計(jì)算方法復(fù)習(xí)習(xí)題

1、第1章 誤差三、重、難點(diǎn)分析例1. 近似值的誤差限為（ ）。A 0.5 B. 0.05 C 0.005 D. 0.0005.解 因 ，它為具有3位有效數(shù)字的近似數(shù)，其誤差限為 ?；?，其誤差限為 所以 答案為B.例2. 已知，求的誤差限和相對(duì)誤差限。解：（絕對(duì)）誤差限： 所以（絕對(duì)）誤差限為，也可以取。一般地，我們?nèi)≌`差限為某位數(shù)的半個(gè)單位，即取 。相對(duì)誤差限： 所以，相對(duì)誤差限例3 .已知 求近似值的誤差限，準(zhǔn)確數(shù)字或有效數(shù)字。解 由 誤差限為 因?yàn)?，所以由定義知是具有4位有效數(shù)字的近似值，準(zhǔn)確到位的近似數(shù)。注意：當(dāng)只給出近似數(shù)時(shí)，則必為四舍五入得到的有效數(shù)，則可直接求出誤差限和有效數(shù)字。例4

2、. 已知近似數(shù)求的誤差限和準(zhǔn)確數(shù)位。解 因， 所以 準(zhǔn)確到 位。準(zhǔn)確到位。注意：函數(shù)運(yùn)算的誤差概念，特別是其中的符號(hào)。第2章 線性方程組直接解法三、重、難點(diǎn)分析例1 用列主元消元法的方程組 注意：每次消元時(shí)主元的選取是各列中系數(shù)最大的。解 第1列主元為3，交換第1、2方程位置后消元得， 第2列主，元為交換第2、3方程位置后消元得 回代解得 第3、4章 插值與擬合三、重、難點(diǎn)分析例1 已知用線性插值計(jì)算，并估計(jì)誤差。解 取插值節(jié)點(diǎn)x0= 4,x1= 9，兩個(gè)插值基函數(shù)分別為 故有 誤差為 例3已知的函數(shù)表 x012y8-7.5-18 求在0，2內(nèi)的零點(diǎn)近似值。解 因?yàn)閥i關(guān)于x嚴(yán)格單調(diào)減少，用反

3、插值法求f(x) 零點(diǎn)的近似值比較簡(jiǎn)單，具體作法如下：先作反函數(shù)表 x8-7.5-18y012 將節(jié)點(diǎn)x0=8,x1=-7.5，x2=-18及對(duì)應(yīng)函數(shù)值y0=0,y1=1,y2=2代入二次拉格朗日插值多項(xiàng)式（2.2），再令x=0,得于是得f(x)在0，2內(nèi)零點(diǎn)值得注意的是，只有所給函數(shù)（或函數(shù)表）在a,b上嚴(yán)格單調(diào)情況下，才能使用反插值方法，否則可能得出錯(cuò)誤結(jié)果。例4 已知數(shù)表：1233.87.210求最小二乘一次式。解 設(shè)最小一次式為，由系數(shù)公式得： 于是有法方程組 解法方程組得 所以最小二乘一次式 例5 求下列矛盾方程組的最小二乘解。 解 令 由 得法方程組 解得 所以最小二乘解為 例6

4、已知插值基函數(shù)，證明 ：當(dāng)時(shí)，證明：令 ， 則有 因?yàn)?，所以。?章 數(shù)值積分三、重、難點(diǎn)分析例1 在區(qū)間上，求以為節(jié)點(diǎn)的內(nèi)插求積公式。解：由系數(shù)計(jì)算公式得 所以求積公式為例2求積公式的代數(shù)精確度為（ ）。 解 由于此公式為3個(gè)節(jié)點(diǎn)的內(nèi)插求積公式，代數(shù)精度至少為2。 令，代入內(nèi)插求積公式得 左邊=，右邊， 所以 左邊=右邊 再令，代入內(nèi)插求積公式得 左邊=，右邊= 所以 左邊右邊所以此公式具有3次代數(shù)精度。例3 用梯形公式和的復(fù)化梯形公式求積分，并估計(jì)誤差。解 （1） 梯形公式 因?yàn)?，代入梯形公式得 則 （2） 復(fù)化梯形公式 因?yàn)?和復(fù)化梯形公式得 因?yàn)?， ， 所以 注意：在用復(fù)化梯形公式

5、和復(fù)化辛卜生公式計(jì)算 積分時(shí)注意系數(shù)的排列。例4 用辛卜生公式和復(fù)化辛卜生公式計(jì)算 積分 ，使誤差小于解 （1） 辛卜生公式 因?yàn)?，代入辛卜生公式?4（2） 復(fù)化辛卜生公式 因?yàn)榻獠坏仁?得 ，用，復(fù)化辛卜生公式計(jì)算得 例5 設(shè)為內(nèi)插求積公式系數(shù) 證明 證明：設(shè) ，因?yàn)?所以 。第6章 常微分方程數(shù)值解法三、重、難點(diǎn)分析例1 用歐拉法，預(yù)估校正法求一階微分方程初值問(wèn)題，在（0.1）0.2近似解解 （1）用歐拉法計(jì)算公式，計(jì)算得 （2）用預(yù)估校正法計(jì)算公式計(jì)算得 ，例2 已知一階初值問(wèn)題 求使歐拉法絕對(duì)穩(wěn)定的步長(zhǎng)h值。解 由歐拉法公式相減得 當(dāng) 時(shí)，時(shí)，有歐拉法絕對(duì)穩(wěn)定。例3 歐拉法的局部截?cái)?/p>

6、誤差的階為 。改進(jìn)歐拉法的局部截?cái)嗾`差的階為 。三階龍格-庫(kù)塔法的局部截?cái)嗾`差的階為 。四階龍格-庫(kù)塔法的局部截?cái)嗾`差的階為 。第十章 非線性方程求根三、重、難點(diǎn)分析例1 證明計(jì)算的切線法迭代公式為：并用它求的近似值（求出即可）解 （1）因計(jì)算等于求正根，代入切線法迭代公式得 (2) 設(shè)，因 所以 在上 由 ，選用上面導(dǎo)出的迭代公式計(jì)算得 例3 用割線法，一般迭代法求的最小正根（求出即可）。解 （1）用割線法因，故，在上，取 ，用割線法迭代公式，計(jì)算得 （2）用一般迭代法因，故在上將，同解變形為 則 取 應(yīng)用迭代公式 ，計(jì)算得 第8章 線性方程組的迭代解法三、重、難點(diǎn)分析例1 已知向量X=（1，-2，3）,求向量X的三種常用范數(shù)。 解 ，例2 證明 證明 因?yàn)?所以例3 已知矩陣，求矩陣A的三種常用范數(shù)。解 ，例4 已知方程組（1）寫(xiě)出解此方程組的雅可比法迭代公式（2）證明當(dāng)時(shí)，雅可比迭代法收斂（3）取,，求出。解 （1）對(duì)，從第個(gè)方程解出，得雅可比法迭代公式為：（2）當(dāng)時(shí)，A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，所以雅可比迭代法收斂。（3）取， 由迭代公式計(jì)算得 ， ， ， ， 則 =（， ，）例5 用高斯塞德?tīng)柕ń夥匠探M （1）證明