線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)ppt課件

1、線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)講解人：胡玲笑線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)本節(jié)主要內(nèi)容：線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制器概述延續(xù)系統(tǒng)線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制離散系統(tǒng)線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制線(xiàn)性二次型Gauss最優(yōu)控制 運(yùn)用經(jīng)典控制實(shí)際設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)，可以處理很多簡(jiǎn)單、確定系統(tǒng)的實(shí)踐設(shè)計(jì)問(wèn)題。但是對(duì)于諸多新型而復(fù)雜的控制系統(tǒng)，例如多輸入多輸出系統(tǒng)與階次較高的系統(tǒng)，往往得不到稱(chēng)心的結(jié)果。這時(shí)就需求有在形狀空間模型下建立的最優(yōu)控制戰(zhàn)略。 最優(yōu)控制是現(xiàn)代控制實(shí)際的中心。所謂最優(yōu)控制，就是在一定條件下，在完成所要求的控制義務(wù)時(shí)，使系統(tǒng)的某種性能目的具有最優(yōu)值。根據(jù)系統(tǒng)不同的用途，可提出各種不用的性能目的。最優(yōu)控制的設(shè)計(jì)，就是選擇最優(yōu)控制，以

2、使某一種性能目的為最小。一、線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制概述一、線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制概述 線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)是基于形狀空間技術(shù)來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)優(yōu)化的動(dòng)態(tài)控制器。系統(tǒng)模型是用形狀空間方式給出的線(xiàn)性系統(tǒng)，其目的函數(shù)是形狀和控制輸入的二次型函數(shù)。二次型問(wèn)題就是在線(xiàn)性系統(tǒng)約束條件下選擇控制輸入使二次型目的函數(shù)到達(dá)最小。 線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制普通包括兩個(gè)方面：線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題LQ問(wèn)題，具有形狀反響的線(xiàn)性最優(yōu)控制系統(tǒng)；線(xiàn)性二次型Gauss最優(yōu)控制問(wèn)題，普通是針對(duì)詳細(xì)系統(tǒng)噪聲和量測(cè)噪聲的系統(tǒng)，用卡爾曼濾波器觀測(cè)系統(tǒng)形狀。二、延續(xù)系統(tǒng)線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制二、延續(xù)系統(tǒng)線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制1.延續(xù)系統(tǒng)線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制原理 假

3、設(shè)線(xiàn)性延續(xù)定常系統(tǒng)的形狀方程為： 要尋求控制向量 使得二次型目的函數(shù)為最小。式中，Q為半正定是對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣，R為正定實(shí)對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣，Q、R分別為X和U的加權(quán)矩陣。 ( ) tu( )( )( )x tAx tBu t01()2TTJQxRu dtxu根據(jù)極值原理，我們可以導(dǎo)出最優(yōu)控制律：式中，K為最優(yōu)反響增益矩陣；P為常值正定矩陣，必需滿(mǎn)足黎卡夫Riccati代數(shù)方程因此，系統(tǒng)設(shè)計(jì)歸結(jié)于求解黎卡夫Riccati方程的問(wèn)題，并求出反響增益矩陣K。1TPxKxuR B 10TPAPPBBPQAR2.延續(xù)系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的延續(xù)系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的MATLAB函數(shù)函數(shù) 在MATLAB工具箱中，提供了

4、求解延續(xù)系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的函數(shù)：lqr()、 lqr2()、 lqry()。其調(diào)用格式為：, ,( , , ,),2( , , ,), ,(, ,)K S Elqr A B Q R NK SlqrA B Q R NK S Elqry sys Q R N其中，A為系統(tǒng)的形狀矩陣；B為系統(tǒng)的輸出矩陣；Q為給定的半正定實(shí)對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣；R為給定的正定實(shí)對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣；N代表更普通化性能目的中交叉乘積項(xiàng)的加權(quán)矩陣；K為最優(yōu)反響增益矩陣；S為對(duì)應(yīng)Riccati方程的獨(dú)一正定解P假設(shè)矩陣A-BK是穩(wěn)定矩陣，那么總有正定解P存在；E為矩陣A-BK的特征值。 其中， lqry()函數(shù)用于求解二次型形狀調(diào)理器的特

5、例，是用輸出反響替代形狀反響，即其性能目的為：這種二次型輸出反響控制叫做次優(yōu)控制。 此外，上述問(wèn)題要有解，必需滿(mǎn)足三個(gè)條件： 1 A，B是穩(wěn)定的； 2 R0且Q-NR-1NT0; 3 Q-NR-1NT，A-BR-1NT在虛軸上不是非能觀 方式。 當(dāng)上述條件不滿(mǎn)足時(shí)，那么二次型最優(yōu)控制無(wú)解，函數(shù)會(huì)顯示警告信號(hào)。01()2TTJQxRu dtxu3.延續(xù)系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)實(shí)例延續(xù)系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)實(shí)例【例8.7】設(shè)系統(tǒng)形狀空間表達(dá)式為：(1)采用輸入反響，系統(tǒng)的性能目的為： 取 ，R=1010000101461100 xuyxx 01()2TTJQxRu dtxu100010001Q(2)

6、采用輸出反響，系統(tǒng)的性能目的為： ，取Q=1,R=1 試設(shè)計(jì)LQ最優(yōu)控制器，計(jì)算最優(yōu)形狀反響矩陣 ，并對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)展單位階躍的仿真。 【解】 1我們可以用MATLAB函數(shù)lqr()來(lái)求解LQ最優(yōu)控制器，程序清單如下：01()2TTJQyRu dtyu123Kkkk A=0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6; B=0,0,1;C=1,0,0;D=0; Q=diag(1,1,1); R=1; K=lqr(A,B,Q,R) k1=K(1); Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D; Step(Ac,Bc,Cc,Dc)程序運(yùn)轉(zhuǎn)結(jié)果如下： K =0.4142 0.7486 0.2046

7、同時(shí)得到閉環(huán)階躍呼應(yīng)曲線(xiàn)，如圖1-1所示。圖1-1 閉環(huán)系統(tǒng)階躍呼應(yīng)曲線(xiàn) 由圖1-1可知，閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍呼應(yīng)曲線(xiàn)略微超調(diào)后立刻單調(diào)衰減，仿真曲線(xiàn)是很理想的，反映了最優(yōu)控制的結(jié)果。 2我們可以用MATLAB函數(shù)lqry()來(lái)求解LQ最優(yōu)控制器，給出程序清單如下： A=0,1,0;0,0,1;-1,-4,-6; B=0,0,1;C=1,0,0;D=0; Q=1; R=1; K=lqry(A,B,C,D,Q,R) k1=K(1); Ac=A-B*K;Bc=B*k1;Cc=C;Dc=D; Step(Ac,Bc,Cc,Dc)程序運(yùn)轉(zhuǎn)結(jié)果如下： K =0.4142 0.6104 0.1009同時(shí)得到閉環(huán)

8、階躍呼應(yīng)曲線(xiàn)，如圖1-2所示。圖1-2 閉環(huán)系統(tǒng)階躍呼應(yīng)曲線(xiàn) 由圖1-1和圖1-2知，經(jīng)最優(yōu)輸出反響后，閉環(huán)系統(tǒng)階躍呼應(yīng)曲線(xiàn)與經(jīng)最優(yōu)形狀反饋后的階躍呼應(yīng)曲線(xiàn)很接近。三、離散系統(tǒng)線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制三、離散系統(tǒng)線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制下面對(duì)離散系統(tǒng)線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制進(jìn)展詳細(xì)引見(jiàn)。1、離散系統(tǒng)線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制原理 假設(shè)完全可控離散系統(tǒng)的形狀方程為： 要尋求控制向量 使得二次型目的函數(shù)為最小。(1)( )( ),(0,1,1)kAx kBu kkNx( ) tu01( )( )( )( )2TTkJk Qx kk Ru kxu式中，Q為半正定實(shí)對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣；R為正定實(shí)對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣；Q、R分別為X和U的加權(quán)

9、矩陣。 根據(jù)極值原理，我們可以導(dǎo)出最優(yōu)控制律： 式中，K為最優(yōu)反響增益矩陣；P為常值正定矩陣，必須滿(mǎn)足黎卡夫Riccati代數(shù)方程 因此，系統(tǒng)設(shè)計(jì)歸結(jié)于求解黎卡夫Riccati方程 的問(wèn)題，并求出反響增益矩陣K。( )TTRPBPAx kKxuBB 10TPAPPBBPQAR2.離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的MATLAB函數(shù)函數(shù) 在MATLAB工具箱中，提供了求解離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制的函數(shù)dlqr()與dlqry()。其調(diào)用格式為：其中，A為系統(tǒng)的形狀矩陣；B為系統(tǒng)的輸出矩陣；Q為給定的半正定實(shí)對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣；R為給定的正定實(shí)對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣；N代表更普通化性能目的中交叉乘積項(xiàng)的

10、加權(quán)矩陣；K為最優(yōu)反響增益矩陣；S為對(duì)應(yīng)Riccati方程的獨(dú)一正定解P假設(shè)矩陣A-BK是穩(wěn)定矩陣，那么總有正定解P存在；E為矩陣A-BK的特征值。, ,( , , ,), ,(, ,)K S Edlqr A B Q R NK S Edlqry sys Q R N 其中，其中，dlqr()函數(shù)用于求解二次型形狀調(diào)理器的特例，函數(shù)用于求解二次型形狀調(diào)理器的特例，是用輸出反響替代形狀反響，即是用輸出反響替代形狀反響，即 ，那么，那么其性能目的為：其性能目的為：3.離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)實(shí)例離散系統(tǒng)二次型最優(yōu)控制設(shè)計(jì)實(shí)例【例【例2】設(shè)離散系統(tǒng)的形狀方程】設(shè)離散系統(tǒng)的形狀方程試計(jì)算穩(wěn)態(tài)最優(yōu)反響增益

11、矩陣，并給出閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍試計(jì)算穩(wěn)態(tài)最優(yōu)反響增益矩陣，并給出閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍呼應(yīng)曲線(xiàn)。呼應(yīng)曲線(xiàn)。()()ukK y k 01( )( )( )( )2TTkJk Qy kk Ru kyu(1)2 ( )( )( )( )x kx ku ky kx k【解】設(shè)定性能目的為 ，取 ,R=1。用MATLAB函數(shù)dlqr()來(lái)求解最優(yōu)控制器，給出程序清單如下： %求解最優(yōu)控制器 a=2;b=1;c=1;d=0; Q=1000,0;0,1; R=1; A=a,0;-c*a,1; B=b;-c*b; Kx=dlqr(A,B,Q,R) k1=-Kx(2);k2=Kx(1); axc=(a-b*k2),

12、b*k1;(-c*a+c*b*k2),(1-c*b*k1); bxc=0;1;cxc=1,0;dxc=0; dstep(axc,bxc,cxc,dxc,1,100)01( )( )( )( )2TTkJk Qx kk Ru kxu1000001Q程序運(yùn)轉(zhuǎn)后得到系統(tǒng)最優(yōu)形狀反響增益矩陣KX為：Kx =1.9981 -0.0310以及閉環(huán)系統(tǒng)的階躍呼應(yīng)曲線(xiàn)，如圖1-3所示。圖1-3 閉環(huán)系統(tǒng)階躍呼應(yīng)曲線(xiàn)四、四、 線(xiàn)性二次型線(xiàn)性二次型Gauss最優(yōu)控制最優(yōu)控制 思索系統(tǒng)隨機(jī)輸入噪聲與隨機(jī)量測(cè)噪聲的線(xiàn)性二次型的最優(yōu)控制叫做線(xiàn)性二次Gauss(LQG)最優(yōu)控制。這是一種輸出反響控制，對(duì)處理線(xiàn)性二次型最優(yōu)

13、控制問(wèn)題更具有適用性。 1.LQG最優(yōu)控制原理 假設(shè)對(duì)象模型的形狀方程表示為：式中，(t)和(t)為白噪聲信號(hào)，(t)為系統(tǒng)干擾噪聲，(t)為傳感器帶來(lái)的量測(cè)噪聲。假設(shè)這些信號(hào)為零均值的Gauss過(guò)程，它們的協(xié)方差矩陣為：式中，Ex為向量x的均值。ExxT為零均值的Gauss信號(hào)x的協(xié)方差。 進(jìn)一步假設(shè)(t)和(t)為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，使得E (t)T(t) =0。定義最優(yōu)控制的目的函數(shù)為：式中，Q為給定的半正定實(shí)對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣，R為給定的正定實(shí)對(duì)稱(chēng)常數(shù)矩陣。( )( )( )( )( )( )( )tAx tBu tGw ty tCx tv tx ( )( )0 ( )( )0TTEttEt

14、t 0( )( )( )( ) TTJEt Qx tt Ru t dtxu 根據(jù)LQG問(wèn)題的分別原理，典型的線(xiàn)性二次型Gauss最優(yōu)控制的解可以分解為下面兩個(gè)問(wèn)題：LQ最優(yōu)形狀反響控制問(wèn)題；帶有擾動(dòng)的形狀估計(jì)問(wèn)題。 設(shè)計(jì)LQG控制器的普通步驟如下。1根據(jù)二次型的性能目的J，尋求最優(yōu)形狀反響增益矩陣K。2設(shè)計(jì)一個(gè)卡爾曼濾波器來(lái)估計(jì)系統(tǒng)形狀。3構(gòu)建LQG控制器。 下面引見(jiàn)Kalman濾波器和LQG控制器設(shè)計(jì)的MATLAB實(shí)現(xiàn)。2. Kalman濾波器 在實(shí)踐運(yùn)用中，假設(shè)系統(tǒng)存在隨機(jī)擾動(dòng)，通常系統(tǒng)的形狀需求由形狀方程Kalman濾波器的方式給出。 Kalman濾波器就是最優(yōu)觀測(cè)器，可以抑制或?yàn)V掉噪聲

15、對(duì)系統(tǒng)的干擾和影響。利用Kalman濾波器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)展最優(yōu)控制是非常有效的。 在MATLAB的工具箱中提供了Kalman()函數(shù)來(lái)求解系統(tǒng)的Kalman濾波器。其調(diào)用格式為： 對(duì)于一個(gè)給定系統(tǒng)sys，噪聲協(xié)方差Q，R，N函數(shù)前往一個(gè)Kalman濾波器的形狀空間模型kest,濾波器反響增益為L(zhǎng)，形狀估計(jì)誤差的協(xié)方差為P。用MATLAB構(gòu)建的Kalman形狀觀測(cè)器模型為：【例3】知系統(tǒng)的形狀方程為：知 ，試設(shè)計(jì)系統(tǒng)Kalman濾波器?！窘狻繛橛?jì)算系統(tǒng)Kalman濾波器的增益矩陣與估計(jì)誤差的協(xié)方差，給出一下程序：, , (, ,)kest L Pkalman sys Q R N( )() ( )()

16、( )( )( )( )( )( )0tALC x tBLD u tLy ty tCDx tu tx tIx101611001049210(001)xuyxx 3( ), ( )0.110tt % Kalman濾波器 A=-1,0,1;1,0,0;-4,9,-2; B=6,1,1;C=0,0,1;D=0; S=ss(A,B,C,D); Q=0.001;R=0.1; kest,L,P=kalman(S,Q,R); L,P 運(yùn)轉(zhuǎn)程序，得到系統(tǒng)Kalman濾波器的增益矩陣L與估計(jì)誤差的協(xié)方差P為： L = 1.0641 1.1566 2.0393 P = 0.0678 0.0664 0.1064 0

17、.0664 0.0695 0.1157 0.1064 0.1157 0.20393.LQG最優(yōu)控制器的最優(yōu)控制器的MATLAB實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) 我們?cè)?jīng)知道，LQG最優(yōu)控制器是由系統(tǒng)的最優(yōu)反響增益K和Kalman濾波器構(gòu)成，其構(gòu)造如圖1-4所示。圖1-4 LQG最優(yōu)控制器框圖被控對(duì)象Kalman濾波-KWVYxu+LQG控制器 在系統(tǒng)最優(yōu)反響K和Kalman濾波器設(shè)計(jì)曾經(jīng)完成的情況下，可借助MATLAB工具箱函數(shù)reg()來(lái)實(shí)現(xiàn)LQG最優(yōu)控制。函數(shù)調(diào)用格式為：rlqg=reg(sys,K,L) 其中，sys為系統(tǒng)形狀空間模型，K為用函數(shù)lqr()等設(shè)計(jì)的最優(yōu)反響增益，L為濾波器反響增益，rlqg為L(zhǎng)Q

18、G調(diào)理器。 【例3】知控制系統(tǒng)構(gòu)造圖如圖1-5所示，Simulink仿真模型為untitled.mdl。試對(duì)系統(tǒng)進(jìn)展LQG最優(yōu)控制，并給出系統(tǒng)閉環(huán)的單位階躍呼應(yīng)曲線(xiàn)。圖1-5 系統(tǒng)構(gòu)造圖【解】 根據(jù)題意，要將知系統(tǒng)構(gòu)造圖模型轉(zhuǎn)換成形狀空間模型，需求調(diào)用函數(shù)linmod()。取加權(quán)矩陣Q1=1,R1=1,以及噪聲矩Q2=0.001,R2=0.1。給出程序如下： %生成形狀空間模型 a,b,c,d=linmod(untitled); s1=ss(a,b,c,d); q1=1000,0,0;0,1,0;0,0,1;r1=1; K=lqr(a,b,q1,r1) %設(shè)計(jì)Kalman濾波器 q2=1;r2=1; kest,L,P=kalman