空間任意力系的平衡、重心

1、1主矢與主矩的解析表達(dá)式主矢與主矩的解析表達(dá)式FR = FRx i + FRy j + FRzkFRx = FxiFRy = FyiFRz = FziMo = Mox i + Moy j + Moz k= Mox(Fi) i + Moy(Fi) j + Moz(Fi) k 3-6.空間任意力系的平衡空間任意力系的平衡(1)空間任意力系平衡的必要和充分條件空間任意力系平衡的必要和充分條件:FR = 0 , Mo = 0= Mx(Fi) i + My(Fi) j + Mz(Fi) k2FR = 0 , Mo = 0(2)空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程: Mx(Fi) = 0 My(F

2、i) = 0 Mz(Fi) = 0 Fxi = 0 Fyi = 0 Fzi= 0(3-1)3(3)討討論論:(a)對(duì)于空間匯交力系對(duì)于空間匯交力系 Mx(Fi) = 0 , My(Fi) = 0 , Mz(Fi) = 0則其平衡方程為則其平衡方程為: (b)對(duì)于空間力偶系對(duì)于空間力偶系 Fxi = 0 , Fyi = 0 , Fzi = 0則則 其平衡方程其平衡方程 為為: Fxi= 0 Fyi = 0 Fzi = 0(3-2) Mx(Fi) = 0 My(Fi) = 0 Mz(Fi) = 0(3-3)4(c)對(duì)于空間平行力系對(duì)于空間平行力系 Fxi = 0 , Fyi = 0 , Mz(Fi

3、) = 0則其平衡則其平衡方方程程為為: Fzi = 0 Mx(Fi) = 0 My(Fi) = 0(3-4)5約束類型約束類型簡(jiǎn)圖簡(jiǎn)圖約束力約束力徑向軸承徑向軸承蝶形鉸鏈蝶形鉸鏈圓柱鉸鏈圓柱鉸鏈球形鉸球形鉸推力軸承推力軸承空間固定端空間固定端空間約束類型舉例空間約束類型舉例6GABCDabhxyzccE例題例題 1 三鉸支架由三桿三鉸支架由三桿AB，AC和和AD用球鉸連接用球鉸連接而成，分別用球鉸支座而成，分別用球鉸支座B、C和和D固定在地面上，如固定在地面上，如圖所示。在鉸圖所示。在鉸A上懸掛一重物上懸掛一重物E，重量為，重量為G=500N。已知已知: a=2m,b=3m,c=1.5m,h

4、=2.5m,各桿自重均不計(jì)，求各桿所受的力。各桿自重均不計(jì)，求各桿所受的力。7GABCDabhxyzccEFAD 解：選取鉸解：選取鉸A連同重物為研究對(duì)象，受力分析：連同重物為研究對(duì)象，受力分析：FACFAB空間匯交力系空間匯交力系 Fxi = 0 Fyi = 0 Fzi = 08GABCDabhxyzccEFAD FAD -FAD cos -FAD sincos -FAD sinsinFAC FAC cos -FACsincos -FAC sinsinFAB 0-FABcos -FABsin G00- GxzyFACFABMN9FAD -FAD cos -FAD sincos -FAD si

5、nsinFAC FAC cos -FACsincos -FAC sinsinFAB 0-FABcos -FABsin G00- Gxzy Fxi = 0-FAD cos + FAC cos =0 Fyi = 0-FAD sincos - FACsincos -FABcos =0 Fzi = 0-FAD sinsin -FAC sinsin -FABsin - G=0FAD=868.5N FAC=868.5N FAB=-1953N 106045FzxyPABCByFFAyAzFBzFAxF例例2圖示傳動(dòng)系統(tǒng)，圖示傳動(dòng)系統(tǒng)，A是止推軸承，是止推軸承，B是向心軸承，是向心軸承，在把手端部施加一力在把

6、手端部施加一力F=200N，方向如圖所示，試求，方向如圖所示，試求系統(tǒng)平衡時(shí)所需重物的重量系統(tǒng)平衡時(shí)所需重物的重量P以及以及A、B軸承的約束軸承的約束力。圖中長(zhǎng)度單位為力。圖中長(zhǎng)度單位為mm。11 0)(ixFM060sin25. 01 . 0FPNP433 0)(iyFM060sin175. 015. 025. 0FFPBzNFBz5201. 取研究對(duì)象：整體系統(tǒng)取研究對(duì)象：整體系統(tǒng)解：解：2.分析受力：如圖所示分析受力：如圖所示3.列平衡方程求解列平衡方程求解6045FzxyPABCByFFAyAzFBzFAxF12 0)(iFMz045sin60cos175. 045cos60cos25

7、. 015. 0FFFByNFBy4 .356045FzxyPABCByFFAyAzFBzFAxF 0 xiF045cos60cosFFAxNFAx7 .70 0yiF045sin60cosFFFByAyNFAy3 .35 0ziF060sinFPFFBzAzNFAz8 .86 13例例題題3 一不計(jì)重量的正方形薄板一不計(jì)重量的正方形薄板,由六根直桿支由六根直桿支持如圖所示持如圖所示 .假設(shè)這六根桿都可以看作二力桿假設(shè)這六根桿都可以看作二力桿 ,求求在力在力P作用下各桿的內(nèi)力作用下各桿的內(nèi)力.PaaADBCDABCa14解：取解：取薄薄板板為研究對(duì)象畫受力圖為研究對(duì)象畫受力圖PaaADBCDA

8、BCaF1F2F3F5F6F41)只有力只有力P和和F3能能投影到軸投影到軸AD上上. FiAD = 00223FPPF2315 2)由由于于F1 、 F4 和和F6均為鉛垂方向均為鉛垂方向,力力矩軸應(yīng)選鉛垂方向矩軸應(yīng)選鉛垂方向. MBB(Fi) = 03)力矩軸應(yīng)選在過(guò)力矩軸應(yīng)選在過(guò)另三個(gè)力線的交點(diǎn)另三個(gè)力線的交點(diǎn)B或或C .0225aFPaF5 = -P2 MCC(Fi) = 00222FaPaPF22PaaADBCDABCaF1F2F3F5F6F416 MAD(Fi) = 002263FaFaF6 = - P MCD(Fi) = 002221FaFaF1 = - PPaaADBCDABC

9、aF1F2F3F5F6F417 MBC(Fi) = 0F1 a + F4 a = 0F4 = PPaaADBCDABCaF1F2F3F5F6F418例例題題4 邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為a的正方形薄板由六根連桿支持如圖所示的正方形薄板由六根連桿支持如圖所示.不計(jì)板的重量不計(jì)板的重量 ,并把連桿看作二力桿并把連桿看作二力桿.求當(dāng)板上有一力求當(dāng)板上有一力P和一力偶和一力偶M作用時(shí)各桿的內(nèi)力作用時(shí)各桿的內(nèi)力.aADBCDABC1 23456MP下例題可講可不講下例題可講可不講19aADBCDABC1 23456MP解解: 取薄板為研究對(duì)象畫受力圖取薄板為研究對(duì)象畫受力圖F1F2F3F4F5F620 Fyi = 0

10、022223PFF3 = - P MAA(Fi) = 00225FaMaMF25 MAD(Fi) = 00226aFPaPF226aADBCDABC1 23456MPF1F2F3F4F5F621 MMDD(Fi) = 0022222FaPaMaMPF22 MCD(Fi) = 00222221PaFaFaaMF1 MBC(Fi) = 0022431FaaFFaaMPF224aADBCDABC1 23456MPF1F2F3F4F5F622如果把微小塊體的重力都看成為平行力系，則可用合力矩定理求整個(gè)物體重心的位置： iiCxPxP二、重心坐標(biāo)公式二、重心坐標(biāo)公式：由：同樣對(duì)x軸：iiCyPyPP=P

11、i物體的重量3-7 3-7 物體的重心和形心物體的重心和形心一、物體的重心一、物體的重心)()(iPMyPMy得：23 為求Zc，將物體連同坐標(biāo)系一起繞x軸順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90，使y軸向下，于是各力與y軸平行，再對(duì)x 軸應(yīng)用合力矩定理得：iiCzPPz綜合上述得重心坐標(biāo)公式重心坐標(biāo)公式為：PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC , ,若以Pi= mig , P=Mg 代入上式可得質(zhì)心公式質(zhì)心公式MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC , ,24設(shè) i表示第i個(gè)小部分每單位體積的重量，Vi第i個(gè)小體積。對(duì)于均質(zhì)物體均質(zhì)物體， =恒量恒量，則：VzVzVyVyVxVxiiCiiCiiC ,

12、,三、均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式三、均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式：Pi= Vi， P= Pi= Vi= Vi= V于是得：均質(zhì)物體的重心與其重量無(wú)關(guān)，只與物體的體積（幾何形狀）有關(guān)，這個(gè)只由物體的幾何形狀決定的點(diǎn)稱為物體的形心只由物體的幾何形狀決定的點(diǎn)稱為物體的形心。上式又稱為物體的形心公式形心公式。注意：（1）形心與重心是兩個(gè)不同的概念。對(duì)于均質(zhì)物體，重心和形心是重合的。25（2）有對(duì)稱面（軸、點(diǎn)）的均質(zhì)物體，其重心必在對(duì)稱面（軸、點(diǎn)）上。令Vi0，則右式可寫成積分形式積分形式：VxdVxVCVydVyVCVzdVzVCVzVzVyVyVxVxiiCiiCiiC , ,26 （1） 利用對(duì)稱性（對(duì)均質(zhì)物體）利用對(duì)稱性（對(duì)均質(zhì)物體） 四、求物體重心的方法四、求物體重心的方法CCC27(2) 分割法和負(fù)面積法分割法和負(fù)面積法（對(duì)均質(zhì)物體對(duì)均質(zhì)物體）例題例題 求圖示平面圖形的形心。求圖示平面圖形的形心。5m5m15m15m20m28解解:(1)分割法分割法 取坐標(biāo)如圖且把平取坐標(biāo)如圖且把平面圖形分為面圖形分為 A和和 B兩兩部分部分.C1(2.5,7.5)C2(12.5,2.5)5 .75151555 .125155 .2155cx55151555.25155.7155cyx5m5m15m15m20myoC1AC2B29(2) 負(fù)負(fù)面積