第8講 泊松過程的推廣

1、1隨機數(shù)學(xué)隨機數(shù)學(xué)第第8講講 泊松過程的推廣泊松過程的推廣教師教師: 陳陳 萍萍22.2.2 2.2.2 到達(dá)時刻的條件分布到達(dá)時刻的條件分布0),(ttN本節(jié)討論在給定N(t)=n 的條件下，的條件分布及其有關(guān)性質(zhì)。ts 01( )1)sPsN tt這個定理說明，由于泊松過程具有平穩(wěn)獨立增量性，從而在這個定理說明，由于泊松過程具有平穩(wěn)獨立增量性，從而在已知已知0,t 0,t 上有上有1 1個事件發(fā)生的條件下個事件發(fā)生的條件下, ,事件發(fā)生的時間事件發(fā)生的時間1 1應(yīng)該服從應(yīng)該服從00，tt上的均勻分布。對此我們自然要問：上的均勻分布。對此我們自然要問：(1)(1)這個性質(zhì)是否可推廣到的這個性

2、質(zhì)是否可推廣到的 情形？情形？(2)(2)這個性質(zhì)是否是泊松過程特有的？換言之，其逆命題是這個性質(zhì)是否是泊松過程特有的？換言之，其逆命題是否成立？否成立？1,)(nntN定理定理2.2.42.2.4 設(shè)設(shè) 是泊松過程，則對是泊松過程，則對 有有3 12(,.,)nUUU12( ,)nf u uu12!,0,0,nnnuuutt其它N(t), t012.n 12.nUUU4的泊松過程，第的泊松過程，第i 次受沖擊次受沖擊0,tDe( )1( )iN ttiitDe tE5則則N(t), t0為泊松過程為泊松過程. . 證略.定理定理2.2.62.2.6 設(shè)設(shè)N(t), t0為計數(shù)過程，為計數(shù)過程

3、，T Tn n為第為第n n個事件個事件與第與第n-1n-1個事件的時間間隔，個事件的時間間隔， 獨立同分布且分獨立同分布且分布函數(shù)為布函數(shù)為F(x),若若F(0)=0，且對且對 , ,都有都有1( )1)PsN t ,1nT n ts 00, tts定理定理2.2.72.2.7 設(shè)設(shè)N(t), t0為躍度為為躍度為1 1的計數(shù)過程，滿足，的計數(shù)過程，滿足， t0,N(t) P(t),且在且在N(t)=n條件下，條件下，的條件概率密度是的條件概率密度是1,.,n110.!,.,nnsstnnfsst則則N(t), t0為泊松過程為泊松過程. .證略思考思考: 如何利用以上定理如何利用以上定理

4、對泊松過程進(jìn)行計算機模擬和檢驗對泊松過程進(jìn)行計算機模擬和檢驗?62.3 Poission過程的推廣過程的推廣 ( )1(2.3.1)N tiiX tY2E Y 2, varE X ttE YX ttE YN(t),t 0為為Poission過程過程, 1YtsisX tXsE ee 72,N ( )1N tiiX tY2 21exp() 1 ( ) 1122112( )isstsXsee 1E XE Y80,0Nnts tnentnsNtsNP!|)()( 2EtEttN)var()(var2 dGntensNtsNPnt!)()() 1 (09qpPpP1,21 2121( ),()( )0

5、|( )|iiiiiiPP N tn N tsN tPP N tn 10 2121( )|()( )0|( )|iiiiiiiPP N tnP N tsN tPP N tn 112212121211nntstsnnttpteepteeptepte 1221121211nnt st snnt stpepepepe11定義定義2.3.32.3.3 隨機過程隨機過程N(t),t0稱為具有強度函數(shù)稱為具有強度函數(shù)(t) 的的，如果，如果1 1）是一計數(shù)過程）是一計數(shù)過程, ,且且N(0)=0 N(0)=0 ，2 2）具有獨立增量性，）具有獨立增量性，3 3）對任意實數(shù)）對任意實數(shù)t t 0,s0,N(

6、t+s)-N(t)0,s0,N(t+s)-N(t)為具有參數(shù)為具有參數(shù) 的的PoissonPoisson分布分布. .sttduutm)()(122.4 更新過程更新過程13,1nT n 1nnkkT1( )sup :norntnN tnt2.4.1 2.4.1 更新過程的定義更新過程的定義 14,0( )0,0tktetTf tt ?,0,0,000s tP N sN tsN sP N sP N tsN s15更新過程的基本結(jié)論：更新過程的基本結(jié)論： 過程的統(tǒng)計特性可由序列過程的統(tǒng)計特性可由序列 的共同分布完全的共同分布完全刻畫；刻畫； N(t)是關(guān)于是關(guān)于t的單調(diào)遞增階梯函數(shù)，對于固定的的單調(diào)遞增階梯函數(shù)，對于固定的t，N(t)為取非負(fù)整數(shù)值的隨機變量；為取非負(fù)整數(shù)值的隨機變量； 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為),()(1tFtFtnnxdFx