shù)方程組 ),(,),(),(minmin0fttffttxsdtttwtxFJ0),(),(0),(),(),(),()(ttwtxcttwtxgttwtxfdttdxs.t.:IC：x(t0)=x0狀態(tài)函數(shù)向量 決策函數(shù)向量 微分形式狀態(tài)方程 不等式約束方程不等式設計規(guī)定方程 等式狀態(tài)方程及等式設計規(guī)定方程 第42頁/共151頁第43頁/共151頁由于動態(tài)模型描述的時間連續(xù)系統(tǒng)，故從控制論的角度又稱為連續(xù)系統(tǒng)優(yōu)化。 動態(tài)優(yōu)

13、化模型的解不是一組簡單的數(shù)值，而是時間的函數(shù)。 F動態(tài)優(yōu)化模型與穩(wěn)態(tài)優(yōu)化模型的主要區(qū)別在于：適用于解決動態(tài)過程(間歇過程、開停工過程等)的優(yōu)化設計及操作問題 A 找到w(t)的最優(yōu)變量規(guī)律，使得在規(guī)定時間內(nèi)到達x(t)的指定值的系統(tǒng)規(guī)模最小；B 系統(tǒng)規(guī)模已定，找到w(t)，使一定時間內(nèi)x(tf)值為最大；C 系統(tǒng)規(guī)模已定，找到w(t)，使內(nèi)達到x(t)值的時間最短。第43頁/共151頁第44頁/共151頁通常適用于穩(wěn)態(tài)過程系統(tǒng)設計參數(shù)優(yōu)化和離線操作參數(shù)優(yōu)化。從控制論的角度，稱穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)優(yōu)化為離散系統(tǒng)優(yōu)化。l由于動態(tài)模型描述的是時間連續(xù)系統(tǒng)，故從控制論的角度稱其為連續(xù)系統(tǒng)優(yōu)化。動態(tài)優(yōu)化模型與穩(wěn)態(tài)優(yōu)

14、化模型的主要區(qū)別在于前者的解不是一組簡單的數(shù)值，而是時間的函數(shù).第44頁/共151頁第45頁/共151頁(P82)例4-2：BR的最優(yōu)操作?？赡娣艧岱磻?QBAk 通過改變其冷卻襯套內(nèi)冷卻劑的溫度，對反應器實現(xiàn)最優(yōu)控制。 M.B.:)(),(tTtxrdtdxAA)(),(cpAprTTVCFtTtxrCqdtdTH.B.:IC: 000)(;)(TtTxtxaA尋找Tc(t)，使達到給定轉(zhuǎn)化率的時間最短。 Objective: 第45頁/共151頁第46頁/共151頁目標函數(shù) ftfdttJ00這就是最短時間控制問題。Tc為操作變量，xA和T是狀態(tài)變量。借助于最優(yōu)化技術，可從上述動態(tài)優(yōu)化模型

15、解出使得目標函數(shù)J最小的最優(yōu)解，同時可得到相應的最優(yōu)狀態(tài)軌線第46頁/共151頁第47頁/共151頁4.3.2 過程系統(tǒng)管理最優(yōu)化一、資源的合理分配二、時序問題（Scheduling）三、多產(chǎn)品生產(chǎn)過程的排產(chǎn)計劃工廠里的蒸汽、冷卻水等公用工程 幾個車間共用一種化工原料的過程系統(tǒng) 時間表問題 多組反應器中的催化劑再生；間歇操作的流程中每個設備的運行周期；設備的維護和檢修；多產(chǎn)品車間的生產(chǎn)運行。 對一個給定生產(chǎn)廠的多個產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃排定及對一個生產(chǎn)裝置網(wǎng)絡的生產(chǎn)計劃協(xié)調(diào)，都會出現(xiàn)利潤最大的優(yōu)化問題。 第47頁/共151頁第48頁/共151頁4.4 化工過程系統(tǒng)中的線性規(guī)劃問題線性規(guī)劃是運籌學的一個

16、重要分支。作為一種最優(yōu)化方法，線性規(guī)劃理論完整、方法成熟、應用比較廣泛第48頁/共151頁第49頁/共151頁4.4.1 線性規(guī)劃問題的數(shù)學描述一、線性規(guī)劃數(shù)學模型的標準形式求一組非負變量，這些變量在滿足一定的線性約束條件下，使一個線性函數(shù)達到極值.min/max c1x1+c2x2+cnxns.t.:11212111),(.bxaxaxann22222121),(.bxaxaxannmnmnmmbxaxaxa),(.22110,.,;,.,2121mnbbbxxx標準形式 =一般模型 第49頁/共151頁第50頁/共151頁標準形式 一般模型 轉(zhuǎn)化方法?A、將求極大化為求極小 max (J)

17、=min (-J)B、將不等式約束化為等式約束 小于等于型不等式： ininiibxaxaxa.22110iyiininiibyxaxaxa.2211松弛變量 大于等于型不等式： ininiibxaxaxa.22110iyiininiibyxaxaxa.2211剩余變量 第50頁/共151頁第51頁/共151頁C、將自由變量化為非負變量 自由變量 在線性規(guī)劃的數(shù)學模型中，沒有非負限制的變量) 0,(kkkkkxxxxx一個自由變量化為兩個非負變量；或者設法在約束條件和目標函數(shù)中消去自由變量。第51頁/共151頁第52頁/共151頁例：P85例4-3將 Max J = x1+3x2+4x3化為標

18、準形 。0, 0, 632 , 52: . .32321321xxxxxxxxt s第52頁/共151頁第53頁/共151頁Max J = x1+3x2+4x3min (-J) = -x1-3x2-4x3 0, 0, 632 , 5232321321xxxxxxxx5213211yxxxx自由變量0,11111xxxxx632223211yxxxx0, 0, 0, 0, 0, 0; 6322 ; 52: . .43)()min(21321123211132113211yyxxxxyxxxxyxxxxt sxxxxJ標準形第53頁/共151頁第54頁/共151頁Max J=x1+3x2+4x30

19、, 0, 632 , 5232321321xxxxxxxx521321yxxx)2 (51321yxxxMax J=5+x2+3x3-y1Min(-J)=-x2-3x3+y1-5422132yyxx第54頁/共151頁第55頁/共151頁二、線性規(guī)劃數(shù)學模型的解 min c1x1+c2x2+cnxns.t.:11212111.bxaxaxann22222121.bxaxaxannmnmnmmbxaxaxa.22110,.,;,.,2121mnbbbxxx線性規(guī)劃問題的標準數(shù)學模型 min J = CX 矩陣s.t.:AX=b X=0 矩陣可行解最優(yōu)（可行）解基向量，非基向量，基本解，基本可行解

20、 定理1，定理2 第55頁/共151頁第56頁/共151頁l將矩陣看成由n個列向量組成，即),(21nAAAA),(21mAAAB),(21nmmAAANl設A的秩為m(m=0，稱B為可行基，此時，稱式(4-16)為關于可行基B的基本可行解l按上式，目標函數(shù)J=CX也可以用非基變量線性表示：NNNBNNBBNBNBXCNXBbBCXCXCXXCCCX)(),(11第58頁/共151頁第59頁/共151頁l整理得到：NBNBXNBCCbBCCX)(11l對于線性規(guī)劃問題的基B，若有B-1b=0，則對應于B的基本可行解XB是線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，稱為最優(yōu)基本可行解，基B稱為最優(yōu)基。l若存在一個可行

21、解，則必存在一個基本可行解。l若存在一個最優(yōu)解，則必存在 一個最優(yōu)基本可行解。第59頁/共151頁第60頁/共151頁4.4.2 求解線性規(guī)劃問題的圖解法圖解法實用于變量較少的線性規(guī)劃問題。它通過作圖的方式，直觀地顯示滿足約束條件的可行域和目標函數(shù)的最優(yōu)解。 P86例4-4 用圖解法求解： 0, 0,1223 , 42: . .2min21212121xxxxxxt sxxJ第60頁/共151頁第61頁/共151頁將x1、x2看作是坐標平面上的點，將前兩個約束條件寫成等式，則可以在平面上畫出兩條直線.4221xx122321 xx四個約束條件圍成的區(qū)域為可行域,最優(yōu)解將落在由原點、A、B、D四

22、個點圍成的四邊形內(nèi)目標函數(shù)是線性函數(shù),可得到一個平行直線族，平行直線族上落在可行域中的點都為可行解，其中使J取最小值的點即為最優(yōu)解第61頁/共151頁第62頁/共151頁第62頁/共151頁第63頁/共151頁4.4.3求解線性規(guī)劃問題的單純形法由4.4.1節(jié)定理1及定理2知，線性規(guī)劃問題的目標函數(shù)的最大值或最小值一定在基本可行解中獲得。所以在尋找最優(yōu)解時，只需要考慮基本可行解就行了。 NBNBXNBCCbBCJ)(min11NBNXBbBX110BX0NX第63頁/共151頁第64頁/共151頁001ybBCB),(020101nmmBNyyyNBCCmnmmmmnmmnmmyyyyyyyy

23、yNB2122212121111TmyyybB),(020101記：第64頁/共151頁第65頁/共151頁nxyxyxyyJnmmmm022011000min1012211111yxyxyxyxnnmmmm2022221122yxyxyxyxnnmmmm02211mmnmmmmmmmyxyxyxyxn0jxs.t.每一個等式約束中含有一個且僅含有一個基變量，而且基變量用非基變量線性表示。同樣，目標函數(shù)也僅用非基變量線性表示，其中非基變量xj的系數(shù)yoj=Cj-CBB-1Aj稱為的檢驗數(shù)或相對成本系數(shù).第65頁/共151頁第66頁/共151頁單純形表x1x2xmxm+1xm+2xn-y0000

24、0y0m+1y0m+2y0nx1y10100y1m+1y1m+2y1nx2y20010y2m+1y1m+2y2nxmym0001ynm+1y1m+2ymn第0行第1m行 m個約束方程 第0列約束方程右端的常數(shù)項 目標函數(shù)的變形 nnmmmmxyxyxyJy022011000.y0j=cj-CBB-1Aj 非基變量xj的系數(shù) 檢驗數(shù)或相對成本系數(shù) 第66頁/共151頁第67頁/共151頁C 迭代計算，當目標函數(shù)值不能再減小，即滿足最優(yōu)條件 用單純形法求解線性規(guī)劃問題的方法如下：A 求一個初始基本可行解；B 從基本可行解出發(fā)，轉(zhuǎn)移到另一個目標函數(shù)值最小的基本可行解；P 88例4-5 0, 46,

25、32, 63: . .32min43243243214321jxxxxxxxxxxxt sxxxxJ第67頁/共151頁第68頁/共151頁0, 46, 32, 63: . .32min43243243214321jxxxxxxxxxxxt sxxxxJA 將問題轉(zhuǎn)化為標準形：解：0463263: . .32min6432543243214321jxxxxxxxxxxxxxt sxxxxJ第68頁/共151頁第69頁/共151頁B 為標準形找出一個基本可行解： 最明顯的可行解就是將系數(shù)為1的變量留下作為基變量，并設其他變量為0，作為非基變量。 本問題中,留下x1,x5,x6,其值為約束等式右邊

26、的常系數(shù)，即：x1=6，x5=3，x6=4。剩下的變量x2,x3,x4為基本變量，均為0?？尚薪鉃椋篨=（6,0,0,0,3,4）T，初始可行基為單位矩陣：B=（A1，A5，A6）=I，CB（1，0，0）。 非基變量xj的系數(shù):y0j=cj-CBB-1Aj 第69頁/共151頁第70頁/共151頁非基變量xj的系數(shù):y0j=cj-CBB-1Aj 3121) 0 , 0 , 1 (221202ABCcyB2613) 0 , 0 , 1 (131303ABCcyB4111) 0 , 0 , 1 (341404ABCcyB第70頁/共151頁第71頁/共151頁C 建立單純形表;l對應的目標函數(shù)值6

27、100bBCyBl把b放入表的第0列，A1,A2,A3,A4,A5,A6放入表的1m行中，把-y00和y0j放入表的第0行D 檢驗可行解，看是否為最優(yōu)解; 最優(yōu)解滿足的條件為： 01jBjjABCCy第71頁/共151頁第72頁/共151頁E 轉(zhuǎn)移至另一個基本可行解:I 選擇出現(xiàn)負檢驗數(shù)y0j最小的列q作為主列;II 求最小比值 /min0iqiyy選擇出現(xiàn)的最小行p最為主行III 以ypq作為主元，以換基公式： piyyyyyyyyiqpqpjijijpqpjpj,/;/修改單純形表,回到第B步,重新計算. F 直到滿足 01jBjjABCCy即得到最優(yōu)解。 第72頁/共151頁第73頁/共

28、151頁第73頁/共151頁第74頁/共151頁4.4.4 排產(chǎn)計劃化工過程存在大量排產(chǎn)問題。例如 該工段通常有十幾組塔組成，這些塔交替進行制堿和清洗操作，如何將塔進行分組，合理安排制堿和清洗時間以保證重堿產(chǎn)量，這就構成了重堿生產(chǎn)中的排產(chǎn)問題。純堿生產(chǎn)過程的重堿工段第74頁/共151頁第75頁/共151頁又如 多產(chǎn)品生產(chǎn)廠 當原料成本或市場價格等因素發(fā)生變化時，為了保證全年利潤，也需要重新安排生產(chǎn)計劃.由于涉及到設備的生產(chǎn)安排、生產(chǎn)負荷與操作時間的調(diào)整，因此建立的優(yōu)化模型大都為非線性模型。而對于只涉及到成本和利潤的排產(chǎn)問題，建立的優(yōu)化模型一般為線性方程，可以采用線性規(guī)劃法進行求解。 第75頁/

29、共151頁第76頁/共151頁例 煉油廠排產(chǎn)計劃某煉油廠的原料和產(chǎn)品情況如下:1#原油24$/桶2#原油15$/桶煉油廠A汽油 36$/桶B煤油 24$/桶C燃料油 21$/桶 D殘油 10$/桶第76頁/共151頁第77頁/共151頁產(chǎn)品名稱 得率/%最大生產(chǎn)力或需求量/(桶/天)1#原油 x12#原油 x2A汽油 x3804424000B煤油 x45102000C燃料油 x510366000D殘油 x6510加工費/$0.51.0產(chǎn)品得率及加工費,市場需求如表所示求每天用1#,2#原油多少桶進行生產(chǎn)可獲得最大利潤?第77頁/共151頁第78頁/共151頁=(36x3+24x4+21x5+1

30、0 x6)-(24x1+15x2)-(0.5x1+x2)目標函數(shù)max f(X)=產(chǎn)值-原料費-加工費s.t.:0.8x1+0.44x2=x3,x3=240000.05x1+0.1x2=x4,x4=20000.1x1+0.36x2=x5,x4=0第78頁/共151頁第79頁/共151頁fmax=286700 $ /天x1=24000桶/天x2=2000桶/天x3=5120桶/天x4=2000桶/天若市場發(fā)生變化,例如原油價格、產(chǎn)品價格及原料品種等發(fā)生變化？若加工費用變化？若各產(chǎn)品得率發(fā)生變化？第79頁/共151頁第80頁/共151頁4.5 化工過程中的非線性規(guī)劃問題4.5.1 無約束條件最優(yōu)化

31、問題的經(jīng)典求解方法對于一個函數(shù)f(x1,x2,xn)，如果都存在一階導數(shù) ixf則函數(shù)f(x)的極小值的必要條件為： 0.21nxfxfxf對于滿足以上方程的點成為極值點的充分條件：該點上的所有二階導數(shù)均存在，且其赫森矩陣為正定。 第80頁/共151頁第81頁/共151頁22221212212212nnnnxfxxfxxfxxfxxfxfH赫森矩陣H正定的判定：iiiiiHHHHD.1111行列式其主子式 D1，D2，,Dn均0 第81頁/共151頁第82頁/共151頁根據(jù)函數(shù)存在極小值的充分必要條件，將無約束最優(yōu)化問題的求解，轉(zhuǎn)化為下面一組非線性方程的求解：0)(.0)(0)(21nxxfx

32、xfxxf其中滿足 0)(.)()(22221nxfxfxf的點，就是方程組的解。第82頁/共151頁第83頁/共151頁方法缺點： B 由于上述條件是滿足極小，而不是最小，所以找 到的解可能是局部極值，而不是全局最優(yōu)值；C 只能用于導數(shù)連續(xù)的場合，當導數(shù)不連續(xù)時，不 能使用。而導數(shù)不連續(xù)之外，可能正好是最小值 或最大值所在之處。 A 對于復雜的問題，這種非線性方程組求解是相當 困難的；第83頁/共151頁第84頁/共151頁4.5.2 有約束條件最優(yōu)化問題的經(jīng)典求解方法拉格朗日乘子法 / 罰函數(shù)法共同點:將有約束最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變成無約束最優(yōu)化問題。第84頁/共151頁第85頁/共151頁一、拉

33、格朗日乘子法 目標函數(shù)f(x1,x2,.,xn)服從等式約束條件：ej(x1,x2,.,xn)=0，（j=1,2,m）引入拉格朗日函數(shù) ),.,(, )()(),(21nmjjjxxxxxexfx拉格朗日乘子 第85頁/共151頁第86頁/共151頁根據(jù)無約束最優(yōu)化問題的求解方法，只要上式中的函數(shù)f和約束ej的一階偏導數(shù)在所有各點存在，則只要求解下列非線性方程組，就可得到最優(yōu)解。mjxxxenixexfnjmjiji,.,2 , 1, 0),.,(,.2 , 1, 0211n+m個方程， *2*1*21,.,.,mnxxx及個未知數(shù) 第86頁/共151頁第87頁/共151頁P91例4-6已知：

34、壓縮機混合器反應器蒸餾塔烴蒸汽壓縮費用：1000p元/年 輸送費用為1/pR*4*109元/年分離所需費用為105R元/年 再循環(huán)和壓縮費用為1.5*105R元/年 年產(chǎn)107千克 A 最優(yōu)的操作壓力p和循環(huán)比R，使每年總費用最??；B 若要求的p和R乘積為900MPa，求最優(yōu)的p和R。求：第87頁/共151頁第88頁/共151頁RRpRpJ559105 . 1101041000minA:無約束最優(yōu)化問題 I、將J對p和R求導數(shù)，求一階導數(shù)零點； II、將J對p和R求二階導數(shù)，并在其一階導數(shù)為0點處驗證其 赫森矩陣是否正定，若正定，則為極小點。 0104105 . 20104100029529p

35、RRJRppJ4,1000 Rp第88頁/共151頁第89頁/共151頁239222104RPPJ25022922104PRPRJRPJ12500039222104PRRJ1250002502502H此矩陣為正定矩陣，因此這一點就是極小點。第89頁/共151頁第90頁/共151頁B 有約束最優(yōu)化問題： RRpRpJ559105 . 1101041000mins.t.:pR=9000 I 建立拉格朗日函數(shù)： )9000(105 . 2104100059pRRpRp第90頁/共151頁第91頁/共151頁III、將J對p和R求二階導數(shù)，并在其一階導數(shù)為0點處驗證其 赫森矩陣是否正定，若正定，則為極

36、小點。 II、將J對p和R求導數(shù)，求一階導數(shù)零點； 90000105 . 20100029291045104PRPRRPRP3 .117, 6,1500RP第91頁/共151頁第92頁/共151頁二、罰函數(shù)法 基本思想： 通過一個懲罰因子，把約束條件連接到目標函數(shù)上去，從而將有約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束條件的問題。 新的目標函數(shù)具有以下性質(zhì)： 當搜索到不可行點時，附加一個約束懲罰項，會使目標函數(shù)變得很大，而且離約束條件越遠懲罰就越大。 第92頁/共151頁第93頁/共151頁目標函數(shù)：minf(x1,x2,.,xn) 等式約束條件：gj(x1,x2,.,xn) mjxxxgkxxxfxF

37、njjn,.,2 , 1,),.,(),.,()(2212, 1懲罰因子 罰函數(shù) 等式約束條件的優(yōu)化問題：第93頁/共151頁第94頁/共151頁mjxxxgkxxxfxFnjjn,.,2 , 1,),.,(),.,()(2212, 1當kj為很大的正數(shù)時，只要x違反了約束條件，則懲罰項就會變成一個很大的正值，從而使F(x)離最小值更遠。且x對約束條件偏離越大，懲罰也就越大。 J當kj趨近于無窮時，則只有gj(x)=0時，才使F(x)達到最小值，這時的解就是f(x)的解。F(x)最小值會因kj值的不同而不同。Jkj值越大，則懲罰項的權也就越大，偏離約束的可能性越小。第94頁/共151頁第95頁

38、/共151頁P93例4-7 等式約束條件為：x1+x2-5=0目標函數(shù)：f(x)=x12+4x22解： I、建立帶罰函數(shù)的目標函數(shù)： F(x)= x12+4x22+k(x1+x2-5)2 II、求新目標函數(shù)的極小值： 0) 5(40) 5(21222111xxkxxFxxkxxF)54/(52kkxk12x4, 1*1*2 xx第95頁/共151頁第96頁/共151頁目標函數(shù)：minf(x1,x2,.,xn) 一般約束條件的優(yōu)化問題 s.t.:),.,2 , 1( , 0)(),.,2 , 1( , 0)(njxgmixhji帶罰函數(shù)的目標函數(shù)： 0),(min)()(),(1212njjmi

39、ixgxhkxfkxF取gj(x)和0中較小的作為約束 第96頁/共151頁第97頁/共151頁計算步驟: C、設k增大的倍數(shù)為a(a1)，用ak代替原來的k值，作為新的 罰因子，以x1為初始點，回到第2步。A、給定初始點x0及一個恰當?shù)牧P因子k；B、求F(x)的最小點x1,若x1可接受，則計算結束，否則第97頁/共151頁第98頁/共151頁從不可行域逐步收斂到解的，這就要允許在不可行域進行函數(shù)估值，比如，試圖求負數(shù)的對數(shù)或求負數(shù)的平方根等。缺點:將罰函數(shù)引入目標函數(shù)，可能導致二階導數(shù)不連續(xù)；可能導致程序計算失敗.使用梯度法來搜索最小時會發(fā)生困難；第98頁/共151頁第99頁/共151頁 )

40、,(),(),( minmin0fttffttxsdtttwtxFJ ),(),()(ttwtxfdttdx 0),(),(ttwtxg 0),(),(ttwtxc4.5.3 動態(tài)系統(tǒng)參數(shù)的變分優(yōu)化法IC：x(t0)=x0第99頁/共151頁第100頁/共151頁第100頁/共151頁第101頁/共151頁對于有約束的最優(yōu)化問題，則先利用拉格朗日函數(shù)或罰函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為無約束最優(yōu)化問題后再進行求解。 由于求泛函的極小值問題也是一種極值問題，因此與上兩節(jié)中介紹的一般函數(shù)F(x)的極值問題有很多類似之處:對于無約束問題，根據(jù)極值問題存在的充要條件求取極值；第101頁/共151頁第102頁/共151

41、頁dxxxxyxyxyIxx),(),()(21)()(1xyxyy)(xy)(x0y0(1) 泛函極值的必要條件第102頁/共151頁第103頁/共151頁)(x0)()(21xx)()(21xyxydxxyyxyyxyIyxyIxxxxx,)()(21dxIyIyyIxyxxyx)(21第103頁/共151頁第104頁/共151頁I 0Idxxxdxxxxyxxdxdxxyxxxy)()()(2121210)()(21xx0)()(21dxxIxxydxdyx第104頁/共151頁第105頁/共151頁)(x0)(xydxdyrjmijiwFxF, 2 , 10, 2 , 10第105頁/

42、共151頁第106頁/共151頁I2)()()(xyIxxyI2dxxxxxIxyIxxyIxyxyyxxyxx)()()(2)()()()(2)(22222122I2dxxxxxIxyxyyxxyxx)()()(2)(2)(222222122第106頁/共151頁第107頁/共151頁0I02 I0)()()(xyIxxyI02 I0)()()(xyIxxyI第107頁/共151頁第108頁/共151頁xdxxxxIxyyyyyyxxxxxx)()()()()(222222221222222)(xxxyyyyyy第108頁/共151頁第109頁/共151頁0 ),(),( minmindtt

43、twtxFJ ),(),()(ttwtxfdttdx 00 xxt 自由tx ),(),(0dtttwtxFJ第109頁/共151頁第110頁/共151頁 ),()(),(00dttwxfttwxFLdtdtdx)(t 0)(xLdtdxL 0wL 0L 0)()(dttdxfxFt0)(wfwFt0fdtdx00 xxt第110頁/共151頁第111頁/共151頁t0)(2x02xxyx0txL)(txL)(t0)(tt第111頁/共151頁第112頁/共151頁00)(0)(fttdtdxwfwFxfdtdxF0) 0 (xx0)( fxx)(第112頁/共151頁第113頁/共151頁0

44、11 ),(,),(),(,),( minmindtttwtwtxtxFJrm , 1),(,),(,),(1),(1)(mittwtwxtxfrtmidttdxi00itixxmixti, 1自由01)(miiiidtfxtFL第113頁/共151頁第114頁/共151頁rjfmittidtdxwfkmkwFxfimkdtdxFijkjikkii, 10, 10)(0)(11mixxii, 1) 0 (0rjj, 10)()(,),(),(,),(, )(,),(111tttwtwtxtxmrm第114頁/共151頁第115頁/共151頁第115頁/共151頁第116頁/共151頁潤潤 ),

45、( TxfeRTEaqrkxdtdx rfxxs第116頁/共151頁第117頁/共151頁因此：原問題就是求取溫度T與時間t的關系，以使得目標函數(shù)取得最大值ifqxcTdtcxqcJ3021)1 ( 解：利潤總收入操作費用原料成本（3）第117頁/共151頁第118頁/共151頁xrqqxrxfr)( xrqqxsrf)()(0)(xrqqxrxir0)(xrqqxxifsr00),(dtTxfxx),()()(0dtTxfqrqxxxrqifsr第118頁/共151頁第119頁/共151頁(9)式代入(5)式并化簡，得：（10）代入目標函數(shù)(3)式得：（11）式中A=C1(r+q) 。由于

46、y0是常數(shù)，所以原問題轉(zhuǎn)化為求目標函數(shù) （12）的最大值。引進拉格朗日泛函：（13）因此，有：（14）（15）),()(0dtTxfqrqxqxif0002311),(),(dtTxyydtTcTxAfqxcqxcqcJii0),(dtTxyJ0),()(),(dtTxftTxyLdtdx xfxydtd0TfTy第119頁/共151頁第120頁/共151頁由動力學方程式(1)和目標函數(shù)(11)式得到：（16）（17）代入(14)式得：上式與(1)式相除可得：（19）方程兩端自x(0)至x(f)積分得：即：（21）RTEaeqrkaxxf1xfxyARTEaeAAqrkaxxfxfdtd)(1

47、)(Axadxd)() 0() 0()(lnlntxxAAtaa) 0 () 0 ()()(aaxAtxAt（18）（20）第120頁/共151頁第121頁/共151頁由(11)式得：由(1)式得將(22)和(23)式代入(15)式，得到：（24）上式與(21)式結合，可得：（25）上式是由拉格朗日法(4-35式)導出來的一個關系式，表明了溫度應滿足的條件。顯然只有Tf為常數(shù)上式才會成立。因此得出結論，在等溫條件下，這個反應系統(tǒng)能得到最大利潤2cATfTyRTEexaRTEqrkdTdf20)()()(2)(22cetxAttcARTERTqrkEaTfTf2)(2) 0 () 0 (cexA

48、RTERTqrkEa（22）（23）第121頁/共151頁第122頁/共151頁4.6 化工過程中非線性規(guī)劃問題的數(shù)值求解l化工數(shù)值算法 以迭代形式逐漸逼近最優(yōu)解：由一個初始點出發(fā)，如何不斷尋找更新點，以逐漸趨近于最優(yōu)解，并判斷所得的點是否已足夠趨近于最優(yōu)解，而停止搜索的過程。第122頁/共151頁第123頁/共151頁kkkksxx1一、無約束非線性規(guī)劃問題的搜索策略搜索方向搜索步長隨機搜索、格點搜索、變量輪換法、單純形法、最速下降法、共扼梯度法、牛頓法和擬牛頓法等。第123頁/共151頁第124頁/共151頁二、變量輪換法 為含有 n 個變量的目標函數(shù)選擇 n 個固定的搜索方向(通常是坐標

49、軸)，然后連續(xù)使用一維搜索，使f(x)在每一個搜索方向上最小化。優(yōu)化技巧：三、非線性規(guī)劃的單純型法四、最速下降法和共軛梯度法五、牛頓法和擬牛頓法六、有約束多變量非線性規(guī)劃問題的搜索策略第124頁/共151頁第125頁/共151頁4.7 化工過程大系統(tǒng)的優(yōu)化由于過程系統(tǒng)最優(yōu)化是在過程系統(tǒng)模擬的基礎上發(fā)展起來的，因而各種大系統(tǒng)的優(yōu)化策略，也是最優(yōu)化方法與過程模擬方法相結合而產(chǎn)生的。 第125頁/共151頁第126頁/共151頁一、化工過程大系統(tǒng)的優(yōu)化方法Min F(w,x) 目標函數(shù)f(w,x,z)=0 （流程描述方程）x(w,x,z)=0 （尺寸，成本方程）h(w,x)=0 （等式約束方程）g(

50、w,x)=0 （不等式約束方程）s.t.:OPT1 第126頁/共151頁第127頁/共151頁其優(yōu)化方法按其處理約束條件的方式分為兩大類：和。優(yōu)化搜索過程在可行域內(nèi)進行 對決策變量w迭代的每次取值，都必須求解流程方程，尺寸及成本模型方程和等式約束方程。 優(yōu)化搜索過程僅在最優(yōu)解處滿足約束條件 所有變量w、x及z同時向使目標函數(shù)F最優(yōu)而又滿足約束條件的方向移動。 第127頁/共151頁第128頁/共151頁Min F(w,x) 目標函數(shù)f(w,x,z)=0 （流程描述方程）x(w,x,z)=0 （尺寸，成本方程）h(w,x)=0 （等式約束方程）g(w,x)=0 （不等式約束方程）s.t.:OP

51、T1 按穩(wěn)態(tài)流程模擬系統(tǒng)求解 因此，過程大系統(tǒng)優(yōu)化問題的求解方法，實際是最優(yōu)化方法與穩(wěn)態(tài)模擬方法的結合。通常，可以利用穩(wěn)態(tài)模擬方法求解(OPT1) Min F(w,x)中的等式約束方程，利用最優(yōu)化方法尋求滿足約束的目標函數(shù)最優(yōu)解。 第128頁/共151頁第129頁/共151頁系統(tǒng)模擬優(yōu)化策略可行路徑黑箱搜索法 可行路徑聯(lián)立模塊法 不可行路徑序貫模塊法 第129頁/共151頁第130頁/共151頁二、化工過程大系統(tǒng)優(yōu)化方法評價標準A 應用方便； 如盡可能地利用現(xiàn)有的流程模擬系統(tǒng)，把數(shù)據(jù)和函數(shù)引入最優(yōu)化算法程序，且花費的人工最少 B 計算可靠，初值選擇方便，計算過程需要人工干預少，計算 方法的適應

52、性強； C 解效率高 過程系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化算法解效率的衡量指標： I CPU時間； II 流程貫通（Flowsheet Pass）總次數(shù)。 III 優(yōu)化/模擬所需CPU時間比RTos， IV 優(yōu)化/模擬所需流程貫通次數(shù)比RN os 一般而言，系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化的效率主要取決于RTos的數(shù)量級。 第130頁/共151頁第131頁/共151頁三、系統(tǒng)模擬優(yōu)化采用的最優(yōu)化方法評述 A 直接搜索法 B 罰函數(shù)型和拉格朗日型的優(yōu)化方法它應用簡便，計算比較可靠，但優(yōu)化方法每迭代一次都要做一次全流程模擬計算，屬于可行路徑法。 曾被廣泛用于處理有約束的非線性問題，但隨著問題維數(shù)的增多，其數(shù)學性質(zhì)變得復雜，條件變壞，求解

53、困難，而且罰函數(shù)的選擇和修正帶有很大的任意性。用以解決大系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化問題。 第131頁/共151頁第132頁/共151頁C 序列線性逼近法（SLP） D 廣義簡約梯度法（GRG） 該法適應性強，能處理大規(guī)模的優(yōu)化問題，但收斂速度慢。 序列二次規(guī)劃法（SQP） 適應性好，收斂速度快，特別是可以直接用于處理大規(guī)模優(yōu)化問題，但在過程優(yōu)化方面應用的報道不多。 第132頁/共151頁第133頁/共151頁一、可行路徑黑箱搜索法將過程系統(tǒng)視為“黑箱”，在優(yōu)化計算確定決策變量的搜索過程中，只是根據(jù)目標函數(shù)確定搜索方向，而不涉及任何有關過程系統(tǒng)結構或過程單元類型的信息。 可行路徑法+序貫模塊法/面向方程法 這

54、類方法的大多數(shù)研究工作都利用流程模擬系統(tǒng)為基礎。 對于每組決策變量w，利用流程模擬系統(tǒng)（序貫模塊法或面向方程法）作為功能黑箱，產(chǎn)生相應的狀態(tài)變量值x。利用非線性規(guī)劃（NLP）模塊產(chǎn)生新的決策變量。 利用模擬方程的解x與決策變量w一起來評價目標函數(shù)F和不等式約束條件g。 第133頁/共151頁第134頁/共151頁Min F(w,x) 目標函數(shù)f(w,x,z)=0 （流程描述方程）x(w,x,z)=0 （尺寸，成本方程）h(w,x)=0 （等式約束方程）s.t.:OPT1 S.T. :g(w,x)=0目標函數(shù)OPT2min F(w,x)g(w,x)=0 （不等式約束方程）第134頁/共151頁第

55、135頁/共151頁二、可行路徑聯(lián)立模塊法 可行路徑法+聯(lián)立模塊法它與可行路徑黑箱搜索法的主要區(qū)別在于：產(chǎn)生新的決策變量時，利用了某些過程系統(tǒng)模型的信息。將描述流程的方程和變量分解為描述每個過程單元的模塊子集。 每個單元模塊的變量分為輸入-輸出變量和內(nèi)部變量。 在一組給定的決策變量下求解各個嚴格單元模塊，產(chǎn)生單元的簡化模型。 第135頁/共151頁第136頁/共151頁Min F(w,x) 目標函數(shù)f(w,x,z)=0 （流程描述方程）x(w,x,z)=0 （尺寸，成本方程）h(w,x)=0 （等式約束方程）s.t.:OPT1 g(w,x)=0 （不等式約束方程）Min F(w,x) 目標函數(shù)

56、f(w,x)=0 （流程描述方程）x(w,x,z)=0 （尺寸，成本方程）h(w,x)=0 （等式約束方程）s.t.:OPT3 g(w,x)=0 （不等式約束方程）第136頁/共151頁第137頁/共151頁4.6.2 不可行路徑優(yōu)化法用可行路徑優(yōu)化方法進行過程大系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化，無論怎樣改進（采用不同的過程求解技術，縮小搜索變量空間等），都不能使計算效率進一步提高，其根本原因是拋棄大量超出可靠域的試算點。 Wilson-Han-Powell序列二次規(guī)劃法 不可行路徑聯(lián)立模塊法 第137頁/共151頁第138頁/共151頁本章小結1、化工系統(tǒng)最優(yōu)化的分類；優(yōu)化模型的建立；最優(yōu)化數(shù)學 模型的構造標準形式的建