【初中數(shù)學(xué)小專(zhuān)題】一類(lèi)旋轉(zhuǎn)圖形的不變性(共頂點(diǎn)模型)

1、一類(lèi)旋轉(zhuǎn)圖形的不變性（共頂點(diǎn)模型）北師大版最新教材七年級(jí)下冊(cè)第三章全等三角形的教學(xué)過(guò)程中，相關(guān)資料上常常見(jiàn)到相關(guān)圖形全等的證明題；同時(shí)九年級(jí)上冊(cè)相似圖形的相關(guān)資料上也遇到過(guò)類(lèi)似圖形相似的問(wèn)題，現(xiàn)拿出來(lái)對(duì)比研究一番，為后續(xù)深圳中考的復(fù)習(xí)準(zhǔn)備做好鋪墊。（可拓展到正多邊形的旋轉(zhuǎn)不變性質(zhì)）ABC的邊AC、AB1、兩大小不等的正方形的旋轉(zhuǎn)不變性:例1（根據(jù)北師大版教材配套資料課時(shí)作業(yè)全等三角形一題改編）以為邊向外作正方形ACDE和正方形ABGF,連結(jié)BE、CF交于點(diǎn)H（或延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H）,證明：BE=CF;求/BHF的大小.（圖3）【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)圖形中的兩個(gè)不變特性,根據(jù)ABAE三AFAC不難得

2、出結(jié)論，注意圖形的拓展與延伸?！敬鸢浮拷猓喝鐖D（1）:四邊形ACDE和四邊形ABGF都為正方形,.AF=AB,AE=AC,BAF=CAE=90,ZBAF+/BAC=/CAE+/BAC,CAF=BAE,，ABAE與AFAC(SAS),BE=CF,.AFC"ABE,ZBHF=/BAF=90.注意：圖(2)(3)(4)請(qǐng)讀者自行證明。變式1:兩大小不等的等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)不變性：以MBC的邊AC、AB為邊向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE,連結(jié)BE、CD交于點(diǎn)H（或延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H）,證明：BE=CF;求/BHF的大小.【解析】本變式圖形實(shí)質(zhì)和例1一致，故其證明方法與其完全相

3、同，證明略?！窘?jīng)典題目】如圖，已知AABC和ADCE均為等腰三角形，NACB=/DCE=901點(diǎn)D在線段AC上，點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為BE的中點(diǎn)，點(diǎn)N為AD的中點(diǎn)。(1)如圖1,請(qǐng)直接寫(xiě)出/FMN大小以及FM和MN之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2,將ADCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，此時(shí)(1)中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)正確的結(jié)論。BD、AE(3)如圖3,若AB=4&，CE=2,在將ADCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)360口過(guò)程中，直線交于點(diǎn)g,AABG的面積最小值為多少?1一【解析】(1)取DE的中點(diǎn)H,連接MH、NH、AE,則由題意可得NH=AE=FM，易證2NDH與AMCH

4、，則AMHN為等腰直角三角形，所以NH=MN，所以MN=<12FM.2(2)成立。取DE的中點(diǎn)H,連接MH、NH、AE、BD,則由題意可得BD-LAE,可得MH/BD,11則/DHN=2CHM，從而NHJ-MH，又NH=AE,MH=BD,所以NH=MH，所以三角22形MHN為等腰直角三角形，故MN=J2NH=m'2FM23,如圖，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到CD-LBG時(shí)，MBG的面積最小。因?yàn)锽G=BD+DG=JBC2+CD2=AG=AEGE=2/32，所以MBG面積最小值為：11S/abg=_AG,BG=m(2,32)M2d3=6243。22變式2:兩相似矩形的旋轉(zhuǎn)不變性:以AABC的邊AC、A

5、B為邊向外作相似矩形ABGF和矩形AEDC,已知兩矩形的相似比為連結(jié)BE、CD交于點(diǎn)H（或延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H）,試探索BE和CF的關(guān)系；求/BHF的大小.【分析】本題首先需要考慮到三角形BAE與三角形CAF相似，然后得到BE與CF的關(guān)系和/BHF的大小.【答案】解：丫矩形ABGF9巨形AEDC,且相似比為,mAEACm一=一.ABAFn又BAF=CAE=90BAFBAC=CAEBAC即/BAE=/FAC,BEFC二&BAEs*AC,AE=m,.BHF=/BAF=90.ABn注意：當(dāng)旋轉(zhuǎn)到其他位置時(shí)其證明思路同上，請(qǐng)讀者自行解答。變式3:兩相似直角三角形的旋轉(zhuǎn)不變性:以&ABC的邊A

6、C、AB為邊向外作相似直角三角形ABF和直角三角形ACE,已知兩直角三角形的相似比為,連結(jié)BE、mCD交于點(diǎn)H（或延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H）,試探索BE和CF的關(guān)系；求上BHF的大小.【解析】本變式圖形實(shí)質(zhì)和變式2一致，故其證明方法與其完全相同，證明略。2、兩全等等邊三角形的旋轉(zhuǎn)不變性:例2、以ABOC的邊BC、CD為邊向外作正三角形OCD和正三角形OBA,OB=OC,連結(jié)AD、BE,試探索BD和AC的關(guān)系？并求ZAEB的大小.【解析】本題考查了旋轉(zhuǎn)圖形中的兩個(gè)不變特性，根據(jù)AOC三ABOD不難得出結(jié)論:BD=AC,ZAEB=60°o證明略。變式1:兩大小不等（相似）的等邊三角形的旋轉(zhuǎn)不變性:

7、以&BOC的邊BC、CD為邊向外作正三角形OCD和正三角形OBA,OB=OC,連結(jié)AD、BE,試探索BE和CF的關(guān)系？并求ZAEB的大小.C【解析】本題考查了旋轉(zhuǎn)圖形中的兩個(gè)不變特性，根據(jù)AAOC三ABOD不難得出結(jié)論：BD=AC,ZAEB=60°o證明略。變式2:兩相似等腰三角形的旋轉(zhuǎn)不變性：以AABC的邊BC、CD為邊向外作等腰三角形ABD和等腰三角形AEC,且/BAD=CAE=口，連結(jié)AD、BE,試探索BE和CD的關(guān)系？并求/BFD的大小.【解析】本題考查了旋轉(zhuǎn)圖形中的兩個(gè)不變特性，根據(jù)ABAE三4DAC不難得出Z論：BE=CD,/BFD=a。【答案】證明：丁三角形ABD和三角形ACE都為等腰三角形，.AD=AB,AE=AC,又/BAD=/CAE=a,AABAEADAC(SAS)，BE=CD,NADC=/ABE,ZBFD"BAD=：.變式3:兩相似三角形的旋轉(zhuǎn)不變性：以MBC的邊BC、CD為邊向外作三角形ABD和等腰三角形AEC,使得MBDsAEC,已知/BAD=/CAE=6,空=9，連±ad、BE,試探索BE和CD的關(guān)系？并求/BFD的大AEn小.本題考查了旋轉(zhuǎn)圖形中的兩個(gè)不變特性，根據(jù)ABAEsADAC不難得出結(jié)論：-BE=,C