北京市高考文科數(shù)學(xué)樣題及解析

1、北京市2010年高考文科數(shù)學(xué)參考樣題安徽省靈璧師范 陳偉 樣題選自高考數(shù)學(xué)北京卷和“北京市新課程高考形式與內(nèi)容改革試題”一、選擇題：在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.【試題1】(2006年文史類第1題)設(shè)集合，則等于( )A. B. C. D.【答案】A【說明】本題主要考查集合、交集的概念，一元一次不等式的解法.本題難度為0.94【試題2】(2003年文史類第1題)設(shè)，則A. B.C. D. 安徽省靈璧師范 陳偉【答案】D【說明】本題考查指數(shù)函數(shù)的概念、指數(shù)的運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.把、都化成以2為底的指數(shù)冪，得，.由函數(shù)在上是增函數(shù)，且，得.本題難度為0.61 安徽省靈璧師范

2、 陳偉【試題3】(2007年文史類第3題)函數(shù)的最小正周期是（） 【答案】B【說明】本題考查三角函數(shù)的周期性能及和角與差角公式.因為，所以的最小正周期為.本題難度為0.83【試題4】(2006年文史類第2題)函數(shù)的圖象A.關(guān)于軸對稱B.關(guān)于軸對稱 C.關(guān)于原點對稱D.關(guān)于直線對稱【答案】B【說明】本題考查余弦函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的奇偶性及其圖像的對稱性.本題難度為0.72【試題5】(2004年文史類第3題)設(shè)、是兩條不同的直線，、是三個不同平面.給出下列四個命題：若，則；若，則；若，則；若，則.其中正確命題的序號是A. B. C. D.【答案】A【說明】本題主要考查空間中直線與直線、直線與平面、平

3、面與平面的平行、垂直關(guān)系，并考查把符合語言、文字語言、圖形語言進(jìn)行轉(zhuǎn)換的能力，以及空間想象能力.本題難度0.71【試題6】(2005年文史類第4題)若，且，則向量與的夾角為A. B. C. D.【答案】C【說明】本題考查向量、向量的模及向量的夾角等概念，考查向量的運(yùn)算以及向量垂直的條件.由兩向量的夾角公式和已知條件知，這里只需求得的值即可.由，得，再由已知求得，得.本題難度為0.49【試題7】(由2005年文史類第5題改編)從原點向圓作兩條切線，則這兩條切線所成銳角的大小為 【答案】C【說明】本題主要考查圓的方程、圓的切線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法.把圓的方程化為，可知該圓圓心坐標(biāo)為，半徑

4、為3.依題意作出圖形(如圖)，即可求.在中，由于，故.【試題8】(2008年測試一第7題)甲、乙兩名射擊運(yùn)動員在某次測試中各射擊20次，兩人的測試成績?nèi)缦卤恚?、分別表示甲、乙兩名運(yùn)動員這次測試成績的標(biāo)準(zhǔn)差，、分別表示甲、乙兩名運(yùn)動員這次測試成績的平均數(shù)，則有A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】B【說明】本題主要考查平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的概念.由甲、乙成績分布的對稱性可得，再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差是刻畫成績的分散與集中程度的量得到.本題難度為0.78安徽省靈璧師范 陳偉【試題9】(2008年測試題改編)當(dāng)如圖所示的程序框圖輸出的結(jié)果為6時，處理框中處的數(shù)應(yīng)該是A. B. C. D.【答案】C【說明】本題考

5、查算法的基本邏輯結(jié)構(gòu)中的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu).由，得.安徽省靈璧師范 陳偉【試題10】(2009年測試題改編)一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是A. B. C. D.【答案】D【說明】本題主要考查簡單組合體的三視圖及其體積.由幾何體的三視圖可知該組合體是由一個正方體和一個四棱錐組合而成，于是該幾何體的體積為.【試題11】(2006年文史類第5題)已知是上的增函數(shù)，那么的取值范圍是A.B.C. D. 安徽省靈璧師范 陳偉【答案】D【說明】本題以分段函數(shù)為載體，考查函數(shù)單調(diào)性的概念以及一次函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì).函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)的條件是.函數(shù)在內(nèi)為減函數(shù)的條件是.要使是上的增函數(shù)，

6、還應(yīng)有.由上可解得.本題難度為0.68【試題12】(2006年文史類第8題)圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進(jìn)出路口、的機(jī)動車輛數(shù)如圖所示，圖中、分別表示該時段單位時間通過路段、的機(jī)動車輛數(shù)（假設(shè)：單位時間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則A. B.C. D. 安徽省靈璧師范 陳偉【答案】C【說明】本題是一道以環(huán)島交通流量為背景的應(yīng)用題，主要考查方程的思想和不等式的性質(zhì)，對閱讀理解能力以及在新穎的情境中選擇和建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型的能力等都有一定要求.依題意，可有，于是可得.本題難度為0.47【試題13】(2009年文史類第8題)設(shè)是正及其內(nèi)部的點構(gòu)成

7、的集合，點是的中心，若集合，則集合表示的平面區(qū)域是A三角形區(qū)域B四邊形區(qū)域 C五邊形區(qū)域D六邊形區(qū)域【答案】D【說明】本題主要考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識選擇有效的方法和手段對新穎的信息、情境和設(shè)問進(jìn)行獨立的思考與探究，創(chuàng)造性地解決問題的能力.如圖，作線段的中垂線，則在直線的下方(包括線上)的點滿足.同樣，作、的中垂線，得到集合表示的平面區(qū)域是如圖的六邊形區(qū)域. 安徽省靈璧師范 陳偉本題難度為0.32安徽省靈璧師范 陳偉二、填空題：把答案填在題中橫線上. 安徽省靈璧師范 陳偉【試題14】(2008年測試題改編)口袋中有形狀大小都相同的4只小球，其中有2只紅球2只黃球，從中依次不

8、放回地隨機(jī)摸出2只球，那么2只都是黃球的概率為 ；2只球顏色不同的概率為 【答案】 【說明】本題主要考查隨機(jī)事件的概率及性質(zhì)，考查古典概型的概率求解方法.由于基本事件的總數(shù)為12，2只都是黃球的事件包含的基本事件的個數(shù)為2，2只球顏色不同的事件包含的基本事件的個數(shù)為8，因此2只都是黃球的概率為；2只球顏色不同的概率為 【試題15】(2006年文史類第13題)在中，、的對邊分別為、，若，則 ，的大小是 【答案】 【說明】本題主要考查正弦定理、余弦定理.由正弦定理得，由余弦定理得，所以.本題難度為0.66【試題16】(2004年文史類第14題)定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項

9、的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列，且，公和為5，那么的值為 ，這個數(shù)列的前項和的值為 【答案】3 52【說明】本題主要考查數(shù)列的基本概念，考查綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識選擇有效的方法和手段對新穎的信息、情境和設(shè)問進(jìn)行獨立的思考與探究，創(chuàng)造性地解決問題的能力.只要能夠理解“等和數(shù)列”的概念，即可依題意得出已知的等和數(shù)列為2，3，2，3，2，3，于是可得答案.本題難度為0.74【試題17】(2008年測試一第9題)在區(qū)間上隨機(jī)取一實數(shù)，則該實數(shù)在區(qū)間上的概率為 【答案】【說明】本題主要考查幾何概型的概率計算.由于試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度為9，

10、構(gòu)成該事件的區(qū)域長度為3，所以概率為.本題難度為0.54【試題18】(2008年文史類第13題)如圖，函數(shù)的圖象是折線段，其中的坐標(biāo)分別為，則 ；函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù) 【答案】【說明】本題主要考查函數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)的幾何意義.根據(jù)函數(shù)的圖像可知，因此.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知為函數(shù)的圖像在處的切線斜率 直線的斜率，所以.本題難度為0.59【試題19】(2006年文史類第14題)已知點的坐標(biāo)滿足條件，點為坐標(biāo)原點，那么的最小值等于 ,最大值等于 【答案】 【說明】本題主要考查線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識.依題意，作出滿足約束條件的平面區(qū)域，為如圖所示的及其內(nèi)部，、，分別求、，并比較大小可得結(jié)論.本題難度為0.54【試

11、題20】(2007年文史類第13題)2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是我國以古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形（如圖）如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，那么的值等于 【答案】【說明】本題主要考查三角恒等變換、求值等基礎(chǔ)知識.設(shè)直角三角形的短邊長為，則由已知條件可得，解得，從而，.本題難度為0.46三、解答題：解答題應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程. 安徽省靈璧師范 陳偉【試題21】(2009年文史類第15題)已知函數(shù). 求的最小正周期；求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（），函數(shù)的最小正

12、周期為.（）由，在區(qū)間上的最大值為1，最小值為.【說明】本題主要考查三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)，考查誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式、函數(shù)的周期及最大值為最小值.本題難度為0.65【試題22】(2006年文史類第16題)如圖，在三棱柱中， 底面，是的中點.求證：；求證：平面.【答案】(1)三棱柱底面三邊長，.又底面，.，平面，.(2)設(shè)與的交點為，連結(jié).是的中點，是的中點，.平面，平面，平面.【說明】本題主要考查直線與平面平行、垂直的位置關(guān)系，考查空間想象能力.【試題23】(由2008年工題改編)設(shè)和分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù).求且的概率；求函數(shù)的圖像與無交點的概率.【答案】(1)由于第一次拋擲骰子

13、的每一個結(jié)果都可以與第二次拋擲骰子的任意個結(jié)果配對，組成先后拋擲一枚骰子的一個結(jié)果，因此先后拋擲一枚骰子的結(jié)果共有36種.且的結(jié)果有，其中第一個數(shù)表示第一次拋擲骰子的結(jié)果，第二個數(shù)表示第二次拋擲骰子的結(jié)果.因此且的概率.(2) 函數(shù)的圖像與無交點，即沒有實根，則，即.當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 當(dāng)時，； 函數(shù)的圖像與無交點的概率為.【說明】本題主要考查隨機(jī)事件的概率，考查分類討論的思想方法以及分析問題、解決問題的能力.【試題24】(2008年測試一第15題)某區(qū)高二年級的一次數(shù)學(xué)統(tǒng)考中，隨機(jī)抽取名同學(xué)的成績，數(shù)據(jù)如下：分組頻數(shù)頻率頻率/組距合計求出表中、，、的值； 根據(jù)上

14、表，請在下面給出的坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖；安徽省靈璧師范 陳偉若該區(qū)高二學(xué)生有5000人，試估計這次統(tǒng)考中該區(qū)高二學(xué)生分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù).【答案】(1)因為，所以.從而，.(2)頻率分布直方圖如下：(3)該區(qū)高二同學(xué)分?jǐn)?shù)在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)約為(人).【說明】本題主要考查用樣本估計總體，考查數(shù)據(jù)處理能力.本題難度為0.70【試題25】(2009年文史類第18題)設(shè)函數(shù).若曲線在點處與直線相切，求、的值；求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點. 安徽省靈璧師范 陳偉【答案】（）,曲線在點處與直線相切，即，.（）,當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時函數(shù)沒有極值點.當(dāng)時，由，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，

15、函數(shù)單調(diào)遞增，此時是的極大值點，是的極小值點.【說明】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系、函數(shù)極值點的概念與求法等基本內(nèi)容；考查運(yùn)算能力、分類討論的思想方法、分析問題和解決問題的能力.本題難度為0.37【試題26】(2008年文史類第19題)已知的頂點在橢圓上，在直線:上，且.安徽省靈璧師范 陳偉當(dāng)邊通過坐標(biāo)原點時，求的長及的面積；當(dāng)，且斜邊的長最大時，求所在直線的方程.【答案】因為，且邊通過點，所以所在直線的方程為.設(shè)、兩點坐標(biāo)分別為、.由得所以.又因為邊上的高等于原點到直線的距離，所以，.（）設(shè)所在直線的方程為. 由得因為、在橢圓上，所以設(shè)、兩點坐標(biāo)分別為、.則所以又因為的長等于點到直線的距離，即所以所以當(dāng)時，邊最長.（這時）此時所在直線的方程為.【說明】本題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算能力、分析問題的解決問題的能力.本題難度為0.19【試題27】(2009年文史類第20題)設(shè)數(shù)列的通項公式為.數(shù)列定義如下：對于正整數(shù)，是使得不等式成立的所有中的最小值.若，求；安徽省靈璧師范 陳偉若，求數(shù)列的前項和的公式；是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范圍；如果不存在，請說明理由.【答案】()由題意