高等數(shù)學(xué)：第2章導(dǎo)數(shù)與積分1

1、第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 習(xí)題課習(xí)題課求求 導(dǎo)導(dǎo) 法法 則則基本公式基本公式導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)xyx 0lim微微 分分xydy 關(guān)關(guān) 系系)( xodyydxydyydxdy 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)一、主要內(nèi)容1 1、導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的定義.)()(limlim00000 xxfxxfxyyxxxx 2.右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù):單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)1.左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù):;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處可可導(dǎo)導(dǎo)左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 和和

2、右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù))(0 xf 都都存存在在且且相相等等.2 2、基本導(dǎo)數(shù)公式、基本導(dǎo)數(shù)公式22211)(arctan11)(arcsinln1)(logln)(sec)(secsec)(tancos)(sin0)(xxxxaxxaaaxtgxxxxxxCaxx （常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）222111)cot(11)(arccos1)(ln)(csc)(csccsc)(cotsin)(cos)(xxxxxxeexctgxxxxxxxxxx arc3 3、求導(dǎo)法則、求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則（1）vuvu )(, （2）uccu )( (

3、 c是常數(shù)是常數(shù)),（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.(1) 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2) 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則.)(1)(),()(xxfxfyyx 則有則有的反函數(shù)為的反函數(shù)為如果函數(shù)如果函數(shù)(3) 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)而而設(shè)設(shè)(4) 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)求出導(dǎo)數(shù).適用范圍適用范圍:

4、 :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxu(5) (5) 隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).,)()(間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx ;)()(ttdtdxdtdydxdy .)()()()()(322tttttdxyd (6) (6) 參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則4 4、高階導(dǎo)數(shù)、高階導(dǎo)數(shù),)()(lim) )(0 xxfxxfxfx 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf

5、二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),記作記作階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)的的函數(shù)函數(shù)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù))5、微分的定義微分的定義定義定義.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或記作記作的微分的微分于自變量增量于自變量增量相應(yīng)相應(yīng)在點(diǎn)在點(diǎn)為函數(shù)為函數(shù)并且稱并且稱可微可微在點(diǎn)在點(diǎn)則稱函

6、數(shù)則稱函數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)無(wú)關(guān)的常數(shù)是與是與其中其中成立成立如果如果在這區(qū)間內(nèi)在這區(qū)間內(nèi)及及在某區(qū)間內(nèi)有定義在某區(qū)間內(nèi)有定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).的線性主部的線性主部叫做函數(shù)增量叫做函數(shù)增量微分微分ydy ( (微分的實(shí)質(zhì)微分的實(shí)質(zhì)) )6 6、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)可微的充要條件是函數(shù)可微的充要條件是函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)定理定理7 7、 微分的求法微分的求法dxxfdy)( 求法求法: :計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分乘以自變量的微分.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxx

7、dxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( arc 函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud 8 8、 微分的基本法則微分的基本法則 微分形式的不變性微分形式

8、的不變性的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無(wú)論無(wú)論)(,xfyx dxxfdy)( 二、典型例題例例1 1 .0),1ln(,0,sin).4(;1).3(;1ln).2(;sinarcsin).1(22xxxxyxxyeeyxyxx求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):解解 y).2 (xx2sin1cos ;coscosxx ).1 (;12xxee yxxxxxeeeee2221122 y).4 (22211221xxxxx ;11232x ).3(;cos0 xyx 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng);110 xyx 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng),0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;10)01ln()1ln(

9、lim)0(0 xxyx;10)01ln(sinlim)0(0 xxyx所以所以 .0,11,0,1,0,cosxxxxxy例例2 2.,arctan)( ,232).3(.,sincos)().2(.,04)().1(023322 xdxdyxxfxxfyytaytaxxyyyxyyxxyy求求求求確定確定由參數(shù)方程由參數(shù)方程求求隱式確定隱式確定由方程由方程解解,求求導(dǎo)導(dǎo)得得方方程程兩兩邊邊對(duì)對(duì)x,yxyxy 22于于是是, 04422xyyyyx:按按要要求求求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)(1).2)2() 2)(2()2)(21(yxyyxyxyy ,所所以以2)2(55yxxyy 2)2(2255yxy

10、xyxxy 322)2()4(5yxxyxy .0dtdxtdtdydxdy/)tan() ( ,tansincos3cossin322tttattadtdxdtdyy ttatsincos3sec22 .sincos314tta (2).dxduufdxdy )( :有有,232 xxu令令dxduu 2arctan22)23()2(3)23(arctan xxxu(3).,232arctan)23(822 xxx1arctan2 0 xdxdy.2 因此因此:.)(, 1, 1,)(2處處可導(dǎo)處處可導(dǎo)使得使得選取適當(dāng)?shù)倪x取適當(dāng)?shù)脑O(shè)設(shè)xfbaxbaxxxxf 例例3 3解解;,x)x(f ,

11、1x2可可導(dǎo)導(dǎo)處處處處連連續(xù)續(xù)因因此此是是初初等等函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,bax)x(f ,1x可可導(dǎo)導(dǎo)因因此此處處處處連連續(xù)續(xù)是是初初等等函函數(shù)數(shù)也也時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) .1x處處的的連連續(xù)續(xù)性性與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性需需討討論論點(diǎn)點(diǎn)所所以以只只 (1). (1). 連續(xù)性連續(xù)性),1()(lim)(lim11fxfxfxx )1(1 ba, 211lim1)1()(lim)1(211 xxxfxffxx令令有有(2). (2). 可導(dǎo)性可導(dǎo)性axxax 1)1(lim1)1()2()1()1( ff 12ba11lim1)1()(lim)1(11 xbaxxfxffxx.),()(,上上處處處處連連續(xù)續(xù)且且可

12、可導(dǎo)導(dǎo)在在時(shí)時(shí)因因此此當(dāng)當(dāng) xfba12令令得得: :.,114)(22nyxxy求求設(shè)設(shè) 例例4 4解xxxxy)1111(234 xx,)1(!)1()11(1)( nnnxnx,)1(!)1()11(1)( nnnxnx.)1(1)1(1 !)1(2311)( nnnnxxny例例5 5.,1111ln411arctan21222yxxxy 求求設(shè)設(shè)解解,12xu 設(shè)設(shè),11ln41arctan21 uuuy則則)1111(41)1(212 uuuyu411u ,2142xx )1(2 xux,12xx .1)2(123xxxyx .,)0, 0()(22dxy

13、dyxxyxfyyx求求所確定所確定由方程由方程設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 例例6 6解解兩邊取對(duì)數(shù)兩邊取對(duì)數(shù),ln1ln1xyyx ,lnlnxxyy 即即, 1ln)ln1( xyy,ln11lnyxy 2)ln1(1)1(ln)1(ln1yyyxyxy 322)1(ln)1(ln)1(ln yxyxxyy.,)(sincosyxxyx 求求設(shè)設(shè)例例7 7解解)(ln yyy)sinlncos(ln xxxy)sincossinlnsin1()(sin2cosxxxxxxxx 一、一、 選擇題：選擇題： 1 1、函數(shù)、函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù))(0 xf 定義為定義為（ ） （A A）xx

14、fxxf )()(00； （B B）xxfxxfxx )()(lim000； （C C）xxfxfxx )()(lim00； （D D）00)()(lim0 xxxfxfxx ； 2 2、若函數(shù)、若函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)0)(0 xf，則，則 曲線曲線)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)( ()(,00 xfx) )處的法線處的法線（ ） （A A）與）與x軸相平行；軸相平行； （B B）與）與x軸垂直；軸垂直； （C C）與）與y軸相垂直；軸相垂直； （D D）與）與x軸即不平行也不垂直：軸即不平行也不垂直：DB 3 3、若若函函數(shù)數(shù))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x不不連連續(xù)續(xù)，則則)(xf在

15、在 0 x ( ( ) ) （A A）必必不不可可導(dǎo)導(dǎo)； （B B）必必定定可可導(dǎo)導(dǎo)； （C C）不不一一定定可可導(dǎo)導(dǎo)； （D D）必必?zé)o無(wú)定定義義. . 4 4、如如果果)(xf= =（ ） ，那那么么0)( xf. .( (A A) ) xxarccos2arcsin ；( (B B) ) xx22tansec ；( (C C) ) )1(cossin22xx ；( (D D) ) xarctanarcxcot. . 5 5、如如果果 0),1(0,)(2xxbxexfax處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)，那那末末（ ） （A A）1 ba； （B B）1, 2 ba； （C C）0, 1 ba； （D

16、D）1, 0 ba. .D AD 6 6、已知函數(shù)、已知函數(shù))(xf具有任意階導(dǎo)數(shù)，且具有任意階導(dǎo)數(shù)，且 2)()(xfxf , ,則當(dāng)則當(dāng)n為大于為大于 2 2 的正整數(shù)時(shí)，的正整數(shù)時(shí)， )(xf的的 n n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù))()(xfn是是（ ） （A A）1)(! nxfn； （B B） 1)( nxfn； （C C） nxf2)(； （D D）nxfn2)(!. .AC 7 7、若函數(shù)、若函數(shù))(txx , ,)(tyy 對(duì)對(duì) t可導(dǎo)且可導(dǎo)且0)( tx, ,又又 )(txx 的反函數(shù)存在且可導(dǎo)，則的反函數(shù)存在且可導(dǎo)，則 dxdy= =（ ） （A A）)()(txty ； （B B）)()(txty ； （C C）)()(txty ； （D D）)()(txty . . 8 8、若函數(shù)、若函數(shù))(xf為可微函數(shù)，則為可微函數(shù)，則 dy（ ） （A A）與）與x 無(wú)關(guān)；無(wú)關(guān)； （B B）為）為x 的線性函數(shù)；的線性函數(shù)； （C C）當(dāng)）當(dāng)0 x時(shí)為時(shí)為x 的高階無(wú)窮小；的高階無(wú)窮??； （D D）與）與x 為等價(jià)無(wú)窮小為等價(jià)無(wú)窮小. .BB 9