21知識(shí)講解回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用文、理

1、回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1,通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，了解回歸分析的必要性與回歸分析的一般步驟。2,能作出散點(diǎn)圖，能求其回歸直線方程。3,會(huì)用所學(xué)的知識(shí)對(duì)簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行回歸分析?！疽c(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、變量間的相關(guān)關(guān)系1,變量與變量間的兩種關(guān)系：(1)函數(shù)關(guān)系：這是一種確定性的關(guān)系，即一個(gè)變量能被另一個(gè)變量按照某種對(duì)應(yīng)法則唯一確定.例如圓的面積.S與半徑r之間的關(guān)系S=Ttr2為函數(shù)關(guān)系.(2)相關(guān)關(guān)系：這是一種非確定性關(guān)系.當(dāng)一個(gè)變量取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的取值帶有一定的隨機(jī)性，這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。例如人的身高不能確定體重，但一般來(lái)說(shuō)“身高者，體重也重”，我們說(shuō)身

2、高與體重這兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系.2,相關(guān)關(guān)系的分類：(1)在兩個(gè)變量中，一個(gè)變量是可控制變量，另一個(gè)變量是隨機(jī)變量，如施肥量與水稻產(chǎn)量；(2)兩個(gè)變量均為隨機(jī)變量，如某學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)與化學(xué)成績(jī).3,散點(diǎn)圖：將兩個(gè)變量的各對(duì)數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)而得到的圖形叫做散點(diǎn)圖.它直觀地描述了兩個(gè)變量之間有沒(méi)有相關(guān)關(guān)系.這是我們判斷的一種依據(jù).4.回歸分析：與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析。要點(diǎn)二、線性回歸方程：1 .回歸直線如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作回歸直線。2

3、.回歸直線方程?改夕對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),，(xn,yn),其回歸直線？取?的截距和斜率的最小二乘法估計(jì)公式分別為：n_(Xix)(yiy)_b?J-L，臺(tái)y政(xix)2i1其中x表示數(shù)據(jù)xi(i=1,2,，n)的均值，y表示數(shù)據(jù)yi(i=1,2,，n)的均值，xy表示數(shù)據(jù)xiyi(i=1,2,，n)的均值.冥田的意義是：以$為基數(shù)，x每增加一個(gè)單位，y相應(yīng)地平均變化1個(gè)單位.要點(diǎn)詮釋:回歸系數(shù)n_(xix)(yiy)iin(xiiix)2,也可以表示為nxiyinxyiin2xii-2nx,這樣更便于實(shí)際計(jì)算。i/一(Xx2nXn)；yi/一(yiy

4、2nyn)。（x,y）稱為樣本中心點(diǎn)，回歸直線yabX必經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)(x,y)?；貧w直線方程y9bX中的b?表示x增加i個(gè)單位時(shí)夕的變化量，而今表示y不隨x的變化而變化的量。3 .求回歸直線方程的一般步驟:作出散點(diǎn)圖若存在線性相關(guān)關(guān)系，進(jìn)行第二步。由樣本點(diǎn)是否呈條狀分布來(lái)判斷兩個(gè)量是否具有線性相關(guān)關(guān)系,求回歸系數(shù)B、?計(jì)算xi/、一(%x2L%),ni/一(yiy2nyn)，xxxiyix2y2Lxnyn,n2xi2xixfL利用公式nxiyinxy4求出bn222%nxii再由abx求出y的值;寫出回歸直線方程;利用回歸直線方程y夕bx預(yù)報(bào)在x取某一個(gè)值時(shí)y的估計(jì)值。要點(diǎn)詮釋:一般地，我們

5、可以利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)，但這里所得到的值是預(yù)報(bào)值，而不是精確值，它帶有很大的隨機(jī)性，可能對(duì)于某一次的實(shí)際值而言會(huì)有很大的出入，這是因?yàn)椋海╥）回歸直線的截距y和斜率B都是通過(guò)樣本估計(jì)出來(lái)的，存在隨機(jī)誤差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果的偏差。x的預(yù)報(bào)值y能夠與實(shí)際值y很接近。（2）即使截距和斜率的估計(jì)沒(méi)有誤差，也不可能保證對(duì)應(yīng)于我們不能保證點(diǎn)(x,y)落在回歸直線上，甚至不能保證它落在回歸直線的附近，事實(shí)上，yx?，這里是隨機(jī)變量，預(yù)報(bào)值?與實(shí)際值y的接近程度由隨機(jī)變量決定。盡管我們利用回歸直線方程所得到的值僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，它具有隨機(jī)性，但它是我們根據(jù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律所得到的結(jié)論，因而結(jié)論正確的概率很

6、大。故我們可以放心地利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)。要點(diǎn)三、相關(guān)性檢驗(yàn)(1)相關(guān)系數(shù)r的定義對(duì)于變量x與y隨機(jī)抽取到的n對(duì)數(shù)據(jù)(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),稱nn(xx)(yiy)xyinxyrri1.i1為x與y的樣本相關(guān)系數(shù)。nnnnJ(xx)2(yiy)2(x2nx)(y2ny)Vi1i1.i1i1(2)相關(guān)系數(shù)r的作用樣本相關(guān)系數(shù)r用于衡量?jī)蓚€(gè)變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，描述線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱：|r|1|r|越接近1,表明兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近0,表明兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越弱。當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)，即x增加，y隨之相應(yīng)地增加，若

7、x減少，y隨之相應(yīng)地減少.當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，即x增加，y隨之相應(yīng)地減少；若x減少，y隨之相應(yīng)地增加.若r=0,則稱x與y不相關(guān)。當(dāng)|r|0.75，認(rèn)為x與y之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。當(dāng)|r|大于r°.05時(shí)，表明有95%勺把握認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這時(shí)求回歸直線方程有必要也有意義，當(dāng)|r|r0.05時(shí)，尋找回歸直線方程就沒(méi)有意義。(3)利用相關(guān)系數(shù)r檢驗(yàn)的一般步驟：法一：作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系。根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式算出r的值。比較|r|與0.75的大小關(guān)系，得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論。如果|r|0.75，認(rèn)為x與y之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。法二：

8、作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系。根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式算出r的值。根據(jù)小概率0.05與n-2在相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表中查出r的一個(gè)臨界值r0.05(n未數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù))。比較|r|與r-0.05,作統(tǒng)計(jì)推斷，如果|r|ro.,表明有95%勺把握認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系。如果|r|bos,我們沒(méi)有理由拒絕原來(lái)的假設(shè)，即不認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系。這時(shí)尋找回歸直線方程是毫無(wú)意義的。要點(diǎn)四、線性回歸分析與非線性回歸分析1 .線性回歸分析對(duì)于回歸分析問(wèn)題，在解題時(shí)應(yīng)首先利用散點(diǎn)圖或相關(guān)性檢驗(yàn)判斷x與y是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果線性相關(guān)，才能求解后面的問(wèn)題.否則求線性回歸方程沒(méi)有實(shí)際意義，

9、它不能反映變量x與y,之間的變化規(guī)律.只有在x與y之間具有相關(guān)關(guān)系時(shí)，求線性回歸方程才有實(shí)際意義.相關(guān)性檢驗(yàn)的依據(jù)：主要利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量nxyxySxSy"nxyrUnnJ(xix)2(yy)2,i1i1(其中化簡(jiǎn)式容易記也好用)求出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本相關(guān)系數(shù)，再利用r的性質(zhì)確定x和y是否具有線性相關(guān)關(guān)系，r具有的性質(zhì)為：|r|W1且|r|越接近于1,線性相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近于0,線性相關(guān)程度越弱.2 .線性回歸分析的一般步驟(1)確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量；(2)判斷兩變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系作散點(diǎn)圖由樣本點(diǎn)是否呈條狀分布來(lái)判斷兩個(gè)量是否具有線性相關(guān)

10、關(guān)系。求相關(guān)系數(shù)r當(dāng)|r|0,75，認(rèn)為x與y之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。(3)若兩變量存在線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)所求的線性回歸方程為？B(夕，求回歸系數(shù)I?、？。(4)寫出回歸直線方程；(5)利用回歸直線方程？<?Ix預(yù)報(bào)在x取某一個(gè)值時(shí)y的估計(jì)值。3 .非線性回歸分析(1)對(duì)于非線性回歸分析問(wèn)題，如果給出了經(jīng)驗(yàn)公式可直接利用換元，使新元與y具有線性相關(guān)關(guān)系，進(jìn)一步求出，對(duì)新元的線性回歸方程，換回x即可得y對(duì)x的回歸曲線方程.(2)非線性回歸問(wèn)題有時(shí)并不給出經(jīng)驗(yàn)公式，這時(shí)按以下步驟求回歸方程：畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，看是否是線性回歸分析問(wèn)題，如果不是，把它與必修數(shù)學(xué)中學(xué)過(guò)的函數(shù)(哥函數(shù)、指數(shù)函

11、數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等)圖像作比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，采用適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q，把非線性回歸分析問(wèn)題化為線性回歸分析問(wèn)題.作相關(guān)性檢驗(yàn)，即判斷尋找線性回歸方程是否有意義.當(dāng)尋找線性回歸方程有意義時(shí)，計(jì)算系數(shù)$,$,得到線性回歸方程.代回x得y對(duì)x的回歸曲線方程.【典型例題】【高清課堂：回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用407591例題1】類型一、利用散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量的線性相關(guān)性例1.在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕刻線試驗(yàn)，得到腐蝕深度y與腐蝕時(shí)間x的一組數(shù)據(jù)如下表所示.x/秒510152030405060y/微米610111316171923(1)畫出散點(diǎn)圖.(2)根據(jù)散點(diǎn)圖，你能得出什么結(jié)論？【思

12、路點(diǎn)撥】利用散點(diǎn)圖，直觀地歸結(jié)出相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量所具備的特點(diǎn).【解析】(1)如圖所示散點(diǎn)圖.%20r*F*101,o102030445060x(2)結(jié)論：設(shè)x與y是具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，且相應(yīng)于n組觀測(cè)值的n個(gè)點(diǎn)大致分布在一條直線附近，其中整體上與這n個(gè)點(diǎn)最接近的一條直線最能代表x與y之間的關(guān)系.【總結(jié)升華】解決此類問(wèn)題，最直觀也最直接的方法就是畫散點(diǎn)圖。如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布在一條直線附近，那么就可判斷兩個(gè)變量之間具有近似的線性相關(guān)關(guān)系?？蛇M(jìn)一步對(duì)它進(jìn)行回歸分析。解決本題的關(guān)鍵是正確建立坐標(biāo)系，合理地選取單位長(zhǎng)度準(zhǔn)確地描出所有點(diǎn)，然后觀察散點(diǎn)圖中的點(diǎn)呈現(xiàn)在一條直線附近即說(shuō)明二者具有線性相關(guān)

13、關(guān)系。解決此類題目，由于有時(shí)數(shù)據(jù)較大，在建立平面直角坐標(biāo)系時(shí)，若單位長(zhǎng)度確定不合適，往往容易造成描點(diǎn)的困難。因此必須選擇適當(dāng)?shù)膯挝婚L(zhǎng)度。舉一反三：【變式1】給出x與y的數(shù)據(jù)如下:x24568y3040605070畫出散點(diǎn)圖，并由圖判斷x、y之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系?！敬鸢浮可Ⅻc(diǎn)圖如圖所示:K070.60.50?4030*20門I214<678j從圖中可以看出，各點(diǎn)散布在一條直線附近，即可認(rèn)為x與y具有線性相關(guān)關(guān)系?！咀兪?】如圖所示的5組數(shù)據(jù)中，去掉點(diǎn)，剩下的4組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)最大.“，頊1。,12)53,10)C(45)”2,4)用13)O：；【答案】D,由本圖的直觀性可得?！咀兪?/p>

14、3】如下表所示，某地區(qū)一段時(shí)間內(nèi)觀察到的大于或等于某震級(jí)x的地震個(gè)數(shù)為N,試畫出散點(diǎn)圖，并由圖判斷x、N之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系。震級(jí)33.23.43.63.844.24.44.64.85.0地震數(shù)28381203801479510695764155023842269819191356973震級(jí)5.25.45.65.866.26.46.66.87地震數(shù)74660443527420614898574125【答案】由表中數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖如下:震級(jí)從散點(diǎn)圖中可以看出，震級(jí)x與大于該震級(jí)的地震次數(shù)N之間不呈線性相關(guān)關(guān)系，隨著x的減少，所考察的地震數(shù)N近似地以指數(shù)形式增長(zhǎng).類型二、運(yùn)用樣本相關(guān)系數(shù)r檢驗(yàn)線性

15、相關(guān)關(guān)系例2.下表是隨機(jī)抽取的8對(duì)母女的身高數(shù)據(jù)，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)探討y與x之間的關(guān)系.母親身高x/cm154157158159160161162163女兒身高y/cm155156159162161164165166【思路點(diǎn)撥】相對(duì)于用散點(diǎn)圖檢驗(yàn)相關(guān)性，利用相關(guān)系數(shù)r,檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱更為準(zhǔn)確?！窘馕觥克o數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示：由圖可以看出，這些點(diǎn)在一條直線附近，152154156158160162164：因?yàn)閄154157L1638159.25,y155156L1668161,8222一2-_2-Xi8(x)154L1638159.2559.5,i18_y28(y)2155

16、2L166281612116,i188L1631668X59留塌標(biāo)11y40455155L1631©6166818591259.2531168080,i1i1所以r800.963,59.5116'由檢驗(yàn)水平0.05及n26,在附錄2中查得ro.050.707,因?yàn)?.9630.707,所以可以認(rèn)為x與y之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.【總結(jié)升華】(1)討論x與y之間的線性相關(guān)關(guān)系，一般稱之為相關(guān)性檢驗(yàn)。一般地，相關(guān)性檢驗(yàn)是討論線性回歸模型的第一步。當(dāng)|r|0.75時(shí)，可以認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，此時(shí)，建立線性回歸模型是有意義的，其他情況下，建立線性回歸模型意義就不大了，

17、基本上沒(méi)有什么價(jià)值。(2)相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式：n_n(Xix)(yiy)Xiyinxyri1i1n_n_n_n_(xix)2(yiy)2:x2n(x)2y：n(y)2Vi1i1ii1i1(3)利用相關(guān)系數(shù)r檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱的步驟：運(yùn)用公式求出相關(guān)系數(shù)r;比較|r|與0.75的大小關(guān)系，得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論。如果|r|0.75，認(rèn)為x與y之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。舉一反三：【變式1】給出x與y的數(shù)據(jù)如下:x24568y3040605070判斷x與y的線性相關(guān)性?！敬鸢浮肯嚓P(guān)性檢驗(yàn):50,Xiy5xy130,52xii12-5(x)2052yi125(y)1000,Xiyi5xy所

18、以r因?yàn)閨r|52xii10.91952225(x)X5(y)i1130,2010000.919。0.75，所以x與y之間有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系?！咀兪?】10名學(xué)生,要分析學(xué)生高中入學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響，在高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取分析他們?nèi)雽W(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)和高一年級(jí)期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)?nèi)缦卤?學(xué)生編號(hào)12345678910入學(xué)成績(jī)x63674588817152995876高一期末成績(jī)y65785282928973985675計(jì)算入學(xué)成績(jī)期末成績(jī)y的相關(guān)系數(shù);x與局因?yàn)?1x一106367L7670,16578L7576,1010Lxy(xix)(Yi_10y)1894,Lxx(x2x)2

19、474,10Lyy(yy)22056.10_(xx)(yy)因此求得相關(guān)系數(shù)為i170(xx)2i1102(yiy)i1Lxx結(jié)果說(shuō)明這兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)程度是比較高的。類型三、求線性回歸方程例3.以下是某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù):房屋面枳網(wǎng)11511080135105梢售價(jià)格1萬(wàn)元)24.321.618.429.222(1)畫出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖；(2)求線性回歸方程，并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線；【思路點(diǎn)撥】本題考查如何求回歸直線的方程，可先把有關(guān)數(shù)據(jù)用散點(diǎn)圖表示出來(lái)，若這些點(diǎn)大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，說(shuō)明這兩個(gè)變量線性相關(guān)，從而可利用我們學(xué)過(guò)的最小二乘估計(jì)思想

20、及計(jì)算公式求得線性回歸直線方程。52(1)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示:Xii109,lxx(Xix)1570,i1_5_y23.2,lxy(XiX)(yiy)308i1設(shè)所求回歸直線方程為ybxa,則bL理80.1962lxx1570308aybx23.21091.81661570故所求回歸直線方程為y0.1962x1.8166【總結(jié)升華】如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布在一個(gè)直線狀帶形區(qū)域，可以選用線性回歸模型來(lái)建模。舉一反三：【變式1】下面是兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)。x12345678y1491625364964求x與y兩個(gè)變量之間的回歸直線方程?！敬鸢浮扛鶕?jù)表中的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出有關(guān)數(shù)據(jù)，列成下表。序號(hào)Ky

21、i2xixiyi111112244833992744161664552525125663636216774949343886464512E36204204129681364.58所以有-1cc_8xyi8xy所以P此2J2X8xi1129684.525.5TTZ7220484.528204,xyi1296。i1y-20425.5,8?ybx25.594.515。于是回歸直線方程為？159x。牙溫【答案】所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖：【高清課堂：回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用407591例題1】【變式2】從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如下表所示:編號(hào)12345678身高/cm16516

22、5157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重計(jì)算器得二75712，匚二）石U.E49.一故線性回歸方程m當(dāng)工=172時(shí)，J;=0.849x172-35.712=150,316（恒）一。J=O84Sk-85.712.類型四、線性回歸分析及應(yīng)用例4.近幾年來(lái)，隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，汽車已進(jìn)入普通百姓家中.根據(jù)某汽車協(xié)會(huì)資料統(tǒng)計(jì)，國(guó)產(chǎn)某種型號(hào)家庭轎車的使用年限x（年）和所支出的維修費(fèi)用y（千元），如下表：使用年限/年23456維修費(fèi)用/千兀2.23.85.56.57.0（1）求

23、出相關(guān)系數(shù)r,并根據(jù)所求的r判斷兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱；（2）試求出回歸直線方程，若某家庭購(gòu)得此型號(hào)的汽車，請(qǐng)你為他們估計(jì)一下使用年限為10年時(shí),維修費(fèi)用是多少？【思路點(diǎn)撥】通過(guò)求出相關(guān)系數(shù)r,從而判斷出是否具有相關(guān)關(guān)系；再求回歸方程，從而進(jìn)行回歸預(yù)測(cè).【解析】（1）根據(jù)公式，求得r0.9792>0.878,故兩個(gè)變量之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.（2）設(shè)所求的回歸方程為y|$X$.則Xiy5xyi152尸Xi5x1.23,$ybX0.08,即所求的回歸直線方程為y1.23x0.08.當(dāng)x=10時(shí)，代入回歸直線方程得y=12.38,所以傳計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是1.238萬(wàn)

24、元.x與y之間的變化規(guī)律.【總結(jié)升華】求x與y的回歸直線方程，應(yīng)首先判斷x與y是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果直接求x與y的回歸直線方程，它就沒(méi)有任何實(shí)際價(jià)值，也就不能準(zhǔn)確反映變量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)【變式1】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量能耗y（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)。x3456y2.5344.5請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程(3)已知該廠技改前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)煤。試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程,預(yù)測(cè)生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤?(參考數(shù)值：3X2.5+4X3+5X

25、4+6X4.5=66.5)（1）由題設(shè)所給數(shù)據(jù)，可得散點(diǎn)圖如圖所示:十”噸標(biāo)準(zhǔn)煤04（2）計(jì)算得414已知為y,i1345686，x2.5344.53.5,66.5，所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數(shù)為xy4xyi1i”666.544.53.5-42xii1-24x20.7,8644.53.50.74.50.35。因此，所求的線性回歸方程為0.7x0.35。（3）由（2）的回歸方程及技改前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗,得降低的生產(chǎn)能耗為90（0.7X100+0.35）=19.65（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）。父親身60626465666768707274【變式2】測(cè)得某地10對(duì)父子身高（單位：英寸）如下：

26、(Wj(x)兒子身高(y)63.665.26665.566.967.167.468.370.170如果x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程.如果父親的身高為78英寸，試估計(jì)兒子的身高.序號(hào)xiyi2xi2yixiyi16063.636004044.96381626265.238444251.044042.43646640964356422446565.542254290.254257.556666.943564475.614415.466767.144894502.414495.776867.446244542.764583.287068.349004664.89478197270.15

27、1844914.015047.21074705476490051806686709344842.4【答案】解法一：先將兩個(gè)變量的有關(guān)數(shù)據(jù)在表中計(jì)算出來(lái)，如下表所示:由表中數(shù)據(jù)可計(jì)算,668670.1x66.8,y67.01,x44842.4,1010iiio2xi244794，10M10xyyi244941.93,代入公式$/-x：10xi144842.41066.867.012447941066.8279.72171.60.4646.所以$y$x67.010.464666.835.975.因而所求得線性回歸方程為:$0.4646x35.975.當(dāng)x=78時(shí)，y0.4

28、6467835.97572.213872.2.所以當(dāng)父親的身高為78英寸時(shí)，估計(jì)兒子的身高約為72.2英寸.【變式3】已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量x(kg)與每單位面積蔬菜年平均產(chǎn)量y(t)之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：年份19851986198719881989199019911992x/kg7074807885929095y/t5.16.06.87.89.010.210.012.0年份1993199419951996199719981999x/kg92108115123130138145y/t11.511.011.812.212.512.813.0(1)求x與y之間的相關(guān)系數(shù)，并檢驗(yàn)是否

29、線性相關(guān);(2)若線性相關(guān)，求蔬菜產(chǎn)量y與使用氮肥量x之間的回歸直線方程，并估計(jì)每單位面積施肥150kg時(shí)，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量.【答案】(1)使用樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式來(lái)完成.(2)先作統(tǒng)計(jì)假設(shè)，由小概率0.05與n2在附表i12345678xi7074807885929095yi5.16.06.87.89.010.210.012.0xiyi357444544608.4765938.49001140i9101112131415xi92108115123130138145yi11.511.011.812.212.512.813.0xiyi1058118813571500.616251766

30、.41885中查得相關(guān)系數(shù)臨界值r0.05,若r>0.05則線性相關(guān)，否則不線性相關(guān).列出下表，并用科學(xué)計(jì)算器進(jìn)行相關(guān)計(jì)算:15_xyi15xyi1(1) r15x215x2i11522yi15yi116076.81510110.11.(161125151012)(1628.551510.112)760.15879.450.864.由小概率0.05與n2=13在附表中查得0.05=0.514,|r|>0.05,，x與y線性相關(guān).回歸直線方程為多=00937x+06463.(2) $15_為y15xy16076.81510110.1120.0937，2216112515101xi15

31、xi1$y$x10.110.09371010.6463.回歸直線方程為$0.0937x0.6463.當(dāng)每單位面積施肥150kg時(shí)，每單位面積蔬菜的年平均產(chǎn)量為0.0937X150+0.6463=14.701314.7(t).類型五、非線性回歸的轉(zhuǎn)化例5.在一化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中某化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度yg/min與一種催化劑的量xg有關(guān)，現(xiàn)收集了8組數(shù)據(jù)列于表中，試建立y與x之間的回歸方程.催化劑量x/g1518212427303336化學(xué)物質(zhì)反應(yīng)速度y/(g/min)6830277020565350【思路點(diǎn)撥】?jī)蓚€(gè)變量不一定是線性關(guān)系，不能直接利用線性回歸方程建立兩個(gè)變量的關(guān)系，可以通過(guò)變換的方法將非

32、線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性回歸模型.【解析】根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖：500050005000500332211400，12151821242730333639Mg根據(jù)樣本點(diǎn)分布情況，可選用兩種曲線模型來(lái)擬合.(1)可認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在某二次曲線y=cix2+c2的附近.令t=x2,則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線,y=bt+a(b=ci,a=C2)的周圍.由題意得變換后的t與y的樣本數(shù)據(jù)表如下:t22532444157672990010891296y6830277020565350作y與x的散點(diǎn)圖.375.225*Im，75.*1工，:一，_1.2X5373525675S239751125I2751425f

33、由y與t的散點(diǎn)圖可觀察到樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)并不分布在一條直線的周圍，因此不宜用線性回歸方程y濟(jì)鳥(niǎo)來(lái)擬合，即不宜用二次曲線y=cix2+c2來(lái)擬合y與x之間的關(guān)系.(2)根據(jù)x與y的散點(diǎn)圖也可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在某一條指數(shù)型函數(shù)曲線yciec2x的周圍.令zIny,則zc2xIng,即變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z=bx+a(a=lnci,b=c2)的周圍，由y與x數(shù)據(jù)表可得z與x的數(shù)據(jù)表x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858作出z與x的散點(diǎn)圖.8.64.2-%152025303540工由散點(diǎn)圖可觀察到大致在一條直線上，所以可用線性回歸方程來(lái)擬合它.由z與x的數(shù)據(jù)表，得到線性回歸方程