2.3 有理數(shù)的加法和減法-2024-2025學年七年級數(shù)學上冊《知識解讀題型專練》（北師大版2024新教材）

第第頁2.3有理數(shù)的加法和減法

【考點1有理數(shù)加法運算】【考點2有理數(shù)加法中的符號問題】【考點3有理數(shù)的減法運算】【考點4有理數(shù)的加減混合運算】【考點5有理數(shù)加減中的簡便運算】【考點6有理數(shù)加減混合運算的應用】

知識點1：加法法則⑴同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。⑵絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0。⑶一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。知識點2：加法運算定律（1）加法交換律：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a＋b=b＋a加法結(jié)合律：在有理數(shù)加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）【考點1有理數(shù)加法運算】【典例1】計算下列各題(1)180+?50(2)(3)43+?77+37+?23【答案】(1)130(2)?4.2(3)?20(4)?【分析】此題考查有理數(shù)的加法運算，熟練掌握有理數(shù)的加法運算法則是解題的關鍵．（1）根據(jù)有理數(shù)的加法運算法則計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的加法運算法則計算即可；（3）運用加法交換律與結(jié)合律計算即可；（4）運用加法交換律與結(jié)合律計算即可．【詳解】（1）解：原式==180?50=130；（2）解：原式=?=?=?4.2；（3）解：原式==80+=?=?20；（4）解：原式===?1【變式1-1】（1）計算：?8+15；（2）計算：16+【答案】（1）7；（2）?20【分析】本題主要考查了有理數(shù)加法運算，解題的關鍵是熟練掌握有理數(shù)加法運算法則，準確計算．（1）根據(jù)有理數(shù)加法運算法則進行計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)加法的運算律進行簡單計算即可．【詳解】解：（1）?8=15?8=7；（2）16+=16+24+=40+=?20．【變式1-2】計算(1)(?2.8)+(?3.6)+3.6；(2)12(3)43+(?77)+27+(?43)【答案】(1)?2.8(2)?(3)?50【分析】（1）先把互為相反數(shù)結(jié)合，再相加；（2）先把同分母的結(jié)合，再相加；（3）先把同號結(jié)合，再相加；【詳解】（1）(?2.8)+(?3.6)+3.6=(?2.8)+=?2.8；（2）1==0+=?1（3）43+(?77)+27+(?43)=43+27+(?77)+(?43)=70+=?50．【點睛】本題考查了有理數(shù)的加法，掌握加法運算律是解題的關鍵【變式1-3】計算．(1)23+?17+6+?22(3)?7+?6.5+?3【答案】(1)?10；(2)?7；(3)?10；(4)1.9．【分析】本題考查有理數(shù)的加法，熟練掌握相關運算法則及運算律是解題的關鍵．（1）利用有理數(shù)的加法法則及運算律進行計算即可；（2）利用有理數(shù)的加法法則及運算律進行計算即可；（3）利用有理數(shù)的加法法則及運算律進行計算即可；（4）利用有理數(shù)的加法法則及運算律進行計算即可．【詳解】（1）解：原式=23+6=29+?39=?10；（2）原式=?2?7?4=?13+6=?7；（3）原式=?7?3=?10+0=?10；（4）原式=?0.7?2.1=?2.8+4.7+0=1.9．【考點2有理數(shù)加法中的符號問題】【典例2】將??5A．5+6?3?2 B．?5+6?3?2 C．5+6+3?2 D．?5+6?3+2【答案】A【分析】本題考查了對式子進行化簡，關鍵是正確理解加法的定義．注意：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反．注意：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)．即可把減法統(tǒng)一成加法．省略加號時，注意符號變化法則：++得+，??得+，?+得【詳解】解：原式=?==5+6?3?2故選：A．【變式2-1】將6﹣（﹣3）﹣（﹣7）+（﹣2）中的減法改成加法，并寫成省略加號的形式是（）A．﹣6﹣3+7﹣2 B．6﹣3﹣7﹣2 C．6﹣3+7﹣2 D．6+3+7﹣2【答案】D【分析】先將代數(shù)式中的減號利用去括號與添括號法則改為加號，再將減法轉(zhuǎn)化成省略加號的和的形式．【詳解】6﹣（﹣3）﹣（﹣7）+（﹣2）＝6+（+3）+（+7）+（﹣2）＝6+3+7﹣2．故選：D．【點睛】本題考查了有理數(shù)的減法法則．正確的理解和運用減法法則是解題的關鍵．【變式2-2】將式子?25+?7?【答案】?25?7+15?11?2【分析】根據(jù)有理數(shù)去括號法則直接計算即可得到結(jié)果．【詳解】?25+故答案為：?25?7+15?11?2．【點睛】此題考查了有理數(shù)的加減混合運算，熟練掌握去括號法則是解題的關鍵．【變式2-3】把式子?3?+2+【答案】?3?2?1+4【分析】根據(jù)和式里可以把加號及加數(shù)的括號省略不寫，進行作答即可．【詳解】解：?3?故答案為：?3?2?1+4．【點睛】本題考查了有理數(shù)加法中的括號問題．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．

知識點3：減法法則減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即a－b=a＋（﹣）b【考點3有理數(shù)的減法運算】【典例3】計算：(1)7.2??4.8；(2)?3【答案】(1)12(2)?8【分析】本題考查了有理數(shù)的減法．先根據(jù)有理數(shù)的減法法則，將減法轉(zhuǎn)化為加法，再根據(jù)有理數(shù)的加法法則計算即可．【詳解】（1）解：7.2?=7.2+4.8=12；（2）解：?3=?3=?=?83【變式3-1】計算?1??5的結(jié)果是（A．6 B．4 C．?4 D．?6【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的減法運算，熟練掌握減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)是解答本題的關鍵．根據(jù)減法法則計算即可．【詳解】解：?1故選：B．【變式3-2】計算?2?8的結(jié)果是（

）A．10 B．?10 C．6 D．?6【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)的減法，掌握有理數(shù)的加減法法則是解題的關鍵．根據(jù)有理數(shù)的加減法法則進行計算即可．【詳解】解：?2?8=?2+故選：B．【變式3-3】計算：?2??3=（A．?5 B．5 C．?1 D．1【答案】D【分析】此題主要是考查了有理數(shù)的減法法則，能夠熟練運用減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)是解答此題的關鍵．根據(jù)有理數(shù)的減法法則進行計算可得結(jié)果．【詳解】解：?2?=?2+3=1．故選：D．【考點4有理數(shù)的加減混合運算】【典例4】計算．(1)?323??23(3)+56+?2【答案】(1)?3(2)16(3)1(4)17【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算；（1）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算進行計算，即可求解；（2）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算進行計算，即可求解；（3）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算進行計算，即可求解；（4）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算進行計算，即可求解．【詳解】（1）解：(?3=?3=(?3=0?3=?3；（2）解：?13=?13?7?20+40+16=16；（3）解：+==2?1=1；（4）解：+1.9=1.9+3.6+10.1+1.4=17．【變式4-1】計算下列各題：(1)?49+19；(2)?1(3)4+?12+0.5+8+?12【答案】(1)?30(2)1(3)0(4)1【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，（1）根據(jù)有理數(shù)的加法進行計算即可求解；（2）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算進行計算即可求解；（3）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算進行計算即可求解；（4）根據(jù)有理數(shù)的加減混合運算進行計算即可求解．【詳解】（1）解：?49+19=?30（2）解：?=?=?=1（3）解：4+=4?12+=(4+8?12)+(=0（4）解：4=(4=8?7=1【變式4-2】計算：(1)?7+?8；(2)12?(3)513+?3(5)?33+【答案】(1)?15；(2)8；(3)?2；(4)1.2；(5)0．【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的加法運算法則計算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)的加減運算法則計算即可；（3）利用有理數(shù)的加法交換律和結(jié)合律計算即可；（4）利用有理數(shù)的加法交換律和結(jié)合律計算即可；（5）利用有理數(shù)的加法交換律和結(jié)合律計算即可；本題考查了有理數(shù)的運算，掌握有理數(shù)的運算法則和運算律是解題的關鍵．【詳解】（1）解：原式=?15；（2）解：原式=12+18+=30+?22=8；（3）解：原式=5=7+=?2；（4）解：原式=3+=?0.4+1.6，=1.2；（5）解：原式=?33+=?100+100，=0．【考點5有理數(shù)加減中的簡便運算】【典例5】計算：(1)12+?23(3)+1.25+?12+【答案】(1)?(2)?50(3)1(4)?【詳解】（1）1===?（2）43+=43+27+=70+=?50（3）+1.25====1（4）?2000=?2000?=?2000?1999+4000?1?=1?1?=?【點睛】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，熟練掌握有理數(shù)的運算法則是解答本題的關鍵．熟練掌握加法的交換律和結(jié)合律是解答本題的關鍵．【變式5-1】對于?55原式===0+?1上面這種方法叫拆項法，你看懂了嗎？仿照上面的方法，你會計算下面的式子嗎？?20225【答案】?1【分析】本題考查了有理數(shù)的簡便計算，把有理數(shù)分成整數(shù)與分數(shù)的和，再歸類計算即可．【詳解】?2022=?2022+=0+=?11【變式5-2】折項法計算：?553【答案】?1【分析】本題考查了有理數(shù)的加法運算，首先將帶分數(shù)拆分，再按照有理數(shù)加法交換律和結(jié)合律進行簡便計算即可．【詳解】解：原式=?55=?55=0+?1=?1．【變式5-3】在學習了有理數(shù)的加減法之后，老師講解了例題?1+2?3+4+…?2017+2018的計算思路為：將兩個加數(shù)組合在一起作為一組；其和為1，共有1009組，所以結(jié)果為+1009．根據(jù)這個思路學生改編了下列幾題：(1)計算：①1?2+3?4+…+2021?2022=__________；②1?3+5?7+…+2021?2023=__________．(2)螞蟻在數(shù)軸的原點O處，第一次向右爬行1個單位，第二次向右爬行2個單位，第三次向左爬行3個單位，第四次向左爬行4個單位，第五次向右爬行5個單位，第六次向右爬行6個單位，第七次向左爬行7個單位…按照這個規(guī)律，第2024次爬行后螞蟻在數(shù)軸什么位置？【答案】(1)①?1011；②?1012；(2)第2024次爬行后螞蟻在數(shù)軸上的?2024．【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關鍵是根據(jù)例題思路將加數(shù)合理分組，從中找到和為固定常數(shù)的規(guī)律．（1）①由每兩個數(shù)為一組、其和為?1，共1011組，據(jù)此可得；②由每兩個數(shù)為一組、其和為?2，共506組，據(jù)此求解可得；（2）根據(jù)題意列出算式：1+2?3?4+5+6?7?8+9+10?11?12+……+2021+2022?2023?2024，每四個數(shù)為一組、其和為?4，共506組，據(jù)此求解可得．【詳解】（1）解：（1）①1?2+3?4+……+2021?2022=?1×1011=?1011；②1?3+5?7+……+2021?2023=?2×506=?1012；故答案為：?1011、?1012；（2）根據(jù)題意知第2024次爬行后螞蟻在數(shù)軸上的1+2?3?4+5+6?7?8+9+10?11?12+……+2021+2022?2023?2024=?4×506=?2024．【考點6有理數(shù)加減混合運算的應用】【典例6】七年級一班去實踐基地采摘蘋果，一共采摘了9筐蘋果，以每筐30千克為標準，超過的千克數(shù)記作正數(shù)，不足的千克數(shù)記作負數(shù)，稱后的記錄如下：(1)這9筐蘋果中，最接近標準質(zhì)量的一筐蘋果重多少千克？(2)請你計算這9筐蘋果一共多少千克？(3)若蘋果每千克售價5元，則出售這9筐蘋果一共多少元？【答案】(1)這9筐蘋果中，最接近標準質(zhì)量的一筐蘋果重29.4千克(2)這9筐蘋果一共270.3千克(3)出售這9筐蘋果一共1351.5元【分析】本題考查正負數(shù)的實際意義及有理數(shù)混合運算的實際應用；（1）根據(jù)絕對值的意義，絕對值越小越接近標準，可得答案；（2）利用稱重的各框數(shù)據(jù)，利用有理數(shù)加減運算求解即可得到答案；（3）根據(jù)單價乘以數(shù)量等于總價，可得答案．【詳解】（1）解：30?0.6=29.4(千克)，答：這9筐蘋果中，最接近標準質(zhì)量的一筐蘋果重29.4千克；（2）30×9+(0.8?1.3?3+2.1+3.2?1.5?0.6+1.7?1.1)=270+0.3=270.3(千克)，答：這9筐蘋果一共270.3千克；（3）270.3×5=1351.5(元)，答：出售這9筐蘋果一共1351.5元．【變式6-1】七年級某班開展“我愛我校”志愿者校園廢紙清理活動，全班分成六個小組清理廢紙，每組清理，紙重量均以5kg為標準，超過的記為“＋”，不足的記為“一”，六個小組的清理廢紙情況如表所示統(tǒng)計員王強不小心將一個數(shù)據(jù)弄臟看不清了，但他記得第三組清理廢紙最少，且清理廢紙最多最少的小組的重量差為5kg．

組別一二三四五六超過（不足）（KG）+1

?1.50.5?1+2(1)填空：第二小組看不清的數(shù)據(jù)應是；(2)若本次活動清理廢紙重量排名前三的小組可獲得榮譽稱號，請計算獲得榮譽稱號的小組清理紙的總重量；(3)若六個小組將本次活動清理的廢紙集中賣出，30kg以內(nèi)的1.15元/千克，超出30kg的部分1.2元/千克，求清理的廢紙賣出的總收入．（精確到0.1元）【答案】(1)+3.5(2)21.5(3)39.9元【分析】（1）根據(jù)正負數(shù)表示的意義、有理數(shù)的加法法則解決此題．（2）根據(jù)正負數(shù)表示的意義、有理數(shù)的加法法則解決此題．（3）根據(jù)正負數(shù)表示的意義、有理數(shù)的混合運算法則解決此題．【詳解】（1）解：（1）經(jīng)分析，二組收集廢紙的重量最多，超出標準重量為：5?1.5=3.5（kg），故答案為：+3.5；（2）解：經(jīng)分析，本次活動清理廢紙重量排名前三的小組分別是：一組、二組、六組∴獲得榮譽稱號的小組收集廢紙的總重量為：(5+1)+(5+3.5)+(5+2)=21.5（kg）．故答案為：21.5kg（3）解：總重量為：5×6+(1+3.5?1.5+0.5?1+2)=34.5（kg）總收入為：30×1.15+(34.5?30)×1.2=34.5+5.4=39.9（元），故答案為：39.9元．【點睛】本題主要考查正負數(shù)表示的意義、有理數(shù)的加法，熟練掌握正負數(shù)表示的意義、有理數(shù)的加法運算法則是解決本題的關鍵．【變式6-2】如圖是廈門市地鐵一號線部分站點示意圖。某天，小沅參加地鐵志愿者服務活動，從蓮花路口出發(fā)，最后在A站結(jié)束服務活動，如果規(guī)定向集美學村方向為正，小沅當天的乘車站數(shù)按先后順序依次記錄如下（單位:站）：+5，?3，+4，?5，?2，+1，?3，+4，+1．

(1)請通過計算說明A站是哪一站?(2)若相鄰兩站之間的平均距離約為1.8千米，求這次小沅志愿服務期間乘坐地鐵行進的總路程約是多少千米?【答案】(1)烏石浦．(2)這次小沅志愿服務期間乘坐地鐵行進的總路程約是50.4千米．【分析】（1）設蓮花路口站的數(shù)值為7，A站的數(shù)值=7+5?3+4?5?2+1?3+4+1．（2）乘坐地鐵的總站數(shù)=+5【詳解】（1）設蓮花路口站的數(shù)值記錄為7．根據(jù)題意可知，A站的數(shù)值=7+5?3+4?5?2+1?3+4+1=9，所以，A站為烏石浦．（2）根據(jù)題意可知，乘坐地鐵的總站數(shù)=+5乘坐地鐵行進的總路程=28×1.8=50.4(千米)．答：這次小沅志愿服務期間乘坐地鐵行進的總路程約是50.4千米．【點睛】本題主要考查有理數(shù)的實際應用，牢記正負數(shù)的實際意義是解題的關鍵．【變式6-3】糧庫6天內(nèi)糧食進、出庫的噸數(shù)記錄如下表（“＋”表示進庫，“?”表示出庫）：時間第一天第二天第三天第四天第五天第六天進、出庫數(shù)量（噸）＋25＋8?12＋34?3622(1)在這6天中，進庫或出庫的糧食數(shù)量最多的是噸．(2)經(jīng)過這6天，糧庫里的糧食是增多還是減少了？請通過計算說明．(3)經(jīng)過這6天，倉庫管理員結(jié)算時發(fā)現(xiàn)庫里還存有480噸糧食，那么6天前庫里存糧多少噸？【答案】(1)36(2)庫里的糧食是增多了41噸；(3)6天前庫里有糧439噸．【分析】（1）根據(jù)比較絕對值的大小即可得到答案；（2）根據(jù)有理數(shù)的加法進行計算即可得答案；（3）根據(jù)題意列出算式，可得答案．【詳解】（1）解：∵?36>∴在這6天中，進庫或出庫的糧食數(shù)量最多的是36噸；故答案為：36；（2）+25++8答：庫里的糧食是增多了41噸；（3）480?41=439（噸），答：6天前庫里有糧439噸．【點睛】本題考查了正數(shù)和負數(shù)，絕對值的含義，有理數(shù)的加減運算的實際應用，讀懂題意，根據(jù)有理數(shù)的運算法則進行計算是解題關鍵．1．根據(jù)有理數(shù)加法法則，計算2+?3A．+3+2 B．+3?2 C．?3+2【答案】D【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加法，掌握“將兩個數(shù)的絕對值相減,結(jié)果的符號與絕對值較大的數(shù)的符號相同”成為解題的關鍵．根據(jù)將兩個數(shù)的絕對值相減,結(jié)果的符號與絕對值較大的數(shù)的符號相同即可解答．【詳解】解：2+?3故選D．2．已知室外溫度為?3°C，室內(nèi)溫度比室外溫度高9A．9°C B．?6°C 【答案】C【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，用室外溫度加上溫度差即可得出室內(nèi)溫度．【詳解】解：由題意得：室內(nèi)溫度為?3+9=6°故選：C．3．計算?3+?4的結(jié)果等于（A．1 B．?1 C．7 D．?7【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)的加法．根據(jù)有理數(shù)的加法法則計算即可求解．【詳解】解：?3+故選：D．4．實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應的點如圖所示，則下列式子中一定正確的是（

）A．a(chǎn)+b>0 B．bc>0 C．a(chǎn)+a>b+b【答案】B【分析】本題考查了數(shù)軸、不等式，絕對值，熟練掌握數(shù)軸的定義是解題關鍵．由數(shù)軸得c>b>0>a，b<【詳解】解：由數(shù)軸得c>b>0>a，b<A、∵a<0，b>0，且b<a，∴B、∵b>0，c>0，∴bc>0，故該選項正確，符合題意；C、∵a<0，b>0，∴a+a=?a+a=0，b+b=b+b=2b>0，∴D、由數(shù)軸可得b<故選：B．5．在體育課的立定跳遠測試中，以2.00m為標準，若小明跳出了2.35m，可記作+0.35mA．+0.25m B．?0.25m C．?0.35m【答案】C【分析】本題主要考查正負數(shù)的應用，有理數(shù)減法，根據(jù)題意得，由1.65m【詳解】解，根據(jù)題意得，1.65故選：C6．計算|?2?3|的結(jié)果是（

）A．5 B．?5 C．1 D．?1【答案】A【分析】本題考查了有理數(shù)的減法，絕對值．先根據(jù)有理數(shù)的減法法則計算，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：?2?3=故選：A．7．比?2小4的數(shù)是（

）A．1 B．?1 C．?6 D．6【答案】C【分析】本題考查有理數(shù)的減法運算，正確的翻譯句子，列出算式進行計算即可．【詳解】解：比?2小4的數(shù)是?2?4=?6；故選C．8．一個點，從直線上的0處出發(fā)，先向右移動4個單位，再向左移動7個單位，這時這個點所對的數(shù)是（

）A．+3 B．?2 C．?3 D．+2【答案】C【分析】本題主要考查了有理數(shù)的加減運算．先列式，再根據(jù)有理數(shù)的加減運算計算，即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：這時這個點所對的數(shù)是0+4?7=?3．故選：C9．將?3?+6??5【答案】?3?6+5?2【分析】本題考查了有理數(shù)加減運算中去括號的知識，屬于基礎題，注意掌握括號前面是正號則括號可以直接去掉，括號前面是負號則括號里面的各項要變號．【詳解】解：原式=?3?6+5?2，故答案為：?3?6+5?2．10．已知：x表示不超過x的最大整數(shù)，例：3.8=3,?1.2=?2，現(xiàn)定義：x=x?x，例：【答案】?0.2【分析】本題考查有理數(shù)的加減混合運算，有理數(shù)的大小比較，解題的關鍵是根據(jù)題意列出算式解答．根據(jù)定義列出計算式解答即可．【詳解】根據(jù)題意得，4.5=4.5??2.3=?2.3??2=?2?∴4.5?故答案為：?0.2．11．計算(?1)+2+(?3)+4+(?5)+6+?+(?97)+98+(?99)的結(jié)果為．【答案】?50【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算．先利用加法的結(jié)合律得?1+2?3+4?5+6?…?99+100=(?1+2)+(?3+4)+(?5+6)?…+(?99+100)，共100個數(shù)，所以分成了50組，每組得和為1，即可得到答案．【詳解】解：(?1)+2+(?3)+4+(?5)+6+…+(?99)+100=?1+2?3+4?5+6?…?99+100=(?1+2)+(?3+4)+(?5+6)?…+(?99+100)=1+1+…+1=50．50?100=?50，故答案為：?50．12．計算：?3.19+2【答案】?5【分析】本題考查了有理數(shù)的加減混合運算，有理數(shù)的加法交換律和結(jié)合律，熟練掌握有理數(shù)的加減混合運算及有理數(shù)的加法的運算律是解題的關鍵．根據(jù)有理數(shù)加法的運算律，將能湊整的數(shù)先湊整，得到?3.19+?6.81【詳解】解：原式=?3.19+219==?10+5=?5．13．計算．(1)?59(2)(【答案】(1)?120(2)?【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算．（1）去括號，再計算加減即可．（2）去括號，通分，再計算加法即可．【詳解】（1）?59=?59+46?34?73=?120（2）(=?=?=?14．計算：(1)(+4.3)?(?4)+(?2.3)?(+4)(2)0?【答案】(1)2(2)?2【分析】本題主要考查了有理數(shù)加減運算、有理數(shù)加減運算中的簡便運算、化簡絕對值等知識，熟練掌握相關運算法則和運算律是解題關鍵．（1）根據(jù)