第十講分類枚舉

1、分類枚舉小芳為了給災(zāi)區(qū)兒童捐款，把儲蓄罐里的錢全拿了出來。她想數(shù)數(shù)有多少錢。小朋友，你知道小芳是怎么數(shù)的嗎？小芳是個聰明的孩子，她把錢按 1 分、2 分、5 分、1 角、2 角、5 角、1 元等分類去數(shù)。所以很快就數(shù)好了。小芳數(shù)錢，用的就是分類枚舉的方法。這是一種很重要的數(shù)學(xué)思考方法，在很多問題的思考過程中都發(fā)揮了很大的作用。 下面就讓我們一起來看看它的本領(lǐng)吧！典型例題例 1下圖中有多少個三角形？分析我們可以根據(jù)圖形特征將它分成3 類：第一類：有6個；第2類：有6個；第3類：有3個；解 6+6+3=15（個）圖中有 15 個三角形。例 2下圖中有多少個正方形？分析根據(jù)正方形邊長的大小，我們將它

2、們分成4 類。第 1 類：由 1 個小正方形組成的正方形有 24 個；第 2 類：由 4 個小正方形組成的正方形有 13 個；第 3類：由 9 個小正方形組成的正方形有4 個；第 4類：由 16 個小正方形組成的正方形有1 個。解 24+13+4+1=42。圖中有 42 個正方形。例 3在算盤上，用兩粒珠子可以表示幾個不同的三位數(shù)：分別是哪幾個數(shù)？分析根據(jù)兩粒珠子的位置，我們可將它們分成3 類：第 1 類：兩粒珠子都在上檔，可以組成 505，550；第 2 類：兩粒珠子都在下檔，可以組成 101，110，200；第 3 類：一粒在上檔，另一粒在下檔， 可以組成 510，501，150，105，

3、600。解可以表示101，105，110，150，200，501，505，510，550，600 共 10 個三位數(shù)。例 4 用數(shù)字 7，8，9 可以組成多少個不同的三位數(shù)？分別是哪幾個數(shù)？分析根據(jù)百位上數(shù)字的不同，我們可以將它們分成三類：第 1 類：百位上的數(shù)字為 7，有 789，798；第 2 類：百位上的數(shù)字為 8，有 879，897；第 3 類：百位上的數(shù)字為 9，有 978，987。解可以組成 789，798，879，897，978，987 共 6 個三位數(shù)。例 5往返于南京和上海之間的滬寧高速列車沿途要停靠常州、無錫、蘇州三站。問：鐵路部門要為這趟車準(zhǔn)備多少種車票？分析我們可以根據(jù)

4、列車的往與反把它們分成兩大類（注：為了方便，我們將上述地點簡稱為寧、常、錫、蘇、滬）：在第一大類中，我們又可以根據(jù)乘客乘車時所在起點站的不同分成 4類。第 1 類：從寧出發(fā)：寧常，寧錫，寧蘇，寧滬，4 種；第 2 類：從常出發(fā)：常錫，常蘇，常滬， 3種；第 3 類：從錫出發(fā)：錫蘇，錫滬， 2 種；第 4 類：從蘇出發(fā)：蘇滬， 1 種。我們同樣可用剛才的方法將回來的車票分類， 聰明的小朋友可能已經(jīng)想到了，它的種數(shù)與第一大類完全相同。解（4+3+2=1） 2=20（種）鐵路部門要準(zhǔn)備20 種車票。小結(jié)分類枚舉的關(guān)鍵是正確分類，為此，必須注意兩點：一、分類要全、枚舉要清。分類不全，就會造成遺漏。如上面例1中，如果一不小心，把第3 類丟了，就會造成差錯。當(dāng)分類確定之后，要把每一類中每一個符合條件的對象都列舉出來。二、