抽象代數(shù)復(fù)習(xí)題及答案

1、抽象代數(shù)?試題及答案 本科一、單項(xiàng)選擇題 在每題的四個(gè)備選答案中，選出一個(gè)正確答案，并將正確答案的序號填在題干的括號內(nèi)。每題 3 分1. 設(shè)Q是有理數(shù)集，規(guī)定f(x)= x+2; g(x)= x2 +1,那么fg(x)等于B 2 2 2 2A. x2 2x 1B. x23 C. x2 4x 5 D. x2 x 3A.單射B.滿射C.雙射D.可逆映射3.設(shè) S3 = 1，1 2，1 3，23， 1 2 31, 1 3 2，那么S3中與兀素1 32不能交換的元的個(gè)數(shù)是A.1B.2C.3D.44.在整數(shù)環(huán)Z 中，可逆元的個(gè)數(shù)是(B。A.1個(gè)B.2 個(gè)C.4 個(gè)D.無限個(gè)5.剩余類環(huán)Z 10 的子環(huán)有

2、 B。A.3個(gè)B.4 個(gè)C.5 個(gè) D.6 個(gè)6.設(shè)G是有限群，a G,且a的階 |a|=12,貝V G中兀素a8的階為B)A.2B. 3C. 6D. 97.設(shè)G是有限群，對任意 a,bG，以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是 A A.(ab) 1 b 1a 1B. b的階不一定整除 G 的階C. G的單位元不唯一D. G中消去律不成立2.設(shè)f是A到B的單射，g是B到C的單射，貝U gf是A到C的 A 8. 設(shè)G是循環(huán)群，那么以下結(jié)論不正確的選項(xiàng)是.A A. G的商群不是循環(huán)群 B. G 的任何子群都是正規(guī)子群C. G 是交換群D. G 的任何子群都是循環(huán)群9. 設(shè)集合A=a,b,c, 以下A A的子集為等價(jià)

3、關(guān)系的是C C )。A. R1= (a,a),(a,b),(a,c),(b,b)B. R2= (a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)C. R3= (a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)D. R4= (a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)10.設(shè)f是A到B的滿射，g是B到C的滿射，貝U gf是A到C的B A. 單射B. 滿射C. 雙射D.11.設(shè) S3 = 1， 1 2， 1 3， 2 3， 1 2 3， 1 3 2,那么 S3 中與元素 D.A. 1B. 2C.可逆映射 1 2能交換的元的個(gè)數(shù)是 B4。12. 在剩余類環(huán)

4、Z8 中，其可逆元的個(gè)數(shù)是 。1個(gè)A. 1 個(gè)B. 2 個(gè)13.設(shè)R, +, 是環(huán)，那么下面結(jié)論不正確的有A. R的零元惟一B. 假設(shè)x aC. 對 a R， a 的負(fù)元不惟一 D.C.(0， 假設(shè) a b3個(gè)C那么xa c ，。D.4個(gè)14.設(shè)G是群，a G,且a的階|a|=12, 那么G中元素a32的階為B A.2B. 3C. 6D. 915設(shè)G是有限群，對任意 a,b G,以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是 A A. |a| |G|B.|b| =g C. G的單位元不唯一D.方程ax b在G中無解A. G的商群不是交換群B. G的任何子群都是正規(guī)子群17.設(shè) A=1 , -1, i, -i , B =

5、1, -1,:Atb, aA.滿射而非單射B.單射而非滿射16.設(shè)G是交換群，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是B 18.設(shè)A=R實(shí)數(shù)域，B= R 正實(shí)數(shù)集，C. G是循環(huán)群D. G的任何子群都是循環(huán)群2 a , a A，貝U 是從A到B的 A。C. 一一映射D.既非單射也非滿射a:a TO , a A,貝U 是從A到B的C A.滿射而非單射B.單射而非滿射C.映射D.既非單射也非滿射19.設(shè)A=所有實(shí)數(shù)x , A的代數(shù)運(yùn)算是普通乘法，那么以下映射作成A到A的一個(gè)子集的同態(tài)滿射的是 C 。A.x t 10xB.x t 2xC.x t |x|D.x t-x20.數(shù)域P上的n階可逆上三角矩陣的集合關(guān)于矩陣的

6、乘法C A.構(gòu)成一個(gè)交換群B.構(gòu)成一個(gè)循環(huán)群C.構(gòu)成一個(gè)群D.構(gòu)成一個(gè)交換環(huán)21.在咼斯整數(shù)環(huán)Zi中，可逆元的個(gè)數(shù)為D A. 1個(gè)B. 2 個(gè)C.3個(gè)D. 4個(gè)22 .剩余類加群Z8的子群有B。A. 3個(gè)B. 4個(gè)C. 5個(gè)D. 6個(gè)23.以下含有零因子的環(huán)是B數(shù)域P上的n階全矩陣環(huán)C. 偶數(shù)環(huán)2Z24.R設(shè)R,+,是一個(gè)環(huán)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是DC. R一疋含有單位兀中的每個(gè)兀素都可逆B. R的子環(huán)一定是理想25.設(shè)群G是6階循環(huán)群,那么群G的子群個(gè)數(shù)為AA.4 個(gè) B. 5個(gè)C. 6個(gè)D.7個(gè)26.設(shè) A = a, b, c , B =1,2,3,那么從集合A到集合B的滿射的個(gè)數(shù)為D

7、。A.1B.2C.327.設(shè)集合 A = a, b, c,那么以下集合是集合A的分類的是C A.R = a, b,a, c B.P = a,b, c,b,aA.高斯整數(shù)環(huán)Zi B.D.剩余類環(huán)Z5D. R的理想一定是子環(huán)D. 6C.P3 = a,b,c D.P = a,b,b,c,cA.有單位兀的交換環(huán)B.無單位元的交換環(huán)C.無單位元的非交換環(huán)D.有單位元的非交換環(huán)29.設(shè) S3= 1,1 2， 1 3，2 3， 1 2 3，1 3 2，那么S3的子群的個(gè)數(shù)是A. 1B. 2C. 3D. 630.在咼斯整數(shù)環(huán)Zi中，單位元是B。A.0B.1C.iD.i28.設(shè)R = a 0 a,b Z ，那么

8、R關(guān)于矩陣的加法和乘法構(gòu)成環(huán)，那么這個(gè)矩陣環(huán)是A。0 b31.設(shè)G是運(yùn)算寫作乘法的群，那么以下關(guān)于群A.任意兩個(gè)子群的乘積還是子群G的子群的結(jié)論正確的選項(xiàng)是BB.任意兩個(gè)子群的交還是子群D 。是子群D.任意子群- -定是 正規(guī)子群32. 7階循環(huán)群的生成元個(gè)數(shù)是C 。A. 1B. 2C. 6D. 733.設(shè)A=a,b,c , B=1,2,3,那么從集合A到集合B的映射有 D 。C.任意兩個(gè)子群的并還A.1B. 6 C. 18D. 2734.設(shè)G,為群，其中G是實(shí)數(shù)集，而乘法:a b a b k，這里k為G中固定的常數(shù)。那么群G,中的單位元e和元x的逆元分別是D A.0 和 x ；B.1和 0；

9、 C. k和 x 2k ；D.k 和(x 2k)35.設(shè)a,b,c和x都是群G中的元素，且x2abxc 1, acx xac，那么 x1 1 1 1A. bc a ； B. c aC. a 1bc 1,1D. b ca 。36.以下正確的命題是A A.歐氏環(huán)一定是唯一分解環(huán)；B.C.唯一分解環(huán)必是主理想環(huán)；D.主理想環(huán)必是歐氏環(huán)； 唯一分解環(huán)必是歐氏環(huán)。37 設(shè)H是群G的子群，且G有左陪集分類H,aH,bH,cH。如果|H | 6,那么G的階GA.6 ；B.24；C.10；D.12。38.設(shè)G是有限群，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是.A A. G的子群的階整除 G的階B. G 的任何子群都是正規(guī)子群

10、C. G 是交換群D. G的任何子群都是循環(huán)群39設(shè)f ：G1G2是一個(gè)群同態(tài)映射，那么以下錯(cuò)誤的命題是 DA. f的同態(tài)核是G1的正規(guī)子群;B. G2的正規(guī)子群的原象是G1的正規(guī)子群;C.G1的子群的象是G2的子群;D.G1的正規(guī)子群的象是G2的正規(guī)子群。A B.D.半群一定有一個(gè)右單位元 半群一定至少有一個(gè)左單位元40.關(guān)于半群，以下說法正確的選項(xiàng)是：A.半群可以有無窮多個(gè)右單位元C.半群如果有右單位元那么一定有左單位元二、填空題(每空3分)個(gè).1. 設(shè)A是m兀集，B是n兀集，那么A到B的映射共有2. n次對稱群Sn的階是 n !.3. 個(gè)有限非交換群至少含有6個(gè)元素.4. 設(shè)G是p階群，

11、p是素?cái)?shù)，貝U G的生成元有 p 1)個(gè).5. 除環(huán)的理想共有2丨個(gè).6. 剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S= : 0: , :2 , :4 ，那么S的單位元是4.7. 在i+3,2, e-3中，i 3丨是有理數(shù)域 Q上的代數(shù)元.8. 2在有理數(shù)域 Q上的極小多項(xiàng)式是 x22 丨.9. 設(shè)集合 A =a,b , B=1,2,3，那么 A B= ( a,1),(b11)1(a,2),(b,2),(a,3), (b,3).10.設(shè)R是交換環(huán)，那么主理想(a)= Rarama |rR,m Z.11.設(shè)1(54 31),貝U(1345 ).12 .設(shè)F是9階有限域，貝U F的特征是3丨.13.設(shè)1(351), 2

12、(2154)是兩個(gè)循環(huán)置換,那么2 1134214 .設(shè)F是125階有限整環(huán)，那么F的特征是5丨.15.設(shè)集合A含有3個(gè)兀素，那么A A的兀素共有9丨個(gè).16.設(shè)群G的階是2n,子群H是G的正規(guī)子群，其階是 n,那么G關(guān)于H的商群所含元素的個(gè)數(shù)是21 1 117. 設(shè)a、b是群G的兩個(gè)元，那么 (ab) = ba.18. 環(huán) Z10 的可逆元是1,3,7,9.19. 歐式環(huán)與主理想環(huán)的關(guān)系是主理想環(huán)不一定是歐式環(huán)，20如果f是A與A間的一一映射，a是A的一個(gè)元，貝y f21.設(shè)群G中元素a的階為m，如果ane ,那么22 設(shè) (31425)是一個(gè)5-循環(huán)置換，那么123有限群G的階是素?cái)?shù)p,那

13、么G是 循環(huán) 24.假設(shè)丨是有單位元的環(huán)有限和Xja% |Xj,yji群(乙2 ,)的子群有 由凱萊定理，任一個(gè)抽象群R的由a生成的主理想,R丨。但歐式環(huán)1 f a-定是主理想環(huán)(a)。m與n存在整除關(guān)系為m整除n。(52413).。丨群。那么I中的元素可以表達(dá)為25.26.27.28.6 丨個(gè)。G都同一個(gè)29.設(shè)A、B分別是m、n個(gè)元組成的集合，那么 設(shè)A=a,b,c，那么可定義 A的 5M= a,c, b確定的等價(jià)關(guān)系是設(shè)G是6階循環(huán)群，那么 G的生成元有群G的變換群同構(gòu)。|A B|= mn個(gè)不同的等價(jià)關(guān)系。A的分類R ( a,a), (b,b), (c,c),(a,c),(c,a)丨。2

14、丨個(gè)。30.非零復(fù)數(shù)乘群C*中由-i生成的子群是i, i,1, 1。31.32.剩余類環(huán)Z7的零因子個(gè)數(shù)等于0素?cái)?shù)階有限群G的子群個(gè)數(shù)等于2丨。33.剩余類環(huán)Z6的子環(huán)S= 0 , 3 ,那么S的單位元是3。34.35.36.37.群 :G G , e是G的單位元，貝U (e)是G的單位元 復(fù)數(shù)域的特征是0 丨.在剩余類環(huán)(Z12, ,?)中，6?7=6在3-次對稱群S3中，元素(123)的階為：丨.3。38.設(shè)Z和Zm分別表示整數(shù)環(huán)和模m剩余類環(huán)，同態(tài)f : Z Zm, n n的同態(tài)核為mZ mr | r Z39.3 2在有理數(shù)域上的極小多項(xiàng)式為40.無限循環(huán)群一定和整數(shù)加群(Z,同構(gòu).三、

15、判斷題(判斷以下說法是否正確，正確的請打“V，錯(cuò)誤的請打“ ，每題3分)1.設(shè)G是群，那么群G的任意兩個(gè)子群的并仍是群G的子群。2.群的有限子集非空構(gòu)成子群，當(dāng)且僅當(dāng)該非空子集的任何兩個(gè)元素在G的運(yùn)算之下，仍在該非空子集之中。3.設(shè)G是非零實(shí)數(shù)在數(shù)的乘法運(yùn)算之下構(gòu)成的群。f:G 是個(gè)映射，且f(x) =7x, x G.那么f是G到G的同態(tài)映射。4. 一個(gè)環(huán)如果有單位元，那么它的子環(huán)也一定有單位元。5.設(shè)G是群，那么群G的任意兩個(gè)正規(guī)子群的交仍是群G的正規(guī)子群。V6.設(shè)G是n階有限循環(huán)群，那么G同構(gòu)于模n剩余類加群Zn。V7.設(shè)：G G是群同態(tài)，那么 將G的單位元不一定映射為 G的單位元。9.

16、域的特征可以為任何自然數(shù)10.群的任何兩個(gè)正規(guī)子群的乘積仍然是正規(guī)子群11.4次交錯(cuò)群A 4在4次對稱群S4中的指數(shù)為4.12.復(fù)數(shù)域是實(shí)數(shù)域的單代數(shù)擴(kuò)張。13. 除環(huán)一定是域.14.3-次對稱群S3的中心是(1).15.整數(shù)環(huán)的商域是有理數(shù)域16.無限循環(huán)群和整數(shù)加群同構(gòu)17.2多項(xiàng)式x 3在有理數(shù)域上可約。18.在特征為p的域F中始終有(a b)p apbp,a,b F.19.高斯整數(shù)環(huán)Zi是唯一分解環(huán).20.有限集合到有限集合的單射不一定是滿射。21.有限群的任何子群的階一定整除這個(gè)群的階。22.設(shè)：G1G2是群G1到群G2的同態(tài),那么同態(tài)核Ker()是G1的正規(guī)子群. V 23.素?cái)?shù)階

17、群不一定是循環(huán)群。24.設(shè)(Z, ,?)為整數(shù)環(huán)，p為素?cái)?shù)，那么(pZ, ,?)是(Z, ,?)的極大理想。V 四、證明題1. 設(shè)Q為有理數(shù)域，設(shè)T a b.2|a,b Q,那么T按數(shù)的乘法和加法構(gòu)成一個(gè)域.6分證明： T非空，且T是實(shí)數(shù)域的一個(gè)子集。T關(guān)于數(shù)的加法、乘法封閉是顯然的，而且 0 a bJ2 T, (a bJ2) 1 T,這樣我們就得T關(guān)于加法、乘法構(gòu)成實(shí)數(shù)域的一個(gè)子域.,因此T按數(shù)的乘法 和加法構(gòu)成一個(gè)域.。2. 設(shè)E是F的擴(kuò)域，且E : F=1，那么E=F. 6分證明：用反證法：假設(shè)E F ,貝V存在x E, x F ,這樣(E : F )2 ,矛盾！3. 證明：交換群的商群

18、是交換群 .8分證明：設(shè)G為交換群，且H G，那么G H G關(guān)于正規(guī)子群H的商群，且對任意aH ,bH G H ,有，(aH )(bH ) (ab)H (ba)H (bH )(aH )故G H是交換群.滿同態(tài)8分5.證明：構(gòu)造映射：f:AB,11, 11,i1, i1，那么容易驗(yàn)證f是(A,)到(B,)的同態(tài) 映射.a 0證明：設(shè)G=00 |a那么G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)成R22,丨的子半群.6分證明：對任意的a 00 0a 0 bG, 0 0 0ab故由子半群的判定知，G關(guān)于矩陣乘法構(gòu)R2 2,丨的子半群，得證6.設(shè)a是群G的任一元素，假設(shè)a的階|a|=2,求證:1a . 6 分證明：由題設(shè)我們知道

19、：a21e,對這個(gè)式子的兩邊同時(shí)乘以a得1e,(a 1a)a利用群G中逆元和單位元的性質(zhì)，即得,7.設(shè)£1 =1，G=1,證明:有如下的群同構(gòu):Z3 ,也G, ,這里 c 0=1,(T1 = £,b2=2。8 分證明：容易驗(yàn)證下述映射是雙射，且 保持運(yùn)算,即:Z3G, 01,1,2(ij)(i) (j), i,j Z3.由同構(gòu)映射的定義，即得Z3 ,也G, .8.設(shè)G是R2X2中所有可逆矩陣組成的集合，i.證明G關(guān)于矩陣的乘法成群。6分0 1(".-10的階是多少？ 4分1 1(iii).的階是多少？ 4分0 1(iv).證明G不是交換群.6分解：i注意到由線性代

20、數(shù)知識有：方陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的行列式不為零，而且兩個(gè)方陣的乘積的行列式等于它們行列式的乘積，由此 A ,B G,A 1 G,AB G,故G關(guān)于矩陣的乘法成群.(ii).注意到此時(shí)群G的單位元是，經(jīng)過簡單計(jì)算，我們可知-1的階是3.1(ii 01的階是1(iv).通過簡單計(jì)算，得故G是非交換群。解答題:1.設(shè)Q是有理數(shù)集,+是數(shù)的加法,+的所有不同的自同構(gòu)映射。8分解:映射.列出解:對任意-1定義fx : QA1, A2,Q, aax,對a Q,那么集合fx|xQ,但x0為(Q,)的所有自同構(gòu)A10，人0 -1，人，代G的乘法矩陣乘法運(yùn)算表。運(yùn)算表如下:AA2A3A4A5AA7A3.1寫出3 次

21、對稱群-iAA2A3AAAA7AAA2A3AAAAAAAA4A3AA5AA7AAA2AAA6A6AAAA2AAAA5A6A5AAA7A2A1A3A4AAA7AAA2A4A3AAa6A5A3A4A2AAAA5AAAA1A2S3的所有元素；4分2 求出S3中所有元素的階；6分3求出Ss中所有元素的逆元.6分解:(1 )S3的全部元素為:2各元素的階為:2I2,13丨I 53,11.5的逆元分別為:4 找出乙2中的所有零因子.6分解：2,3,4,6,8,9,10為所有的零因子.5. 在有理數(shù)域的擴(kuò)域 Q V2中，求1 + 3 2的逆。10分解: 由于 行2在Q上的最小多項(xiàng)式是p(x)= X3-2，因此由定理 ，得到Q(V2) a。&勺'2 a22'4|ao,&,a2Q由于1+3 2在Q(3 2)的逆元仍然是Q(3 2)中的元素