金融工程學(xué)(第七章)

1、第七章第七章 期權(quán)期權(quán)一、期權(quán)的定義與種類 1、期權(quán)的概念 所謂期權(quán)（Option），是指賦予其購買者在規(guī)定期限內(nèi)按雙方約定的價格（簡稱執(zhí)行價格，Exercise Price或Striking Price）購買或出售一定數(shù)量某種資產(chǎn)（稱為標(biāo)的資產(chǎn)，Underlying Assets）的權(quán)利的合約。根據(jù)期權(quán)購買者的權(quán)利不同、執(zhí)行時限不同和標(biāo)的資產(chǎn)不同，期權(quán)又有多種不同的分類。 2、期權(quán)的分類 按期權(quán)買者的權(quán)利劃分 看漲期權(quán)(Call Option)：如果賦予期權(quán)買者未來按約定價格購買標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利，就是看漲期權(quán)。 看跌期權(quán)(Put Option)：如果賦予期權(quán)買者未來按約定價格出售標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利

2、，就是看跌期權(quán)。 例：投資者購買一個100股MS股票的看漲期權(quán)。期權(quán)費(fèi)用$5/股，執(zhí)行價格$100，股票現(xiàn)價$98。假定期權(quán)到期日MS股票$115/股，則執(zhí)行期權(quán)的結(jié)果如下： 期權(quán)購買者損益： 100（$115 $100 $5） = $1000 期權(quán)出售者損益： 100（$100 $5 $115） = -$1000看漲期權(quán)損益-35-30-25-20-15-10-505101520253035708090100110120130現(xiàn)貨價格（$ ）損益（$ ）看漲期權(quán)購買者利潤（$ ）看漲期權(quán)出售者虧損（$ ） 例：投資者購買一個銷售100股Oracle公司股票的看跌期權(quán)，執(zhí)行價格為$70/股，股

3、票現(xiàn)價$65/股，期權(quán)費(fèi)用為$10/股。假定到期日股票價格為$50/股，則執(zhí)行期權(quán)的結(jié)果如下： 期權(quán)購買者損益： 100（$70 $50 $10）=$1000 期權(quán)出售者損益： 100（$50 $10 $70）= $1000看跌期權(quán)損益-25-20-15-10-50510152025404550556065707580859095100現(xiàn)貨價格（$ ）損益（$ ）看跌期權(quán)購買者損益( $ )看跌期權(quán)出售者損益（$ ） 按執(zhí)行時限劃分：歐式期權(quán)、美式期權(quán)和百慕大期權(quán) 按標(biāo)的資產(chǎn)劃分：股票期權(quán)、股價指數(shù)期權(quán)、金融期貨期權(quán)、利率期權(quán)、貨幣期權(quán)（外匯期權(quán)） 3、期權(quán)的多方與空方 多方權(quán)利：對于期權(quán)的多

4、方來說，在付出期權(quán)費(fèi)后，期權(quán)合約賦予他的只有權(quán)利，而沒有任何義務(wù)。他可以在期權(quán)合約規(guī)定的時間內(nèi)行使其購買或出售標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利，也可以不行使這個權(quán)利。 空方義務(wù)：對期權(quán)的出售者來說，他只有履行合約的義務(wù)，而沒有任何權(quán)利。當(dāng)期權(quán)買者按合約規(guī)定行使其買進(jìn)或賣出標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利時，期權(quán)賣者必須依約相應(yīng)地賣出或買進(jìn)該標(biāo)的資產(chǎn)。 期權(quán)多空雙方的權(quán)利義務(wù)交易進(jìn)行之前交易進(jìn)行之中交易完成之后期權(quán)多方既沒有權(quán)利也沒有義務(wù)必須承擔(dān)支付期權(quán)費(fèi)用的義務(wù)以執(zhí)行價格買入、賣出標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利期權(quán)空方既沒有權(quán)利也沒有義務(wù)擁有收取期權(quán)費(fèi)用的權(quán)利以執(zhí)行價格賣出、買入標(biāo)的資產(chǎn)的義務(wù) 期權(quán)交易中的雙重買賣關(guān)系看漲期權(quán)看跌期權(quán)期權(quán)多方以

5、執(zhí)行價格買入標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利以執(zhí)行價格賣出標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利期權(quán)空方以執(zhí)行價格賣出標(biāo)的資產(chǎn)的義務(wù)以執(zhí)行價格買入標(biāo)的資產(chǎn)的義務(wù)二、期權(quán)的回報(bào)與盈虧分布 1、看漲期權(quán)多頭的回報(bào)與盈虧分布期權(quán)到期時的股價 歐式看漲期權(quán)多頭的回報(bào)與盈虧表達(dá)式 歐式看漲期權(quán)多頭回報(bào) 歐式看漲期權(quán)多頭盈虧 上式之所以直接相加減，其假設(shè)前提是無風(fēng)險利率為0。除非特別說明，本章計(jì)算期權(quán)回報(bào)與盈虧，均假設(shè)無風(fēng)險利率為0。)0 ,max(XSTcXST)0 ,max( 2、看漲期權(quán)空頭的回報(bào)與盈虧分布 由于期權(quán)合約是零和游戲（ZeroSum Games），也就是說買者的盈利就是賣者的虧損，買者的虧損就是賣者的盈利，所以我們可以發(fā)現(xiàn)，看

6、漲期權(quán)多頭和空頭的曲線是關(guān)于x軸對稱的。期權(quán)到期時的股價 歐式看漲期權(quán)空頭的回報(bào)與盈虧表達(dá)式 歐式看漲期權(quán)空頭回報(bào) 歐式看漲期權(quán)空頭盈虧)0 ,max(XST)0 ,max(cXST 3、看跌期權(quán)多頭的回報(bào)與盈虧分布期權(quán)到期時的股價 歐式看跌期權(quán)多頭的回報(bào)與盈虧表達(dá)式 歐式看跌期權(quán)多頭回報(bào) 歐式看跌期權(quán)多頭盈虧)0 ,max(TSX pSXT)0 ,max( 4、看跌期權(quán)空頭的回報(bào)與盈虧分布期權(quán)到期時的股價 歐式看跌期權(quán)空頭的回報(bào)與盈虧表達(dá)式 歐式看跌期權(quán)多頭回報(bào) 歐式看跌期權(quán)多頭盈虧max(,0)TXSmax(,0)TXSp 5、美式期權(quán)的回報(bào)與盈虧分布 由于美式期權(quán)多方隨時都可以行使權(quán)力，

7、因此，我們有： 美式看漲期權(quán)的回報(bào)（多方） 美式看跌期權(quán)的回報(bào)（多方）)0 ,max(XS )0 ,max(SX 相應(yīng)地，我們有： 美式看漲期權(quán)的盈虧（多方） 美式看跌期權(quán)的盈虧（多方）cXS)0 ,max(pSX)0 ,max(三、期權(quán)價格的特性 1、內(nèi)在價值 期權(quán)價值（理論價格）的構(gòu)成：內(nèi)在價值+時間價值 期權(quán)的內(nèi)在價值（Intrinsic Value）是指多方行使期權(quán)時所獲回報(bào)最大貼現(xiàn)值與0之間的較大值。頭頭 寸寸期權(quán)回報(bào)期權(quán)回報(bào)內(nèi)在價值內(nèi)在價值看漲期權(quán)看漲期權(quán)歐式無收益有收益美式無收益有收益 看跌期權(quán)看跌期權(quán)歐式無收益有收益美式無收益有收益max(,0)TSXmax(,0)TSXmax

8、(,0)TSXmax(,0)SXmax(,0)TXSmax(,0)TXSmax(,0)XSmax(,0)XSmax(,0)r T tSXemax(,0)r T tSDXemax(,0)r T tSXemax(,0)r T tXeSmax(,0)r T tXeSD()()max(,0)rtr T tSXeSDXemax(,0)XS()max(,(),0)rtXS XeSD 2、實(shí)值期權(quán)、平價期權(quán)與虛值期權(quán) 3、期權(quán)的時間價值 期權(quán)時間價值 = 期權(quán)價格 期權(quán)內(nèi)在價值 期權(quán)的時間價值是在期權(quán)尚未到期時，標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動為期權(quán)持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。 期權(quán)的時間價值是基于期權(quán)多頭權(quán)利義

9、務(wù)不對稱這一特性所導(dǎo)致的期權(quán)剩余有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價格變化可能給期權(quán)多頭帶來的收益的一種反映。 期權(quán)時間價值影響因素： 標(biāo)的資產(chǎn)價格發(fā)生有利波動的幅度越大，期權(quán)時間價值越大。 期權(quán)剩余有效期越長，標(biāo)的資產(chǎn)價格發(fā)生有利波動的概率越大，期權(quán)時間價值越大。 平價期權(quán)的時間價值最大。 4、期權(quán)價格的影響因素 (i) 標(biāo)的資產(chǎn)的市場價格與期權(quán)的協(xié)議價格 標(biāo)的資產(chǎn)的市場價格與期權(quán)的協(xié)議價格是影響期權(quán)價格最主要的因素。因?yàn)檫@兩個價格及其相互關(guān)系不僅決定著內(nèi)在價值，而且還進(jìn)一步影響著時間價值。 由于看漲期權(quán)執(zhí)行時，其收益等于標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)時的市價與協(xié)議價格之差。因此，標(biāo)的資產(chǎn)的價格越高、協(xié)議價格越低，看漲期權(quán)的價格

10、也就越高。 對看跌期權(quán)而言，由于執(zhí)行時其收益等于協(xié)議價格與標(biāo)的資產(chǎn)市價之差，因此，標(biāo)的資產(chǎn)的價格越低、協(xié)議價格越高，看跌期權(quán)的價格也就越高。 (ii) 期權(quán)的有效期：時間價值顯然會受到時間的影響。但是，對于歐式和美式期權(quán)，時間的影響有所不同：對于美式期權(quán)，有效期越長，期權(quán)價值越大，而歐式期權(quán)則不一定。 (iii) 標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率：所謂波動率是指標(biāo)的資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，它反映了標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動狀況。標(biāo)的資產(chǎn)價格的波動率越高，期權(quán)的時間價值就越大。 (iv) 無風(fēng)險利率：影響期權(quán)價格的另一個重要因素是無風(fēng)險利率，尤其是短期無風(fēng)險利率。 (v) 標(biāo)的資產(chǎn)的收益：按照美國市場慣例，標(biāo)的資產(chǎn)分紅

11、或者是獲得相應(yīng)現(xiàn)金收益的時候，期權(quán)合約的協(xié)議價格并不進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)整。這樣，標(biāo)的資產(chǎn)進(jìn)行分紅付息，將減少標(biāo)的資產(chǎn)的價格，這些收益將歸標(biāo)的資產(chǎn)的持有者所有，同時協(xié)議價格并未進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整。因此在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生的現(xiàn)金收益將使看漲期權(quán)價格下降，而使看跌期權(quán)價格上升。四、期權(quán)價格的上下限 1、不付紅利的歐式看漲期權(quán)價格的下限 考慮兩個組合 組合A：一份歐式看漲期權(quán)與Xe r(T-t)的現(xiàn)金。 組合B：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。 在時刻T，組合A的價值為：max(ST，X)，組合B的價值為：ST。在不存在套利機(jī)會的情況下，有 c Xe r(T-t) S，即 cS Xe r(T-t)。由于c0， c max(

12、S Xe r(T-t) ， 0) 2、有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限 只要將上述組合 A 的現(xiàn)金改為 ，其中 D 為期權(quán)有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值，并經(jīng)過類似的推導(dǎo)，就可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限為r T tDXemax,0r T tcSDXe 3、不付紅利的歐式看跌期權(quán)價格的下限 考慮兩個組合 組合C：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標(biāo)的資產(chǎn)。 組合D： Xe r(T-t)的現(xiàn)金。 在時刻T，組合C的價值為：max(ST，X)，組合D的價值為： X。在不存在套利機(jī)會的情況下，有 p S Xe r(T-t)，即p Xe r(T-t)S。由于p 0， p max(Xe r(T-t)S，0) 4

13、、有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限 將上述組合 D 的現(xiàn)金改為 ，可得出有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限為：r T tXeDmax,0r T tpXeDS五、美式期權(quán)的提前執(zhí)行 1、提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的合理性 提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)是不明智的。 構(gòu)造組合 組合 A ：一份美式看漲期權(quán)加金額為 的現(xiàn)金。 組合 B ：一單位標(biāo)的資產(chǎn)。r T tXe 不提前執(zhí)行： T 時刻組合 A 的價值為 ，而組合 B 的價值為 ，組合 A 在 T 時刻的價值一定大于等于組合 B。 若在 時刻提前執(zhí)行：組合 A 的價值 ，而組合 B 的價值為 。由于 ，故 。也就是說，若提前執(zhí)行美式期權(quán)的話

14、，組合 A 的價值將小于組合B。 結(jié)論：提前執(zhí)行是不理智的。無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價格的價格下限為max,TSXTSr TSXXeS,0Trr TXeXmax,0r T tCSXe 2、提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)的合理性 組合 A ：一份美式看跌期權(quán)加一單位標(biāo)的資產(chǎn)。 組合 B ：金額為 的現(xiàn)金。 若不提前執(zhí)行，則到 T 時刻：組合 A 的價值為 ，組合 B 的價值為 X ，因此組合 A 的價值大于等于組合B。 若在 時刻提前執(zhí)行：組合 A 的價值為 X，組合 B 的價值為 ，因此組合 A 的價值高于組合 B。r T tXemax,TSXreTX 結(jié)論：是否提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)

15、，主要取決于期權(quán)的實(shí)值額 、無風(fēng)險利率水平等因素。一般來說，只有當(dāng) S 相對于 X 來說較低，或者 r 較高時，提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)才可能是有利的。由于無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)可能提前執(zhí)行，期權(quán)價格下限變?yōu)閄Smax,0PXS 3、提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的合理性 我們假設(shè)在期權(quán)到期前，標(biāo)的資產(chǎn)有n個除權(quán)日，t1，t2，tn為除權(quán)前的瞬時時刻，在這些時刻之后的收益分別為D1，D2，Dn，在這些時刻的標(biāo)的資產(chǎn)價格分別為S1，S2，Sn。 在有收益情況下，只有在除權(quán)前的瞬時時刻提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)方有可能是最優(yōu)的。因此我們只需推導(dǎo)在每個除權(quán)日前提前執(zhí)行的可能性。 如果在 時刻提前執(zhí)

16、行期權(quán)，則期權(quán)多方獲 的回報(bào)。若不提前執(zhí)行，則標(biāo)的資產(chǎn)價格將由于除權(quán)降到 。由于在 之后的瞬間時刻美式期權(quán)的價值 滿足 因此如果 提前執(zhí)行是不明智的。ntnSXnnSDntnCmax,0nr T tnnnnCcSDXe1nnr T tnnnr T tnSDXeSXDXe 如果 ，則在 提前執(zhí)行有可能是合理的。實(shí)際上，只有當(dāng) 時刻標(biāo)的資產(chǎn)價格足夠大時提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)才是合理的。 類似地，對于任意除權(quán)日 ，在 時刻不能提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)條件是1nr T tnDXentntitit11iir ttiDXe 假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)只在 支付股利，由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性，有

17、收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)價格下限變?yōu)?,max(,0)rtr T tCSXeSDXe 4、提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)的合理性 由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)意味著自己放棄收益權(quán)，因此收益使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性變小，但還不能排除提前執(zhí)行的可能性。通過同樣的分析，我們可以得出美式看跌期權(quán)不能提前執(zhí)行的條件是 由于美式看跌期權(quán)有提前執(zhí)行的可能性，因此其下限為1()()1, 1iinr ttr T tinDXeDXemax(,0)rtPXS XeSD六、期權(quán)價格曲線 期權(quán)價格等于內(nèi)在價值加上時間價值 內(nèi)在價值主要取決于S和X，以及時間和利率、紅利等因素；時間價值則受到有效期、內(nèi)在價值、

18、波動率、利率的影響。 期權(quán)價值都以內(nèi)在價值為下限，除了有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的價格上限為標(biāo)的資產(chǎn)價格減收益現(xiàn)值外，其他看漲期權(quán)價格上限為標(biāo)的資產(chǎn)價格。 歐式看跌期權(quán)價格上限為協(xié)議價格的現(xiàn)值，美式看跌期權(quán)價格上限為協(xié)議價格。 有收益資產(chǎn)的期權(quán)價格曲線只要從無收益資產(chǎn)的期權(quán)價格曲線稍作改動即可獲得。無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格曲線圖無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格曲線圖 無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)價格曲線圖七、看漲看跌期權(quán)平價關(guān)系 1、無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán) 考慮以下兩個組合 組合A：一份歐式看漲期權(quán)與Xe r(T-t)的現(xiàn)金。 組合C：一份歐式看跌期權(quán)與一單位標(biāo)的資產(chǎn)。 在T時刻，組合A與組合C的價值均為max(ST，X)。故在t時刻，兩者價值也應(yīng)相等。因此， c + Xe r(T-t) = p +S 2、有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán) 考慮如下兩個資產(chǎn)組合 組合A ：一份歐式看漲期權(quán)與D+Xe r（T-t)的現(xiàn)金。 組合C ：一份歐式看跌期權(quán)與一單位標(biāo)的資產(chǎn)。 在期權(quán)到期日，兩個資產(chǎn)組合的價值相等，且為FV(D) max