312用二分法求方程的近似解

1、 回想一下上一節(jié)課所學的內(nèi)容回想一下上一節(jié)課所學的內(nèi)容.（1）函數(shù)的零點及其等價關系？）函數(shù)的零點及其等價關系？ 對于函數(shù)對于函數(shù)y=f(x),我們把使我們把使f(x)=0的實數(shù)的實數(shù)x叫做叫做函數(shù)函數(shù)y=f(x)的零點的零點.方程方程f(x)=0有實數(shù)根有實數(shù)根函數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象與x軸有交點軸有交點函數(shù)函數(shù)y=f(x)有零點有零點（2）如何求零點個數(shù)及所在區(qū)間？）如何求零點個數(shù)及所在區(qū)間？ ,( )x f x解一：解一：利用計算器或計算機作利用計算器或計算機作的對應的對應 , a b( )yf x那么函數(shù)那么函數(shù)在區(qū)間在區(qū)間內(nèi)至少有一個實數(shù)內(nèi)至少有一個實數(shù) , a b有且只有

2、一個零點、再在其它區(qū)間內(nèi)去尋找有且只有一個零點、再在其它區(qū)間內(nèi)去尋找.( )( ) 0f af b( , )a b上連續(xù)，并且有上連續(xù)，并且有值表，若在區(qū)間值表，若在區(qū)間( )yf x , a b在在上的單調(diào)性，則在上的單調(diào)性，則在根、若能證明根、若能證明 解二：解二：試探著找到兩個試探著找到兩個x對應值為一正一負對應值為一正一負（至少有一個）；再證單調(diào)增函數(shù)即可得有（至少有一個）；再證單調(diào)增函數(shù)即可得有且只有一個且只有一個. 解三：解三：構(gòu)造兩個易畫函數(shù)，畫圖，看圖象構(gòu)造兩個易畫函數(shù)，畫圖，看圖象交點個數(shù)，很實用交點個數(shù)，很實用. （3）連續(xù)函數(shù)）連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上在某個區(qū)間上存在零點存在

3、零點的判別的判別方法：方法： 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，那么，函數(shù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點內(nèi)有零點.即存在即存在c(a,b)，使得，使得f(c )=0，這個，這個c也就是方也就是方程程f(x)=0的根的根. 從學校教學樓到學校食堂的電纜有從學校教學樓到學校食堂的電纜有5個接點個接點.現(xiàn)在某處發(fā)生故障，需及時修理現(xiàn)在某處發(fā)生故障，需及時修理.為了盡快把故為了盡快把故障縮小在兩個接點之間，一般至少需要檢查多障縮小在兩個接點之間，一般至少需要檢查多少少_次次21

4、 2 3 4 5猜數(shù)字游戲，看誰先猜中猜數(shù)字游戲，看誰先猜中10次以內(nèi)猜出，你們能做到嗎次以內(nèi)猜出，你們能做到嗎 ？ 從從11000這這1000個自然數(shù)隨機抽出個個自然數(shù)隨機抽出個數(shù)，誰能根據(jù)提示數(shù)，誰能根據(jù)提示“大了大了”“”“小了小了”“”“對了對了”先猜出這個數(shù)？先猜出這個數(shù)？3.1.2 用二分法求方程用二分法求方程的近似解的近似解ax2+bx+c=0 x2+x-6=0知識與能力知識與能力 通過具體實例理解二分法的概念，了通過具體實例理解二分法的概念，了解二分法是求方程近似解的常用方法，從中解二分法是求方程近似解的常用方法，從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實際問題體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)

5、系及其在實際問題中的應用中的應用過程與方法過程與方法 能借助計算器用二分法求方程的近似能借助計算器用二分法求方程的近似解，并了解這一數(shù)學思想，為學習算法做解，并了解這一數(shù)學思想，為學習算法做準備準備情感態(tài)度與價值觀情感態(tài)度與價值觀 體會數(shù)學逼近過程，感受精確與近似體會數(shù)學逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一的相對統(tǒng)一重點重點 通過用二分法求方程的近似解，體會通過用二分法求方程的近似解，體會函數(shù)的零點與方程根之間的聯(lián)系，初步形函數(shù)的零點與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點處理問題的意識成用函數(shù)觀點處理問題的意識難點難點 恰當?shù)厥褂眯畔⒓夹g工具，利用二分法恰當?shù)厥褂眯畔⒓夹g工具，利用二分法求給定精

6、確度的方程的近似解求給定精確度的方程的近似解 一元二次方程可以用公式求根一元二次方程可以用公式求根,但沒有公式但沒有公式可用來可用來求求lnx+2x-6=0的根的根,能否利用函數(shù)的有關能否利用函數(shù)的有關知識來求它根的近似值呢？知識來求它根的近似值呢？探究探究1.62ln)(的的零零點點函函數(shù)數(shù) xxxf 5 , 4.4 , 3.3 , 2.2 , 1.DCBA2.你能繼續(xù)縮小零點所在的區(qū)間嗎？你能繼續(xù)縮小零點所在的區(qū)間嗎？1.你能找出零點落在下列哪個區(qū)間嗎？你能找出零點落在下列哪個區(qū)間嗎？.062ln的根的根方程方程 xx 方程近似解方程近似解(或函數(shù)零點的近似值或函數(shù)零點的近似值)的精確度的

7、精確度與函數(shù)零點所在區(qū)間范圍的大小有何關系與函數(shù)零點所在區(qū)間范圍的大小有何關系? 1.若知道零點在若知道零點在(250，253)內(nèi)，我們就可內(nèi)，我們就可以得到方程的一個精確到以得到方程的一個精確到01的近似解的近似解2.50； 2.若知道零點在若知道零點在(2515，2516)內(nèi)，我們就內(nèi)，我們就可以得到方程的一個更為精確近似解，等等可以得到方程的一個更為精確近似解，等等 求方程近似解的問求方程近似解的問題題(或函數(shù)零點的近或函數(shù)零點的近似值似值)不斷縮小零點所不斷縮小零點所在范圍在范圍(或區(qū)間或區(qū)間)的的問題問題 如何縮小零點所在的范圍，得到一個越來越如何縮小零點所在的范圍，得到一個越來越小

8、的區(qū)間，以使零點仍在此區(qū)間內(nèi)小的區(qū)間，以使零點仍在此區(qū)間內(nèi)? ?將一個區(qū)間分為兩個區(qū)間將一個區(qū)間分為兩個區(qū)間. .取中點取中點該找怎樣的分點該找怎樣的分點? ? 如果不為如果不為0 0，通過比較中點與兩個端點函數(shù)，通過比較中點與兩個端點函數(shù)值的正負，即可判知零點是在值的正負，即可判知零點是在 內(nèi)，還是內(nèi)，還是在在 內(nèi)，從而將零點所在范圍縮小了一內(nèi)，從而將零點所在范圍縮小了一半半 )2,(baa ),2(bba 對于一個已知的零點所在區(qū)間對于一個已知的零點所在區(qū)間(a(a，b)b)，取中，取中點點 ，計算，計算 ，根據(jù)零點所在范圍的判斷，根據(jù)零點所在范圍的判斷方法，如果這個函數(shù)值為方法，如果這個

9、函數(shù)值為0 0，那么中點就是函數(shù)，那么中點就是函數(shù)的零點；的零點；2ba )2(baf : lnx+2x-6 = 0解解方方程程 f(x) = lnx+2x-6數(shù)點找找函函的的零零f(x) = lnx + 2x-6漸縮數(shù)點圍逐逐小小函函的的零零所所在在范范(a，b)中點中點x1f(a)f(x1)(2 , 3)2.5負負 -0.084(2.5,3) 2.75負負0.512(2.5,2.75)2.625負負0.215(2.5,2.625)2.5625負負0.066(2.5,2.5625)2.53125負負 -0.009(2.53125,2.5625)2.546875負負0.029(2.53125,

10、2.546875)2.5390625負負0.010(2.53125,2.5390625) 2.53515625負負0.001f(b)正正正正正正正正正正正正 正正正正| 2.5390625 2.53125|=0.0078125001 精確度已達到精確度已達到001 這種運用這種運用縮小零點所在范圍縮小零點所在范圍的方法在數(shù)學和計的方法在數(shù)學和計算機科學上被稱為算機科學上被稱為二分法二分法. 對于區(qū)間對于區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且上連續(xù)不斷且f(a) f(b)0的函數(shù)的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點

11、，進而得分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做到零點近似值的方法叫做二分法二分法(bisection). 二分法的實質(zhì)二分法的實質(zhì)就是將函數(shù)零點所在的區(qū)間就是將函數(shù)零點所在的區(qū)間不斷地一分為二，使新得到的區(qū)間不斷變小，不斷地一分為二，使新得到的區(qū)間不斷變小，兩個端點逐步逼近零點兩個端點逐步逼近零點 思考：下列函數(shù)中思考：下列函數(shù)中哪個能用二分法求零點？哪個能用二分法求零點？二分法求方程近似解的一般步驟：二分法求方程近似解的一般步驟： 1、確定區(qū)間確定區(qū)間a,ba,b，驗證，驗證f(a)f(b)0f(a)f(b)0，給定，給定精確度精確度.2、求區(qū)間求區(qū)間(a,b)(

12、a,b)的中點的中點c.c.3、計算、計算f(c);(1) 若若f(c)=0,則則c就是函數(shù)的零點就是函數(shù)的零點(2) 若若f(a)f(c)0,則令則令a= c(此時零點此時零點x0(c,b) 4、判斷是否達到精確度、判斷是否達到精確度，即若，即若|a-b| ,則得則得到零點的近似值到零點的近似值a(或或b)；否則重復；否則重復24. 由由|a-b|可知，區(qū)間可知，區(qū)間a，b中任意一個值都是中任意一個值都是零零點點x x0 0 的滿足精確度的滿足精確度的近似值，這是為什么呢？的近似值，這是為什么呢？（當然為了方便，這里統(tǒng)一取區(qū)間端點（當然為了方便，這里統(tǒng)一取區(qū)間端點a（或（或b）作）作為零點的

13、近似值）為零點的近似值）設函數(shù)的零點為設函數(shù)的零點為x0 ，則，則a x0 b做出數(shù)軸做出數(shù)軸.abx0所以，所以，0 x0 ab-a，a-b x0 b0.由于由于a-b ，所以，所以 x0 b b-a ， x0 -b a-b .確定初始區(qū)間確定初始區(qū)間求中點，算其函數(shù)值求中點，算其函數(shù)值縮小區(qū)間縮小區(qū)間算長度，比精度算長度，比精度下結(jié)論下結(jié)論返返回回周而復始怎么辦周而復始怎么辦? ? 精確度上來判斷精確度上來判斷. .定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看. .同號去，異號算，零點落在異號間同號去，異號算，零點落在異號間. .口口 訣訣例例: 求出方程求出方程x2-2x

14、-1=0的一個近似解的一個近似解(精確度精確度0.1) 解：做出函數(shù)解：做出函數(shù)f(x)=x2-2x-1的對應值表與圖的對應值表與圖像像x-10123f(x)2-1-2-12 由圖可知道此函數(shù)在由圖可知道此函數(shù)在區(qū)間（區(qū)間（-1，0）與（）與（2，3）內(nèi)有零點）內(nèi)有零點-1-2-2-111 232oxy2+3f(2) 021x(2,2.5)2+2.52f() 01x(2.25,2.5)2.25+2.5f() 021x(2.375,2.5)f(2.375) 01x(2.375,2.4375)在區(qū)間（在區(qū)間（2 2，3 3）中）中由于由于2.375-2.4375 = 0.0625 0.1所以方程的

15、一個近似解可取為所以方程的一個近似解可取為2.4375.2.4375. 在區(qū)間（在區(qū)間（-1，0）中同理可得到方程的另外）中同理可得到方程的另外一個近似解為一個近似解為0.375.綜上所述方程的近似解分別是綜上所述方程的近似解分別是0.375，2.4375. 用二分法求函數(shù)的零點近似值的方法僅對函用二分法求函數(shù)的零點近似值的方法僅對函數(shù)的數(shù)的變號零點變號零點適合，對函數(shù)的不變號零點不適用適合，對函數(shù)的不變號零點不適用.例：用二分法求方程例：用二分法求方程 在區(qū)間在區(qū)間(-1,0)(-1,0)內(nèi)的近似解內(nèi)的近似解( (精確度精確度0.1)0.1)1)3)(2)(1( xxx0f(x) = (x+

16、1)(x-2)(x-3)-1,x ,點為為令令零零精精確確度度易知：易知：f(-1)0f(-1)0f(0)0取取x=-0.5x=-0.5，計算，計算f(-0.5)3.3750f(-0.5)3.37500 x(-1,-0.5)取取x=-0.75x=-0.75，計算，計算f(-0.75)1.580f(-0.75)1.580)75. 0, 1(0 x解：解：取取x=-0.875，計算，計算f(-0.875)0.390)875. 0, 1(0 x取取x=-0.9375，計算，計算f(-0.9375)-0.280)875. 0,9375. 0(0 x1 . 00625. 0| )875. 0()9375

17、. 0( | 此時此時 原方程的近似解取為原方程的近似解取為-0.9375 對于對于在區(qū)間在區(qū)間a,b上上連續(xù)不斷連續(xù)不斷、且、且f(a)f(b)0的函數(shù)的函數(shù)y=f(x)，通過不斷把函數(shù)，通過不斷把函數(shù)f(x)的零點所在的零點所在區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫點，進而得到零點近似值的方法叫二分法二分法1.二分法二分法 2.概括利用二分法求函數(shù)概括利用二分法求函數(shù)f(x)零點的近似值的步驟零點的近似值的步驟f(a) f(b) 0.f(a) f(b) 00 x(a,c)a-b f(c) f(b) 00 x(c,b)1

18、.下列函數(shù)中能用二分法求零點的是（下列函數(shù)中能用二分法求零點的是（ ）xy0 xy0 xy0 xy0ABCDB 2.用二分法求函數(shù)用二分法求函數(shù)y=f(x)在在 內(nèi)零點內(nèi)零點近似值的過程中得到近似值的過程中得到f(1)0，f(1.25)0，則函數(shù)的零點落在區(qū)間（，則函數(shù)的零點落在區(qū)間（ ）x(1,2)A.（1，1.25） B.（1.25，1.5）C. （1.5，2） D.不能確定不能確定A2f(x) = mx +(m-3)x+13.已知函數(shù)已知函數(shù)的圖象與的圖象與x x軸的交點至少有一個在原點右側(cè)，則軸的交點至少有一個在原點右側(cè)，則 實數(shù)實數(shù)m的取值范圍是（的取值范圍是（ ）(0,1(0,1)

19、(- ,1)(- ,1 B DACD32f(x) = ax +bx +cx+d4.已知函數(shù)已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象如圖所示，則12b(0,1) Bb(1,2) Cb(2,+) D b(- ,0)A 1. 有題設可知有題設可知f(0)=-1.40，由于，由于f(0).f(1)0，所以函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間（在區(qū)間（0，1）內(nèi)有一）內(nèi)有一個零點個零點 下面用二分法求函數(shù)下面用二分法求函數(shù)f(x)=x3 +1.1x2 +0.9x-1.4在區(qū)間（在區(qū)間（0，1）內(nèi)的零點）內(nèi)的零點取區(qū)間（取區(qū)間（0，1）的中點）的中點 ，用計算器算得，用計算器算得f(0.5)=-0.55，因為，因為f(0.5).f(1)0，所以，所以 1x = 0.50 x(0.5,1).再取區(qū)間（再取區(qū)間（0.5，1）的中點）的中點 ，用計算器算得，用計算器算得f(0.75) 0.32.因為因為f(0.5).f(0.75)0,所以所以1x = 0.752x(0.5,0.75)同理得同理得000