模糊綜合評價法

1、1模糊數(shù)學緒論模糊數(shù)學緒論1產(chǎn)生產(chǎn)生1965年，年，L.A. Zadeh（扎德）（扎德） 發(fā)表了文章發(fā)表了文章模糊集模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )基本思想基本思想用屬于程度（隸屬度）代替屬于或不屬于。用屬于程度（隸屬度）代替屬于或不屬于。如某員工屬于優(yōu)秀的程度為如某員工屬于優(yōu)秀的程度為0.6, 屬于良好的程度屬于良好的程度為為0.2，屬于一般的程度為，屬于一般的程度為0.1，屬于較差的程度，屬于較差的程度為為0.1。2一、經(jīng)典集合與一、經(jīng)典集合與模糊集合模糊集合 模糊集合. uAA. uAuAu非此及彼非此及彼3亦此亦

2、彼亦此亦彼UA模糊集合模糊集合 ,A元素元素 u若若 x 位于位于 A 的內(nèi)部，的內(nèi)部， 則用則用1來記錄，來記錄，若若 x 位于位于 A 的外部，的外部， 則用則用0來記錄，來記錄，若若 x 一部分位于一部分位于 A 的內(nèi)部，一部分位于的內(nèi)部，一部分位于 A 的外部，的外部，則用則用 x 位于位于 A 內(nèi)部的長度來表示內(nèi)部的長度來表示 u 對于對于 A 的隸屬程度。的隸屬程度。模糊集合4定義：定義：設設U是論域，稱映射是論域，稱映射 1 , 0)( ,1 , 0:uuUAA確定了一個確定了一個U上的上的模糊子集模糊子集 。映射。映射 稱為稱為 隸屬函隸屬函AA A數(shù)數(shù)， 稱為稱為 對對 的隸

3、屬程度，簡稱的隸屬程度，簡稱隸屬度隸屬度。)(uAuA)(uA越接近于越接近于0, 表示表示 x 隸屬于隸屬于A 的程度越?。坏某潭仍叫?；)(uA越接近于越接近于1, 表示表示 x 隸屬于隸屬于A 的程度越大；的程度越大；)(uA0.5, 最具有模糊性，過渡點最具有模糊性，過渡點模糊集合5模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法表示法nnuuAuuAuuAA)()()(2211這里這里 表示表示 對模糊集對模糊集A的隸屬度是的隸屬度是 。iiuuA)(ix)(iuA（2）序偶表示法）序偶表示法 nnuuuA,.,2211模糊集合6（3）

4、向量表示法）向量表示法nA,.,4321(4) 積分表示法積分表示法若論域若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：為無限集，其上的模糊集表示為：UuAuuA)(模糊集合7例例1. 有有100名消費者，對名消費者，對5種商品種商品 評價，評價，結果為：結果為：54321,xxxxx81人認為人認為x1 質(zhì)量好，質(zhì)量好，53人認為人認為x2 質(zhì)量好，質(zhì)量好，所有人認為所有人認為x3 質(zhì)量好，沒有人認為質(zhì)量好，沒有人認為x4 質(zhì)量好，質(zhì)量好，24人人認為認為x5 質(zhì)量好質(zhì)量好則模糊集則模糊集A（質(zhì)量好）（質(zhì)量好）5432124. 00153. 081. 0 xxxxxA模糊集合8 例例2：考慮年齡集：

5、考慮年齡集U=0,100，O=“年老年老”，O也是一個年齡集，也是一個年齡集，u = 20 A，40 呢？呢？札德給出了札德給出了 “ “年老年老” ” 集函數(shù)刻畫集函數(shù)刻畫: :10050)550(1 (5000)(12uuuuO10U50100模糊集合9再如，再如，Y= “= “年輕年輕”也是也是U的一個子集，只是不同的年齡段隸屬的一個子集，只是不同的年齡段隸屬于這一集合的程度不一樣，札德給出它的隸屬函數(shù)：于這一集合的程度不一樣，札德給出它的隸屬函數(shù)：10025)525(1 (2501)(12uuuuY1050U模糊集合10二二、模糊集的運算、模糊集的運算定義：定義：設設A，B是論域是論域

6、U的兩個模糊子集，隸屬函數(shù)的兩個模糊子集，隸屬函數(shù)包含：包含：uuBABA并集：并集：uuuBABA交集：交集：uuuBABA余集余集：uuAcA 1 表示取大；表示取大； 表示取小。表示取小。 模糊集合的運算11例例3.543215 . 08 . 019 . 03 . 0uuuuuA543216 . 03 . 08 . 01 . 02 . 0uuuuuB則：則：BA543216 . 08 . 019 . 03 . 0uuuuuBA543215 . 03 . 08 . 01 . 02 . 0uuuuu模糊集合的運算12并交余計算的性質(zhì)并交余計算的性質(zhì)1. 冪等律冪等律,AAAAAA2. 交換律

7、交換律,ABBAABBA3. 結合律結合律CBACBACBACBA)()(,)()(4. 吸收律吸收律(),()AABA AABA模糊集合的運算136. 同一律同一律AUAUUAAAA,7. 還原律還原律,)(AAcc8. 對偶律對偶律,)( ,)(ccccccABBABABA5. 分配律分配律)()()(),()()(CABACBACABACBA模糊集合的運算14一、模糊集合的一、模糊集合的水平截集水平截集定義：定義：設設A為論域為論域U上的模糊集合，對任意的上的模糊集合，對任意的1 , 0稱普通集合稱普通集合 UuuuuAA,為為A A的的水平截集。水平截集。水平截集15示例：示例： 氣象

8、部門對上周天氣進行綜合評價，得出上周七天對氣象部門對上周天氣進行綜合評價，得出上周七天對于好天氣的隸屬度如下：于好天氣的隸屬度如下：星期天星期六星期五星期四星期三星期二星期一天氣1 . 02 . 03 . 06 . 07 . 08 . 09 . 0 現(xiàn)在限定現(xiàn)在限定=0.6水平截集為好天氣，則好天氣的普通集水平截集為好天氣，則好天氣的普通集合為：合為：三，星期四星期一，星期二，星期好天氣水平截集16隸屬函數(shù)的確定隸屬函數(shù)與概率的共同點： 都是針對不確定現(xiàn)象 都是用0，1區(qū)間度量不確定性模糊數(shù)學和概率論的本質(zhì)區(qū)別： 概率論研究隨機現(xiàn)象，是由于條件不充分而導致對象的不確定性，是對“因果律”的突破；

9、 模糊數(shù)學研究模糊現(xiàn)象，是由于外延模糊不清而引起對象的不確定性，是對“排中律”的突破。171、模糊統(tǒng)計法、模糊統(tǒng)計法模糊統(tǒng)計試驗的四個要素：模糊統(tǒng)計試驗的四個要素：（1）論域）論域U；（2）U中的一個固定元素中的一個固定元素;0u（3）U中的一個隨機運動集合中的一個隨機運動集合;*A（4）U中的一個以中的一個以 作為彈性邊界的模糊子集作為彈性邊界的模糊子集A，*A制約著制約著 的運動。的運動。 可以覆蓋可以覆蓋 也可以不覆蓋也可以不覆蓋*A*A,0u,0u致使致使 對對A的隸屬關系是不確定的。的隸屬關系是不確定的。0u隸屬函數(shù)的確定18特點：在各次試驗中，特點：在各次試驗中， 是固定的，而是固

10、定的，而 在隨機變動。在隨機變動。0u*A模糊統(tǒng)計試驗過程：模糊統(tǒng)計試驗過程：（1）做）做n次試驗，計算出次試驗，計算出nAuAu的次數(shù)的隸屬頻率對*00（2）隨著）隨著n的增大，頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定，此穩(wěn)定值即為的增大，頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定，此穩(wěn)定值即為nAuun的次數(shù)*00lim)(0u對對A的隸屬度：的隸屬度：隸屬函數(shù)的確定19對對129人進行調(diào)查人進行調(diào)查, 讓他們給出讓他們給出“青年人青年人”的年齡區(qū)間，的年齡區(qū)間，問年齡問年齡 27屬于模糊集屬于模糊集A（青年人）的隸屬度。（青年人）的隸屬度。 0u隸屬函數(shù)的確定20對年齡對年齡27作出如下的統(tǒng)計處理：作出如下的統(tǒng)計處理：A(27) = 0.78隸

11、屬函數(shù)的確定212、指派方法 這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種方法。它是根據(jù)問題的性質(zhì)套用現(xiàn)成的某些形式的模糊分布，然后根據(jù)測量數(shù)據(jù)確定分布中所含的參數(shù)。 一般會有一些大致的選擇方向：偏大型，偏小型，中間型。 偏小型：適合描述“小”“少”“冷”“淺”“疏”“青年”等 偏大型：適合描述“大”“多”“熱”“深”“密”“老年”等 中間型：適合描述“中”“不太多”“不太深”“不太濃” “暖和”“中年”等處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象。隸屬函數(shù)的確定22常用的模糊分布23隸屬函數(shù)的確定243、其它方法、其它方法德爾菲法：專家評分法；德爾菲法：專家評分法； （1）選擇專家；）選擇專家； （2）確定影響債

12、權價值的因素，設計價值分析對象征詢意）確定影響債權價值的因素，設計價值分析對象征詢意見表；見表； （3）向?qū)＜姨峁﹤鶛啾尘百Y料，以匿名方式征詢專家意見；）向?qū)＜姨峁﹤鶛啾尘百Y料，以匿名方式征詢專家意見； （4）對專家意見進行分析匯總，將統(tǒng)計結果反饋給專家；）對專家意見進行分析匯總，將統(tǒng)計結果反饋給專家； （5）專家根據(jù)反饋結果修正自己的意見；）專家根據(jù)反饋結果修正自己的意見； （6）經(jīng)過多輪匿名征詢和意見反饋，形成最終分析結論。）經(jīng)過多輪匿名征詢和意見反饋，形成最終分析結論。隸屬函數(shù)的確定25隸屬函數(shù)的二元對比排序法相對比較法：相對比較法：設設nu,.u,uU21上的模糊集合上的模糊集合A A

13、代表某種特性，建立任意兩代表某種特性，建立任意兩元素關于元素關于A的二元比較級的二元比較級( )，滿足：，滿足： 。其中。其中 代表相對于代表相對于 而言，而言， 具有特性具有特性A的程度。的程度。 建立相及矩陣建立相及矩陣 有有 取取C中各行最小值作為對應元素的隸屬度，即中各行最小值作為對應元素的隸屬度，即由此建立由此建立U上模糊集合上模糊集合A的隸屬函數(shù)。的隸屬函數(shù)。 ifj jfi 1,0ifjfji jfiiuju nnijcC 1,maxiiijjijcjfififc ijiAcumin26隸屬函數(shù)的二元對比排序法算例算例 有有B B市、市、S S市和市和T T市三支代表隊參加烹飪大

14、賽，即市三支代表隊參加烹飪大賽，即U=BU=B隊（隊（x x），），S S隊（隊（y y），），T T隊（隊（z z） ，A=“A=“廚藝高廚藝高”，求，求A A的隸屬函數(shù)。的隸屬函數(shù)。建立相對比較級建立相對比較級1.1. 大賽評委對大賽評委對U U中各元素兩兩相互評分，去掉最高分和最低中各元素兩兩相互評分，去掉最高分和最低分取平均值獲得如下結果：分取平均值獲得如下結果： 9 . 0 , 5 . 0,4 . 0 , 8 . 0,7 . 0 , 8 . 0,xfzfzfyfyfxfzxyzxy27隸屬函數(shù)的二元對比排序法2.2.建立相及矩陣建立相及矩陣 218 . 04 . 0,max959 .

15、 05 . 0,max18 . 08 . 0,max878 . 07 . 0,max19 . 09 . 0,max18 . 08 . 0,maxyfzfzfcxfzfzfczfyfyfcxfyfyfczfxfxfcyfxfxfczyyzyzxxzxyzzyzyxxyxxzzxzxyyxy28隸屬函數(shù)的二元對比排序法可得相及矩陣可得相及矩陣3.求隸屬函數(shù)求隸屬函數(shù) 對各行取最小值得隸屬函數(shù)對各行取最小值得隸屬函數(shù)121951187111zzzyzxyzyyyxxzxyxxcccccccccCzyxA2187129隸屬函數(shù)的二元對比排序法擇優(yōu)比較法擇優(yōu)比較法 類似于抽樣調(diào)查，適用于被調(diào)查者只能做兩

16、兩比較，難于給類似于抽樣調(diào)查，適用于被調(diào)查者只能做兩兩比較，難于給出總體各個元素的順序，與相對比較法不同得是，在兩兩比出總體各個元素的順序，與相對比較法不同得是，在兩兩比較的過程中被調(diào)查者不必評分，只要給出心目中的最優(yōu)即可。較的過程中被調(diào)查者不必評分，只要給出心目中的最優(yōu)即可。算例算例 調(diào)查觀眾對五種球賽的喜愛程度。該課題論域為調(diào)查觀眾對五種球賽的喜愛程度。該課題論域為U=U=排排球賽（球賽（1 1），籃球賽（），籃球賽（2 2），足球賽（），足球賽（3 3），乒乓球賽（），乒乓球賽（4 4），），羽毛球賽（羽毛球賽（5 5）。）。A=“A=“喜歡喜歡” 在觀眾中隨機抽取在觀眾中隨機抽取100

17、100人，對球賽做兩兩對比，每人做人，對球賽做兩兩對比，每人做2020次選擇，形成下表。次選擇，形成下表。30隸屬函數(shù)的二元對比排序法羽毛球賽乒乓球賽足球賽籃球賽排球賽185. 0167. 0286. 0178. 01875. 0A31隸屬函數(shù)的二元對比排序法對比平均法對比平均法 建立建立U U中任意兩元素關于中任意兩元素關于A A的二元相對比較級的二元相對比較級 得到相對比較級矩陣得到相對比較級矩陣F F 按照下式確定各元素隸屬度按照下式確定各元素隸屬度式中式中 為權，滿足為權，滿足 njijfifij,.,1, 1,iijijnnijfifffF njijjiAfWu1njWj,.,11j

18、W32算例算例 設論域設論域U=U=x x（五十鈴），（五十鈴），y y（三菱），（三菱），z z（日野），（日野），A=“A=“舒舒適度適度”，求，求A A的隸屬函數(shù)。選擇的隸屬函數(shù)。選擇1010名特約乘客實驗，按二元比較名特約乘客實驗，按二元比較法由乘客打分整理后有下表法由乘客打分整理后有下表表表 汽車舒適性調(diào)查汽車舒適性調(diào)查隸屬函數(shù)的二元對比排序法33 其中對日野汽車的偏愛程度比較大，權重為其中對日野汽車的偏愛程度比較大，權重為0.40.4，其余兩種汽車，其余兩種汽車等權重為等權重為0.30.3，得，得 隸屬函數(shù)為隸屬函數(shù)為 65. 0132. 030. 04 . 056. 068. 0

19、117. 03 . 076. 070. 083. 013 . 0zyxAAAzyxA65. 056. 076. 0隸屬函數(shù)的二元對比排序法34優(yōu)先關系排序法優(yōu)先關系排序法 設論域設論域U=U=u u1 1,u,u2 2,u,u3 3,u,u4 4.u.un n, ,以以C Cijij表示表示u ui i與與u uj j相比是相比是u ui i的優(yōu)越程的優(yōu)越程度，有度，有C Ciiii=0=0。 其中其中0C0Cijij11且且C Cijij+C+Cjiji=1=1 可得模糊矩陣可得模糊矩陣稱為優(yōu)先關系矩陣。稱為優(yōu)先關系矩陣。 給定給定00，11，得，得C C的的截矩陣截矩陣 ，當，當C Cij

20、ij， =1=1反正為反正為0 0。 另另從從0 0到到1 1變化，當矩陣首次出現(xiàn)某行元素除對角線外均為變化，當矩陣首次出現(xiàn)某行元素除對角線外均為1 1時，時，則認為該行為第一優(yōu)越（不一定唯一）。則認為該行為第一優(yōu)越（不一定唯一）。 刪去第一優(yōu)越元素后，用同樣的方法可以得到第二、第三等優(yōu)刪去第一優(yōu)越元素后，用同樣的方法可以得到第二、第三等優(yōu)越元素。越元素。隸屬函數(shù)的二元對比排序法nnijCC ijCC ijC35算例算例 設論域設論域U=U=x x（五十鈴），（五十鈴），y y（三菱），（三菱），z z（日野），（日野），A=“A=“舒適舒適度度”。挑選。挑選1010名司機將參加測評的車輛兩兩

21、編組，在駕駛一段時名司機將參加測評的車輛兩兩編組，在駕駛一段時間后對汽車的舒適度進行打分。間后對汽車的舒適度進行打分。評分結果評分結果隸屬函數(shù)的二元對比排序法36定義定義模糊關系的定義所謂A，B兩集合的直積中的一個模糊關系R，是指以為論域的一個模糊子集，序偶的隸屬度為一般地，若論域為n個集合的直積，則它所對應的是n元模糊關系R，其隸屬度函數(shù)為n個變量的函數(shù) 。顯然當隸屬度函數(shù)值只取“0”或“1”時，模糊關系就退化為普通關系。BbAabaBA,),(BA),(ba。),(baRnAAA21),(21nRaaa模糊關系37 假設物品之間完全相似者為“1”、完全不相似者為“0”，其余按具體相似程度給

22、出一個01之間的數(shù)，就可確定出一個U上的模糊關系R，列表如下 設有七種物品：蘋果、乒球、書、籃球、花，桃、菱形組成的一個論域U，并設x1 , x2 x7分別為這些物品的代號，則 現(xiàn)在就物品兩兩之間的相似程度來確定它們的模糊關系。721,xxxU38定義：定義：設設 稱稱R為為模糊矩陣模糊矩陣。, 10 ,)( ijnmijrrR當當 只取只取0或或1時，稱時，稱R為為布爾（布爾（Boole）矩陣）矩陣。ijr當模糊方陣當模糊方陣 的對角線上的元素的對角線上的元素 都為都為1時，時，nnijrR )(ijr稱稱R為為模糊單位矩陣模糊單位矩陣。例如：例如：3 . 07 . 05 . 01 . 00

23、1R0000000000模糊矩陣39（1）模糊矩陣間的關系及運算）模糊矩陣間的關系及運算定義定義：設：設 都是模糊矩陣，定義都是模糊矩陣，定義nmijnmijbBaA )(,)(相等：相等：ijijbaBA 包含：包含：ijijbaBA 并：并：nmijijbaBA )(交：交：nmijijbaBA )(余：余：nmijcaA )1(模糊矩陣40例例4：則則設設,2 . 03 . 004 . 0,3 . 02 . 01 . 01 BA 3 . 03 . 01 . 01BA 2 . 02 . 004 . 0BA 7 . 08 . 09 . 00cA 8 . 07 . 016 . 0cB模糊矩陣4

24、1（2）模糊矩陣的合成）模糊矩陣的合成定義：定義：設設 稱模糊矩陣稱模糊矩陣,)(,)(nsijsmijbBaA nmijcBA )(為為A與與B的的合成合成，其中，其中 。即：即：定義：定義： 設設A為為 階，則模糊方陣的冪定義為階，則模糊方陣的冪定義為nn 1() sijikkjkcab1() sijikkjkCA Bcab AAAAAAAAAnn1232, 模糊矩陣42例例5：則則設設,6 . 04 . 02 . 05 . 03 . 01 . 0,3 . 06 . 02 . 05 . 01 . 04 . 0 BA 3 . 03 . 06 . 05 . 0BA 5 . 05 . 04 .

25、03 . 03 . 03 . 02 . 02 . 01 . 0AB模糊矩陣43（3）模糊矩陣的）模糊矩陣的 截矩陣截矩陣 定義：定義：設設 對任意的對任意的 稱稱,)(nmijaA ,1 , 0 nmijaA )()( 為模糊矩陣為模糊矩陣A的的 截矩陣，其中截矩陣，其中 ijijijaaa , 0 , 1)(顯然，截矩陣為顯然，截矩陣為Boole矩陣。矩陣。模糊矩陣44例例6：則則設設,18 . 03 . 008 . 011 . 02 . 03 . 01 . 015 . 002 . 05 . 01 A 11001100001100115 . 0A 11001100001000018 . 0A

26、時時的的截截矩矩陣陣為為8 . 0, 5 . 0 模糊矩陣45基本思想和原理 在客觀世界中，存在著大量的模糊概念和模糊現(xiàn)象。模糊數(shù)學就是試圖用數(shù)學工具解決模糊事物方面的問題。 模糊綜合評價是借助模糊數(shù)學的一些概念，對實際的綜合評價問題提供一些評價的方法。具地說，模糊綜合評價就是以模糊數(shù)學為基礎，應用模糊關系合成的原理，將一些邊界不清、不易定量的因素定量化，從多個因素對被評價事物隸屬等級狀況進行綜合性評價的一種方法。46模糊綜合評判一級模糊綜合評判一級模糊綜合評判47步驟：（1）確定因素集;,21nuuuU （2）確定評判集;,21mvvvV （3）進行單因素評判得到);,(21imiiirrr

27、r （4）構造綜合評判矩陣： nmnnmmrrrrrrrrrR212222111211（5）綜合評判：對于權重),(21naaaA 計算RAB ，并根據(jù)隸屬度最大原則作出評判。模糊綜合評判48模糊綜合評判49模糊綜合評判50模糊綜合評判51根據(jù)運算的不同定義，可得到以下不同模型：根據(jù)運算的不同定義，可得到以下不同模型：模糊綜合評判52例如有單因素評判矩陣例如有單因素評判矩陣 18. 030. 028. 024. 011. 030. 025. 034. 020. 008. 024. 038. 010. 016. 042. 022. 020. 012. 036. 026. 018. 024. 02

28、8. 030. 012. 026. 022. 040. 023. 025. 032. 020. 027. 013. 024. 036. 0R)18. 0 , 1 . 0 , 1 . 0 , 1 . 0 ,16. 0 ,07. 0 ,07. 0 ,12. 0 , 1 . 0( A則則B(0.18, 0.18, 0.18, 0.18)53模糊綜合評判的運算模型54模型 I),( M均衡平均型 mkkjniijijrrmjrrab1010. );, 2 , 1( )(其中：其中：模糊綜合評判的運算模型5556例例 ：“晉升”的數(shù)學模型.以高校老師晉升教授為例：因素集U =政治表現(xiàn)及工作態(tài)度,教學水平

29、,科研水平,外語水平,評判集V=好,較好,一般,較差,差. 因素 好 較好 一般 較差 差 政治表現(xiàn)及工作態(tài)度 4 2 1 0 0 教學水平 6 1 0 0 0 科研水平 0 0 5 1 1 外語水平 2 2 1 1 1 577/17/17/17/27/27/17/17/5000007/17/6007/17/27/4R給定以教學為主的權重給定以教學為主的權重A = (0.2, 0.5, 0.1, 0.2)，分別用分別用M(,)、 M( , )模型所作評判下：模型所作評判下：M(,)： B = (0.5, 0.2, 0.14, 0.14, 0.14) 歸一化后，歸一化后，B = (0.46, 0.18, 0.12, 0.12, 0.12) M( , )： B = (0.6, 0