【中考數(shù)學壓軸題專題突破29】圓中的綜合創(chuàng)新實踐題

1、【中考壓軸題專題突破29】圓中的綜合創(chuàng)新實踐題(1)問題探究(1)如圖1.在ABC中，BC=8,D為BC上一點，AD=6.則4ABC面積的最大值是.(2)如圖2,在ABC中，/BAC=60,AG為BC邊上的高，。為ABC的外接圓，若AG=3,試判斷BC是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.問題解決：如圖3,王老先生有一塊矩形地ABCD,AB=6/+12,BC=&/+6,現(xiàn)在他想利用這塊地建一個四邊形魚塘AMFN,且滿足點E在CD上，AD=DE,點F在BC上， 且CF=6,點M在AE上， 點N在AB上， /MFN=90,這個四邊形AMFN的面積是否存在最大值？若存在，求出面

2、積的最大值；若不存在，請說明理由.2 .發(fā)現(xiàn)問題：(1)如圖1,AB為。的直徑，請在。0上求作一點P,使/ABP=45.(不必寫作法)問題探究：(2)如圖2,等腰直角三角形ABC中，ZA=90,AB=AC=3、/,D是AB上一點，AD=2也，在BC邊上是否存在點P,使/APD=45?若存在，求出BP的長度，若不存在，請說明理由.問題解決：(3)如圖3,為矩形足球場的示意圖，其中寬AB=66米、球門EF=8米，且EB=FA.點P、Q分別為BC、AD上的點，BP=7米，/BPQ=135,一位左前鋒球員從點P處帶球，沿PQ方向跑動，球員在PQ上的何處才能使射門角度(/EMF)最大?求出此時PM的長度

3、.3.【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,半圓O的直徑AB=10,點P是半圓O上的一個動點，則4PAB的面積最大值是;【問題探究】如圖2所示，AB、AC、前是某新區(qū)的三條規(guī)劃路，其中AB=6km,AC=3km,ZBAC=60,BC所對的圓心角為60.新區(qū)管委會想在BC路邊建物資總站點P,在AB、AC路邊分別建物資分站點E、F,即分別在BC、線段AB和AC上選取點P、E、F.由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點間按P-E-F-P的路徑進行運輸，因此，要在各物資站點之間規(guī)劃道路PE、EF和FP.顯然，為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本，就要使線段PE、EF、FP之和最短（各物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計）.

4、可求得PEF周長的最小值為km；【拓展應用】如圖3是某街心花園的一角，在扇形OAB中，/AOB=90,OA=12米，在圍墻OA和OB上分別有兩個入口C和D,且AC=4米，口是。3的中點，出口E而i上.現(xiàn)準備沿CE、DE從入口到出口鋪設兩條景觀小路，在四邊形CODE內(nèi)種花，在剩余區(qū)域種草.出口E設在距直線OB多遠處可以使四邊形CODE的面積最大？最大面積是多少？（小路寬度不計）已知鋪設小路CE所用的普通石材每米的造價是200元，鋪設小路DE所用的景觀石材每米的造價是400元.請問：在良&上是否存在點巳使鋪設小路CE和DE的總造價最低？若存在，求出最低總造價和出口E距直線OB的距離；若不存在，請說

5、明理由.4.【問題背景】（1）如圖1,。與/P的兩邊分別切與A,A,B兩點.求證：PA=PB.【深入探究】（2）在（1）的條件下，若/APB=60,連接PO,以PO為一條邊向上作等邊三角形POQ,連接AO,AQ.求證：AO=AQ.（3）若在 （1）的條件下， 以OP為斜邊向上作等腰直角三角形POQ,取OP中點M,連接MB,MQ,BQ,求證：/MQB=/MBQ.【拓展延伸】在（3）的條件下，連接AO,AQ,探索AO,AQ,AP之間的數(shù)量關系.5 .問題提出：如圖1,在等邊ABC中，AB=9,OC半徑為3,P為圓上一動點，連結AP+BP的最/、值3 3(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種

6、解題思路，通過構造一對相似三角形，將某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)如圖2,連結CP,在CB上取點D,使CD=1,則有且CPCBCPCB3 3又./PCD=Zs.zzBP3BP3PD=ABP.-.AP+BP=AP+PD3當A,P,D三點共線時，AP+PD取至ij最小值請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+-1BP的最小值為.(2)自主探索：如圖3,矩形ABCD中，BC=6,AB=8,P為矩形內(nèi)部一點，且PB=4,則工AP+PC的2最小值為.(請在圖3中添加相應的輔助線)(3)拓展延伸:如圖4,在扇形COD中，O為圓心，/COD=120,OC=4.OA=2,OB=3,點

7、P是ES上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程.AP,BP,求工BP轉化為3 36 .(1)初步思考:如圖1,在PCB中，已知PB=2,BC=4,N為BC上一點且BN=1,試證明：PN=_LPC2(2)問題提出：如圖2,已知正方形ABCD的邊長為4,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點，求PD+PC的最/、值.2(3)推廣運用：如圖3,已知菱形ABCD的邊長為4,/B=60,圓B的半徑為2,點P是圓B上的一個動點，求PD-二PC的最大值.2 2【中考壓軸題專題突破29】圓中的綜合創(chuàng)新實踐題（1）參考答案與試題解析一.解答題（共6小題）1.解：（1）當ADLBC時，ABC面積

8、的最大，則ABC面積的最大值是一BC?AD=_xgx6=24,故答案為：24;（2）如圖2中，連接OA,OB,OC,作OEXBC于E.設OA=OC=2x,圖2 2.ZCOB=2ZCAB=120,OC=OB,OEXCB,.CE=EB,ZCOE=ZBOE=60,.OE=-iOB=x,BE=/3x,.OC+OEAG,-3x3, .x1,x的最小值為1, -BC=2后，_ BC的最小值為2/3;(3)如圖3中，連接AF,EF,延長BC交AE的延長線于G, .ZD=90,AD=DE=6/2+6, ./DAE=ZAED=45,CD=AB=6&+12,.CE=CF=6, ./CEF=ZCFE=45, ./A

9、EF=90,EF=6BF,將EFM順時針旋轉得到FBH,作FHB的外接圓。交BC于N,連接ON, ./AEF=/ABF=90,AF=AF,EF=BF, RtAAEFRtAABF(HL),SAAEF=SAABF, ,/EFG=45, ./FEG=90,/EFG=45,EF=EG=6-72,FG=|V2EF=12,由（2）可知，當FHN的外接圓的圓心O在線段BF上時，F(xiàn)NH的面積最小，此時四邊形ANFE的面積最大，設OF=ON=r,則OB=BN=22_r,2 2r+&2r=6 6叵,2 2r=6f2（2-/2）,NH=V2r=12（2-亞，（12+蚯）*蚯-二X12（2-血）X6/2（2）存在.如

10、圖2和圖2所示:P,則點P或P即為所求;，四邊形ANFM的面積的最大值=2XAX2=144.2.解：（1）如圖所示：作AB的垂直平分線交OO于點P、在ABC中 .ZBAC=90,AB=AC=3/2,AD=2，/B=/C=45,BD=BD=-,j2,-,j2,BC=72AB=6 ./BDP+ZBPD=135/APD=45 ./APC+ZBPD=135 ./BDP=/APC .BPDACAP.取=更PCACPCAC設BP=x,貝UPC=6-x=6-13/26-13/2解得xi=3+：,X2=3-.；BP=3+或BP=3-心；(3)先證明以下事實：若點A、E、F、G均在。O上，點G為。O外一點,./

11、G=ZEAF,/EAFZG/G/G,即一條弧所對的圓周角大于圓外角.如圖3,過點E、F作。O,使。與PQ相切于點M,則此時/EMF最大圖丁.AB=66米、EF=8米，EB=FAGZG證明：如圖所示，連接AFG Gr rEB=29延長AB、QP交于點N .BN=BP=7,PN=BP=7&，NE=36,NF=44 .ZN=ZN,/NEM=/NMF=90 .NEMANMFNM2=NE?NFNM=12IPM=NM-PN=12/11-7答：當王員在PQ上距離點P（12/!-的）米時，才能使射門角度最大，即PM的長度為（1211-7衣）米.3.解：【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,點P運動至半圓O的中點時，底邊AB上的

12、高最大，即PO=r=5,此時PAB的面積最大值，SAPAB=X10X5=25,2 2故答案為：25;【問題探究】如圖2,假設P點即為所求，分別作點P關于AB、AC的對稱點P、P,連接PP,分別交AB、AC于點E、F,連接PE,PF,由對稱性可知，PE+EF+PF=PE+EF+FP=PP,且P、E、F、P在一條直線上，PP”即為最短距離，其長度取決于PA的長度，作出前的圓心O,連接AO,與筋交于P,P點即為使PA最短的點， AB=6,AC=3km,/BAC=60, .ABC是直角三角形，/ABC=30,BC=3/3, BC所對的圓心角為60,.OBC是等邊三角形，/CBO=60,BO=BC=3-

13、73,，/ABO=90。,AO=3-/7,PA=3后-3網(wǎng)，/PAE=ZEAP,/PAF=/FAP”，PAP=2ZABC=120,PA=AP， ./APE=ZAPF=30,PP=2PA?cosZAPE=|I/3PA=3 3IHIH-9, .PEF周長的最小值為3/H-9,故答案為：3/H-9;【拓展應用】如圖3-1,作OGXCD,垂足為G,延長OG交AB于點E,則此時CDE的面積最大，OA=OB=12,AC=4,點D為OB的中點,.OC=8,OD=6,在RtACOD中，CD=10,OG=4.8, .GE=12-4.8=7.2,，四邊形CODE面積的最大值為SACDO+SACDE=_1X6X8+

14、1X10X7.2=60;2222作EEHOB,垂足為H,/EOH+/OEH=90,/EOH+ZODC=90,./OEH=ZODC,又/COD=/EHO=90,CODAOHE,.嘰生CD0ECD0Ez z .a.a=9=910121012,.EH=7.2; 出口E設在距直線OB的7.2米處可以使四邊形鋪設小路CE和DE的總造價為200CE+400DE=200(CE+2DE),如圖3-2,連接OE,延長OB到點Q,使BQ=OB=12,連接EQ,在AEOD與4QOE中，/EOD=/QOE,且亞OEOQOEOQ2 2EODAQOE,故QE=2DE,.CE+2DE=CE+QE,問題轉化為求CE+QE的最

15、小值，連接CQ,交ABAB于點E,此時CE+QE取得最小值為CQ,在RtCOQ中，CO=8,OQ=24,，CQ=8JH故總造價的最小值為1600元;作EHOB,垂足為H,連接OE,設EH=x,則QH=3x, .在RtEOH中，OH2+HE2=OE2,(24-3x)2+x2=122,屆”曰36-6-/636-6-/6.解得，x1=i,x2=(舍去)，5555.總造價的最小值為1600/叵元，出口E距直線OB的距離為四生旦米.5 5CODE的面積最大為60平方米;A A4.解：【問題背景】(1)連接OA,OB,OP,.RA、PB是切線，RAXOA,PBXOB,./FAO=ZPBO=90,在RtAF

16、AO和RtAFBO中，小呼 P P(OAOB(OAOBRtAFAORtAFBO(HL),FA=PB;【深入探究】(2) RtAFAORtAPBO, ./APO=ZBPO, ./APB=60, ./APO=ZBPO=30,.POQ是等邊三角形， ./OPQ=60,PO=PQ, ./APQ=/APO=30,且PO=PQ,二.PA垂直平分OQ, .AO=AQ;(3)如圖3,連接OB,圖3 3 PB是。O是切線，PBXOB,且點M是OP的中點,.QM=BM, ./MQB=ZMBQ;拓展延伸】AO+6AQ=AP,理由如下：過點Q作QH，AQ交AP于點H, ./AQH=ZPQO=90, ./AQO=ZPQ

17、H, ./QPO+/QOP=90,ZAOP+ZAPO=90, /APQ+/APO=/APO+/AOQ, ./APQ=/AOP,且/AQO=/PQH,QP=OQ,AOQAHPQ(ASA).QH=AQ,AO=PH, -AH=|/2AQ, AP=PH+AH,AO+V2AQ=AP.5.解：(1)如圖1,o oBM=護，護，.OPQ是等腰直角三角形，且點M是OP的中點,.QM=連結AD,過點A作AFCB于點F,.AP+BP=AP+PD,要使AP+BP最小，3333 .AP+AD最小，當點A,P,D在同一條直線時,即：AP+BP最小值為AD,3 3 .AC=9,AFBC,/ACB=60故答案為：聽1在AB

18、上截取BF=2,連接PF,PC, AB=8,PB=4,BF=2, .ABPAPBF,. .FPFP 史國-，APABAPAB 叵AP+PC=PF+PC,2 2且/ABP=ZABP,AP+AD最小,PF=AP2 2.AP+BP的最小值為寸石;(2)如圖2,圖26.延長OC,使CF=4,連接BF,OP,PF,過點F作FBLOD于點M,.OC=4,FC=4,.FO=8,且OP=4,且/AOP=ZAOPOA=2,AOPAPOFPF=2AP-2PA+PB=PF+PB,.當點F,點P,點B三點共線時,2AP+PB的值最小,./COD=120,FOM=60,且FO=8,FMOM.OM=4,FM=4/3.MB=OM+OB=4+3=71FB=【：VI：= 2PA+PB的最小值為(1)證明：如圖1,，當點F,點P,點C三點共線時，AP+PC的值最小, - -CF=CF=加產(chǎn)十BCBC，= =VG2+2S= =2 2 . .，,4AP+PC的值最小值為2國,故答案為：2|；(3)如圖3,PB=2,BC=4,BN=1,PB2=4,BN?BC=4.PB2=BN?BC.，型=空.又B=ZB,BPBCBPBCBPNABCP.典=現(xiàn)=二.PN=_1PC;PCBP22PCBP22(2)如圖2,2,在BC上取一點G,使得B