正交小波構(gòu)造

1、2022-5-10110.8 小波變換小結(jié)小波變換小結(jié)至今，我們已討論了連續(xù)小波變換、離散柵格上的小波變換及小波變換的Mallat算法?，F(xiàn)對以上內(nèi)容作簡要的總結(jié)。2022-5-1022022-5-1032022-5-1042022-5-105),(),(k22WTkjWTjjxx)(),()()(,/ttxdtkt2tx2kjj2j2022-5-1062022-5-1072022-5-108第第11章章 正交小波構(gòu)造正交小波構(gòu)造2022-5-10911.1 正交小波概述正交小波概述 現(xiàn)在舉兩個大家熟知的例子來說明什么是正交小波現(xiàn)在舉兩個大家熟知的例子來說明什么是正交小波及對正交小波的要求及對正

2、交小波的要求, 一是一是Haar小波，二是小波，二是Shannon小波小波1. Haar小波小波011)(t其它12/ 12/ 10tt01)(t其它10t)()(),(kkktkt)()(),(,kkttkjkj2022-5-10104/4/sin)(22/jje2/2/sin)(2/je2022-5-1011 Haar小波對應(yīng)的二尺度差分方程中的濾波器是：小波對應(yīng)的二尺度差分方程中的濾波器是： 由于由于Haar小波在時域是有限支撐的，因此它在時小波在時域是有限支撐的，因此它在時域有著好的定位功能。但是，由于時域的不連續(xù)引起域有著好的定位功能。但是，由于時域的不連續(xù)引起頻域的無限擴展，因此，

3、它在頻域的定位功能差，或頻域的無限擴展，因此，它在頻域的定位功能差，或者說頻域的分辨率極差。者說頻域的分辨率極差。21,21)(0nh21,21)(1nh它們是最簡單的兩系數(shù)濾波器。它們是最簡單的兩系數(shù)濾波器。2022-5-10122. Shannon小波小波tttsin)(01)(其它dktktkk)()(21)(),(,0*,0)(21)(kkdekkj2022-5-10130, 0)(Vtk100VWV01)(, 1k其它21)2(Vkt0)(Wt 01)(其它2)2/3cos()2/2/sin()(tttt2022-5-1014)()(),(kkktkt0V)(, 0k2)(, 0k0

4、W2022-5-1015)(, 1k1V)(, 0k2)(,1k1W2244)(,2k2V22)(,2k2W442022-5-1016 顯然，顯然，Shannon小波在頻域是緊支撐的，因小波在頻域是緊支撐的，因此，它在頻域有著好的定位功能。但頻域的不連此，它在頻域有著好的定位功能。但頻域的不連續(xù)引起時域的無限擴展，也即時域為續(xù)引起時域的無限擴展，也即時域為Sinc函數(shù)。函數(shù)。這樣，這樣，Shannon小波在時域不是緊支撐的，有著小波在時域不是緊支撐的，有著差的定位功能。差的定位功能。2022-5-10172022-5-10181100)2(2)2/()(jjjjHH)2()2/(2)2/(2)

5、2/()(201201jjjjHHHH 正交小波及其尺度函數(shù)可由共扼正交濾波器組作無限次正交小波及其尺度函數(shù)可由共扼正交濾波器組作無限次的遞推來產(chǎn)生。這一方面給我們指出了構(gòu)造正交小波的途徑，的遞推來產(chǎn)生。這一方面給我們指出了構(gòu)造正交小波的途徑，另一方面也指出，在遞推過程中還存在著一個收斂的問題，另一方面也指出，在遞推過程中還存在著一個收斂的問題，這就要求對小波函數(shù)還要提出更多的要求，如后面要討論的這就要求對小波函數(shù)還要提出更多的要求，如后面要討論的消失矩和規(guī)則性等問題。消失矩和規(guī)則性等問題。2022-5-1019)(0nh)(t11.2 由由 遞推求解遞推求解 的方法的方法 nntnht)2(

6、)(2)(0nntnht)2()(2)(11100)2(2)2/()(jjjjHH)2()2/(2)2/(2)2/()(201201jjjjHHHH2022-5-10201020)(0)()(JjJjzHzH用它來近似用它來近似 ；上式對應(yīng)的時域關(guān)系是；上式對應(yīng)的時域關(guān)系是 )()(*)(*)()() 1(0) 1 (0) 0(0)(0nhnhnhnhJJ2022-5-1021)(*)(*)()()1(0)1(0)0(0)(0nhnhnhnhJJ2022-5-10221,3,3, 182)(0nh 1, 0, 3, 0, 3, 0, 1*1, 3, 3, 1)82()(2)1(0nh1, 3,

7、 6,10,12,12,10, 6, 3, 1)82(2 1 , 0, 0, 0, 3 , 0, 0, 0, 3 , 0, 0, 0, 1*1 , 3, 6,10,12,12,10, 6, 3 , 1)82()(3) 2(0nh2022-5-10232022-5-1024niintxnhtx)2()(2)(0101)(0tx其它10 t1,3,3, 182)(0nh2022-5-10250123400.40.81.20123400.40.81.20123400.40.81.20123400.40.81.22022-5-10261, 3, 3, 142)(0nh總之，二尺度差分方程及其頻域關(guān)系給

8、出了由濾波器組遞推求解正交尺度函數(shù)和正交小波的方法。但是，這種遞推并不保證總是收斂的，它涉及到離散情況下的正則性條件等問題。對此，我們將在下一節(jié)給以討論。2022-5-102711.3 消失矩、規(guī)則性及支撐范圍消失矩、規(guī)則性及支撐范圍1消失矩消失矩(Vanishing moments) dtttmkk)(0)()(kkkkddjm2022-5-10282022-5-10292022-5-10302022-5-10312022-5-1032)(),()(,ttxkdkjj2022-5-1033)2()2/(2)2/(2)2/()(201201jjjjHHHH2022-5-10342022-5-1

9、0352022-5-1036證明：證明：dtettj)()(dtetjtddtjkkkk)()()()()(dtttkjk)()1()0()(于是于是(1)和和(2)等效等效。2022-5-1037)()()()()2(2*01HeHj)()(1011zHzzH對上式連續(xù)微分，可證明對上式連續(xù)微分，可證明(2)等效于等效于(3)。2022-5-10382022-5-1039有關(guān)消失矩的定義也適用于離散信號。例如，令有關(guān)消失矩的定義也適用于離散信號。例如，令nnjenhH)()(11nnjkkkenhjndHd)()()(11nknhn0)(11, 1, 0pk2022-5-10402. 規(guī)則性

10、規(guī)則性規(guī)則性 (regularity) 又稱正則性，在數(shù)學(xué)上是用于描述函數(shù)局部特征的一種度量。在信號處理中，用于描述信號在某點，或某一區(qū)間內(nèi)的平滑性和奇異性。2022-5-10412022-5-10422022-5-10432022-5-10442022-5-10452022-5-10461,3,3, 182)(0nh1, 3, 3, 142)(0nh2022-5-1047)()21(2)(10zQzzHp2022-5-1048)2(2)2/()(1010jjjjHH111)2/()2cos()(jjjpjQ1)2/(2/2/sin)(jjpQ2022-5-10492022-5-10501,3,3, 182)(0nh)()21(2)(310zQzzH2022-5-10511, 3, 3, 142)(0nh)()21(2)(10zQzzH241)(21zzzQ2022-5-10523. 支撐范圍支撐范圍2022-5-1053證明：證明：nntnht)()(2)