第5講函數(shù)的周期性和對稱性形影不離（解析版）

1、第5講 函數(shù)的周期性和對稱性形影不離【高考地位】函數(shù)的周期性和對稱性是函數(shù)的兩個基本性質(zhì)。在高中數(shù)學中，研究一個函數(shù)，首看定義域、值域，然后就要研究對稱性（中心對稱、軸對稱），并且在高考中也經(jīng)常考查函數(shù)的對稱性和周期性，以及它們之間的聯(lián)系。因此，我們應該掌握一些簡單常見的幾類函數(shù)的周期性與對稱性的基本方法。類型一 函數(shù)的周期性的判定及應用萬能模板內(nèi) 容使用場景幾類特殊函數(shù)類型解題模板第一步 合理利用已知函數(shù)關系并進行適當?shù)刈冃危坏诙?熟記常見結論，準確求出函數(shù)的周期性； （1）若函數(shù)滿足，則函數(shù)的周期為； （2）若函數(shù)滿足或或，則函數(shù) 的周期為；第三步 運用函數(shù)的周期性求解實際問題.例1 函

2、數(shù)定義域為，且對任意，都有，若在區(qū)間上 則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】第一步，準確求出函數(shù)的周期性：由，可知是周期為的函數(shù)，第二步，運用函數(shù)的周期性求解實際問題：令故，代入解析式，得，解得，從而，故，故選C.【點評】函數(shù)的周期性反映了函數(shù)在整個定義域上的性質(zhì)對函數(shù)周期性的考查，主要涉及函數(shù)周期性的判斷，利用函數(shù)周期性求值【變式演練1】【陜西省西安市2020-2021學年高三上學期第一次質(zhì)量檢測文科數(shù)學】已知定義域為R的函數(shù)滿足，且當時，則（）ABCD0【答案】C【分析】由得出函數(shù)的周期，所以代入解析式可得答案.【詳解】由滿足，所以函數(shù)的周期，且當時，所以.故選：C.【變式演

3、練2】已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（ ）ABCD【答案】B【分析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，則，可得，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，所以，所以，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因為函數(shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個選項未知.故選：B.【變式演練3】函數(shù)y=f(x)在0，2上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x+2)是偶函數(shù)，則下列結論成立的是( )A f(1)<f(52)<f(72) B f(72)<f(52)<f(1)C f(72)<f(1)<f(52) D f(52)<f(1)<f(72)【答案】C【解析】函數(shù)f(x+2)是偶函數(shù)，則其圖象關于y軸對稱，所以函數(shù)

4、y=f(x)的圖像關于x=2對稱，則f(52)=f(32)，f(72)=f(12)，函數(shù)y=f(x)在0,2上單調(diào)遞增，則有f(12)<f(1)<f(32)，所以f(72)<f(1)<f(52).選C.考點：抽象函數(shù)的周期性類型二 函數(shù)的對稱性問題萬能模板內(nèi) 容使用場景幾類特殊函數(shù)類型解題模板記住常見的幾種對稱結論：第一類 函數(shù)滿足時，函數(shù)的圖像關于直線對稱；第二類 函數(shù)滿足時，函數(shù)的圖像關于點對稱；第三類 函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關于直線對稱.例2 （多選）已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，且對有.當時，.則下列說法正確的是（ ）A的周期B的最大值為4CD為偶函數(shù)【來源】重慶

5、市南開中學2021屆高三下學期第八次質(zhì)量檢測數(shù)學試題【答案】ABD【分析】由函數(shù)的圖象關于直線對稱，得，又，所以，從而可得，進而根據(jù)周期性、對稱性、時的解析式即可求解.【詳解】解：函數(shù)的圖象關于直線對稱，函數(shù)的圖象關于直線對稱，對有，函數(shù)的圖象關于中心對稱，即，又，即，即，的周期，選項A正確；為偶函數(shù)，選項D正確；當時，當時，即，當時，又函數(shù)的圖象關于直線對稱，在一個周期上，在上的最大值為4，選項B正確；，選項C錯誤.故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：本題的解題關鍵是，根據(jù)的圖象關于直線對稱，及對有，推導出，進而得.例3 已知定義在上的函數(shù)的圖象關于點對稱, 且滿足,又,則（ ）A B C D

6、【答案】D【解析】試題分析：由得，又，的圖象關于點對稱，所以，由可得，故選D.考點：函數(shù)的周期性；函數(shù)的對稱性例4 已知為奇函數(shù)， 與圖像關于對稱，若，則（ ）A. 2 B. -2 C. 1 D. -1【答案】B【解析】為奇函數(shù)，故的圖象關于原點對稱，而函數(shù)的圖象可由圖象向左平移個單位，再保持縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的倍得到，故的圖象關于點對稱，又與圖象關于對稱，故函數(shù)的圖象關于點對稱， ，即，故點，關于點對稱，故，故選B.【點評】本題主要考查函數(shù)的奇偶性、函數(shù)圖象的平移變換、放縮變換以及函數(shù)的對稱性，屬于難題題.函數(shù)圖像的確定除了可以直接描點畫出外，還常常利用基本初等函數(shù)圖像經(jīng)過“平移變

7、換”“翻折變換”“對稱變換”“伸縮變換”得到，在變換過程中一定要注意變換順序.本題是利用函數(shù)的平移變換、放縮變換后根據(jù)對稱性解答的.【變式演練4】已知函數(shù)，現(xiàn)有下列四個命題：f(x)的最小正周期為；f(x)的圖象關于原點對稱；f(x)的圖象關于(，0)對稱；f(x)的圖象關于(，0)對稱.其中所有真命題的序號是（ ）ABCD【來源】山西省晉城市2021屆高三三模數(shù)學（理）試題【答案】C【分析】利用函數(shù)的對稱性和周期的判斷方法直接對選項進行逐一判斷即可得出答案.【詳解】因為與的最小正周期均為，所以f(x)的最小正周期是.因為，所以f(x)是奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱.因為，所以f(x)的圖象關于

8、(，0)對稱.因為，所以f(x)的圖象關于(，0)對稱.所以均正確故選：C【高考再現(xiàn)】1（2021·全國高考真題（理）設函數(shù)的定義域為R，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，若，則（ ）ABCD【答案】D【分析】通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進而利用定義或周期性結論，即可得到答案【解析】因為是奇函數(shù)，所以；因為是偶函數(shù)，所以令，由得：，由得：，因為，所以，令，由得：，所以思路一：從定義入手所以思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期所以故選：D【點睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時候，我們通?？梢越柚恍┒壗Y論，求出其周期性進而達到簡便計算的效果2（2021·

9、全國高考真題（理）設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ）ABCD【答案】B【分析】分別求出選項的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.【解析】由題意可得，對于A，不是奇函數(shù)；對于B，是奇函數(shù)；對于C，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù)；對于D，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù).故選：B【點睛】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學生對概念的理解，是一道容易題.3. 【2016高考新課標2理數(shù)】已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點為則（ ）（A）0 （B） （C） （D）【答案】C【解析】試題分析：由于，不妨設，與函數(shù)的交點為，故，故選C.考點： 函數(shù)圖象的性質(zhì)【名師點睛】如果函數(shù)，滿足，恒有，那么函數(shù)的圖象有

10、對稱軸；如果函數(shù)，滿足，恒有，那么函數(shù)的圖象有對稱中心.4. 【2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試理數(shù)（全國卷II）】已知f(x)是定義域為(-,+)的奇函數(shù),滿足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=（ ）A -50 B 0 C 2 D 50【答案】C【解析】因為f(x)是定義域為(-,+)的奇函數(shù)，且f(1-x)=f(1+x)，所以f(1+x)=-f(x-1)f(3+x)=-f(x+1)=f(x-1)T=4,因此f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=12f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(1)+f(2)，因為f(3)=-f(

11、1)，f(4)=-f(2)，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，f(2)=f(-2)=-f(2)f(2)=0，從而f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=f(1)=2，選C.點睛：考點：函數(shù)的周期性.【名師點睛】函數(shù)的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解5. 【2018年全國文科數(shù)學】已知函數(shù)f(x)=lnx+ln(2-x)，則A f(x)在（0，2）單調(diào)遞增B f(x)在（0，2）單調(diào)遞減C y=f(x)的圖像關于直線x=1對稱 D y=f(x)的圖像關于點（1，0）對稱【答案】C【解析】

12、由題意知，f(2-x)=ln(2-x)+lnx=f(x)，所以f(x)的圖象關于直線x=1對稱，故C正確，D錯誤；又f(x)=lnx(2-x)（0<x<2），由復合函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減，所以A，B錯誤，故選C【考點】函數(shù)的對稱性、單調(diào)性。【名師點睛】如果函數(shù)f(x)，xD，滿足xD，恒有f(a+x)=f(b-x)，那么函數(shù)的圖象有對稱軸x=a+b2；如果函數(shù)f(x)，xD，滿足xD，恒有f(a-x)=-f(b+x)，那么函數(shù)f(x)的圖象有對稱中心(a+b2,0)6.【2016年高考四川理數(shù)】已知函數(shù)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，

13、當0x1時，則=.【答案】-2考點：函數(shù)的奇偶性和周期性.【名師點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，周期性，屬于基本題，在求值時，只要把和，利用奇偶性與周期性化為上的函數(shù)值即可7. 【2018年全國普通高等學校招生統(tǒng)一考試數(shù)學】函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x)(xR)，且在區(qū)間(-2,2上，f(x)=cosx2,0<x2,|x+12|,-2<x0,則f(f(15)的值為_【答案】22【解析】由f(x+4)=f(x)得函數(shù)fx的周期為4，所以f(15)=f(16-1)=f(-1)=|-1+12|=12,因此f(f(15)=f(12)=cos4=22.考點：函數(shù)的周期性.【名師點睛】(1

14、)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a)的形式時，應從內(nèi)到外依次求值.(2)求某條件下自變量的值，先假設所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍.8. 【2016高考江蘇卷】設是定義在上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間上， 其中 若 ，則的值是.【答案】【解析】，因此考點：分段函數(shù)，周期性質(zhì)【名師點睛】分段函數(shù)的考查方向注重對應性，即必須明確不同的自變量所對應的函數(shù)解析式是什么.函數(shù)周期性質(zhì)可以將未知區(qū)間上的自變量轉化到已知區(qū)間上.解決此類問題時，要注意區(qū)間

15、端點是否取到及其所對應的函數(shù)值，尤其是分段函數(shù)結合點處函數(shù)值.【反饋練習】1【河南省鄭州市2020-2021學年高三上學期第一次質(zhì)量檢測文科】設是上的奇函數(shù)且滿足，當時，則（）ABCD【答案】D【分析】由題意可知，是以為周期的周期函數(shù)，進而可得出，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)可求得結果.【詳解】對任意的，即，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由于函數(shù)為的奇函數(shù)，且當時，因此，.故選：D.2.【四川省宜賓市2021屆高三上學期第一次診斷考試數(shù)學（文）】已知定義在上的奇函數(shù)滿足，若且時，都有，則下列四個結論中：圖象關于直線對稱；在上為減函數(shù)；.其中正確的個數(shù)（）A1B2C3D4【答案】A【分析】根據(jù)已知求得函

16、數(shù)的周期以及單調(diào)區(qū)間，逐個選項判斷即可得結論.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，所以，所以對稱軸為，因為，所以，所以周期為4，所以對稱軸，故不符合，所以不正確；，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，所以正確；因為且時，都有，所以，即，所以在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以不正確；因為，所以，所以不正確，即正確的個數(shù)為1個，故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查抽象函數(shù)的周期和單調(diào)性對稱性的綜合應用，解答本題的關鍵是先由函數(shù)為奇函數(shù)結合，得到和，從而得到函數(shù)的對稱性和周期性，根據(jù)條件得出，得到函數(shù)的單調(diào)性.3.【四川省宜賓市2021屆高三上學期第一次診斷考試數(shù)學（文）】已知定義在上的

17、奇函數(shù)滿足，若且時，都有，則下列四個結論中：圖象關于直線對稱；在上為減函數(shù)；.其中正確的個數(shù)（）A1B2C3D4【答案】A【分析】根據(jù)已知求得函數(shù)的周期以及單調(diào)區(qū)間，逐個選項判斷即可得結論.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，所以，所以對稱軸為，因為，所以，所以周期為4，所以對稱軸，故不符合，所以不正確；，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，所以正確；因為且時，都有，所以，即，所以在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以不正確；因為，所以，所以不正確，即正確的個數(shù)為1個，故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查抽象函數(shù)的周期和單調(diào)性對稱性的綜合應用，解答本題的關鍵是先由函數(shù)為奇函數(shù)結合，得到

18、和，從而得到函數(shù)的對稱性和周期性，根據(jù)條件得出，得到函數(shù)的單調(diào)性.4.【吉林省梅河口五中、遼源五中、四平四中2020-2021學年高三（上）第一次聯(lián)考】已知函數(shù)的周期為5，當時，則（）A5B6C7D8【答案】A【分析】由函數(shù)的周期把化為，再計算函數(shù)值【詳解】解：函數(shù)的周期為5，當時，則(4)，故選：5已知函數(shù)對任意的實數(shù)x都滿足，且函數(shù)的圖象關于點對稱，若，則（ ）A0B2CD2021【來源】重慶市南開中學2021屆高三下學期第七次質(zhì)量檢測數(shù)學試題【答案】B【分析】由題意可得，可得，從而求得，由題意可求出的值【詳解】解：因為函數(shù)對任意的實數(shù)x都滿足，所以，所以，因為函數(shù)的圖像關于點對稱，所以的

19、圖像關于原點對稱，所以是奇函數(shù)，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以是周期為8的周期函數(shù)，若，則，所以，所以，因為，所以，所以，故選：B6已知為上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，若當，則（ ）ABC1D2【來源】寧夏回族自治區(qū)銀川一中2021屆高三高考猜題卷數(shù)學（理）試題【答案】C【分析】根據(jù)為上的奇函數(shù)可求出，又為偶函數(shù)，可推出為周期函數(shù)，利用周期性即可求解.【詳解】解：為上的奇函數(shù)，且當時，即，當時，為偶函數(shù)，又為上的奇函數(shù)，是周期為4的周期函數(shù)，故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是根據(jù)為上的奇函數(shù)和為偶函數(shù)，推出函數(shù)為周期函數(shù)，利用周期性求解.7.【江蘇省蘇州中學2021屆高三（10月份）

20、調(diào)研】若定義在上的奇函數(shù)滿足對任意的，都有成立，且，則，的大小關系是（）ABCD【答案】A【分析】由，可推出，從而可知函數(shù)是周期函數(shù)，周期為4，進而可得出，然后根據(jù)是上的奇函數(shù)，求出三個函數(shù)值，即可得出答案.【詳解】因為，所以，即是周期函數(shù)，周期為4，又函數(shù)是上的奇函數(shù)，所以，則，所以.故選：A.8已知奇函數(shù)定義域為，且為偶函數(shù)，若，則（ ）A0BCD【來源】江西省南昌市八一中學、洪都中學、十七中三校2021屆高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學（文）試題【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出函數(shù)的周期，分別求出一個周期內(nèi)的函數(shù)值，結合周期性分析，即可得解.【詳解】為偶函數(shù)，的圖象關于直線對稱,，為上的

21、奇函數(shù)，即是周期為8的周期函數(shù)，,故選：C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與周期性的應用，考查學生的綜合計算能力，求出函數(shù)的周期是解題的關鍵，屬于中檔題.9.【貴州省貴陽市四校2021屆高三上學期聯(lián)合考試】已知定義域為R的函數(shù)滿足，且當時，則（）A-1B-2C0D1【答案】B【分析】根據(jù)，可知該函數(shù)的周期為4，然后再結合周期性、奇偶性將所求的函數(shù)值轉化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解【詳解】因為，所以是周期為4的奇函數(shù)所以（1）故選：10【安徽省滁州市定遠縣育才學校2020-2021學年高三上學期8月月考】定義在上的奇函數(shù)滿足是偶函數(shù)，且當時，則（）ABCD【答案】C【解析】是定義在上的奇函數(shù)，函數(shù)

22、是定義在上的偶函數(shù)，可得，則的周期是，故選C.11定義在上的函數(shù)滿足，當時，則函數(shù)的圖象與的圖象的交點個數(shù)為（ ）ABCD【來源】黑龍江省大慶市2021屆高三二模數(shù)學（文）試題【答案】A【分析】因為義在上的函數(shù)滿足，所以的周期為2，且圖像關于直線對稱，由于當時，所以的圖像如圖所示，再作出的圖像，則由圖像可知，兩函數(shù)圖像的交點個數(shù)為5，故選：A12（多選）已知函數(shù)的圖象既關于點中心對稱又關于點中心對稱，則（ ）A是周期函數(shù)B是奇函數(shù)C既沒有最大值又沒有最小值D函數(shù)是周期函數(shù)【來源】遼寧省實驗學校2020-2021學年高三下學期四模數(shù)學試題【答案】BCD【分析】根據(jù)對稱性，結合奇偶性定義證明它是奇

23、函數(shù)，判斷B，用反證法（反例）說明函數(shù)不是周期函數(shù)，函數(shù)無最值，判斷AC，根據(jù)周期性定義判斷D【詳解】由題意，因此，所以是奇函數(shù)，B正確例如滿足題意，但恒成立，因此在上是增函數(shù)，不是周期函數(shù)，A錯；因為是奇函數(shù)，所以若是函數(shù)的最小值，則是函數(shù)的的最大值，設，則，與是最大值矛盾，因此函數(shù)無最大值，同理也無最小值C正確；是奇函數(shù)，則也是奇函數(shù)，的圖象關于點和對稱，所以的圖象關于對稱，同理也關于對稱因此是周期函數(shù)，4就是一個周期D正確故選：BCD【點睛】關鍵點點睛：本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性，對稱性證明時利用對稱性進行函數(shù)值與自變量的轉換是解題關鍵轉換的目標是奇偶性與周期性的定義舉反例是說明一個命

24、題不正確的常用方法13（多選）函數(shù)的定義域為，且與都為奇函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）A是周期為的周期函數(shù)B是周期為的周期函數(shù)C為奇函數(shù)D為奇函數(shù)【來源】廣東省2021屆高三二模數(shù)學試題【答案】BD【分析】AB選項，利用周期函數(shù)的定義判斷；CD選項，利用周期性結合，為奇函數(shù)判斷.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，且與都為奇函數(shù)，所以，所以，所以，即，故B正確A錯誤；因為，且為奇函數(shù)，所以為奇函數(shù)，故D正確；因為與相差1，不是最小周期的整數(shù)倍，且為奇函數(shù)，所以不為奇函數(shù)，故C錯誤.故選：BD.14（多選）定義在上的函數(shù)滿足：為整數(shù)時，；不為整數(shù)時，則（ ）A是奇函數(shù)B是偶函數(shù)CD的最小正周期為【來源】

25、山東省青島市2020-2021學年高三上學期期末數(shù)學試題【答案】BCD【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，結合奇偶性的定義和周期的定義，逐項判定，即可求解.【詳解】A中，對于函數(shù)，有，所以不恒成立，則函數(shù)不是奇函數(shù)，所以A不正確；B中，對于函數(shù)，若為整數(shù)，則也是整數(shù)，則有，若不為整數(shù)，則也不為整數(shù)，則有，綜上可得，所以函數(shù)是偶函數(shù)，所以B正確；C中，若為整數(shù)，則，不為整數(shù)，則，綜上函數(shù)是整數(shù)，則，所以C正確；D中，若為整數(shù)，則也是整數(shù)，若不為整數(shù)，則也不是整數(shù)，總之有，所以函數(shù)的周期為1，若，則和可能是一個整數(shù)，也可能不是整數(shù)，則有，所以函數(shù)的最小正周期為1，所以D正確.故選：BCD.15函數(shù)是定義域為R

26、的奇函數(shù)，滿足，且當時，給出下列四個結論： ； 是函數(shù)的周期； 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增； 函數(shù)所有零點之和為.其中，正確結論的序號是_.【來源】安徽省六安市第一中學2021屆高三下學期適應性考試理科數(shù)學試題【答案】 【分析】由可得直接計算即可判斷 ；根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性即可求得周期，從而可判斷 ；先判斷在的單調(diào)性，再根據(jù)奇函數(shù)關于原點對稱的區(qū)間單調(diào)性相同即可判斷 ；根據(jù)對稱性以及函數(shù)圖象交點的個數(shù)即可判斷.【詳解】對于：由可得，故正確；對于 ：由可得關于直線對稱，因為是定義域為R的奇函數(shù)，所以所以，所以函數(shù)的周期為，故 不正確；對于 ：當時，單調(diào)遞增，且，在單調(diào)遞減，且，所以在單調(diào)遞增，因為

27、是奇函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；故 正確；對于 ：由可得關于直線對稱，作出示意圖函數(shù)所有零點之和即為函數(shù)與兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標之和，當時，兩圖象交點關于對稱，此時兩根之和等于 ，當時兩圖象交點關于對稱，此時兩根之和等于，當時兩圖象交點關于對稱，此時兩根之和等于時兩圖象無交點 ，所以函數(shù)所有零點之和為.故 正確；故答案為： 【點睛】求函數(shù)零點的方法：畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)就是函數(shù)的零點個數(shù)；將函數(shù)拆成兩個函數(shù)，和的形式，根據(jù)，則函數(shù)的零點個數(shù)就是函數(shù)和的圖象交點個數(shù)；零點之和即為兩個函數(shù)圖象交點的橫坐標之和.16定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，則函數(shù)在上的零點之和為_.【來源】山東省濟南市濟南市萊蕪第一中學2020-2021學年高三下學期2月月考數(shù)學試題【答案】6【分析】把研究函數(shù)在上零點之和的問