高等數學北大二復合函數與隱函數的微分法PPT學習教案

1、會計學1高等數學北大二復合函數與隱函數的微高等數學北大二復合函數與隱函數的微分法分法uvxzy鏈式法則如圖示xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz復合函數的求導法則又形象地稱為鎖鏈法則或鏈規(guī)則。第1頁/共21頁vvzuuzz)()(22vu)(證為其相應的點，為給定的點，設),(),(vuyx，當其中0u(0),(vu）0v.上述關系對一切可能的增量 均成立，v 及u特別地對于由 引x起的偏增量),(),(yxyxxu),(),(yxyxxv也是成立的.的函數有是這種偏增量時，作為與當xvu0),x(0v0,u0).x(0v)u,(從而故處可微在點由于,),(),(vuvufz ),(yxu

2、即).,(yxv第2頁/共21頁),(),(vufvvuufz而),(),(),(),(yxyxfyxxyxxf.),(),(引起的偏增量由恰好是復合函數xyxyxf).(lim0如果存在因此，有xzxzx另一方面，由(6.4)式得,)()(22xvuxvvfxuufxz時，當0 x,xuxu.xvxv|)()(|22xvu).0(0)()(022xxvxu第3頁/共21頁),00)()(22xxvu（從而因此xvvzxuuzxz類似地yvvzyuuzyzuvxzy鏈式法則如圖示第4頁/共21頁例1 設,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解 xzveusin)cos()sin(yxyxy

3、eyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx第5頁/共21頁例2 設.,yzxz求.,ln),(22xyvyxuuvvufz其中解 xzxuuzxvvz2ln2xyuxuv),ln(222222yxxyyxyyzyuuzyvvzxuyuv1ln2).ln(1)(222222yxxyxxy第6頁/共21頁例3 設有連續(xù)的一階偏導數,且),(yxfz cosrx .sin,ry ，及求zrz并證明關系式22)()(yzxz222)(1)(zrrz解rxxzrzryyzxzcos,sinyzzxxzyyz

4、xzrsin.cosyzr22)1()(zrrzxz(cos2)sinyz第7頁/共21頁xzsin(2)cosyz.)()(22yzxz( , ),( ),( );zf u vuxvx 則稱之為全導數。.dzfdufdvdxu dxv dx（1） 中間變量是一元函數鏈規(guī)則也適用于下列情形:zvuxx（2） 中間變量是三個).,(),(, ),(yxwwyxvvyxuu, ),(wvufz 則第8頁/共21頁.ywwfyzyuufyvvfxzxuufxvvf,xwwfzwvuyx(3) 既有中間變量又有自變量, ),(yxufz ),(yxuu 則有), ),(yxyxufz ,xfxuufx

5、z.yfyuufyzzuxyxy注意:這里xzxf與不同,xz表示固定 y 對 x 求導,xf表示固定 u 對 x 求導第9頁/共21頁例4 設 ,sin xvuz.ddxzzxvuxxxzddxev.cos)sin(cosxxxexxuuzddxvvzddxz求全導數,xeu ,cosxv 解xusinxcos例5 設 f 具有一階連續(xù)偏導數,而, ),(wyxfz ,2yxw .,yzxz求解xzxwwfxf,2xywfxfywwfyfyz.2xwfyf第10頁/共21頁為簡便起見 , 引入記號,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例6 設 f 具有二階連續(xù)偏導數, ),(zyx

6、zyxfw求.,2zxwxw解 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy則zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff第11頁/共21頁例6,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2第12頁/共21頁

7、設函數, ),(vuxfz , ),(uyxv),(yxgu 均可微, 求,xz.yzzxuvxyxyuxyggxz uf xgvfxxgu xf 例解第13頁/共21頁設函數, ),(vuxfz , ),(uyxv),(yxgu 均可微, 求,xz.yzzxuvxyxyuxyggyz uf ygvfyygu 例解第14頁/共21頁2. 一階全微分形式的不變性定理2 設函數,zf u vuu x yvv x y 都有連續(xù)的偏導數, 則復合函數在點 處的全微分仍可表示為,zf u x yv x y00,xy.uvdzf duf dv證都有因為函數),(),(),(yxvvyxuuvufz都有連續(xù)

8、的偏導數，),(),(yxvyxufz 則復合函數的全微分為,dyyzdxxzdz第15頁/共21頁dyyvvzyuuzdxxvvzxuuzdzdyyvfyufdxxvfxufvuvudyyvdxxvfdyyudxxufvu.dvfdufvu 由此可見，無論z是自變量u,v的函數或中間變量u,v的函數，它的全微分形式是一樣的，這個性質叫做全微分形式不變性.第16頁/共21頁由一階全微分形式的不變性, 有;d uvdudvd cucdu c 為常數2;uvduudvd uvvduudvdvv .df ufu du (*)式證 (*)dyyuvdxxuvuvd)()()(dxxvuxuv)(dyy

9、vuyuv)()(dyyudxxuv)(dyyvdxxvu.udvvdu第17頁/共21頁例 6.,)sin(22dueyxuxz求設解)()()cos(2222xzdeyxdyxduxz)22)(cos(22ydyxdxyx)(xdzzdxexzdxzeyxxxz)cos(222.)cos(222dzxedyyxyxz第18頁/共21頁3. 高階微分,xydffx y dxfx y dy,xyxyd dffx y dxfx y dy dxxfx y dxfx y dy dyy 22,.xxyxxyyyfx y dxfx y dydxfx y dxdyfx y dy 如果混合偏導數連續(xù), 則 , 于是有:xyyxff222,2,.xxxyyyd ffx y dxfx y dxdyfx y dy的一階微分函數),(yxf第19頁/共21頁222,2,.xxxyyyd ffx y dxfx y dxdyfx y dy即22.d fdxdyfx