大學(xué)物理(第四版)課后習(xí)題及答案 波動(dòng)

1、第十四章波動(dòng)14-1 一橫波再沿繩子傳播時(shí)得波動(dòng)方程為。（1）求波得振幅、波速、頻率及波長(zhǎng)；（2）求繩上質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)時(shí)得最大速度；（3）分別畫出t=1s和t=2s時(shí)得波形，并指出波峰和波谷。畫出x=1.0m處質(zhì)點(diǎn)得振動(dòng)曲線并討論其與波形圖得不同。14-1 分析（1）已知波動(dòng)方程（又稱波函數(shù)）求波動(dòng)的特征量（波速、頻率、振幅A及彼長(zhǎng) 等），通常采用比較法。將已知的波動(dòng)方程按波動(dòng)方程的一般形式書寫，然后通過(guò)比較確定各特征量（式中前“”、“”的選取分別對(duì)應(yīng)波沿x軸正向和負(fù)向傳播）。比較法思路清晰、求解簡(jiǎn)便，是一種常用的解題方法。（2）討論波動(dòng)問題，要理解振動(dòng)物理量與波動(dòng)物理量之間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別。例如區(qū)

2、分質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度與波速的不同，振動(dòng)速度是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，即；而波速是波線上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的傳播速度（也稱相位的傳播速度、波形的傳播速度或能量的傳播速度），其大小由介質(zhì)的性質(zhì)決定。介質(zhì)不變，彼速保持恒定。（3）將不同時(shí)刻的t值代人已知波動(dòng)方程，便可以得到不同時(shí)刻的波形方程，從而作出波形圖。而將確定的x值代入波動(dòng)方程，便可以得到該位置處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，從而作出振動(dòng)圖。 解（1）將已知波動(dòng)方程表示為與一般表達(dá)式比較，可得則 （2）繩上質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度 則（3） t=1s和 t2s時(shí)的波形方程分別為波形圖如圖141（a）所示。 x1.0m處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為振動(dòng)圖線如圖141（b）所示。 波形圖與振動(dòng)圖雖在

3、圖形上相似，但卻有著本質(zhì)的區(qū)別前者表示某確定時(shí)刻波線上所有質(zhì)點(diǎn)的位移情況，而后者則表示某確定位置的時(shí)間變化的情況。14-2 波源作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為，它所形成得波形以30m/s的速度沿一直線傳播。（1）求波的周期及波長(zhǎng)；（2）寫出波的方程。14-2 分析 已知彼源運(yùn)動(dòng)方程求波動(dòng)物理量及波動(dòng)方程，可先將運(yùn)動(dòng)方程與其一般形式進(jìn)行比較，求出振幅地角頻率及初相，而這三個(gè)物理量與波動(dòng)方程的一般形式中相應(yīng)的三個(gè)物理量是相同的。再利用題中已知的波速U及公式和即可求解。 解（1）由已知的運(yùn)動(dòng)方程可知，質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的角頻率。根據(jù)分析中所述，波的周期就是振動(dòng)的周期，故有波長(zhǎng)為(2)將已知的波源運(yùn)動(dòng)方程與簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方

4、程的一般形式比較后可得故以波源為原點(diǎn)，沿X軸正向傳播的波的波動(dòng)方程為14-3 以知以波動(dòng)方程為。（1）求波長(zhǎng)、頻率、波速和周期；（2）說(shuō)明x=0時(shí)方程的意義，并作圖表示。14-3分析采用比較法。將題給的波動(dòng)方程改寫成波動(dòng)方程的余弦函數(shù)形式，比較可得角頻率。、波速U，從而求出波長(zhǎng)、頻率等。當(dāng)x確定時(shí)波動(dòng)方程即為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。 解（1）將題給的波動(dòng)方程改寫為與比較后可得波速 角頻率，故有 （2）由分析知x=0時(shí)，方程表示位于坐標(biāo)原點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程（圖134）。14-4 波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為0.02s，若該振動(dòng)以100m/s的速度傳播，設(shè)t=0時(shí)，波源處的質(zhì)點(diǎn)經(jīng)平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)，求：（1）

5、距離波源15.0m和5.0m兩處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程和初相；（2）距離波源16.0m和17.0m兩處質(zhì)點(diǎn)的相位差。14-4分析（1）根據(jù)題意先設(shè)法寫出波動(dòng)方程，然后代人確定點(diǎn)處的坐標(biāo)，即得到質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。并可求得振動(dòng)的初相。（2）波的傳播也可以看成是相位的傳播。由波長(zhǎng)A的物理含意，可知波線上任兩點(diǎn)間的相位差為。 解（1）由題給條件 T0.02 s，u100 msl，可得 當(dāng)t0時(shí)，波源質(zhì)點(diǎn)經(jīng)平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)，因而由旋轉(zhuǎn)矢量法可得該質(zhì)點(diǎn)的初相為。若以波源為坐標(biāo)原點(diǎn)，則波動(dòng)方程為距波源為 x1=15.0m和 x25.0m處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程分別為它們的初相分別為（若波源初相取,則初相，。） （2）距波

6、源 16.0 m和 17.0 m兩點(diǎn)間的相位差14-5 波源作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為1.010-2s，以它經(jīng)平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)為時(shí)間起點(diǎn)，若此振動(dòng)以u(píng)=400m/s的速度沿直線傳播。求：（1）距離波源8.0m處質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方程和初相；（2）距離波源9.0m和10.0m處兩點(diǎn)的相位差。14-5 解分析同上題。在確知角頻率、波速和初相的條件下，波動(dòng)方程位于 xP =8.0 m處，質(zhì)點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)方程為該質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初相。而距波源9.0 m和 10.0 m兩點(diǎn)的相位差為 如果波源初相取，則波動(dòng)方程為質(zhì)點(diǎn)P振動(dòng)的初相也變?yōu)?，但波線上任兩點(diǎn)間的相位差并不改變。14-6 有一平面簡(jiǎn)諧波在介質(zhì)中傳播，波速u=10

7、0m/s，波線上右側(cè)距波源O（坐標(biāo)原點(diǎn)）為75.0m處的一點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方程為。求（1）波向x軸正方向傳播時(shí)的波動(dòng)方程；（2）波向x軸負(fù)方向傳播時(shí)的波動(dòng)方程。14-6 分析在已知波線上某點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的條件下，建立波動(dòng)方程時(shí)常采用下面兩種方法：（1）先寫出以波源O為原點(diǎn)的波動(dòng)方程的一般形式，然后利用已知點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方程來(lái)確定該波動(dòng)方程中各量，從而建立所求波動(dòng)方程。（2）建立以點(diǎn)P為原點(diǎn)的波動(dòng)方程，由它來(lái)確定波源點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)方程，從而可得出以波源點(diǎn)O為原點(diǎn)的波動(dòng)方程。 解1（1）設(shè)以波源為原點(diǎn)O，沿X軸正向傳播的波動(dòng)方程為將 u100 ms代人，且取x二75 m得點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)方程為與題意中點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)方程比

8、較可得 A0.30m、。則所求波動(dòng)方程為(2)當(dāng)沿X軸負(fù)向傳播時(shí)，波動(dòng)方程為將 x75 m、代人后，與題給點(diǎn) P的運(yùn)動(dòng)方程比較得A 0.30m、，則所求波動(dòng)方程為 解2（1）如圖14一6（a）所示，取點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)O，沿Ox軸向右的方向?yàn)檎较?。根?jù)分析，當(dāng)波沿該正方向傳播時(shí)，由點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方程，可得出以O(shè)（即點(diǎn)P）為原點(diǎn)的波動(dòng)方程為將 x=-75 m代入上式，可得點(diǎn) O的運(yùn)動(dòng)方程為由此可寫出以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)的波動(dòng)方程為 （2）當(dāng)波沿河X軸負(fù)方向傳播時(shí)。如圖146（b）所示，仍先寫出以O(shè)（即點(diǎn)P）為原點(diǎn)的波動(dòng)方程將 x=-75 m代人上式，可得點(diǎn) O的運(yùn)動(dòng)方程為則以點(diǎn)O為原點(diǎn)的波動(dòng)方程為 討論對(duì)

9、于平面簡(jiǎn)諧波來(lái)說(shuō)，如果已知波線上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，求另外一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，也可用下述方法來(lái)處理：波的傳播是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，波線上各點(diǎn)（包括原點(diǎn)）都是重復(fù)波源質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)，只是初相位不同而已。在已知某點(diǎn)初相平0的前提下，根據(jù)兩點(diǎn)間的相位差，即可確定未知點(diǎn)的初相中小14-7 圖14-7為平面簡(jiǎn)諧波在t=0時(shí)的波形圖，設(shè)此簡(jiǎn)諧波的頻率為250Hz，且此時(shí)圖中質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向向上。求：（1）該波的波動(dòng)方程；（2）在距原點(diǎn)O為7.5m處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程與t=0時(shí)該點(diǎn)的振動(dòng)速度。14-7 分析（1）從波形曲線圖獲取波的特征量，從而寫出波動(dòng)方程是建立波動(dòng)方程的又一途徑。具體步驟為：1.從波形圖得出波長(zhǎng)、振幅A和

10、波速；2.根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)來(lái)判斷波的傳播方向，從而可確定原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)趨向，并利用旋轉(zhuǎn)關(guān)量法確定其初相。（2）在波動(dòng)方程確定后，即可得到波線上距原點(diǎn)O為X處的運(yùn)動(dòng)方程yy（t），及該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度vdyd t。 解（1）從圖 15 8中得知，波的振幅 A 0.10 m，波長(zhǎng)，則波速。根據(jù)t0時(shí)點(diǎn)P向上運(yùn)動(dòng)，可知彼沿Ox軸負(fù)向傳播，并判定此時(shí)位于原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)將沿Oy軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。利用旋轉(zhuǎn)矢量法可得其初相。故波動(dòng)方程為（2）距原點(diǎn) O為x=7.5 m處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為t=0時(shí)該點(diǎn)的振動(dòng)速度為14-8 平面簡(jiǎn)諧波以波速u=0.5m/s沿Ox軸負(fù)方向傳播，在t=2s時(shí)的波形圖如圖14-8（a）所示

11、。求原點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。14-8 分析上題已經(jīng)指出，從波形圖中可知振幅A、波長(zhǎng)和頻率。由于圖148（a）是t2s時(shí)刻的波形曲線，因此確定 t 0時(shí)原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的初相就成為本題求解的難點(diǎn)。求t0時(shí)的初相有多種方法。下面介紹波形平移法、波的傳播可以形象地描述為波形的傳播。由于波是沿 Ox軸負(fù)向傳播的，所以可將 t2 s時(shí)的波形沿Ox軸正向平移，即得到t=0時(shí)的波形圖148（b），再根據(jù)此時(shí)點(diǎn)O的狀態(tài)，用旋轉(zhuǎn)關(guān)量法確定其初相位。 解由圖 15 9（a）得知彼長(zhǎng)，振幅 A 0.5 m。角頻率。 按分析中所述，從圖159（b）可知t=0時(shí)，原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)位于平衡位置。并由旋轉(zhuǎn)矢量圖148（C）得到，則所求運(yùn)動(dòng)方

12、程為14-9 一平面簡(jiǎn)諧波，波長(zhǎng)為12m，沿Ox軸負(fù)方向傳播，圖14-9（a）所示為x=1.0m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)曲線，求此波的波動(dòng)方程。14-9 分析該題可利用振動(dòng)曲線來(lái)獲取波動(dòng)的特征量，從而建立波動(dòng)方程。求解的關(guān)鍵是如何根據(jù)圖149（a）寫出它所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程。較簡(jiǎn)便的方法是旋轉(zhuǎn)矢量法（參見題1310）。 解 由圖149（b）可知質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的振幅A0.40 m，t0時(shí)位于 x1.0m的質(zhì)點(diǎn)在A2處并向Oy軸正向移動(dòng)。據(jù)此作出相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖149（b），從圖中可知。又由圖 149（a）可知，t5 s時(shí)，質(zhì)點(diǎn)第一次回到平衡位置，由圖149（b）可看出，因而得角頻率。由上述特征量可寫出xl.0m處質(zhì)點(diǎn)

13、的運(yùn)動(dòng)方程為 采用題146中的方法，將波速代人波動(dòng)方程的一般形式中，并與上述x1.0m處的運(yùn)動(dòng)方程作比較，可得，則波動(dòng)方程為14-10 圖14-10中（I）是t=0時(shí)的波形圖，（II）是t=0.1s時(shí)的波形圖，已知T0.1s，寫出波動(dòng)方程的表達(dá)式。14-10 分析 已知波動(dòng)方程的形式為 從如圖1511所示的t0時(shí)的波形曲線，可知彼的振幅A和波長(zhǎng)，利用旋轉(zhuǎn)矢量法可確定原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的初相。因此，確定波的周期就成為了解題的關(guān)鍵。從題給條件來(lái)看，周期T只能從兩個(gè)不同時(shí)刻的波形曲線之間的聯(lián)系來(lái)得到。為此，可以從下面兩個(gè)不同的角度來(lái)分析。 （l）由曲線（）可知，在 tzo時(shí)，原點(diǎn)處的質(zhì)點(diǎn)處在平衡位置且向 O

14、y軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，而曲線（）則表明，經(jīng)過(guò)0。1s后，該質(zhì)點(diǎn)已運(yùn)動(dòng)到 Oy軸上的一A處。因此，可列方程，在一般情形下，k= 0， 1，2，這就是說(shuō)，質(zhì)點(diǎn)在 0。1 s內(nèi)，可以經(jīng)歷 k個(gè)周期振動(dòng)后再回到A處，故有。（2）從波形的移動(dòng)來(lái)分析。因波沿Ox軸正方向傳播，波形曲線（）可視為曲線（）向右手移了。由圖可知，故有，同樣也得。應(yīng)當(dāng)注意，k的取值由題給條件 T0.1s所決定。 解 從圖中可知波長(zhǎng)，振幅A0.10 m。由波形曲線（）得知在t=0時(shí)，原點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)位于平衡位置且向 Oy軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，利用旋轉(zhuǎn)矢量法可得。根據(jù)上面的分析，周期為由題意知 T0.1s，故上式成立的條件為，可得 T0.4s。這樣，波動(dòng)方程

15、可寫成14-11 平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為。求（1）t=2.1s時(shí)波源及距波源0.10m兩處的相位；（2）離波源0.80m處及0.30m兩處的相位。14-11 解（1）將t2.1s和x=0代人題給波動(dòng)方程，可得波源處的相位將t2.1s和x0.10 m代人題給波動(dòng)方程，得 0.10 m處的相位為從波動(dòng)方程可知波長(zhǎng)。這樣， m與 m兩點(diǎn)間的相位差14-12 為了保持波源的振動(dòng)不變，需要消耗4.0W的功率。若波源發(fā)出的是球面波（設(shè)介質(zhì)不吸收波的能量）。求距離波源5.0m和10.0m處的能流密度。14-12分析波的傳播伴隨著能量的傳播。由于波源在單位時(shí)間內(nèi)提供的能量恒定，且介質(zhì)不吸收能量，敵對(duì)于球面波而

16、言，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)任意半徑的球面的能量（即平均能流）相同，都等于波源消耗的功率戶。而在同一個(gè)球面上各處的能流密度相同，因此，可求出不同位置的能流密度 。 解由分析可知，半徑戶處的能疏密度為 當(dāng) r15。0 m、r210.0 m時(shí)，分別有14-13 有一波在介質(zhì)中傳播，其波速u=1.0103m/s，振幅A=1.010-4m，頻率=1.0103Hz。若介質(zhì)的密度為=8.0102kg/m3，求：（1）該波的能流密度；（2）1min內(nèi)垂直通過(guò)4.010-4m2的總能量。14-13 解（1）由能流密度I的表達(dá)式得2）在時(shí)間間隔內(nèi)垂直通過(guò)面積 S的能量為14-14 如圖14-14所示，兩振動(dòng)方向相同的平面

17、簡(jiǎn)諧波波源分別位于A、B兩點(diǎn)。設(shè)它們的相位相同，且頻率均為=30Hz，波速u=0.50m/s，求在點(diǎn)P處兩列波的相位差。14-14 v=30Hz 分析在均勻介質(zhì)中，兩列波相遇時(shí)的相位差，一般由兩部分組成，即它們的初相差和由它們的波程差而引起的相位差。本題因，故它們的相位差只取決于波程差。 解在圖1414的中，由余弦定理可得兩列波在點(diǎn)P處的波程差為，則相位差為14-15 兩波在同一細(xì)繩上傳播，它們的方程分別為和。（1）證明這細(xì)繩是作駐波式振動(dòng)，并求節(jié)點(diǎn)和波腹的位置；（2）波腹處的振幅有多大？在x=1.2m處，振幅多大？14-15 分析只需證明這兩列波會(huì)成后具有駐波方程 的形式即可。由駐波方程可確

18、定波腹、波節(jié)的位置和任意位置處的振幅。 解（l）將已知兩波動(dòng)方程分別改寫為可見它們的振幅 A二0。06 m，周期 T二0。5 s（頻率。二2 Hi），波長(zhǎng)八二2 m。在波線上任取一點(diǎn)P，它距原點(diǎn)為P。則該點(diǎn)的合運(yùn)動(dòng)方程為k式與駐波方程具有相同形式，因此，這就是駐波的運(yùn)動(dòng)方程由得波節(jié)位置的坐標(biāo)為由得波腹位置的坐標(biāo)為門）駐波振幅，在波腹處A二ZA二0。12 m；在x二0。12 m處，振幅為14-16 一弦上的駐波方程式為。（1）若將此駐波看成是由傳播方向相反，振幅及波速均相同的兩列相干波疊加而成的，求它們的振幅及波速；（2）求相鄰波節(jié)之間的距離；（3）求t=3.010-3s時(shí)位于x=0.625m處

19、質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度。14-16 分析（1）采用比較法。將本題所給的駐波方程，與駐波方程的一般形式相比較即可求得振幅、波速等。（2）由波節(jié)位置的表達(dá)式可得相鄰波節(jié)的距離。（3）質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度可按速度定義V一如Nz求得。 解（1）將已知駐波方程 y（3。 0 X 102 m） cos（。 6。 ml） coos（550。s一小與駐波方程的一般形式 y ZAcos（2。x八）。（2。yi）作比較，可得兩列波的振幅 A 1。 5 X 10 m，波長(zhǎng)八二 1。 25 m，頻率 v二 275 Hi，則波速 u一如 2343。8 inSI （2）相鄰波節(jié)間的距離為(3）在 t二 3。 0 X 103 s時(shí)，位于

20、 x 0。 625 m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度為 14-17 一平面簡(jiǎn)諧波的頻率為500Hz，在空氣中（=1.3kg/m3）以u(píng)=340m/s的速度傳播，到達(dá)人耳時(shí)，振幅約為A=1.010-6m。試求波在耳中的平均能量密度和聲強(qiáng)。14-17 解波在耳中的平均能量密度聲強(qiáng)就是聲波的能疏密度，即這個(gè)聲強(qiáng)略大于繁忙街道上的噪聲，使人耳已感到不適應(yīng)。一般正常談話的聲強(qiáng)約為 1。 0 X 106 Wm2左右*14-18 面積為1.0m2的窗戶開向街道，街中噪聲在窗戶的聲強(qiáng)級(jí)為80dB。問有多少聲功率傳入窗內(nèi)？14-18 分析首先要理解聲強(qiáng)、聲強(qiáng)級(jí)、聲功率的物理意義，并了解它們之間的相互關(guān)系。聲強(qiáng)是聲波的能流密度

21、I，而聲強(qiáng)級(jí)L是描述介質(zhì)中不同聲波強(qiáng)弱的物理量。它們之間的關(guān)系為 L一體IIO），其中 IO二 1。 0 X 102 W0為規(guī)定聲強(qiáng)。L的單位是貝爾（B），但常用的單位是分貝（dB），且IB10 dB。聲功率是單位時(shí)間內(nèi)聲波通過(guò)某面積傳遞的能量，由于窗戶上各處的I相同，故有P=IS。 解根據(jù)分析，由Lig（I IO）可得聲強(qiáng)為則傳入窗戶的聲功率為 14-19 若在同一介質(zhì)中傳播的、頻率分別為1200Hz和400Hz的兩聲波有相同的振幅。求：（1）它們的強(qiáng)度之比；（2）兩聲波的聲強(qiáng)級(jí)差。14-19 解（1）因聲強(qiáng)IpuA。2，則兩聲波聲強(qiáng)之比(2)因聲強(qiáng)級(jí)L一回對(duì)幾)，則兩聲波聲強(qiáng)級(jí)差為14-20 一警車以25m/s的速度在靜止的空氣中行駛，假設(shè)車上警笛的頻率為800Hz。求：（1）靜止站在路邊的人聽到警車駛近和離去時(shí)的警笛聲波頻率；（2）如果警車追趕一輛速