經濟數學基礎--微積分第七章

1、第七章 多元函數微積分Indefinite integral經濟數學應用基礎微積分目錄第 2 頁 7.2 偏導數 7.1 多元函數的基本概念 7.3 全微分第七章第七章 多元函數微積分多元函數微積分 7.4 多元復合函數與隱函數的求導 7.5 多元函數的極值和最值 7.6 二重積分的概念與性質 7.7 二重積分的計算與應用第 3 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數的基本概念 7.1.1 多元函數的概念 7.1 7.1 多元函數的基本概念多元函數的基本概念 7.1.2 二元函數的極限 7.1.3 二元函數的連續(xù)性第 4 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數的基本概念多元函數的概念1, , ,( , ),( ,

2、 ).,.,.設在某個變化過程中有三個變量如果對于變量在其允許的實數范圍內取一組值按照某種對應關系 變量 總有唯一確定的值與之對應則稱 是的二元函數 記作其中稱為自變量稱為因變量自變量所允許的取值范圍稱為函數的定義域x y zx yx yzzx yzf x yx yzx y1.7.1.1二元函數的定義定義第 5 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數的基本概念 000000002222( , )( , ),( , )( , ),.,.,( , )3,43,434255.,( , , ).,因為數組表示平面上的一點這樣二元函數可看成是平面上點與數 之間的對應 因此也可記作二元函數在點處所取得的函數值記為、

3、或例如 函數在點的值是類似地 可以定義三元函數及三元以上的函數 一般地 可以定義個自變量的函x yP x yzf x yP x yzzfPPxyfxyfPz xyf x yxyfuf x y zn123(,),.3.數個自變量的函數稱為 元函數 二元及二元以上的函數統稱為多元函數 上述問題 得到的函數即為三元函數nuf xxxxnn第 6 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數的基本概念,.,;,.,.,;,同一元函數一樣 定義域和對應關系是二元函數的兩個要素 對于用解析式表示的二元函數 其定義域就是使解析式有意義的自變量的取值范圍 如果函數是由實際問題得到的 其定義域應根據它的實際意義來確定一般來說

4、一元函數的定義域是數軸上的點集 二元函數的定義域是面上的平面區(qū)域 定義域常用字母表示 如果區(qū)域延伸到無限遠處 就稱這樣的區(qū)域是無界的 否則 它總可以被包圍在一個以原點為中xOyDO2.二元函數的定義域,.,.心而半徑適當大的圓內 這樣的區(qū)域稱為有界的圍成平面區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界 包括邊界的區(qū)域稱為閉區(qū)域 不包括邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域第 7 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數的基本概念 2222222222222:1;12ln1;43arcsin.1, ,0,( , ),;求下列函數的定義域要使函數的解析式有意義必須滿足所以函數的定義域是如圖所示zRxyzxyxyzxyx yRxyDx y xyR

5、7.1.1例解第 8 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數的基本概念 222222222, ,1014,40( , ) 14,;3,( , )11,1; 2; 3.要使函數的解析式有意義必須滿足不等式組所以函數的定義域是如上圖所示由反三角函數的定義知 函數的定義域是如下圖所示.中的是有界閉區(qū)域中的是有界開區(qū)域中的是無界閉區(qū)域x yxyxyxyDx yxyDx yxyDDD注意第 9 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數的基本概念( , ) ,( , ),( , , ).,( , ).,().設的定義域為平面上的一個區(qū)域對于 中的每一點把所對應的函數值 作為豎坐標 就有空間中的一點與之對應當點 在 內變動時 對

6、應點就構成了空間的一個點集 這個點集就是函數的圖形 一般地 它是一個曲面 該曲面在平面上的投影即為函數的定義域 如圖所示zf x yxOyDDP x yzM x y zPDMzf x yxOy3.二元函數的幾何意義第 10 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數的基本概念0000000000000000( , ),( , ),(),( , ),.( , ),( , ),( , )( , ),.lim,lim( , )設函數在點的某個鄰域內有定義 點可以除外點是該鄰域內異于點的任意一點若當點以任意方式無限地趨近于點時 函數總是趨近于一個確定的常數 則稱 為函數當趨近于點時的極限記作或x yxyPPzf x

7、 yPxyPP x yPxyP x yPxyf x yAAzf x yP x yPxyf x yAf x y7.1.2定義 0001( , );2 lim( , ),( , ),0.定義中該鄰域內異于 的點 必須是使得函數有定義的點是指 以任意方式趨近于點 時 函數都趨近于同一個常數即常數 與點 趨近于點的方式無關PPPPzf x yf x yAPPf x yAPPA說明二元函數的極限2第 11 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數的基本概念 22( , )2,1,0,0,0,02,0,0,0,0,0,0:sin41lim;2lim;3lim.42171.213sin()sin()2limlimlim

8、100.求下列函數的極限極限極限x yx yx yx yx yx yxyxyxxyxyyxyxyxyxxxyxy 7.1.2例解第 12 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數的基本概念 22,0,0,0,0,0,0,0,023( , )0,00,.,:() limlimlimlim 0000.,0由于分母當時趨近于因此 我們不能用極限的商的運算法則但是 如果分子分母同乘以就可以得到極限的等價形式我們之所以能夠消去因式是因為路徑不在函數x yx yx yx yxyx yxyxxyxyx xyxyxxyxyxyxyxyxxyxxyxyxyzx.的定義域中y第 13 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數的基本概念2

9、22222222,0( , ),( , )0,0.0,00 ,( , )( ,).( , )10,0 ,( , ).,.( , )110,0,( , ),討論函數當時是否存在極限取直線則讓動點沿直線無限趨近于由于顯然的取值不同的值也不同這意味著當沿不同方向無限趨近于時與不同的數無限接近xyxyxyf x yx yxykykx kf x yf x kxx yykxkkkf x ykx ykkf x y7.1.3例解( , )0,0.因此在處不存在極限f x y第 14 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數的基本概念00000000000,0000( , ),(),lim,lim( , ),.( ,( ,

10、 ),( , ),( , ).),( , ).設函數在點的某個鄰域內有定義 包括點本身如果或則稱函數在處連續(xù) 稱 為函如果函數在區(qū)域 內每一點處都連續(xù) 則稱函數在區(qū)域 內連續(xù) 又稱函數是 內連續(xù)函數二元連續(xù)數的點函連續(xù)x yxyPPzf x yPxyPfx yfxyf x yfxyf xzf x yDzf x yDfyPxyPf xxDyy7.1.3定義.,().數的圖形是一個沒有任何空隙和裂縫的曲面根據極限四則運算法則及有關復合函數的極限定理 可以證明 二元連續(xù)函數的和、差、積、商 分母為零的點除外 及二元連續(xù)函數的復合函數都是連續(xù)的使二元函數不連續(xù)的點稱為函數的間斷點二元函數的連續(xù)性3第

11、15 頁第七章 . 第一節(jié)多元函數的基本概念12121200.( , ),.,.在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數必有最大值和最小值在有界閉區(qū)域 上連續(xù)的二元函數若為 中任意兩點 且則對任何滿足不等式的實數必存以上關于二元函數極限與連續(xù)的討論完全可以推廣在點使得到三元以及三元以上的函數Df x yP PDf Pf Pf Pf PPDf P()()12最大值和最小值定理介值定理性質性質二元連續(xù)函數在有界閉區(qū)域上的性質4第 16 頁偏導數第七章 第二節(jié) 7.2.1 偏導數概念與計算 7.2 7.2 偏函數偏函數 7.2.2 高階偏導數第 17 頁偏導數第七章 第二節(jié)偏導數概念與計算1 2,.:1:,d,

12、2;d2:,d,.d常數常數上述問題中 當底半徑 和高 兩個因素同時變化時 體積 的變化較復雜 通常先考慮兩種特殊情況等高過程 當高 不變時 體積是半徑 的一元函數關于 的變化率是關于 的一階導數 即等半徑過程 當半徑 不變時 體積是高 的一元函數關于 的變化率是關于 的一階導數 即hrrhVhVrVrVVrrhrrVhVhVVhrr第 18 頁偏導數第七章 第二節(jié)00000000000000000000,( , ),.,.lim(,),( , ),( , ),設函數在點的某一鄰域內有定義當自變量 保持定值 時成了自變量 的一元函數如果存在 則稱函數在處對 的偏導數存在 并稱此極限值為函數在點

13、處對 的偏導數 記作、或xxyxyzf x yPxyyyzxzfx yf xx yfxyxzf x yxyxzf x yxyxfzfx xyxx 17.2.1.偏導數的概念定義00,.xzxy第 19 頁偏導數第七章 第二節(jié)232,1222,1( , )32,1.,23 1023 .223 17.,031333.323 13.求函數在點處的兩個偏導數為了求把 看做常數 對 求導 得所以為了求把 看做常數 對 求導 得所以f x yxxyyffyxxyxyxxfxffxyxyxyyyfy 22.7. 1例偏導數的計算解第 20 頁偏導數第七章 第二節(jié)10.,.,ln .( , )sin,.,si

14、n2.,coscos1求函數的偏導數為了求把 看做常數 對 求導 得為了求把 看做常數 對 求導 得設求 及為了求把 看做常數 對 求導 得為了求把 看做常數 對 求導 得yyxyxyxyxxyxyxyyzxy xzzyxy xxxzzxyxxyyf x yxyyefffyxfyy efxyfxyeyexxy7.2.27.2.3例解例解.xyxy e第 21 頁偏導數第七章 第二節(jié)2sin 2,.,sin 22cos 2.sin 2cos 2.(),:1.,;,求為了求把 看做常數 對 求導 利用一元函數求導的乘法公式 得同理已知氣態(tài)方程是常數 求證由得由得xyxyxyxyxyzzzexyxy

15、zyxxzzyexyexyxexyexyxyPVTPVRT RVTPRTPRTRTPVVVPV 7.2.47.2.5例解例證2;,.:1.:,.由得把以上三式代入等式左邊得這個例子說明 偏導數的記號是一個整體 不能看成與之商VRPVTVTTPRPRPVTRTR VRTRTVTPPRVPRTVzzxx 第 22 頁偏導數第七章 第二節(jié)222222200000,0( , ),0,0 ,0,0 .0,000(0,0)0,00,0limlimlim0;,0,00.:( , )0,0.,( , ),設求 同理在上一節(jié)中已指出在處不連續(xù)因此 對于二元函數而言在點處的偏導數存在 并不能保證函數xyxxxxx

16、yxyxyxyf x yffxyxfxfzxfxxxff x yzf x yxy 7.2.6例解.在該點處連續(xù)第 23 頁偏導數第七章 第二節(jié)0000000000000000001,( , ),( , ):,tan.,( , )( , ):tan(設為曲面上一點 過作平面截此曲面得曲線于是偏導數就是該曲線在點處的切線對于 軸的斜率同理 偏導數就是曲面被平面所截得的曲線上點處的切線對于 軸的斜率如圖所yxyPxyf xyzf x yPyyzf x ylfxyyyPPTxfxyzf x yzf x yxxlxxxPPTy3.偏導數的幾何意義).示第 24 頁偏導數第七章 第二節(jié)222222( ,

17、)( , ),( , ).,( , ).:()( , );()( , );()( , );()由于二元函數的偏導數仍然是自變量 、 的函數 如果這兩個函數關于 、 的偏導數也存在 則說函數具有二階偏導數二元函數的二階偏導數有如下四種情形xyxxyyxyzf x yfx yfx yxyxyzf x yzzzzfx yfx yxxyyxyzzzzfx yyxx yxyy x 22( , ).,( , ),( , ).(),;()( , ).其中稱為二階混合偏導數表示先 后 的求導次序表示先 后 的求導次序yxxyyxxyyxfx yzzfx yfx yfx yxyyxx yzzfx yyxxyy

18、x 高階偏導數2第 25 頁偏導數第七章 第二節(jié)33322333322233332.,3.:();()3;()33;()39.求函數的四個二階偏導數因為所以二階偏導數為xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyzezzeexyzzzzeeeexxxx yyxyxzzzzeeeey xxyxyyyy 7.2.7例解第 26 頁偏導數第七章 第二節(jié)22222222222222222222222222222arctan.,.:2()();()();()();求函數的四個二階偏導數因為所以二階偏導數為yzxyzzxxyxyxyyxyyxyzzzzxxxx yyxyxxyxyxyxyxyzzxzy x

19、xyx xyyxy 7.2.8例解00000022222(2()(, )( ,).,.若和都在點連續(xù) 則xyyxxyyxfx yfxyzxyyy xyx yxyfxyfxxyy7.2.1定理第 27 頁全微分第七章 第三節(jié) 7.3 7.3 全微分全微分 7.3.1 全微分的定義 7.3.2 全微分在近似計算方面的應用第 28 頁全微分第七章 第三節(jié)全微分的定義122(,)0,0,()().71,:,;:,0,0,.()(),lim0.0,上述問題中 面積的增量如圖所示由兩部分構成第一部分是關于的線性函數 是影響面積增量的主要部分第二部分當時 這部分面積可以忽略不計以表示自變量改變量的總體大小

20、則即是當xySxxyyxyy xx yx ySy xx yxyx yxyx yxyx yxy 0,( ).,71( ).時比 更高階的無窮小量 即且所以能表示為xyxyx yoSy SxSSxSyo 第 29 頁全微分第七章 第三節(jié) 0000000022( , ),(,),( ).72, ,0,()() ,( , )0,72,( , )設函數在點的某鄰域內有定義 如果 在點處的全增量可以表示為其中是僅與點有關的常數是較 高階的無窮小量則稱函數在點處可微 并稱式中關于的線性函數為 在點zf x yPxyzPzzf xx yyf xyA xB yoA BPxyozf x yPxyA xB yzf

21、x yP 7.3.1定義0000,dd,.73處的全微分 記作Pzf xyA xB y 第 30 頁全微分第七章 第三節(jié)00000000(0,)0,0(,)0,0(,)0,0( , )0,00( , ),( ).74limlim (,),lim( )0.lim( , ),.若函數在其定義域內一點處可微 則它在按函數在處可微的定義 有于點處即必連續(xù)是xyxyxyx yxyzf x yxyzA xB yozf xx yyfxzf x yxyxyyA xB yof x 7.3.1證定理0000, ),.( , ),.因此函數在點處連續(xù)yfxyzf x yxy第 31 頁全微分第七章 第三節(jié)00000

22、000000000000( , ),.( , ),740,(,),().,0,m.li若是函數的間斷點 則函數在處不可微若函數在其定義域內一點處可微則它在該點處的兩個偏導在中取則上式兩邊除以再令于數是有都存在 并有xyxyxPzf x yPzf x yxyfxyfxyAfxyyzf xx yfBfxyAxxyxoxx ()7.3.2可微的必要條證件推論定理000000000(,),()lim.,.,740,.根據偏導數的定義 說明存在且等于 同理 在中取可證存在且等于xxyf xx yfxyA xoxAxxfxyAxfxyB 第 32 頁全微分第七章 第三節(jié)000000( , ),( , ),

23、.,( , , ),dddd.類似地 上述二元函數全微分的概念可以推廣到二元以上的函數 例如 若三若函數的偏導數在點元函數的三個偏導的某鄰域內存在 且數都存在且連續(xù) 則它的全微分存在點處連續(xù) 則函數在處可微在 有xyuzf x yxyffxyzf xf x y zuuuuxyzxzyxyy()7.3.3可微的充分條件定理第 33 頁全微分第七章 第三節(jié)3223232322221,2.6,22 .d6d22d .d1,26 12d2 12 2 d 12d6d .arcsind .,dddd1 ()1 ()1()1求函數在點處的全微分因為所以求函數的全微分所以zx yyzzx yxyzx y xx

24、yyxyzxyxyzxyzzyyzxzzxzxyxxyxyxyxyxy7.3.17.3.2例解例解2d .().,1,ddddd(1)d()d .求函數的全微分所以yzyzyzyzyzyzyzyxyuxeezyuuuexzexyeezxyzuuuuxyzexxzeyxyeezzxyz7.3.3例解第 34 頁全微分第七章 第三節(jié)000000000000000( , )( , ),( , ),d,75,.76當二元函數的兩個偏導數在處連續(xù) 并且都較小時 將有或xyxyxyzf x yfx yfx yPxyxyzzfxyxfxyyf xx yyf xyfxyxfxyy 全微分在近似計算方面的應用2

25、第 35 頁全微分第七章 第三節(jié)1003.020031.043.02.( , )( , ),( , )ln ,1,3,0.04,0.02,76:1.04(,)1,31,31,3130.0400.021.12.,1.( , )計算的近似值設且令由得證明當很小時設yyyxyxyx yxf x yxfx yyxfx yxxxyxyf xx yyffxfyxyexyf x ye 7.3.47.3.5例解例證00,0,7510,00,0,.取則為自變量的改變量 則由得移項即得證明yx yxyxyx yfefxfyxy 第 36 頁全微分第七章 第三節(jié)2200330,60,3030.1,6059.5,.1

26、21( , ),d,33330,60,0.1,0.5,75:21d30600.19000.512015030(),33有一正圓錐體 其底面半徑 由增大到高 由減小到求體積 改變量的近似值圓錐體體積公式為且 令由得即rcmcmhcmcmVV r hr hVrh rrhrhrhVVcm 7.3.6例解330.此圓錐體的體積約減少了cm第 37 頁多元復合函數與隱函數的求導第七章 第四節(jié) 7.4.1 復合函數的求導法則 7.4 7.4 多元復合函數與隱多元復合函數與隱函數的求導函數的求導 7.4.2 隱函數的求導公式第 38 頁多元復合函數與隱函數的求導第七章 第四節(jié)復合函數的求導法則1222222

27、2222()sin,:2sin2cos;(): , ,(sin ) 22sin;cos22cos.方法一 直接求導法利用求導的乘法公式可得方法二 利用一元復合函數的求導思想與自變量 有關的中間變量有兩個則xyxyxyuxyuxyzzexyyexyxexyxxu vzuzvevyyexyevxxexyuxvx1.分析二元復合函數求導法則第 39 頁多元復合函數與隱函數的求導第七章 第四節(jié)( , ),:( , ),( , ).( , ),( , )( , ),( , )( , ), ( , ),( , )( , ),設函數是中間變量的函數 中間變量是變量的函數若在點處偏導數都存在在對應點處可微 則

28、復合函數在點處關于的兩個偏導數都存在 且zf u vu vu vx yux y vx yux y vx yx yf u vu vzfx yx yx yx yzzuzvzzxuxvxyu7.4.1定理.77.此公式也稱為鏈式法則uzvyvy78定理中函數結構圖為第 40 頁多元復合函數與隱函數的求導第七章 第四節(jié)222222ln,32 ,.,1232 ln3ln 32.32,2 ln ()設 求依據函數結構圖 由 經中間變量到達自變量 的途徑有兩條 所以由 經中間變量到達自變量 的途徑有兩條 所以xzzzuv uvxyyxyzu vxzzuzvuxxuvxyxuxvxyvyyxyzu vyzzu

29、zvxuvyuyvyy7.4.1例解22232222ln 32.32uxx yxyvyxy 第 41 頁多元復合函數與隱函數的求導第七章 第四節(jié)2 ,sin,.2 ,sin ,.1cos ,2sin .( , ),.設具有一階連續(xù)的偏導數 求令于是所以函數的關系式沒有具體給出就作為已知結果 不用計算uvuvuvzzzf xy yxfxyuxy vyxzf u vzzuzvffyxxuxvxzzuzvffxyuyvyzf u vff 7.4.2例解注意第 42 頁多元復合函數與隱函數的求導第七章 第四節(jié), ,;,d,;d如上圖所示中 由 經中間變量到達自變量 的途徑有三條到達自變量 的途徑有三條

30、 所以如中圖所示中 由 經中間變量 到達自變量 的途徑有兩條 到達自變量 的途徑有一條 所以zu v wxyzzuzvzwzzuzvzwxuxvxwxyuyvywyzuxzzuzvzzuyxuxvxyuy, ,.dddd.dddd如下圖所示中 由 經中間變量到達自變量 的途徑有三條且復合后的函數僅是自變量 的一元函數所以zu v wttzzuzvzwtutvtwt第 43 頁多元復合函數與隱函數的求導第七章 第四節(jié)2,.,2,d.d,2 (), ,( , , )2.設求設則其函數結構圖為所以等號兩邊的是不同的 左端的是的二元復合函數對 求偏導數右端的是作為的三元函數對 求偏導數x yvx yv

31、zzy xyyuxy vxyzyuyzzzuzvyyyuyvyzzx yzy xyyyyzy u vzf y u vyuyy7.4.3例解第 44 頁多元復合函數與隱函數的求導第七章 第四節(jié)1,d21212ln2(1ln )d21ln.為了防止混淆公式 上式可表示成vvvvx yfyyvzzuzvuyvuyuuuyuyyyuyvyuy xyxyyxyxy 第 45 頁多元復合函數與隱函數的求導第七章 第四節(jié)22(,2 ,sin ),.,2 ,sin ,( , ,),()1coscos;1設求令則其函數結構圖為 所以uvwuvwuyzzzfxy yxxxyyuvxy wyxzf u v wxyz

32、zuzvzwfffyxxuxvxwxxyffyxfxzzuzvzwfyuyvywyx 7.4.4例解12sin2sin.vwuvwffxffxfx第 46 頁多元復合函數與隱函數的求導第七章 第四節(jié)11d,.d,ddd1ln1ln1ln.ddd設求令則函數結構圖為所以xvvvxxxyyxxux vxyuyyyuvvuuvx xxxxxxuxvx 7.4.5例解第 47 頁多元復合函數與隱函數的求導第七章 第四節(jié) 232332324222333,.,.,22.,33.設具有一階連續(xù)的偏導數 求設則在這個函數的表達式中 乘法中有復合函數 所以用求導的乘法公式方程兩邊對 求偏導 可得方程兩邊對 求偏

33、導 可得zzzxyfx yfxyux yzxyf uzxyf uxyfuxyyf x yx y fuxzyxf uxyfux yxfx yx y fuy7.4.6例解第 48 頁多元復合函數與隱函數的求導第七章 第四節(jié) ,.,.( , )0,( ,)0.d,0.dd0,.d在一元函數中 我們曾學習過隱函數的導數的求法 但未能給出一般的求導公式現在根據多元復合函數的求導法 就可以給出一元隱函數的求導公式設方程確定了函數則將它代入方程變?yōu)楹愕仁絻啥藢?求導 把方程中的 視作中間變量 根據復合函數求導法則 可得若則這就是一元隱函數的求導公式xyyxyF x yyy xF x y xyxyFFxyFF

34、 Fx 1.一元隱函數的求導公式隱函數的求導公式2第 49 頁多元復合函數與隱函數的求導第七章 第四節(jié)2222d2 ,.dd221( , )2 ,22,2 .d2( , , )0( , ),0,.( , )( , , )0,設求令則所以設方程確定了隱函數若連續(xù) 且則可仿照一元隱函數的求導法則 得出 對 、 的兩個偏導數的求導公式將代入方程中 得恒xxyyxyzzyxyxxFyxxF x yxyxFxFyxFyyF x y zzz x yF FFFzxyzz x yF x y z 7.4.2.7二元隱函數的求導公例式解( , , ( , )0.,0;0.0,.等式上式兩端對 、求偏導 把方程中的

35、 作為中間變量 根據復合函數求導法則 可得因為所以yzyzzxzzF x y z x yxyzFzzzzxFFFFF FxyxyF 第 50 頁多元復合函數與隱函數的求導第七章 第四節(jié)( , ),.( , , ),.設方程確定了隱函數 求令則所以zzzxyzyxzzzzzzexyzzz x yxyF x y zexyzFyzFxzFexyFFyzzzxzxFyFexyexy 7.4.8例解第 51 頁多元函數的極值和最值第七章 第五節(jié) 7.5.1 二元函數的極值 7.5 7.5 多元函數的極值和最值多元函數的極值和最值 7.5.2 多元函數的最值 7.5.3 二元函數的條件極值第 52 頁多元

36、函數的極值和最值第七章 第五節(jié)000000000( , ),( , ),(,),( , )0(),( , )().;.設在點的某一鄰域內有定義 若對于該鄰域內任一異于 的點都有或則稱函數在點取得極大 或極小 值 點稱為的極大 或極小 值點極大值和極小值統稱為極值 極大值點和極小值點統稱為極值點zf x yPxyPP x yfx yfxyfx yfxyzf x yPPzf x y1.7.5.1二元函數的極值定義定義二元函數的極值1第 53 頁多元函數的極值和最值第七章 第五節(jié)000000000000000,00,00,00,0( , ),0,.,0,0,( , ).,00,0(0,0),設函數在

37、點存在偏導數 且在處取得極值 則有滿足的點稱為函數的駐點但是駐點不一定是極值點 例如是函數的駐點但不是xyxyzf x yPxyfxyPfxyfxyxyf x yfxyzzzxyyxxy(2.)7.5.1極值存在的必要極值存在的必件要條件條定理.函數的極值點第 54 頁多元函數的極值和最值第七章 第五節(jié) 000000000020000000,( , ),.,100,;00,;20,;30,設為函數的駐點 且函數在點 的某鄰域內二階偏導數連續(xù)令則當且 時是極小值 當且 時是極大值當時不是極值當時 不能肯定函數在點是否取得極xxxyyyPxyzf x yPAfxyBfxyCfxyACBAf xyA

38、f xyf xyP 3.()7.5.2極值存在的充分條件極值存在的充分條件定理.值第 55 頁多元函數的極值和最值第七章 第五節(jié)00000000002,( , ),:,0,;,0( , ),( , ),( , );,.綜上所述 若函數 的二階偏導數連續(xù) 我們可以按照下列步驟求該函數的極值第一步解方程組求出所有駐點第二步求三個二階偏導數第三步分別計算每個駐點處、的值及的符號 據此判定出極值點 并求出極值xyxxxyyyxxxyyyzf x yfxyfxyfx yfx yfx yAfxyBfxyCfxyACB 第 56 頁多元函數的極值和最值第七章 第五節(jié)32222( , )421.( , )38

39、20,0,02,2 .( , )220:,68,2,2.0,0,8,2,2,120,0,0;80,0,0求函數的極值解方程組得駐點及三個二階偏導數分別為在處 有故所以點是極值點 且因此 函數在點處有極xyxxxyyyf x yxxxyyfx yxxyfx yxyfx yxfx yfx yABCACBA 7.5.1例解20,01.2,2,4,2,2,120,2,2.大值在處 有故所以點不是極值點fABCACB 第 57 頁多元函數的極值和最值第七章 第五節(jié)2sin2.cos20,2.22cos20sin2,.sin2,2sin2,4sin2,4sin224sin220.7.求的極值點與極值 解方

40、程組得所以函數有無限多個駐點 這些駐點都分布在平行直線上所以對這無限多個駐點不能應用定理xyxxxyyyzxyzxyxykkZzxyzxyzxyzxyzxyACBxyxy 7.5.2例解5.2.,( , )1,sin( )1;,2sin( )1.2判定他們是否是極值點事實上 因為當 是偶數必定是極大值 當 是奇數必定是極小值因此所有的駐點都是極值點f x ykkkk 第 58 頁多元函數的極值和最值第七章 第五節(jié)多元函數的最值21232221231232222222222,0,01,00,1.( , ),:1133222.33222.6在坐標面上找出一點 使它到三點、距離的平方和最小設為所求的

41、點 為 到 、 、 三點距離的平方和 即由兩點間的距離公式得題目就轉化為求二元函數的最小值問題解方程組xxyPPPPP x ylPPPPlPPPPPPlxyxyxyxyxylxyxylx7.5.3例解201 1,( , ).6203 3,1 1( , ).3 3得駐點為由問題的實際意義 到三點的距離的平方和最小的點一定存在 函數 可微又只有一個駐點因此即為所求之點ylyl第 59 頁多元函數的極值和最值第七章 第五節(jié)2332,?, , ,2().,2()0,0 .20,2,2.20,要設計一個容量為 的長方體無蓋水箱 問水箱的長、寬、高各等于多少時 其表面積最小設水箱的長 寬 高分別為則箱子的

42、表面積為由于所以題目就轉化為二元函數的最小值問題解方程組得駐點 由問題的實際意義可知xyVx y zVxyzSxyxzyzVVVzSxyxyxyyxVSyxVVVSxy7.5.4例解3330,0,2 ,2 ,.4面積 在時的最小值是存在的 又因為 可微又只有一個駐點 所以取長寬高時 長方體無蓋水箱的表面積最小SxySVVxVyVzxy第 60 頁多元函數的極值和最值第七章 第五節(jié)二元函數的條件極值3( , )( , )0,( , ),( , ),( , )( , )0,:( , )( , )( , );( , )( , )( , )0( , )( , )( , )0( , )0設二元函數和在所

43、考慮的區(qū)域內有連續(xù)的一階偏導數 且不同時為零 求函數在約束條件下的極值 可用下面步驟來求第一步構造輔助函數第二步組成方程組xxyyyzf x yx yx x yy x yzf x yx yL x yf x yx yL x yfx yx x yLx yfx yx yx y0000;,(),( , )( , )0.,.,( , ),.第三步解方程組 得解解可能多于一組 則點就是函數約束條件下的極值點在實際問題中 往往就是所求的極值點這個方法稱為拉格朗日乘數法 其中輔助函數稱為拉格朗日函數稱為拉格朗日乘數xxyyxyzf x yx yL x y第 61 頁多元函數的極值和最值第七章 第五節(jié)7.5.4

44、.2()0.( , , )2()(),20202222,.22002用拉格朗日乘數法求例所要解決的問題就是求函數在條件 下的最小值設組成方程組由方程組的前三式 易得 由xyzSxyxzyzxyzVL x y zxyxzyzxyzVLyzyzLxzxzyzxyxzyzxzxyLxyxyxyzVy 7.5.5例解333332222,2 .2 ,:2 ,.,4,2.,44.可得由可得所以把它代入方程組的最后一個方程中 得實際上 由于本問題確實存在最小值 且可能的極值點只有一個 所以當長為、寬為、高為時 長方體表面積最小zxyxzxzxyyzyzxzxzxyVxyzxyV zVVV 第 62 頁多元函

45、數的極值和最值第七章 第五節(jié)2222222222222221.( , , ),.,( , , )010., ,拋物面被平面截成一個橢圓求這個橢圓到坐標原點的最長與最短距離設橢圓上的點為根據兩點距離公式 點與原點的距離為的平方最小一定最小 故問題可轉化為求函數在條件及下的最大、最小值問題作輔助函數xyzxyzM x y zMdxyzddf x y zxyzxyzxyzL x y zxyzxyz 7.5.6例解1 ,xyz第 63 頁多元函數的極值和最值第七章 第五節(jié)2222022020,0101313,23,23,22,13131313(,23)95 3,(,23)95 3,222295 3,9

46、組成方程組解得兩組解或由于實際問題確實存在最大值與最小值 且所以該橢圓到原點的最長距離為最短距離為xyzLxxLyyLzxyzxyzxyzxyzff 5 3.第 64 頁二重積分的概念與性質第七章 第六節(jié) 7.6.1 二重積分的概念 7.6 7.6 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質 7.6.2 二重積分的性質第 65 頁二重積分的概念與性質第七章 第六節(jié),( , ),“”.,( , ),.,.( , ),我們知道 對于平頂柱體 即當其高是不變的 它的體積用公式底面積高來計算現在柱體的頂是曲面 它的高在 上是變量 它的體積就不能用上面的公式來計算但是我們可以仿照求曲邊梯形面積的思路 把

47、分成多個小閉區(qū)域由于在 上連續(xù)因此它在每個小區(qū)域上的變化就很小 因而相應每個小區(qū)域上的小曲頂柱體的體積就可用平頂柱體的體積來近似替代 且區(qū)f x yhVf x yDDf x yD.1曲頂柱體的體積,.:域 分割得越細 近似值的精度就越高于是通過求和、取極限就能算得整個曲頂柱體的體積具體作法如下D二重積分的概念1第 66 頁二重積分的概念與性質第七章 第六節(jié) 121:,(1,2, ),.(2):(,)(1,2,),(,)(,)分割 把區(qū)域 任意分成 個小閉區(qū)域并以表示第個小區(qū)域的面積 然后分別以這些小區(qū)域的邊界曲線為準線 作母線平行于 軸的柱面 這些柱面就把原來的曲頂柱體分成 個小曲頂柱體近似

48、在每個小曲頂柱體的底上任取一點用以為高、為底的平頂柱體的體積近似替代第niiiiiiiiiiDninizninffi 1101,(,).(3):,(,).(4):,lim(,).,(個小曲頂柱體的體積 即求和 將這 個小平頂柱體的體積相加 得到原曲頂柱體體積的近似值 即取極限 將區(qū)域 無限細分且每個小閉區(qū)域趨向于縮成一點 這個近似值就趨向于原曲頂柱體的體積 即其中是這 個小區(qū)域的最大直徑 有界閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域中任意兩點間iiiinniiiiiiniiiiVfnVVfDVfn ).距離的最大值第 67 頁二重積分的概念與性質第七章 第六節(jié)1( , ).(1,2, ),.(,),(,).,(

49、, ),( , )d ,( , )設二元函數定義在有界閉區(qū)域 上將區(qū)域 任意分成 個小閉區(qū)域并以表示第 個小區(qū)域的面積在上任取一點作和如果當各個小區(qū)域的直徑中的最大值 趨于零時 此和式的極限存在 則稱此極限值為函數在區(qū)域 上的二重積分 記作即iiiiiiniiiDzf x yDDniniff x yDf x yf x y 2.7.6.1二重積分的概念定義01dlim(,).niiiiDf 第 68 頁二重積分的概念與性質第七章 第六節(jié)( , )0,( , )d,( , );( , )0,( , )d,( , );( , ),( , )d.當被積函數時表示以區(qū)域 為底 以為頂的曲頂柱體的體積 當

50、時 曲頂柱體在平面的下方表示以區(qū)域 為底以為頂的曲頂柱體的體積的相反數 當在 上有正有負時表示各區(qū)域上曲頂柱體體積的代數和DDDf x yf x yDf x yf x yxoyf x yDf x yf x yDf x y3.二重積分的幾何意義第 69 頁二重積分的概念與性質第七章 第六節(jié)2222222222:1.,1,1,1d ,:1.試以二重積分表示下列曲頂柱體的體積 旋轉拋物面與平面所構成的鐘形體的體積由圖可見 該立體是以曲面為頂面上的圓所圍區(qū)域為底的曲頂柱體 所以其中積分區(qū)域 為DzxyxOyzxyxOyxyVxyDxy 7.6.1例解第 70 頁二重積分的概念與性質第七章 第六節(jié),(

51、, )d( , )d ()., ( , )( , )d ( , )d( , )d .常數因子可以提到積分號外 即為常數函數和、差的積分等于各個函數積分的和、差 即DDDDDkf x ykf x ykf x yg x yf x yg x y12性質性質二重積分的概念2第 71 頁二重積分的概念與性質第七章 第六節(jié)1211212,(),( , )d( , )d( , )d .( , )1,dd.如果閉區(qū)域 被一條曲線分為兩個閉區(qū)域即如圖所示 則如果在區(qū)域 上有且 的面積為則DDDDDDD DDDDf x yf x yf x yDf x yD()34區(qū)域可加性質性質性質第 72 頁二重積分的概念與性

52、質第七章 第六節(jié)( , )( , ),( , ),( , )d( , )d .,( , ),( , )d.( , ),( , ),( , )d( , )若則設 分別是在有界閉區(qū)域 上的最大值和最小值是區(qū)域 的面積 則有不等式設在有界閉區(qū)域 上連續(xù)是區(qū)域 的面積 則在 上至少存在一點使得DDDDf x yg x yx yDf x yg x yMmf x yDDmf x yMf x yDDDf x yf ()()567估值定理二重積分的中值定理性質性質性質.第 73 頁二重積分的概念與性質第七章 第六節(jié) 222lndln d,1,0 , 1,1 , 2,0 .710,12.0lnln2ln1.ln

53、ln ,5:lndln d .37 d,:01,0比較二重積分與的大小 其中 是三角形閉區(qū)域 三頂點分別為如圖所示 在 上則所以由性質 得估計二重積分的值 其中 為矩形閉區(qū)域DDDDDxyxyDDxyxyexyxyxyxyxyDx7.6.27.6.3例解例2.,73714,2,6:1437 d28.因為在 上而 的面積由性質 可得DyDxyDxy解第 74 頁二重積分的計算與應用第七章 第七節(jié) 7.7.1 直角坐標系下二重積分的計算 7.6 7.6 二重積分的概念與性質二重積分的概念與性質 7.7.2 極坐標系下二重積分的計算 7.7.3 二重積分的應用第 75 頁二重積分的計算與應用第七章

54、第七節(jié),( , ),.,(),dd d .( , )d( , )d d .( , )( , )0,由二重積分的定義可知 若在區(qū)域 上的二重積分存在 則二重積分的值與區(qū)域的分法無關因此 在直角坐標系中 可以用平行于坐標軸的直線網把區(qū)域 分成若干個矩形小區(qū)域 如圖所示 則矩形小區(qū)域的面積并且可記為其二重積分可以寫成設函數在有界閉區(qū)域 上連續(xù)且下面我們用微元法來iDDf x yDDDxyx yf x yf x yx yzf x yDf x y ( , )d d.計算二重積分所表示的曲頂柱體的體積Df x yx y直角坐標系下二重積分的計算1第 76 頁二重積分的計算與應用第七章 第七節(jié) 1212:,

55、( ),( ),:,.(712)., ,d, .,ddd .,( ,積分區(qū)域 由連續(xù)曲線圍成 即這樣的區(qū)域稱為型區(qū)域 如圖所示選 為積分變量 任取子區(qū)間過點 作垂直于 軸的平面 此平面截曲頂柱體得一截面 用表示該截面的面積 則曲頂柱體體積 的微元為據定積分知識 可得Dxa xb abyxyxDx yxyxaxbXxx xxa bxxA xVVVA xxVf x1.設積分區(qū)域 為型 DX )d dd .79baDyx yA xx第 77 頁二重積分的計算與應用第七章 第七節(jié)21( )( ),;,.,.710()().( , )d dd( , )d以上公式把二重積分的計算問題轉化為兩次定積分的計算

56、 第一次積分時 把看作常數 對變量 積分 它的積分限一般地講是 的函數 第二次是對變量 積分 它的積分限是常量這種先對一個變量積分 然后再對另一個變量積分的方法 稱為累次積分法公式稱為先積也稱內積分對后積也稱外積分對 的累次積分公式通常也可寫成bxaxDxyxxyyxxf x yx yxf x yy.711第 78 頁二重積分的計算與應用第七章 第七節(jié) 211212( )( ):,( ),( ),:,().,( , )d d .712712,( , )d dd積分區(qū)域 由連續(xù)曲線圍成 即這樣的區(qū)域稱為型區(qū)域 如圖所示則用垂直于 軸的平面截曲頂柱體 可類似地得到曲頂柱體的體積公式稱為先積 后積

57、的累次積分公式 通常也可寫成dycyDDyc ydcdxyxyDx yyxycydYyVf x yxyxyf x yx y 2.設積分區(qū)域 為型 DY21( )( )( , )d713dycyyf x yx第 79 頁二重積分的計算與應用第七章 第七節(jié) 21111212( )( )( )( )( , )( )( ),( , )d dd( , )dd( , )d .714714.( , )d d,如果 既是型區(qū)域又是型區(qū)域那么公式常用來交換二重積分的積分次序若二重積分的積分區(qū)域 比較復雜 這時可以用平bxdyaxcyDDDXx yxyx axbYx yyxycydf x yx yxf x yyy

58、f x yxf x yx yD.3一般積分區(qū)域的情況123(),XY,.,.行于 軸 或平行于 軸 的直線 把 分成若干個型、型的小區(qū)域 應用二重積分區(qū)域可加性性質上二重積分就是這些小區(qū)域上二重積分的和如圖所示的區(qū)域可以用平行于 軸的直線把 分割成三部分yxDDDyDD DD第 80 頁二重積分的計算與應用第七章 第七節(jié) ( , )d d.2,.,1,10,02,0 .1(),0,1 ,01.0,1,2,試將化為兩種不同次序的累次積分其中積分區(qū)域 是由和 軸圍成首先畫出積分區(qū)域 的圖形 并求出邊界曲線的交點、及若視 為型 如圖所示 則將 投影到 軸上 得到投影區(qū)間即在上任意找一點 過 畫一條與

59、 軸平行的直線 該直線與區(qū)域 的邊界交于兩點 其橫坐標分別為 即Df x yx yDyx yxxDDYDyyyyxDxyxyy7.7.1例解1202,2,01 ,( , )d dd( , )d . 所以有yyDxyDx yyxyyf x yx yyf x yx第 81 頁二重積分的計算與應用第七章 第七節(jié) 1212122(),0,2 ,02.0,2,0,1 , 1,2,0,01 ,02,12 .( , )d d( , )d d( , )d d若視 為型 如圖所示 則將 投影到 軸上 得投影區(qū)間即在上任意找一點 過 畫一條與 軸平行的直線 我們發(fā)現該直線在不同的區(qū)間上與區(qū)域 的邊界的交點不同 因

60、此需將區(qū)域 分成和且所以DDDDXDxxxxyDDDDDx yyxxDx yyxxf x yx yf x yx yf x yx y1220010d( , )dd( , )d .xxxf x yyxf x yy第 82 頁二重積分的計算與應用第七章 第七節(jié)2222102d d .(),0,1 ,01.0,1,.( , ),01.d2計算二重積分其中 為由直線與拋物線所圍成的區(qū)域作出區(qū)域 的草圖若視 為型 如圖所示 則將 投影到 軸上 得投影區(qū)間即在上任意找一點過 畫一條與 軸平行的直線 該直線與區(qū)域 的邊界交兩點 其縱坐標分別為即所以原積分Dxyx yDyxyxDDXDxxxxyDyxyxxyx