深挖教材例習題,提升解題效率

1、挖教材深例習題提升解題效率-以一個課后習題結論的推廣和應用為例云南省下關第一中學671000 馬孟華教材例、習題具有典型性、示范性和深刻性，蘊含豐富的知識和內(nèi)涵，給師生留下廣闊的思維空間和探索空間.在新課標及數(shù)學核心素養(yǎng)的要求下，單純解決課后習題是不夠的， 只有在解讀教材，回歸教材中帶領學生深挖教材例習題，在一系列的知識聯(lián)動、整合、延伸、拓展的活動中，提升學生思維水平， 提高解題效率，促進學生數(shù)學能力的發(fā)展，才能最終達 到培養(yǎng)學生學科素養(yǎng)的目標 .下面以一個課后習題結論的推廣和應用為例，說明深挖教材例習題在提升解題效率上的作用.高中數(shù)學新課標教材中以習題的形式給出了這樣一個不等式的證明：已知

2、0 x 一，求證：sin x x tanx. 2該不等式采用三角函數(shù)的單位圓定義，利用三角函數(shù)線以及圖形(扇形、直角三角形) 的面積的大小關系即可證明.而在教學常規(guī)下帶領學生深挖該習題的結論，對該不等式結論的前部分 sinx x(0 x )進行推廣，就可以得到：sinx x(x 0).2證明如下：設函數(shù) f(x) sin x x (x 0),貝U f (x) cosx 1 0 ,所以f(x)在0,)上單調(diào)遞減，所以 f (x) f (0) 0 ,故有sin x x(x 0).該不等式推廣結論的重要意義在于：在特定解題環(huán)境下，通過將復雜函數(shù)中的三角函數(shù)部分(即sinx)放縮轉化為一次函數(shù)，使研究

3、對象轉化為較為簡單的函數(shù)模型，則問題就 會大大得到簡化.近年來，高考中以三角函數(shù)為背景的導數(shù)壓軸題屢見不鮮，如果能夠恰當?shù)厥褂胹inx x(x 0)等類型的不等式，將會快速解決高考中出現(xiàn)的一些不等式證明問題(即利用現(xiàn)成的結論不等式證明不等式問題).利用“不等式放縮”證明不等式是高考的重要考點，掌握以下結論不等式將會對高考有重要作用：(1) ln(1 x) x(x 1),其變形為：ln x x 1(x 0)；(2) exx 1(xR),其變形為：ex1 x(xR)；1 o1411(3) lnx -(x21)(x 2),其變形為：2 ()(x2);4lnx x2 1 x 1 x 1(4) sin

4、x x(x 0) ,下面就不等式sinx x(x 0)的應用舉例加以說明.例1 已知函數(shù)f (x) ex(x2 3ax 2a2 a),其中a為實數(shù).(I)函數(shù)f (x)在x 1處取得極大值，求 a的值;x5設函數(shù)g（x） e （sinx詞），證明：當a 0時，對任意的x 0,）f (x)g(x).原解(I)略;(n)F(x) f(x) g(x) ex(x2sinx 勺) 16x 0,).2H(x) x25sinx , x16H (x) 2xcosx令 h(x) 2xcosx, x 0,)，則 h (x)2 sin x0 ,所以 h(x)在0,)上是增函數(shù)，即H（x）在0,）上單調(diào)遞增.又因為H

5、 （0）1 , H (-) - - 0632所以存在唯一 x0（0,一）,使得6H (%) 2x0 cosx00 ,所以當0 x xo時，H(x) 0 , H (x)在(0, xO)上單調(diào)遞減.x x0 時,H (x) 0,所以 H (x)在(x°,）上單調(diào)遞增.所以當x0,)時，H (x)m.H(%)2x0sin x0516因為2%cosx。，所以 H(x)min H (%)12-cosx041.24sinx0sinx0sinx0516916因為x0(0,6)，則 sin x010,2小sin x0故有1t24t 2160,2所以0,即 H (x)min0,故 H(x)sinx5

6、八，0在0,）上恒成乂 .而 F(x)f (x) g(x)_ x 2e (x sin x所以F(x) 0,即對任意x 0,), f(x) g(x).分析 原解中第（n）問主要采用了 “部分函數(shù)法"和”函數(shù)零點設而不求"的導數(shù)求解技巧（這也是近年來函數(shù)導數(shù)綜合試題的考查熱點）次函數(shù)以及換元思想，是難度較大的一個導數(shù)題.,同時也綜合考查了三角函數(shù)、但如果采用不等式 sinx x（x 0）,即利用不等式放縮來證明，那么該不等式證明問題將會迎刃而解.新解如下:595巧斛 (n)要證 f(x) g(x)即證：ex e (sinx )x sinx '16162x sin x 0

7、16下證 x2 sin x 016，令 h(x)故 h(x)sin x516 (x0),因為 sinx x(x 0)(已證)，25x sinx16令 F (x) 16Lx2 x 3x160)因為F(x)的圖像開口向上，且其判別式，5c-1 4 0,故F(x) 0在x 0上恒成立.所以h(x) F (x) 0 ,即h(x) 0在x 0上恒成立.綜上 f(x) g(x).由此法可見，深挖教材習題結論，拓寬思維方向，將提升解題效率，達到事半功倍的效果。小結該題型所考查的內(nèi)容是今年來高考新課標導數(shù)大題的一個熱門考點，分別出現(xiàn)在2019年全國新課標1卷文理科(20題)、2019年天津卷理科(20題)、2

8、013年新課標 卷理科(II) (21題)、2012年新課標卷文科(21題)、2011年新課標卷文科(21題)中， 由于這類問題涉及到了由三角函數(shù)和指對哥函數(shù)構成的復雜函數(shù)問題，是學生乃至教師的思維痛點”，只是極少的學生能夠解決此類問題，也就沒有引起教師和學生的關注.而2019年全國新課標1卷中的文理科20題的再次出現(xiàn)提醒了我們應該關注此類問題.當然，此類問題沒有一個固定的系統(tǒng)思路去解決所有問題，故作者選取了利用“放縮”這一思想解決一部分三角函數(shù)與指對募函數(shù)的交匯問題.下面我們再來看一個例子.例 2 已知函數(shù) f (x) mx sin x , g (x) ax cosx 2sin x(a 0)

9、.(i)若函數(shù)y "*)是(，)上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)m的最小值；(n)若m 1,且對于任意的x 0, ,都有不等式f(x) g(x)成立，求實數(shù)a2的取值范圍.解 (I) 略；(n)由題意知 f (x) x sin x ,故有 x sinx axcosx 2sin x 對 x 0 ，2恒成立.即 ax cosx x sin x 對 x 0,一恒成立.2 一當x 0或x 一時，不等式恒成立，故此時 a 0 ；2x sin x 一、 x sin x -當 x 0,一時，有 a ,令 h(x) , x 0,一,則2x cosxx cosx2222h (x)xcosx xcos x xc

10、osx x sin x sin xcosx xsin x(xcosx)22 _2. 一 x x sin x sin xcosx；C2>(xcosx)x x sin x sin xcosx(xcosx)2因為x 0,- 時，有sinx x恒成立，故h (x)22.x x sin x xcosx x(1 cosx) x sin xC2(xcosx)(xcosx)x sin x故h(x)在0,- 上單調(diào)遞增，下面計算函數(shù)h(x)在x 0時的極限值x cos x 2由于 x。時，有 lim h(x) lim snx lim 1-cosx- 2 (洛必達法則)x 0 x 0 xcosx x 0 c

11、osx xsin x故a 2小結 本例中，在處理函數(shù) h(x)的導函數(shù)時，分子結構非常復雜，盡管利用“端點效應”可以看到函數(shù)會在0,- 上單調(diào)遞增，即h(x) 0在0,- 上恒成立，但如果通過反復求導h(x)去解決h(x) 0的問題是較為復雜和困難的.若本例中采用了不等式 sinx x2. 一 x x sin x sin xcosx一 、放縮，就可將 h (x) 2的分子放小為表達式 x(1 cosx)(xcosx)2.x2sinx，而 1 cosx 0在 0,-上恒成立，故 h(x) x(1 cosx) 1s1nx 0，這2(xcosx)樣就得出了函數(shù)h(x)在0,- 上單調(diào)遞增，進而問題就

12、轉化成了求解函數(shù)h(x)在x 02時的極限值問題.值得一提的是：高考導數(shù)壓軸題中求解參數(shù)取值范圍問題，往往采用參變x sin x分離法，而分離之后得到的新函數(shù)(如 h(x) )常常會在對應的區(qū)間上單調(diào)，此xcosx時問題就會轉化為求解新函數(shù)在端點處的函數(shù)值.而新函數(shù)常常在端點處無定義，將端點帶入函數(shù)后就會呈現(xiàn)“ 0”或“一”的不定式結構，故就要采用“洛必達法則”2來進行求0解，而該方法在解決高考中函數(shù)導數(shù)問題有著其特殊的重要意義我們一線教師如果能夠在平時的教學中積極將例、習題進行“深加工” “延伸拓展”，并進行創(chuàng)造性的推廣和改編，衍生出一些新的問題或結論，將會大大提高教師理解、使用教材的能力，提升教師課堂教學的有效性，最終在教學和學習上取得創(chuàng)造性的成果參考文獻1 江慧斌.深挖課本例習題后的反思J.數(shù)學學習與研究，2010 （06）:102 .2 董珍，施雅亭.利用洛必達法則求未定式極限的幾種技巧J.數(shù)學學習與研究，2015（ 19 ） :96-98.作者簡介 馬孟華（1986），男，大學本科畢