2020年全國卷1函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題一題多解,深度解析

1、全國卷1導(dǎo)數(shù)題一題多解，深度解析1、2020年全國卷1理科數(shù)學(xué)第21題的解析已知函數(shù)f(x)exax2x.(1)當(dāng)a=1時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)xRO時，f(x)Jx3+1,求a的取值范圍.。22.2020年全國卷1文科數(shù)學(xué)第20題的解析已知函數(shù)f(x)exa(x2).(1)當(dāng)a1時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍3,2020年新高考1卷(山東考卷)第21題已知函數(shù)f(x)aex1InxIna(1),當(dāng)a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍城的三角形的面積;(2)若f(x)1,求a的取值范圍。1、2020年全國卷1理科數(shù)學(xué)

2、第21題的解析已知函數(shù)f(x)exax2x.(1)當(dāng)a=1時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)xno時，f(x)x3+1,求a的取值范圍.o2解析：(1) 單調(diào)性，常規(guī)題，a已知，求一個特定函數(shù)f(x)的單調(diào)性。若一次求導(dǎo)不見底，則可二次或多次清倉，即二次求導(dǎo)或多次求導(dǎo)，然后逐層返回。通常二次求導(dǎo)的為多。(2) 恒成立，提高題，在恒成立情況下，求參數(shù)的取值范圍。常常是把恒成立化成最值問題。由于這里的a只在一項中出現(xiàn)，故可以優(yōu)先考慮分離參數(shù)法。這里介紹了兩種方法。解：(1) 當(dāng)a=1時，f(x)exx2x,定義域為R,f'(x)ex2x1,易知f'(x)是單調(diào)遞增函數(shù)。而f'

3、;(0)=0,當(dāng)xC(-8,0),f，(x)<0當(dāng)xC(0,+8),f，(x)>0當(dāng)xC(-8,0),f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xC(0,+8),f(x)單調(diào)遞增。(2)解法一，分離參數(shù)法1Q丫11Q當(dāng)xno時，f(x)-x1,即f(x)eaxx-x122當(dāng)x=0時，上式恒成立，此時aCR。13.x-xx1e當(dāng)x>0時，上式等價于a22恒成立。x1x3x1e解法二：綜合法，讓(x2)(-x2x1ex)令g(x)2，則g'(x)2一3xx一，12x再令h(x)xx1e2到了這里發(fā)現(xiàn)，由(1)可得的exx2x1(x0),不能引用。所以求導(dǎo)，h'(x)x1ex令j(x)=

4、h'(x)(x>0)xj'(x)1e0,j(x)單倜遞減。.j(x)<j(0)=0,即h'(x)<0O，h(x)單調(diào)遞減，h(x)vh(0)=0。1c即當(dāng)x>0時，一x?x1e0。2當(dāng)xC(0,2)時，g'(x)>0;當(dāng)xC(2,+oo)時，g'(x)<0。1-g(x)max=g(2)=7e2，a的取值范圍是7e2,)°4ex玩倒立游戲，變成當(dāng)xno時，f(x)x31，即f(x)exax2x1x3122等價于1(ax2x-x31)ex0o21x-x(x2)x(2a1)ex2g'(x)<0,即g(

5、x)單調(diào)遞減，而,O1QV令g(x)1(axx-x1)e,則g'(x)21(1)右2a+1<0,即a,當(dāng)xC(0,2)時,2g(0)=0,故當(dāng)xC(0,2)時，g(x)0,因此不合題意(不必研究xC(2,+8)的情況，否則是多余且無功，很可能出錯)11.(2)右0v2a+1<2,即一a一，當(dāng)xC(0,2a+1)U(2,+8)時，g'(x)>0；22當(dāng)xC(2a+1,2)時，g'(x)<0。7e24所以g(x)在(0,2a-1),(2,+8)單調(diào)遞增，在(2a+1,2)單調(diào)遞減。由于g(0)=0,g(x)>0,所以g(2)=i(4a7)e20

6、,即a所以當(dāng)7_e_a1時，g(x)>0O421,一.,(3)右2a+1>2,即a，當(dāng)xC(0,2)U(2a+1,+8)時g(x)>0;當(dāng)xC(2,2a+1)2時，g'(x)<0。所以g(x)在(0,2),(2a+1,+8)單調(diào)遞增；在(2,2a+1)單調(diào)遞減。又g(0)=0,g(x)>0,所以g(2a+1)=>0必須成立。g(2a1)11(2a1)2(2a1)1e2a21 2x令h(x)1(xx1)e(x2)2h，(x)=-x2ex0,h(x)單調(diào)遞增，2所以h(x)>h(2)=15e20，即g(2a+1)>01.所以a-滿足條件。27

7、e2綜上，a的取值范圍是7,)。4注：方框里內(nèi)容的處理很靈活，也很關(guān)鍵。注意：1(1)分離參數(shù)法中遇到h(x)-x2x1ex的正負判斷，多次求導(dǎo)。若用ex的倒插花方2式，即考察i(x)(1x2x1)ex1,可一次解決問題。2(2)綜合法處理第二小題，遇第三種情況不是解出a,a是解不出來的，而是看限定條件下是否滿足。(3)有參數(shù)時，把參數(shù)敘述成“若”，把變量成“當(dāng)”，若兩者都敘述成“當(dāng)”，那就讓人看起來不舒服。2.2020年全國卷1文科數(shù)學(xué)第20題的解析已知函數(shù)f(x)exa(x2).(1)當(dāng)a1時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.。解析：(1) 單調(diào)性，常規(guī)題

8、，當(dāng)a=1時，確定函數(shù)的單調(diào)性，一次求導(dǎo)或多次求導(dǎo)。(2) 零點，已知零點數(shù)，求參數(shù)范圍，有一定難度。導(dǎo)數(shù)問題，通?？梢圆捎梦宸N方法：分離參數(shù)法，綜合法，數(shù)形結(jié)合法，必要性充分性結(jié)合法，分類討論法。這里介紹了前三種方法。后兩種方法，很少單獨使用，如本例綜合法中就采用了先必要條件，然后充分條件的方式，來排除不合題意的情況。再如數(shù)形結(jié)合法中，就結(jié)合了分類討論法。解：(1) a=1時，f(x)ex(x2),f'(x)ex1,當(dāng)xC(-8,0)時，f'(x)<0；當(dāng)xC(0,+8)時，f，(x)>0Of(x)在(-00,0)單調(diào)遞減，在(0,+°°)單調(diào)

9、遞增。(2)解法一：分離參數(shù)法f'(x)exa當(dāng)a<0時，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，最多只能有一個零點，所以不合題意。當(dāng)a>0時，采用分離參數(shù)法。不過，由于x+2在分母時，必須討論必須以-2為界進行考察，不太方便。所以，換一種方式分離參數(shù)。1x2f(x)有兩個零點，等價于g(x)-有兩個零點。aex1則g'(x)e當(dāng)xC(-8,-1)時，g'(x)V0;當(dāng)xC(-1,+8)時，g'(x)>0。1所以g(x)min=g(-1)=a1要g(x)有兩個手點，必須滿足g(x)min<0，即a。e1 ,一一,下面證明a一時，有

10、兩個零點。e在(-8,-1)上，g(-2)=10，所以其在有一個零點。a在(-1,+°°)上，由(1)可知exx21,即exx1)在(-8,lna)上，f(2)e所以ex(e2)2(-1)2(x2)2 421x21x2所以當(dāng)x>0時，g(x)一一2aexa(x2)24當(dāng)x同時滿足x>4a-2時，g(x)>0,所以在(-1,+8)有一個零點。綜上，g(x)有兩個零點的條件是是aC(1,),e所以f(x)有兩個零點時，aC(1,)。e解法二：綜合法f(x)exa(x2)f'(x)exa若aw0,則f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，最多只能

11、有一個零點，所以不合題意。若a>0時，可采用綜合法。當(dāng)xC(-00,lna),f'(x)<0;當(dāng)xC(lna,+°°)時，f，(x)>0。所以f(x)mln=f(lna)=-a(lna+1)1右f(x)有兩個手點，必須滿足f(x)mln<0,即a。e1,一一,下面證明a時，f(x)有兩個零點。0,所以f(x)在其上有一個零點。x22x(e2)(-2兩個函數(shù)的圖象如下圖所示:在(lna,+8)上，由(1)可得exx1,所以ex(x2)x2所以f(x)a(x2)(x2)(a)44所以當(dāng)x>0且x>4a-2且x>Ina時，f(x)

12、>0。所以f(x)在(lna,+00)有一個零點。綜上，f(x)有兩個零點的條件是aC(1,)。e解法三：分離函數(shù)法(數(shù)形結(jié)合法)x函數(shù)f(x)ea(x2)有兩個零點，也就是說指數(shù)函數(shù)yex圖象與一"次函數(shù)y=a(x+2)圖象有兩個交點。直線l:y=a(x+2)表示經(jīng)過點(-2,0)。虛線為過(-2,0)點的切線，直線l是經(jīng)過(-2,0)的直線系。確定指數(shù)函數(shù)過(-2,0)的切線，此時，直線l與曲線(指數(shù)函數(shù)圖象)有一個交點。yex上的點設(shè)為(x°,e)，那么在x=x0處的斜率就是ex0，所以過該點的切線方程為ye"e"(xx°)。xx.

13、1當(dāng)該切線經(jīng)過(-2,0)點時，則有ex0ex0(2%),解得x01，此時斜率e1。e當(dāng)a=l時，直線1與曲線C相切，只有一個交點，直線l是曲線C的切線。e1當(dāng)a時，直線1與曲線C相交，有兩個交點，直線1是曲線C的割線。1當(dāng)0a-時，直線1與曲線C沒有交點。當(dāng)av0時，有一個交點。綜上，f(x)有兩個零點的條件是aC(1，)。e'3.再看2020年新高考1卷(山東考卷)第21題已知函數(shù)f(x)aex11nxIna(1) .當(dāng)a=e時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍城的三角形的面積；(2)若f(x)1,求a的取值范圍。解析：(2) 求切線，進而求與坐標(biāo)軸圍成的面

14、積，常規(guī)題目，按部就班就好。(3) 恒成立，求恒成立情況下的參數(shù)取值范圍，屬常規(guī)題目。但這里與其他的題目不一樣。參數(shù)a所處的位置多處，參數(shù)與對數(shù)相結(jié)合，不能通過一系列計算求得a的范圍。這時，我們采用必要性充分性相結(jié)合的方式處理，或者采用分類討論法處理。解：(1)當(dāng)x=e時，f(x)ex1nx1,f(1)=e+1。x1.f'(x)e一,f，(1)=e-1。x所以過點(1,f(1)的切線方程為y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2。當(dāng)x=0時，y=2；當(dāng)y=0時，x2，一,，-一122所以切線與兩坐標(biāo)軸圍城的三角形面積是|2|I|21ee1(2)f(x)1恒成立，即a

15、ex1lnxlna1恒成立。解法一：必要性充分性結(jié)合法f(x)的定義域是(0,+8),所以f(1)>1,即a+lna>1o1令g(a)=a+lna,則g'(a)1-0,即g(a)單調(diào)遞增。a又g(1)=1,所以a>1。即a>1是f(x)>1的必要條件。下證a>1是f(x)>1的充分條件。當(dāng)a>1時，f(x)aex1lnxInaex1Inx1令h(x)ex1Inx,h'(x)e,顯然h'(x)是單調(diào)增函數(shù)。xh'(1)=0,所以x,(0,1),h'(x)<0;xC(1,+oo),h'(x)>

16、;0所以h(x)>h(1)=1o所以f(x)刊1。綜上，若f(x)>1,則aC1,+oo)0解法二：分類討論法f(x)1恒成立，即aex1lnxlna1恒成立。lna顯然可以分成0a1和a1兩種情況討論。1)當(dāng)0a1時，f(1)=a+lna<a<1,因此不合題意。x1.x1.2)當(dāng)a>1時，f(x)aelnxlnaelnx下面的解題步驟同解法一，略。綜上，若f(x)>1,則aC1,+oo)0注：這里，必要性充分性結(jié)合法、分類討論法，都作為獨立的方法進行應(yīng)用。為加深對ex印象，我們再考察2018年全國2卷第21題已知函數(shù)f(x)exax2.(1)當(dāng)a=1時，證

17、明：當(dāng)x>0時，f(x)1；(2)若f(x)在(0,+8)只有一個零點，求a。解析：(1) 恒成立，常規(guī)題型，轉(zhuǎn)化成求最值。求導(dǎo)一次不見底，就二次求導(dǎo)。然后逐層返回。(2) 零點，根據(jù)零點數(shù)，求參數(shù)的取值范圍。需要考慮函數(shù)的單調(diào)性，考慮零點存在性定理。確定零點空間，往往是難點。這道題的特點是含有ex,采用倒插花的方式，往往效果較好。判斷零點區(qū)間很重要。利用第一問的結(jié)論對第二問進行放縮，是解決零點區(qū)間的關(guān)鍵。解：(1) 當(dāng)a=1時，f(x)exx2,貝Uf'(x)ex2x令g(x)f'(x),則g'(x)ex2當(dāng)xC(8,In2)時，g'(x)0當(dāng)xC(ln

18、2,+8)時，g'(x)0所以g(x)>g(ln2)=2-2ln2>0,即f'(x)>0所以f(x)單調(diào)遞增，故f(x)>f(0)=1,因此，命題得證。(2) 顯然a<0時，f(x)exax2ex0,沒有零點，所以a>0。當(dāng)a>0時，f(x)有唯一零點，等價于g(x)-x2ex有唯一零點。ag'(x)x(x2)ex當(dāng)xC(0,2)時，g'(x)<0,；當(dāng)xC(2,+8)時，g'(x)>0。.14所以g(x)ming(2)2ae2e右g(2)>0,即a時，沒有零點。42e右g(2)=0,即a時，一個零點。42e若g(2)<0,即g(2)>0,即a：4-1g(0)0，故在(0,2)上，g(x)有唯一零點。ax21x2116"T一a/x4ax(2)由(1