第4章 基本形體的投影

1、建筑工程制圖與識(shí)圖建筑工程系 付媛潔各種位置直線投影圖的識(shí)讀1.投影面平行線的識(shí)讀：僅有一個(gè)投影傾斜于投影軸，且平行于該投影面；abbYWbaZYHOaXHYW YZ(b” )a“ bbaaXO2. 投影面垂直線的識(shí)讀：有一個(gè)投影積聚為一個(gè)點(diǎn)，垂直于積聚投影所在的投影面3. 一般位置直線的識(shí)讀：有兩個(gè)投影傾斜于投影軸ZabXbaOa”b”YWYH各種位置的平面投影圖的識(shí)讀a 投影面平行面的識(shí)讀：一框兩線，框在哪面，平行哪面。 3個(gè)投影中有1個(gè)投影積聚為平行于投影軸的直線，平行于 非積聚投影所在的投影面水平面?zhèn)绕矫鎎 投影面垂直面的識(shí)讀：兩框一線，線在哪面，垂直哪面。 3個(gè)投影中有1個(gè)投影積聚為

2、傾斜于投影軸的直線，垂直于 積聚投影所在的投影面?zhèn)却姑驺U垂面c 一般位置平面的識(shí)讀：三框定一般平面。3個(gè)投影均為平面圖形XZYHYWcbabcaacbo第4章 基本形體 的投影4.1 基本形體 的投影圖4.2 基本形體 的截切4.3 基本形體的尺寸標(biāo)注重點(diǎn)難點(diǎn)【教學(xué)目標(biāo)】1 熟練掌握棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球的投影特點(diǎn)，并能畫出基本形體的投影，能求出其表面上 的點(diǎn)和線的投影2 掌握基本形體截交線形狀，能作出基本形體截交線， 能判斷基本形體被一個(gè)被或幾個(gè)平面截切的截交線3 熟悉基本形體的標(biāo)注【教學(xué)目標(biāo)】重點(diǎn)：基本形體的投影難點(diǎn)：基本形體的截交線基本形體基本形體棱柱棱柱棱錐棱錐圓柱圓柱圓錐圓錐圓球

3、圓球平面立體平面立體：由平面圖形圍成的立體。：由平面圖形圍成的立體。曲面立體曲面立體：由曲面或曲面與平面共同：由曲面或曲面與平面共同 圍成的立體。圍成的立體。 4 41 1 基本形體的投影圖基本形體的投影圖 基本幾何體是由點(diǎn)、線、面等幾何元素所構(gòu)成，體的基本幾何體是由點(diǎn)、線、面等幾何元素所構(gòu)成，體的投影歸根到底是點(diǎn)、線、面投影的綜合。投影歸根到底是點(diǎn)、線、面投影的綜合。4.1.1 平面立體的投影棱柱棱柱1 有兩個(gè)相互平行的表面，其他面均為四邊形，并且相鄰兩四邊形的公共邊都相互平行，這些平面所圍成的基本形體稱為棱柱。ABC側(cè)面?zhèn)让妫ɡ饷妫ɡ饷妫┑酌娴酌鎮(zhèn)壤鈧?cè)棱（棱線）（棱線）頂面頂面底邊底邊頂

4、點(diǎn)頂點(diǎn)直棱柱直棱柱側(cè)棱都與底面垂直，則形成直棱柱。 斜棱柱斜棱柱側(cè)棱與底面不垂直則形成斜棱柱。正棱柱正棱柱頂面和底面為正多邊形的直棱柱。棱柱分類：三棱柱上下面為水平面（三角形）后面為正平面（長(zhǎng)方形）左右面為鉛垂面（長(zhǎng)方形）ABC三棱柱的投影三棱柱的投影1（1）4.1.1 平面立體的投影水平面投影是一個(gè)三角形，從形體的平面投影的角度看，它可以看作上下底面的重合投影（上底面可見(jiàn)、下底面不可見(jiàn)），并反映實(shí)形，也可以看作3 個(gè)垂直于H 面的3 個(gè)側(cè)面的積聚投影。從形體的棱線投影的角度看，可看作上底面的3 條棱線和下底面的3 條棱線的重合投影，3 條側(cè)棱的投影積聚在三角形的3 個(gè)頂點(diǎn)上 。 正面投影是兩

5、個(gè)長(zhǎng)方形，可看作是左右兩個(gè)側(cè)面的投影，但均不反映實(shí)形。兩個(gè)長(zhǎng)方形的外圍線框構(gòu)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形，是后側(cè)面的投影（不可見(jiàn)），反映實(shí)形。上下底面的積聚投影是最上和最下面的兩條橫線。3 條豎線是3 條棱線的投影，反映實(shí)長(zhǎng)。 側(cè)面投影是一個(gè)長(zhǎng)方形，它是左右兩個(gè)側(cè)面的重合投影（左面可見(jiàn)、右面不可見(jiàn)），均不反映實(shí)形。上下底面的積聚投影是最上和最下的兩條橫線，后側(cè)面的投影積聚在長(zhǎng)方形的左邊上，它同時(shí)也是左右兩條側(cè)棱的投影。前面的側(cè)棱的投影是長(zhǎng)方形的右邊abc ca bABC一個(gè)投影一個(gè)投影積聚積聚且反映底且反映底（頂）面實(shí)形，另外兩（頂）面實(shí)形，另外兩投影由投影由長(zhǎng)方形長(zhǎng)方形組合而成組合而成。cba三棱柱的投

6、影三棱柱的投影2（1）作圖作圖: : 正六棱柱正六棱柱由頂面、底面和六個(gè)側(cè)棱面組成。由頂面、底面和六個(gè)側(cè)棱面組成。正六棱正六棱柱柱的頂面、底面為的頂面、底面為水平面水平面，前后兩面為，前后兩面為正平面正平面，其余，其余側(cè)棱面為側(cè)棱面為鉛垂面鉛垂面。(a)(a)直觀圖直觀圖(b)(b)投影圖投影圖六棱柱的投影六棱柱的投影(2)六棱柱的投影特性：六棱柱的投影特性：其一個(gè)投影為多邊形，其一個(gè)投影為多邊形，另外兩個(gè)投影輪廓線另外兩個(gè)投影輪廓線為矩形。為矩形。將正六棱柱底面平行將正六棱柱底面平行于于H H面，前后兩棱面面，前后兩棱面平行于平行于V V面放置。面放置。在圖示位置時(shí)，六棱柱的兩底面為水平面；

7、前后兩側(cè)棱面是正平面，其余四個(gè)側(cè)棱面是鉛垂面。 1 1、位于棱線或邊線上的點(diǎn)、位于棱線或邊線上的點(diǎn)( (線上定點(diǎn)法線上定點(diǎn)法) ) 當(dāng)點(diǎn)位于立體表面的某條棱線或邊線上時(shí)，可利用線上點(diǎn)的“從屬性”直接在線的投影上定點(diǎn)，這種方法即為線上定點(diǎn)法，亦可稱為從屬性法。 2. 2. 位于特殊位置平面上的點(diǎn)位于特殊位置平面上的點(diǎn)( (積聚性法積聚性法) ) 當(dāng)點(diǎn)位于立體表面的特殊位置平面上時(shí)，可利用該平面的積聚性，直接求得點(diǎn)的另外兩個(gè)投影，這種方法稱為積聚性法。 3. 3. 位于一般位置平面上的點(diǎn)位于一般位置平面上的點(diǎn)( (輔助線法輔助線法) ) 當(dāng)點(diǎn)位于立體表面的一般位置平面上時(shí)，因所在平面無(wú)積聚性，不能

8、直接求得點(diǎn)的投影，而必須先在一般位置平面上做輔助線(輔助線可以是一般位置直線或特殊位置直線)，求出輔助線的投影，然后再在其上定點(diǎn)，這種方法稱為輔助線法。棱柱上取點(diǎn)棱柱上取點(diǎn)(3) 例：作三棱柱的正面投影，并作出三棱柱表面上的點(diǎn)例：作三棱柱的正面投影，并作出三棱柱表面上的點(diǎn)A A、B B、C C、 D D、E E的另兩投影。的另兩投影。a(b)cd(e)ababccdede 在棱柱的表面上取點(diǎn)與在在棱柱的表面上取點(diǎn)與在平面上取點(diǎn)的方法相同平面上取點(diǎn)的方法相同，關(guān)鍵是利用可見(jiàn)性判斷關(guān)鍵是利用可見(jiàn)性判斷該點(diǎn)所在的平面該點(diǎn)所在的平面，然后利用積，然后利用積聚性或輔助線求出聚性或輔助線求出 。六棱柱表面

9、上取點(diǎn)六棱柱表面上取點(diǎn)直觀圖直觀圖點(diǎn)的可見(jiàn)性判別：點(diǎn)的可見(jiàn)性判別：若點(diǎn)所在平面的投影可見(jiàn)，點(diǎn)的投影可見(jiàn)；若點(diǎn)所在平面的投影可見(jiàn)，點(diǎn)的投影可見(jiàn)；若平面的投影積聚成直線，點(diǎn)的投影也可見(jiàn)若平面的投影積聚成直線，點(diǎn)的投影也可見(jiàn)。 已知六棱柱側(cè)表面已知六棱柱側(cè)表面ABCD上點(diǎn)上點(diǎn)M的的V面投影面投影m ，求該點(diǎn)的，求該點(diǎn)的H面投影面投影m和和W 面投影面投影m。投影圖投影圖m a(d)b(c)adbcm m已知四棱柱表面的折線已知四棱柱表面的折線ABCDABCD的的V V面投影面投影, ,完成完成H H、W W投影。投影。bbaecaececabBAEC( )已知棱柱表面的點(diǎn)已知棱柱表面的點(diǎn)A A的投影

10、的投影( (a)a)，求其它兩面投影。，求其它兩面投影。 (a ) a a a 已知棱柱表面的點(diǎn)已知棱柱表面的點(diǎn)B B、C C的投影的投影bb、c c，求其它兩面投影。求其它兩面投影。 (b ) b b cC C 作六棱柱的水平投影，并作出六棱柱表面上的折線作六棱柱的水平投影，并作出六棱柱表面上的折線ABCDEABCDE的另兩投影。的另兩投影。bacdeabccbae(e)dd 棱錐的底面為多邊形，棱錐的底面為多邊形，各側(cè)面為若干具有公共頂點(diǎn)各側(cè)面為若干具有公共頂點(diǎn)的三角形，該點(diǎn)稱為的三角形，該點(diǎn)稱為錐頂錐頂。從錐頂?shù)降酌娴木嚯x叫做從錐頂?shù)降酌娴木嚯x叫做錐錐高高。當(dāng)棱錐底面為正多邊形。當(dāng)棱錐底

11、面為正多邊形，各側(cè)面是全等的等腰三角，各側(cè)面是全等的等腰三角形時(shí)，稱為形時(shí)，稱為正棱錐正棱錐。如圖。如圖3-5（a）所示是一個(gè)正三棱錐的所示是一個(gè)正三棱錐的立體圖立體圖 棱錐棱錐2 將三棱錐置于三投影面體將三棱錐置于三投影面體系中，使其底面平行于系中，使其底面平行于H H面，后棱面垂直于面，后棱面垂直于WW面。面。 其一個(gè)投影為多其一個(gè)投影為多邊形，另外兩個(gè)投影邊形，另外兩個(gè)投影輪廓線為三角形。輪廓線為三角形。(1) 棱錐的投影：棱錐的投影：棱錐的投影特性：棱錐的投影特性：水平投影由4個(gè)三角形組成，分別是三棱錐的4個(gè)面形成的，其中三個(gè)小的三角形是由三個(gè)側(cè)面形成的，均不反應(yīng)實(shí)形；abc是地面AB

12、C的投影，因?yàn)锳BC是水平面，所以它的投影 abc反映實(shí)形SABC s b s a c abc a (c )b s 棱錐的投影特性：棱錐的投影特性：正面投影由3個(gè)三角形組成，均不反映實(shí)形。底邊a b c是底面ABC的投影（積聚投影）。SABC s b s a c abc a (c )b s 棱錐的投影特性：棱錐的投影特性：側(cè)面投影是一個(gè)三角形，是左右兩個(gè)側(cè)面的投影，不反映實(shí)形。后側(cè)面 SAC積聚為一條直線s a(c)，底面積聚為a(c) b。SABC s b s a c abc a (c )b s sc分析分析: :正三棱錐由底面和三個(gè)側(cè)棱面組成。底面為正三棱錐由底面和三個(gè)側(cè)棱面組成。底面為水

13、平面水平面，后，后側(cè)棱面為側(cè)棱面為側(cè)垂面?zhèn)却姑妫?、右?cè)棱面是，左、右側(cè)棱面是一般位置平面一般位置平面。作圖作圖：(1)(1)作底面的投影；作底面的投影；(2)(2)作錐頂?shù)耐队?；作錐頂?shù)耐队埃?3)(3)連接錐頂和連接錐頂和頂點(diǎn)。頂點(diǎn)。作圖作圖: :(a)(a)直觀圖直觀圖(b)(b)投影投影abcsa(c)babsSABCcb sb s a c s b c aa (2)(2) 在棱錐在棱錐表面表面上取點(diǎn)上取點(diǎn)注注輔助線法輔助線法線上定點(diǎn)法線上定點(diǎn)法ME(G)e mem (g )g n g(m )nn 練習(xí)：已知棱面練習(xí)：已知棱面SAB上點(diǎn)上點(diǎn)M的正面投影的正面投影m和棱面和棱面 SAC上點(diǎn)

14、上點(diǎn)N的水平投影的水平投影n，求作求作M、N兩點(diǎn)的其余投影。兩點(diǎn)的其余投影。s（a)a)直觀圖直觀圖(b)(b)投影投影snababcca(c)bs smmm(n)n作圖作圖: :利用積聚性或表面取點(diǎn)。利用積聚性或表面取點(diǎn)。 過(guò)點(diǎn)M引平行于底邊AB的平行線M，也可求得點(diǎn)m和m。方法二方法二：ababcca(c)bs smmmnss例4-1 如圖所示，已知三棱錐表面上的點(diǎn)1和點(diǎn)2的水平投影，要求作出它們的正面投影和側(cè)面投影P53 求點(diǎn)求點(diǎn)M：求點(diǎn)：求點(diǎn)M的作圖方法和步驟的作圖方法和步驟如圖所示。由于點(diǎn)如圖所示。由于點(diǎn)M所屬棱面所屬棱面SAC的的V面投影看不見(jiàn)，面投影看不見(jiàn)，所以其正面投影不所以其

15、正面投影不可見(jiàn)，寫成（可見(jiàn)，寫成（m）。）。 例:如圖3-7所示，已知三棱錐的棱面SAC上點(diǎn)M的水平面投影m和棱面SAB上點(diǎn)N的正面投影n，求作M、N兩點(diǎn)的其余投影。 求點(diǎn)求點(diǎn)N N：求點(diǎn)：求點(diǎn)N N有兩種作輔助線的方法，具體作圖方有兩種作輔助線的方法，具體作圖方法和步驟如圖所示。由于點(diǎn)法和步驟如圖所示。由于點(diǎn)N N所屬棱面所屬棱面SABSAB在在H H面和面和W W面面上的投影是可見(jiàn)的，所以點(diǎn)上的投影是可見(jiàn)的，所以點(diǎn)n n和和nn也是可見(jiàn)的。也是可見(jiàn)的。 R111rr練習(xí)：三棱錐表面上取點(diǎn)1()(3)3練習(xí)：三棱錐表面上取點(diǎn)3222練習(xí)：三棱錐表面上取點(diǎn)補(bǔ)出擋土墻的水平投影及其表面上點(diǎn)的投影

16、。補(bǔ)出擋土墻的水平投影及其表面上點(diǎn)的投影。ab(c)abacABcb4.1.2 曲面立體的投影 曲面的形成：一條線運(yùn)動(dòng)的軌跡。 回轉(zhuǎn)曲面的形成：由一條母線（直線或曲線）繞一條固定的直線（軸）旋轉(zhuǎn)所形成的曲面。構(gòu)成回轉(zhuǎn)曲面的要素：母線和軸。母線母線：運(yùn)動(dòng)的線（一個(gè)曲面上只有一條）。素線素線：母線的任何一個(gè)位置的軌跡（無(wú)數(shù)條）或者說(shuō)某個(gè)位置的母線。緯圓緯圓：垂直于軸線的平面與曲面相交的圓。注：曲面無(wú)棱線緯圓緯圓1.1.圓柱體圓柱體 圓柱面可以看成是由一直線段繞與它平行的軸線回轉(zhuǎn)而成，圓柱體的表面是由圓柱面和上、下底面圍成的。（a)a)圓柱體形成立體圖圓柱體形成立體圖 (b)(b)圓柱體投影直觀圖圓

17、柱體投影直觀圖素線 軸線軸線1）圓柱的投影圓柱投影特性：水平投影為一個(gè)圓，是上下兩面的重合投影，反應(yīng)實(shí)形，它同時(shí)也是圓柱面的投影（積聚投影）。正面投影為一個(gè)矩形，是前半個(gè)圓柱面和后半個(gè)圓柱面的重合投影，上下兩條線是上下兩個(gè)底面的積聚投影，左右兩豎線是圓柱最左和最右兩條輪廓素線的投影，這兩條素線的水平投影積聚為兩個(gè)點(diǎn)，在側(cè)面投影中與軸線的投影重合。側(cè)面投影為一個(gè)矩形，是左半個(gè)圓柱面和右半個(gè)圓柱面的重合投影，上下兩條線是上下兩個(gè)底面的積聚投影，左右兩豎線是圓柱最后和最前兩條輪廓素線的投影，這兩條素線的水平投影積聚為兩個(gè)點(diǎn)，在正面投影中與軸線的投影重合。A1AOO1圓柱的三面視圖作法：圓柱的三面視圖

18、作法： 2）圓柱表面上取點(diǎn)ABaaab注注利用表面投影的積聚性求點(diǎn)利用表面投影的積聚性求點(diǎn)。1(2)1(2)12例：已知圓柱面上兩點(diǎn)例：已知圓柱面上兩點(diǎn)和和的正面投影的正面投影11和（和（22），求作其余兩面投影。，求作其余兩面投影。 分析分析：圓柱面上的點(diǎn)，利用：圓柱面上的點(diǎn)，利用投影積聚性求出一面上的投投影積聚性求出一面上的投影，利用影，利用“三等三等”關(guān)系求另關(guān)系求另一面上的投影；特殊素線上一面上的投影；特殊素線上的點(diǎn)，可直接利用素線求出。的點(diǎn)，可直接利用素線求出。圓柱體的投影圓柱體的投影A1AOO1利用投影利用投影的的積聚性積聚性練習(xí)：練習(xí)：已知圓柱表面的點(diǎn)的投影已知圓柱表面的點(diǎn)的投影

19、11、22、33、4 4，求其它兩面投影。求其它兩面投影。 3 3 1 1 4 (2 ) 2 2 3 4 4 1例4-2 已知圓柱的三面投影及其表面上過(guò)1、2、3、4點(diǎn)的曲線（不是直線）在正面上的投影，求該曲線的水平投影和側(cè)面投影分析：由于4個(gè)點(diǎn)及直線都在圓柱面上，因此可以用圓柱面水平投影的積聚投影，先做出水平投影，再“二補(bǔ)三”做側(cè)面投影作圖過(guò)程：P56特別提示對(duì)于曲面立體表面的線，首先要判斷是直線還是曲線，某些投影面上可能為直線。在求曲面立體上的線時(shí)，應(yīng)多求一些點(diǎn)，然后圓滑連接練習(xí)：已知圓柱表面的曲線練習(xí)：已知圓柱表面的曲線ABCABC的的V V面投影面投影, ,完成完成H H、W W投影投

20、影yy1babc1ab1cca2.2.圓錐體圓錐體軸線軸線素線 圓錐體圓錐體一直線繞與它相交的軸線回轉(zhuǎn)而成。由圓錐面和底一直線繞與它相交的軸線回轉(zhuǎn)而成。由圓錐面和底面圓圍成，圓錐面上所有素線均交于錐頂。面圓圍成，圓錐面上所有素線均交于錐頂。 （a)a)圓錐體形成立體圖圓錐體形成立體圖 (b)(b)圓錐體投影直觀圖圓錐體投影直觀圖緯圓緯圓1） 圓錐的投影圓錐的投影特性 水平投影水平投影是一個(gè)圓，它是圓錐面和底面的重合投影，反映底面的實(shí)形，圓心是錐頂?shù)耐队罢嫱队罢嫱队笆且粋€(gè)三角形，它是前半個(gè)圓錐面和后半個(gè)圓錐面的重合投影。三角形的左右兩邊s a和s b是最左和最右兩條輪廓線SA和SB的投影，這

21、兩條素線在側(cè)面投影中與中軸線的投影重合。三角形底邊是圓錐底面的積聚投影側(cè)面投影側(cè)面投影是一個(gè)三角形，它是左半個(gè)圓錐面和右半個(gè)圓錐面的重合投影。三角形的左右兩邊s d 和s c 是最后和最前兩條輪廓線SD和SC的投影，這兩條素線在正面投影中與中軸線的投影重合。三角形底邊是圓錐底面的積聚投影 分析分析: :當(dāng)圓錐的軸線是鉛垂線時(shí)當(dāng)圓錐的軸線是鉛垂線時(shí), ,底面為水平面底面為水平面。圓錐體的水平投影為圓錐體的水平投影為圓圓，正面投影和側(cè)面投影為，正面投影和側(cè)面投影為兩個(gè)相等的兩個(gè)相等的等腰三角形等腰三角形。 畫投影圖：畫軸線、中心線；畫底圓的各面投影； 畫錐頂各面投影；畫各轉(zhuǎn)向素線的投影。 saba

22、scdbdscO1OSA 已知棱錐表面上點(diǎn)已知棱錐表面上點(diǎn)的投影的投影1 1 、2 2 、3 3，求求其它兩面投影。其它兩面投影。2）在圓錐表面取點(diǎn) 特殊位置點(diǎn) s s (2 ) sacbda c b (d )d b a ( c ) 1 1 1 2 2 (3) 3 3 1-最左輪廓素線，側(cè)面，水平2-最前輪廓素線，側(cè)面，水平3-圓周上，先水平再側(cè)面68sssS 2）在圓錐表面上取點(diǎn)）在圓錐表面上取點(diǎn)一般位置點(diǎn)一般位置點(diǎn)E ee方法之一方法之一 :素線法素線法(e)S esss方法之二方法之二 :緯圓法緯圓法Ee2）在圓錐表面上取點(diǎn)）在圓錐表面上取點(diǎn)(e)Amm1m11例例：已知圓錐面上點(diǎn)M的V

23、面投影，求作其H、W面投影。 圓錐表面取點(diǎn)圓錐表面取點(diǎn) 方法一方法一：素線法：素線法輔助素線輔助素線過(guò)錐頂和已知點(diǎn)作輔助素線過(guò)錐頂和已知點(diǎn)作輔助素線輔助緯圓輔助緯圓mm1212過(guò)已知點(diǎn)作輔助緯圓過(guò)已知點(diǎn)作輔助緯圓A方法二：緯圓法方法二：緯圓法圓錐表面取點(diǎn)圓錐表面取點(diǎn)m圓錐可見(jiàn)性的判別 練習(xí)：練習(xí)：已知圓錐表面的點(diǎn)已知圓錐表面的點(diǎn)A A、C C的的V V面投影及面投影及B B點(diǎn)的點(diǎn)的H H面投面投影影, ,完成其它投影。完成其它投影。acba(b)(c)bcaa（c）b（c）aabbc 練習(xí)：練習(xí)：已知圓錐表面的點(diǎn)的一個(gè)投影已知圓錐表面的點(diǎn)的一個(gè)投影, ,完成其它投影。完成其它投影。練習(xí)：練習(xí)：

24、已知圓錐表面的曲線已知圓錐表面的曲線ABCABC的的V V面投影面投影, ,完成其它投影。完成其它投影。yy1acbab1cab1c3.3.圓球圓球 球面可以看成是由一個(gè)半圓繞其自身直徑旋轉(zhuǎn)而成。圓球的表面是由球面圍成。（a)a)圓球立體圖圓球立體圖 (b)(b)圓球體投影直觀圖圓球體投影直觀圖軸線軸線緯圓緯圓 母線母線 1） 球的投影 球的3個(gè)投影為3個(gè)圓，這3個(gè)圓是球面上3個(gè)輪廓圓的投影，其中，正面投影是球面上平行于v 面的最大的正平圓（前、后半球的分界線）的投影，水平投影是平行于H面的最大的水平圓（上、下半球的分界線）的投影，側(cè)面投影是平行于W面的最大的側(cè)平圓（左、右半球的分界線）的投影

25、，它們所在的平面均經(jīng)過(guò)球心，在其他兩個(gè)面投影與對(duì)稱中心線重合，它們的圓心與球心的投影（對(duì)稱中心線的交點(diǎn)）重合。aaba投影：投影：三面投影均為圓，直徑等于球的直徑。畫圖：畫圖：應(yīng)先畫圓的中心線，然后分別畫圓。應(yīng)先畫圓的中心線，然后分別畫圓。cbccb圓球的投影圓球的投影nmm2)2)圓球表面上取點(diǎn)圓球表面上取點(diǎn)12方法：圓球表面取點(diǎn)只能用緯圓法。12m圓球表面取點(diǎn)圓球表面取點(diǎn) 已知球面上點(diǎn)已知球面上點(diǎn)M、N的正面投影的正面投影m 、n ，求作其水平投，求作其水平投影影m、n和側(cè)面投影和側(cè)面投影m 、n 。 (n )n小 結(jié) (1)(1)平面立體投影的作圖可歸結(jié)為繪制平面平面立體投影的作圖可歸結(jié)

26、為繪制平面（立體表面）和（棱）線投影的作圖。曲面立體（立體表面）和（棱）線投影的作圖。曲面立體要注意轉(zhuǎn)向輪廓素線的投影和回轉(zhuǎn)軸線。要注意轉(zhuǎn)向輪廓素線的投影和回轉(zhuǎn)軸線。 (2)在立體表面上取點(diǎn)、取線的方法與在在立體表面上取點(diǎn)、取線的方法與在平面上取點(diǎn)、取線的方法相同。在特殊位置平平面上取點(diǎn)、取線的方法相同。在特殊位置平面內(nèi)面內(nèi), ,可利用積聚性，在一般位置平面內(nèi)，可可利用積聚性，在一般位置平面內(nèi)，可通過(guò)作輔助線的方法。通過(guò)作輔助線的方法。 (3)(3)回轉(zhuǎn)面上取點(diǎn)回轉(zhuǎn)面上取點(diǎn), ,在圓柱表面取點(diǎn)可利用積在圓柱表面取點(diǎn)可利用積聚性求取，在圓錐表面取點(diǎn)，可利用輔助素線或聚性求取，在圓錐表面取點(diǎn)，可利

27、用輔助素線或輔助緯圓法。在圓球表面取點(diǎn)只能利用緯圓法。輔助緯圓法。在圓球表面取點(diǎn)只能利用緯圓法。截平面截平面截交線截交線截?cái)嗝娼財(cái)嗝娼厍畜w 4 42 2 基本形體的截切基本形體的截切 截切體截切體：基本形體被平面截切后的不完整的基本形體；：基本形體被平面截切后的不完整的基本形體；截平面截平面：截切立體的平面；：截切立體的平面；截?cái)嗝娼財(cái)嗝妫毫Ⅲw被截切后的斷面；：立體被截切后的斷面；截交線截交線：截平面與立體表面的交線截平面與立體表面的交線截交線性質(zhì)：截交線性質(zhì)：(1)(1)截交線是截平面和立體表面的共有線；截交線是截平面和立體表面的共有線；(2)(2)截交線一般是封閉的平面圖形。截交線一般是封

28、閉的平面圖形。 截交線的形狀取決于截交線的形狀取決于: :(1)(1)立體的形狀；立體的形狀；(2)(2)截平面與立體的相對(duì)位置。截平面與立體的相對(duì)位置。 4.2.1 平面立體的截切截交線截交線為封閉的平面折線平面多邊形。 其各條邊其各條邊：棱面（或底面）與截平面的交線； 其各頂點(diǎn)其各頂點(diǎn)：棱線（或底邊）與截平面的交點(diǎn)。求解方法求解方法： 交點(diǎn)法：交點(diǎn)法：求平面立體的棱線與截平面之交點(diǎn)， 再將同一棱面上的交點(diǎn)兩兩相連。 交線法交線法：求平面立體的棱面與截平面的交線?？梢?jiàn)性的判別：可見(jiàn)棱面上的截交線可見(jiàn)，否則不可見(jiàn)。 截平面截交線切割體截交線截?cái)嗝?分析截平面與體的相對(duì)位置分析截平面與體的相對(duì)位

29、置 分析截平面與投影面的相對(duì)位置分析截平面與投影面的相對(duì)位置確定截交線確定截交線的投影特性的投影特性1. . 空間及投影分析空間及投影分析2. . 畫出截交線的投影畫出截交線的投影求出截平面與被截棱線的求出截平面與被截棱線的 交點(diǎn)，并判斷可見(jiàn)性。交點(diǎn)，并判斷可見(jiàn)性。依次連接各頂點(diǎn)成多邊形，依次連接各頂點(diǎn)成多邊形， 注意可見(jiàn)性。注意可見(jiàn)性。3. . 完善輪廓。完善輪廓。確定截交確定截交線的形狀線的形狀 求截交線的步驟：求截交線的步驟：例例 三棱錐被一正垂面所截切，求截交線的投影。三棱錐被一正垂面所截切，求截交線的投影。sabcasbcs a (c )b BA1 2 3 1yy23 1 2 3正垂

30、面正垂面例例 三棱錐被一正垂面所截切，求截交線的投影。三棱錐被一正垂面所截切，求截交線的投影。bBA1 2 3 123 1 2 3例：求四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影例：求四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影3 3 2 2 1 1 (4(4 ) )1 1 2 2 4 4 3 3 1 12 24 4 空間分析空間分析交線的形狀？交線的形狀？3 3 投影分析投影分析 求截交線求截交線 分析棱線的投影分析棱線的投影 檢查檢查 尤其注意檢查截尤其注意檢查截 交線投影的類似性交線投影的類似性截平面與立體截平面與立體的幾個(gè)棱面相的幾個(gè)棱面相交，與幾條棱交，與幾條棱線相交？線相交？截交線在截交線在H H、

31、V V、W W面上的形狀？面上的形狀？sabc(d)adcbssb(c)ad例：求四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影例：求四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影例例 求截平面求截平面P與三棱柱的截交線。與三棱柱的截交線。V VP P312123132PV注意：可見(jiàn)性的判別和各點(diǎn)的連接注意：可見(jiàn)性的判別和各點(diǎn)的連接例例 求四棱柱切割體的求四棱柱切割體的H H、W W面投影。面投影。14 34251354312521234786587例例 已知棱柱切割體的兩投影，求已知棱柱切割體的兩投影，求H面投影。面投影。步驟：步驟：1、根據(jù)、根據(jù)“三等關(guān)系三等關(guān)系”作出原形體的投影。作出原形體的投影。2、利用積聚

32、投影和類似形的概念，作出斷面的投影。、利用積聚投影和類似形的概念，作出斷面的投影。3、補(bǔ)全棱線的投影。、補(bǔ)全棱線的投影。12345665874312例例 求立體切割后的投影4 3 1 2 6 5 114 5 65234（6 ）（2 ）（3 ）例：求四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影例：求四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影1 12 21 1 (2(2 ) )2 2 1 1 注意：注意： 要逐個(gè)截平面分析和要逐個(gè)截平面分析和繪制截交線。當(dāng)平面體只繪制截交線。當(dāng)平面體只有局部被截切時(shí)，先有局部被截切時(shí)，先假想假想為整體被截切為整體被截切，求出截交，求出截交線后再取局部。線后再取局部。sabc(d)a

33、dcbssb(c)ad截平面截平面P截平面截平面QP為水平面為水平面Q為側(cè)平面為側(cè)平面例：求四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影例：求四棱錐被截切后的水平投影和側(cè)面投影例例 已知四棱錐切割體的正面投影，求其它兩投影。已知四棱錐切割體的正面投影，求其它兩投影。1y2y1y2y1 12 2(3(3) )4 4(5(5) )6 66 64 45 53 31 12 21 13 32 25 54 46 6注意：切口的形成及各斷面的形狀。步驟：步驟：1、求截交線的投影。、求截交線的投影。2、求相鄰截平面之交線。、求相鄰截平面之交線。3、補(bǔ)全棱線的投影。、補(bǔ)全棱線的投影。4、判別可見(jiàn)性。、判別可見(jiàn)性。例例 已

34、知四棱錐切割體的正面投影，求其它兩投影。已知四棱錐切割體的正面投影，求其它兩投影。7811 252534347878PV3415266 6 QV 截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的截交線是截平面與回轉(zhuǎn)體表面的共有線共有線。 截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及截交線的形狀取決于回轉(zhuǎn)體表面的形狀及 截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置。截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置。 截交線都是截交線都是封閉的平面圖形（封閉曲線或由直線和曲線封閉的平面圖形（封閉曲線或由直線和曲線圍成）。圍成）。(1) (1) 曲面體截交線的性質(zhì)：曲面體截交線的性質(zhì)：(2) (2) 求曲面體截交線的實(shí)質(zhì)：求曲面體截交線的實(shí)質(zhì)： 求求截平面與曲面

35、上被截各素線的交點(diǎn)截平面與曲面上被截各素線的交點(diǎn)，然后依次光滑連，然后依次光滑連接。接。4.2.2 曲面立體的截切 空間及投影分析空間及投影分析分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相分析回轉(zhuǎn)體的形狀以及截平面與回轉(zhuǎn)體軸線的相對(duì)位置對(duì)位置。分析截平面與投影面的相對(duì)位置，分析截平面與投影面的相對(duì)位置，如積聚性、類如積聚性、類似性等。似性等。找出找出 截交線的截交線的已知已知投影，投影，預(yù)見(jiàn)未知預(yù)見(jiàn)未知投影。投影。 畫出截交線的投影畫出截交線的投影截交線的投影為非圓曲線時(shí)，作圖步驟為：截交線的投影為非圓曲線時(shí)，作圖步驟為：光滑連接各點(diǎn)，并判斷截交線的光滑連接各點(diǎn)，并判斷截交線的可見(jiàn)性可見(jiàn)性。先找

36、特殊點(diǎn)先找特殊點(diǎn)（外形素線上的點(diǎn)外形素線上的點(diǎn)和和極限位置點(diǎn)極限位置點(diǎn)）。）。 求截交線的步驟：求截交線的步驟：確定截交確定截交線的形狀線的形狀確定截交線確定截交線的投影特性的投影特性補(bǔ)充一般點(diǎn)。補(bǔ)充一般點(diǎn)。3. 3. 完善輪廓。完善輪廓。1 平面與圓柱體表面相交平面與圓柱體表面相交 根據(jù)截平面的不同位置有三種情況：根據(jù)截平面的不同位置有三種情況：橢圓橢圓圓圓矩形矩形PPP截平面截平面的位置的位置 與軸線平行 與軸線垂直與軸線傾斜截交線截交線的形狀的形狀 矩形 圓 橢圓 立立 體體 圖圖 投投 影影 圖圖 例例 求正垂面求正垂面P P截割圓柱的截交線。截割圓柱的截交線。PV8 2 7 3 4 5 1 6 561487235 (6 )3 (4 )7 (8 )2 1 Y11 Pv3 7(8)Y212123456783(4)5(6)1 2 4 5 6 7 8 Y1Y223(4)14 2 步驟步驟：(1)(1)求特殊點(diǎn)求特殊點(diǎn)、。(2)(2)求一般點(diǎn)求一般點(diǎn)、 。(3)(3)連接，整理輪廓，完成全圖。連接，整理輪廓，完成全圖。 例例 求正垂面求正垂面P與圓柱的截交線。與圓柱的截交線。(d)(d)連接整理連接整理3 Pv(c)(c)求特殊點(diǎn)求特殊點(diǎn) yyyy5 3 1 2 4 9 8 7 6 例例 求圓柱切割體的投影。求圓柱切割體的投影。1 2 (3