力學(xué)-chapter-1

1、1力 學(xué)2矢量（vector）及其運(yùn)算：1、加法：平行四邊形法則交換律ABBA 結(jié)合律CBACBA )()(2、數(shù)乘：矢量乘標(biāo)量結(jié)果仍為矢量結(jié)合律AA)()( 分配律AAABABA )()(矢量：有大小、方向，并有下述運(yùn)算規(guī)則3交換律ABBA 分配律CABACBA )(3、標(biāo)量積：,cos ABBA 4、矢量積：BA ABzyxzyxBBBAAAzyxBA xyyxzxxzyzzyBABAzBABAyBABAx )0(sin ABBAAAA 24CABACBA )(0 AAABBA 不交換！BA AB【思考】下列運(yùn)算“合法”嗎？DCBAln,1 )()()(BACCABCBA 一個(gè)要用到的公式

2、：（驗(yàn)證上式的分量式成立即可）5本次課內(nèi)容力學(xué)基礎(chǔ) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本問題質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)基本問題6 物體大小和形狀的變化對(duì)其運(yùn)動(dòng)物體大小和形狀的變化對(duì)其運(yùn)動(dòng)的影響可忽略時(shí)的理想模型的影響可忽略時(shí)的理想模型一參考系質(zhì)點(diǎn)一參考系質(zhì)點(diǎn) 為描述物體運(yùn)動(dòng)而選的標(biāo)準(zhǔn)物為描述物體運(yùn)動(dòng)而選的標(biāo)準(zhǔn)物1 1參考系參考系2質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 物體能否抽象為質(zhì)點(diǎn)，視具體情況而定物體能否抽象為質(zhì)點(diǎn)，視具體情況而定地地日平均間距：日平均間距： 1.5 108 km地球半徑：地球半徑： 6.37 103 km太陽太陽地球地球7二二 位置矢量運(yùn)動(dòng)方程位移位置矢量運(yùn)動(dòng)方程位移kj yi xrz 1位置矢量位置矢量r

3、r*Pxyzxzyo方向：方向：，rxcosrzcos，rycos222zyxr大?。捍笮。?ktjtyitxtr)()()()(z )(txx )(tyy )(tzz 分量式分量式 從上式中消從上式中消去參數(shù)去參數(shù) 得質(zhì)點(diǎn)得質(zhì)點(diǎn)的的軌跡方程軌跡方程txzyo)(tr)(tx)(ty)(tz2運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程P9ABrrr 3位移位移rjyyixxABAB)()(平面平面運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng):三維三維運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng):kjyyixxrABABAB)()()(zz ，jyixrAAA ，jyixrBBBxyBBrArAroABxx AByy AxBx104 路程路程( ( ) )s),(1111zyxP),(222

4、2zyxP)(1tr1P)(2tr2PxyOz從從P1到到P2：路程路程21PPs s s( (3) ) 位移是位移是矢量，矢量，路程是路程是標(biāo)量標(biāo)量位移與路程的區(qū)別位移與路程的區(qū)別( (1) ) 兩點(diǎn)間位移是唯兩點(diǎn)間位移是唯一的一的r( (2) ) 一般情況一般情況 sr111r1P2r2PrxyOzr注意注意kj yi xrz 212121z yx222222z yxr222zyxr的意義不同的意義不同rrr， ，12三速度三速度1 平均速度平均速度)()(trttrr 在在 時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)位移為位移為tr)(ttrB)(trAxysoj yi xtrvjtyitxjiyxvv1

5、32瞬時(shí)速度（簡(jiǎn)稱瞬時(shí)速度（簡(jiǎn)稱速度速度）trtrtddlim0vjtyitxddddvjiyxvv若質(zhì)點(diǎn)在若質(zhì)點(diǎn)在三維三維空間中運(yùn)動(dòng)，其速度空間中運(yùn)動(dòng)，其速度kjiyxzvvvvxyovyvxv14當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,0ttddets v速度速度方向方向 切線向前切線向前ddstv速度速度大小大小srdd速度速度 的值的值 速率速率v15 一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬一運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)位于位矢時(shí)位于位矢 的的端點(diǎn)處，其速度大小為端點(diǎn)處，其速度大小為),(yxrtrdd（A）（B）trdd22)dd()dd(tytx（C）（D）討論討論注意注意trdd)(trxyotrtrddddyx16（1）求求 時(shí)的速度

6、時(shí)的速度（2）作出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖作出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡圖 例例1 1 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為設(shè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 ( )( )( ) ,r tx t iy t j3st 其中其中，0 . 225. 0)(2 tty 0 . 20 . 1)(， ttx式中式中x，y的單位為的單位為m( (米米) )，t 的單位為的單位為s( (秒秒) )，17速度速度 的值的值 ，它與，它與 軸之間的夾角軸之間的夾角1sm8 . 1v解解 ( (1) ) 由題意可得由題意可得時(shí)速度為時(shí)速度為vxo3 .560 . 15 . 1arctanttytxyx5 . 0dd0 . 1dd vv，ji5 . 10 . 1vs3t

7、已知：已知：，0 . 225. 0)(2 tty 0 . 20 . 1)(， ttx18（2）運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程/mx/my0軌跡圖軌跡圖246- 6- 4- 22460ts2ts2ts4ts4t消去參數(shù)消去參數(shù) 可得軌跡方程為可得軌跡方程為t0 .325.02 xxy，0 . 225. 0)(2 tty 0 . 20 . 1)(， ttx19xyoABlv 例例2如圖如圖A、B 兩物體由一長為兩物體由一長為 的的剛性細(xì)桿相連，剛性細(xì)桿相連，A、B 兩物體可在光滑軌道兩物體可在光滑軌道上滑行如物體上滑行如物體 A以以恒定的速率恒定的速率 向左滑向左滑行行, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 物物lv60體體B的速率

8、為多少？的速率為多少？20 解解iitxixAvvvddjtyjyBdd vv222lyx兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得0dd2dd2tyytxxxyoABlv因因選如圖的坐標(biāo)軸選如圖的坐標(biāo)軸21即即txyxtyddddjtxyxBddvjBtanvv vtxddxyoABlv 沿沿 軸正向軸正向Bvy當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，o60，vv73. 1B221 平均加速度平均加速度BvBv與與 同方向同方向vaxyOatv四四 加速度加速度AvAAvBv 在在 時(shí)間內(nèi)，質(zhì)時(shí)間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)速度增量為點(diǎn)速度增量為tABvvv230dlimdtatt vvktjtitazyxddddddvvv 2 ( (瞬時(shí)瞬時(shí)) )加速度加

9、速度xyzaa ia ja k22ddtr24加速度加速度大小大小222zyxaaaaa加速度加速度方向方向曲線運(yùn)動(dòng)曲線運(yùn)動(dòng) 指向凹側(cè)指向凹側(cè)直線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)v/a2v1v1a2a注意：注意：物理量物理量 的共同特征是都具有的共同特征是都具有矢量性矢量性和和相對(duì)性相對(duì)性a，v，r，r25 例例3有一個(gè)球體在某液體中豎有一個(gè)球體在某液體中豎直下落直下落, 其初速度其初速度 ，它在，它在液體中的加速度為液體中的加速度為 ，問：，問：( (1) )經(jīng)過多少時(shí)間后可以認(rèn)為小球已經(jīng)過多少時(shí)間后可以認(rèn)為小球已停止運(yùn)動(dòng)；停止運(yùn)動(dòng)； ( (2) )此球體在停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)歷的路程此球體在停止運(yùn)動(dòng)前經(jīng)歷的路程有多長

10、？有多長？0vyoj100 vjav0 . 126t0dd0tvvvvttyedd0vvtyttyded000v解解vtv0 . 1dda0vyote0vv解得：解得：）（tye110解得：解得：27O/my/st10-1/m s v0vO/st，t0 . 10e vv）（ty0 . 1e110 v0/10v0/100v0001/0v00010/0vm/ys/ tm10, 0 s,2 . 9ytv28)(ta)(tr( ) tv求導(dǎo)求導(dǎo)求導(dǎo)求導(dǎo)積分積分積分積分 1由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可以求得質(zhì)點(diǎn)在由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程可以求得質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的位矢、速度和加速度；任一時(shí)刻的位矢、速度和加速度； 2已知質(zhì)點(diǎn)

11、的加速度以及初始速度和已知質(zhì)點(diǎn)的加速度以及初始速度和初始位置初始位置, 可求質(zhì)點(diǎn)速度及其運(yùn)動(dòng)方程可求質(zhì)點(diǎn)速度及其運(yùn)動(dòng)方程說明說明 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)兩類基本問題質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)兩類基本問題29 解題思路解題思路1.1.運(yùn)動(dòng)學(xué)的第一類問題，用微分法。運(yùn)動(dòng)學(xué)的第一類問題，用微分法。要注意描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)物理量的矢量表示方法，分要注意描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)物理量的矢量表示方法，分清清| |與與r，| |與與v。 用求導(dǎo)數(shù)的方法求出速度和加速度。用求導(dǎo)數(shù)的方法求出速度和加速度。根據(jù)已知條件在選定的坐標(biāo)系中寫出運(yùn)動(dòng)方程。根據(jù)已知條件在選定的坐標(biāo)系中寫出運(yùn)動(dòng)方程。2.2.運(yùn)動(dòng)學(xué)的第二類問題，用積分法。運(yùn)動(dòng)學(xué)的第二類問題，

12、用積分法。已知已知及初始條件用積分的方法求出速度和運(yùn)動(dòng)方程。及初始條件用積分的方法求出速度和運(yùn)動(dòng)方程?；蚧蚧蚧騰r)(taa )(xaa )(vaa 30在離水面高為在離水面高為h 的岸邊，有人用繩子拉小船靠岸，人以不的岸邊，有人用繩子拉小船靠岸，人以不變的速率變的速率u 收繩。收繩。例例 求求當(dāng)船在離岸距離為當(dāng)船在離岸距離為x時(shí)的速度和加速度。時(shí)的速度和加速度。 任意時(shí)刻船的位矢任意時(shí)刻船的位矢解解設(shè)船靠岸的速度為設(shè)船靠岸的速度為 huCCxrhxyrOxj hi xriitxjthitxtrxvvdd ddddddv31任意時(shí)刻小船到岸邊的距離任意時(shí)刻小船到岸邊的距離x 都滿足都滿足按題意

13、按題意 是人收繩的速率，因?yàn)槔K長是人收繩的速率，因?yàn)槔K長r 隨時(shí)間在縮短，隨時(shí)間在縮短，故故則有則有 （船速方向沿（船速方向沿x 軸負(fù)向）軸負(fù)向）trhrrhrttxxdddddd2222v22hrxuxhxuhrrx2222vi uxhx22v0ddtrtrudd32船靠岸的速率為船靠岸的速率為船的加速度為船的加速度為 即即( (船的加速度方向沿船的加速度方向沿x 軸負(fù)向軸負(fù)向) )uuhxxucos22vvittaxddddvvtxhxxhuuxhxttaxxdd)(dddd222222v322xhuixhuiaax32233 運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題解法總結(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)第二類問題解法總結(jié) 初始條件：初

14、始條件： 1.1.勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng) a常量常量 taddv00, 0vv xxttaddv)()(00ttatvvttxd)(dv20000)(21)(ttattxxvxaddvv)(20202xxavv342.2.加速度是時(shí)間函數(shù)加速度是時(shí)間函數(shù)ttad)(dv3.3.加速度是坐標(biāo)函數(shù)加速度是坐標(biāo)函數(shù)ttxd)(dv)(taa ttad)(dvttxd)(dvttttat0d)()(0vvttttxtx0d)()(0v)(xaa xxad)(dvvtxxd)(dvxxxxax0d)(2)(202vvxxxxtt0)(d0v354.4.加速度是速度函數(shù)加速度是速度函數(shù)欲求速度與時(shí)間

15、關(guān)系欲求速度與時(shí)間關(guān)系欲求欲求速度與距離關(guān)系速度與距離關(guān)系)(vaa tad)(dvvttxd)(dvvvvv0)(d0attttttxx0d)(0vxad)(dvvvvvvvv0)(d0axxtxxd)(dvxxxtt0)(d0vv361.4 圓周運(yùn)動(dòng)37一一 自然坐標(biāo)自然坐標(biāo)質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)且軌跡已知時(shí)，用自然坐標(biāo)描述。質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)且軌跡已知時(shí)，用自然坐標(biāo)描述。自然坐標(biāo)中自然坐標(biāo)中 ， 不是恒矢量不是恒矢量, ,其方向隨質(zhì)點(diǎn)在軌跡上的其方向隨質(zhì)點(diǎn)在軌跡上的位置而變化。位置而變化。)(tss netenetesPteneoteneP38二二 圓周運(yùn)動(dòng)的角速度圓周運(yùn)動(dòng)的角速度角坐標(biāo)角坐標(biāo))(t

16、角位移角位移角速度角速度tttddlim0 xyorAB單位：?jiǎn)挝唬簉ads-1自然坐標(biāo)中的速度：自然坐標(biāo)中的速度：tddetsv39 速率速率)()(trtvtttddereetsvv 速度速度trtsttlimlim00vxyorABte40ro三三 圓周運(yùn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度圓周運(yùn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度ttere vvteetddddttvvtaddvrtrtaddddtv質(zhì)點(diǎn)作質(zhì)點(diǎn)作變速率圓周運(yùn)動(dòng)變速率圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí)1v1 te2v1v2te1 te角加速度角加速度2v2te 角加速度角加速度t ddA單位：?jiǎn)挝唬簉ads-2411 te2tetero1v1 te2v2te切向

17、單位矢量的時(shí)間變化率？切向單位矢量的時(shí)間變化率？nddet tetlimt0teddt法向單位矢量法向單位矢量ntddeetavv法向法向加速度加速度切向切向加速度加速度neA42ntddeetavv切向加速度切向加速度( (速度速度大小變化大小變化) )tttdderetav法向加速度法向加速度( (速度速度方向變化方向變化) )n2n2nnddereretavvro1v1 te2v2tev1v2vtvnvntvvv注：注：neA43 一般一般圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)加速度加速度2n2taaa大小大小ntaaatn1tanaa方向方向vtenexyon2tereraatanaA 推廣推廣- - -

18、一般曲線一般曲線運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)加速度加速度44 線量和角量的關(guān)系線量和角量的關(guān)系A(chǔ)BRdsddRs RtRtsddddvd 22nRRavRtRtaddddtvxyo451勻速率圓周運(yùn)動(dòng)勻速率圓周運(yùn)動(dòng)四四 勻速率圓周運(yùn)動(dòng)和勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)勻速率圓周運(yùn)動(dòng)和勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)t02nt0raa ，n2nnereaa常量，常量，如如 時(shí)時(shí),0t0故故，t dd由由有有，t dd可得：可得：462勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)tdd常量，常量，tdd如如 時(shí)時(shí),0t00 ，常量，常量，2ntrara，故故20021ttt0)(20202可得：可得：又又，t dd47與勻變速率與勻變速率直線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)類比類

19、比20021ttt0)(20202勻變速率勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)at0vv20021attssv)(00ssa222vv48oABAvBvr 例例 一殲擊機(jī)在高空一殲擊機(jī)在高空 點(diǎn)點(diǎn)A時(shí)的水平速率為時(shí)的水平速率為1 940 kmh-1 ,沿近似圓弧曲線俯沿近似圓弧曲線俯沖到點(diǎn)沖到點(diǎn)B，其速率為，其速率為2 192 kmh-1 , 經(jīng)歷時(shí)間為經(jīng)歷時(shí)間為3 s , 設(shè)設(shè) 的半徑約為的半徑約為 3.5 km , AB飛機(jī)從飛機(jī)從A到到B過程視為勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)，不過程視為勻變速率圓周運(yùn)動(dòng)，不計(jì)重力加速度的影響，求：計(jì)重力加速度的影響，求：( (1) ) 飛機(jī)在點(diǎn)飛機(jī)在點(diǎn)B的的加速度；加速度；( (

20、2) )飛機(jī)由點(diǎn)飛機(jī)由點(diǎn)A到點(diǎn)到點(diǎn)B所經(jīng)歷的路程所經(jīng)歷的路程.49解（解（1）tta0tddBAvvvtaABvv t1hkm9401Av1hkm1922Bvra2Bvn而而B點(diǎn)點(diǎn)m105 . 3s33rt，解得：解得：2n2tsm106sm3 .23aa，oABAvBvratana5022n2tsm109aaaont4 .12arctanaa（2）矢徑矢徑 所轉(zhuǎn)過的角度所轉(zhuǎn)過的角度r221ttAm7221212ttatrsAvoABAvBvratana51 解題思路解題思路1. 第一類問題：已知自然坐標(biāo)中運(yùn)動(dòng)方程第一類問題：已知自然坐標(biāo)中運(yùn)動(dòng)方程s(t)，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度、切向加

21、速度、法向加速度，用的速度、切向加速度、法向加速度，用求導(dǎo)法求導(dǎo)法。自然坐標(biāo)中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)問題也分為兩類問題。自然坐標(biāo)中質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)問題也分為兩類問題。2. 第二類問題：已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度或切向加速度及初始條第二類問題：已知質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度或切向加速度及初始條件，求運(yùn)動(dòng)方程，用件，求運(yùn)動(dòng)方程，用積分法積分法。3. 質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)可用質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)可用線量線量描述也可用描述也可用角量角量描述。描述。52一質(zhì)點(diǎn)作半徑為一質(zhì)點(diǎn)作半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，其速度隨時(shí)間變化的規(guī)律的圓周運(yùn)動(dòng)，其速度隨時(shí)間變化的規(guī)律為為 ，式中，式中v0、b均為正的常量。均為正的常量。t=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位時(shí)，質(zhì)點(diǎn)位于自然坐標(biāo)的原點(diǎn)。于自然

22、坐標(biāo)的原點(diǎn)。例例求求 (1) 自然坐標(biāo)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程；自然坐標(biāo)中質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程；(2) 當(dāng)加速度的大小為當(dāng)加速度的大小為b時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)了幾圈？時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動(dòng)了幾圈？ (1) 本題為自然坐標(biāo)中的第二類問題，根據(jù)速度的定義本題為自然坐標(biāo)中的第二類問題，根據(jù)速度的定義 解解分離變量分離變量 兩邊積分兩邊積分 bt0vvbtts0ddvvtbtsd)(d0 vtstbts000d)(dv2021bttsv53(2)根據(jù)加速度的定義根據(jù)加速度的定義 由由 解得解得 這時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為這時(shí)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行的圈數(shù)為 RbtRa22)(0nvvbtaddtv24022n2t)(Rbtbaaav4022)(1btbRRavbbtbRRa4022)(1vbt0vRsn2Rbbb2)(21)(2000vvvRb420v541.5 相對(duì)運(yùn)動(dòng)55一時(shí)間與空間一時(shí)間與空間在兩個(gè)作相對(duì)運(yùn)動(dòng)的參考系中，在兩個(gè)作相對(duì)運(yùn)動(dòng)的參考系中，時(shí)間時(shí)間的測(cè)量是絕對(duì)的，的測(cè)量是絕對(duì)的，空間空間的測(cè)量也是絕對(duì)的的測(cè)量也是絕對(duì)的, ,與參考系無關(guān)與參考系無關(guān)時(shí)間和長度的的絕對(duì)性時(shí)間和長度的的絕對(duì)性是經(jīng)典力學(xué)或是經(jīng)典力學(xué)或牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)牛頓力學(xué)的基礎(chǔ)56物體運(yùn)動(dòng)的軌跡依賴于觀察者所處的參考系物體運(yùn)動(dòng)的軌跡依賴于觀察者所處的參考系二二 相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)57*yyxxoo0tPP