2、雙曲線的參數(shù)方程

1、二、圓錐曲線的參數(shù)方程二、圓錐曲線的參數(shù)方程2、雙曲線的參數(shù)方程張家界市一中 高二數(shù)學(xué)組2021/3/92一、復(fù)一、復(fù) 習(xí)習(xí) 1 1、橢圓的參數(shù)方程、橢圓的參數(shù)方程 橢圓的標準方程：橢圓的標準方程：12222byax橢圓的參數(shù)方程：橢圓的參數(shù)方程：12222aybxxacos ,Xybsin . 焦焦點點在在 軸軸x bcos ,Yy asin . 焦焦點點在在 軸軸2021/3/932、在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a、b分別是橢圓的長半軸長和短半軸長. ab另外, 稱為稱為離心角離心角, ,通常規(guī)定參數(shù)的取值范圍通常規(guī)定參數(shù)的取值范圍是：是：0 2,) 2021/3/94xacos()ybsin

2、 為為參參數(shù)數(shù)OAMxyNB橢圓的標準方程:22221xyab 3 3、橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)、橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義的幾何意義: :橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程: :是是AOX=AOX=, ,不是不是MOX=MOX=.2021/3/95bsinyacosx方程為的參數(shù)為參數(shù))可以得到橢圓(sinycosx1.利用圓的參數(shù)方程yx1可以變成byax則橢圓的方程yb1yxa1x通過伸縮變換222222參參數(shù)數(shù)方方程程的的推推導(dǎo)導(dǎo)從從幾幾何何變變換換角角度度看看橢橢圓圓4 4、2021/3/96充：、三角函數(shù)的定義的補5_sinayr_cosaxr_tan ayx_cot axyrx_csc

3、 ary余切余切:正割正割:余割余割:22sectan1sec_a 1cos 1sin 2021/3/97Oxy102 圖圖A MB A1C2CB 12112221000.Oa b abCCACOAACAAxACxBCBBOABAByxA MB MM 如如圖圖，以以原原點點為為圓圓心心， ，為為半半徑徑分分別別作作同同心心圓圓，設(shè)設(shè)為為圓圓上上任任一一點點，作作直直線線，過過點點 作作圓圓的的切切線線與與 軸軸交交于于點點，過過圓圓與與 軸軸的的交交點點作作圓圓的的切切線線與與直直線線交交于于點點過過點點，分分別別作作軸軸， 軸軸的的平平行行線線，交交于于點點 2222100.yxabab 類

4、類似似于于探探究究橢橢圓圓參參數(shù)數(shù)方方程程的的方方法法，我我們們來來探探究究雙雙曲曲線線，的的參參數(shù)數(shù)方方程程二、雙曲線的參數(shù)方程二、雙曲線的參數(shù)方程2021/3/98 .0.設(shè)設(shè)為為始始邊邊，為為終終邊邊的的角角為為 ，點點的的坐坐標標為為，那那么么點點的的坐坐標標為為， ，點點的的坐坐標標為為，OxOAMx yAxBby 1cossincossincossin.因因為為點點 在在圓圓上上，由由圓圓的的參參數(shù)數(shù)方方程程得得點點的的坐坐標標為為，所所以以，ACAabOAabAAxaa 0OAAAOA AA 因因為為，所所以以，從從而而Oxy102 圖圖A MB A1C2CB雙曲線的參數(shù)方程推導(dǎo)

5、雙曲線的參數(shù)方程推導(dǎo)1 12021/3/99 2coscossin0.axaa .cosax 解解得得記記1secsec .cosxa ，則則tantan .Bybyb 因因為為點點在在角角 的的終終邊邊上上，由由三三角角函函數(shù)數(shù)定定義義有有，即即 sectanMxayb 所所以以，點點的的軌軌跡跡的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為為為參參數(shù)數(shù)Oxy102 圖圖A MB A1C2CB2021/3/91022222sin11sectan1coscos 因因為為，即即，.Mx 所所以以，從從消消去去參參數(shù)數(shù)后后得得到到點點的的軌軌跡跡的的普普通通方方程程為為，這這是是中中心心在在原原點點，焦焦點點在在 軸軸

6、上上的的雙雙曲曲線線所所以以就就是是雙雙曲曲線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程 30 2.22 在在雙雙曲曲線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程中中，通通常常規(guī)規(guī)定定參參數(shù)數(shù) 的的范范圍圍為為，且且，?思思考考 類類比比橢橢圓圓的的參參數(shù)數(shù)方方程程，從從雙雙曲曲線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程中中可可以以得得出出哪哪些些結(jié)結(jié)論論2021/3/911Oxy102 圖圖A MB A1C2CB 210().MOAMOM 由由 圖圖或或 通通 過過 動動 畫畫 演演 示示 可可 以以 看看 到到 ，參參 數(shù)數(shù)是是 點點所所 對對 應(yīng)應(yīng)的的 圓圓 的的 半半 徑徑的的 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 角角稱稱 為為 點點的的 離離心心 角角 ， 而而 不

7、不 是是的的旋旋 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 角角 22221sectan.yxabab 與與橢橢圓圓類類似似，雙雙曲曲線線上上任任意意一一點點的的坐坐標標可可以以設(shè)設(shè)為為，這這是是解解決決與與雙雙曲曲線線有有關(guān)關(guān)的的問問題題的的重重要要方方法法2021/3/912baoxy)MBABAOBBy在中，( , )M x y設(shè)| | tanBBOBtan .bOAAx在中，|cosOAOAcosaa sec ,sec()tanxaMyb所所以以的的軌軌跡跡方方程程是是為為參參數(shù)數(shù)2a2 22 22 2x xy y消消去去參參數(shù)數(shù)后后，得得- -= =1 1, ,b b這這是是中中心心在在原原點點，焦焦點點在在x x軸軸

8、上上的的雙雙曲曲線線。雙曲線的參數(shù)方程推導(dǎo)雙曲線的參數(shù)方程推導(dǎo)2 22021/3/913 雙曲線的參數(shù)方程雙曲線的參數(shù)方程 baoxy)MBABAsec()tanxayb為參數(shù)2a222xy-=1(a0,b0)的參數(shù)方程為：b3 ,2 )22o通 常 規(guī) 定且，。 雙曲線的參數(shù)方程可以由方程雙曲線的參數(shù)方程可以由方程 與三角恒等式與三角恒等式22221xyab22sec1tan 相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程相比較而得到，所以雙曲線的參數(shù)方程 的實質(zhì)是三角代換的實質(zhì)是三角代換.說明：說明： 這里參數(shù)這里參數(shù) 叫做雙曲線的離心角與直線叫做雙曲線的離心角與直線OM的傾斜角不同的傾斜角不同.20

9、21/3/914x2 3secy4 3tan 例例1 1、（1 1）求求雙雙曲曲線線的的兩兩個個焦焦點點坐坐標標。)0 ,152(2021/3/915x3sec2()ytan_ （ ）雙雙曲曲線線為為參參數(shù)數(shù) 的的漸漸近近線線方方程程為為xy312021/3/916 .sectanbyxMaab 解解：雙雙曲曲線線的的漸漸近近線線方方程程為為不不妨妨設(shè)設(shè)為為雙雙曲曲線線右右支支上上一一點點，其其坐坐標標為為，xy112 圖圖OMBA 2222221110.?MyxababOMA BMAOB 例例如如圖圖，設(shè)設(shè)為為雙雙曲曲線線，上上任任意意一一點點， 為為原原點點， 過過點點作作雙雙曲曲線線兩兩

10、漸漸近近線線的的平平行行線線，分分別別與與兩兩漸漸近近線線交交于于 ， 兩兩點點 探探求求平平行行四四邊邊形形的的面面積積，由由此此可可以以發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)什什么么結(jié)結(jié)論論2021/3/917 tansec.MAbybxaa 則則直直線線的的方方程程為為 sectan.2AbyxAaax 將將代代入入，解解得得點點 的的橫橫坐坐標標為為 sectan.2BBax同同理理可可得得點點 的的橫橫坐坐標標為為tan.bAOxa設(shè)設(shè)，則則MAOB所所以以，平平行行四四邊邊形形的的面面積積為為xy112 圖圖OMBA| |sin2MAOBSOAOB 平平行行四四邊邊形形2021/3/918| |sin2MAOB

11、SOAOB 平平行行四四邊邊形形sin2coscosABxx 2222sectansin24cosa 22tan.222aababa .MAOBM由由此此可可見見，平平行行四四邊邊形形的的面面積積恒恒為為定定值值，與與點點在在雙雙曲曲線線上上的的位位置置無無關(guān)關(guān)xy112 圖圖OMBA2.用用 雙雙 曲曲 線線 的的 普普 通通 方方 程程 直直 接接 求求 解解 例例 ， 并并 由由此此 體體 會會 參參 數(shù)數(shù) 方方 程程 的的 作作 用用2021/3/919兩點距離的最小值、，求上一點與雙曲線上一點、已知圓例QPQyxPyxO11)2(:32222133,454, 1tan3) 1(tan24tan4tan1tan)2(tansec)tan,(secminmin222222PQOQOQQ時或即當(dāng)?shù)淖钚【嚯x先求圓心到雙曲線