第九章概率模型

1、第九章第九章 概率模型概率模型9.1 傳送系統(tǒng)的效率傳送系統(tǒng)的效率9.2 報(bào)童的訣竅報(bào)童的訣竅9.3 隨機(jī)存貯策略隨機(jī)存貯策略9.4 軋鋼中的浪費(fèi)軋鋼中的浪費(fèi)9.5 隨機(jī)人口模型隨機(jī)人口模型確定性因素和隨機(jī)性因素確定性因素和隨機(jī)性因素隨機(jī)因素可以忽略隨機(jī)因素可以忽略隨機(jī)因素影響可以簡單隨機(jī)因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)地以平均值的作用出現(xiàn)隨機(jī)因素影響必須考慮隨機(jī)因素影響必須考慮概率模型概率模型統(tǒng)計(jì)回歸模型統(tǒng)計(jì)回歸模型馬氏鏈模型馬氏鏈模型隨機(jī)模型隨機(jī)模型確定性模型確定性模型隨機(jī)性模型隨機(jī)性模型傳送帶傳送帶掛鉤掛鉤產(chǎn)品產(chǎn)品工作臺(tái)工作臺(tái)工人將生產(chǎn)出的產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的空鉤上運(yùn)走，若工工人將生

2、產(chǎn)出的產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的空鉤上運(yùn)走，若工作臺(tái)數(shù)固定，掛鉤數(shù)量越多，傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品越多。作臺(tái)數(shù)固定，掛鉤數(shù)量越多，傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品越多。背背景景在生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效在生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效率的指標(biāo)，研究提高率的指標(biāo)，研究提高傳送帶效率傳送帶效率的途徑的途徑9.1 傳送系統(tǒng)的效率傳送系統(tǒng)的效率問題分析問題分析 進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運(yùn)轉(zhuǎn)，應(yīng)假進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運(yùn)轉(zhuǎn)，應(yīng)假定工人們的定工人們的生產(chǎn)周期相同生產(chǎn)周期相同，即每人作完一件產(chǎn)品，即每人作完一件產(chǎn)品后，要么恰有空鉤經(jīng)過他的工作臺(tái)，使他可將產(chǎn)后，要么恰有空鉤經(jīng)過他的工作臺(tái)，使他可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走，

3、要么沒有空鉤經(jīng)過，迫使他放下這品掛上運(yùn)走，要么沒有空鉤經(jīng)過，迫使他放下這件產(chǎn)品并立即投入下件產(chǎn)品的生產(chǎn)。件產(chǎn)品并立即投入下件產(chǎn)品的生產(chǎn)。 可以用一個(gè)周期內(nèi)傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品可以用一個(gè)周期內(nèi)傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的總數(shù)的比例比例，作為衡量傳送帶效率的數(shù)量指標(biāo)。，作為衡量傳送帶效率的數(shù)量指標(biāo)。 工人們生產(chǎn)周期雖然相同，但穩(wěn)態(tài)下每人生產(chǎn)工人們生產(chǎn)周期雖然相同，但穩(wěn)態(tài)下每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻不會(huì)一致，可以認(rèn)為是隨機(jī)的，完一件產(chǎn)品的時(shí)刻不會(huì)一致，可以認(rèn)為是隨機(jī)的，并且在一個(gè)周期內(nèi)并且在一個(gè)周期內(nèi)任一時(shí)刻的可能性相同任一時(shí)刻的可能性相同。模型假設(shè)模型假設(shè)1）n個(gè)工作臺(tái)個(gè)工作臺(tái)均勻排列，均勻排

4、列，n個(gè)工人生產(chǎn)相互獨(dú)立，個(gè)工人生產(chǎn)相互獨(dú)立，生產(chǎn)周期是常數(shù)；生產(chǎn)周期是常數(shù)；2）生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻在）生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻在一個(gè)周期內(nèi)是一個(gè)周期內(nèi)是等可能等可能的；的；3）一周期內(nèi)）一周期內(nèi)m個(gè)均勻排列的掛鉤個(gè)均勻排列的掛鉤通過每一工作臺(tái)通過每一工作臺(tái)的上方，到達(dá)第一個(gè)工作臺(tái)的掛鉤都是空的；的上方，到達(dá)第一個(gè)工作臺(tái)的掛鉤都是空的；4）每人在生產(chǎn)完一件產(chǎn)品時(shí)都）每人在生產(chǎn)完一件產(chǎn)品時(shí)都能且只能觸到一只能且只能觸到一只掛鉤掛鉤，若這只掛鉤是空的，則可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走；，若這只掛鉤是空的，則可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走；若該鉤非空，則這件產(chǎn)品被放下，退出運(yùn)送系統(tǒng)。若該鉤非空

5、，則這件產(chǎn)品被放下，退出運(yùn)送系統(tǒng)。模型建立模型建立 定義定義傳送帶效率傳送帶效率為一周期內(nèi)運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)（記作為一周期內(nèi)運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)（記作s,待定）與生產(chǎn)總數(shù)待定）與生產(chǎn)總數(shù) n（已知）之比，記作（已知）之比，記作 D=s /n 若求出一周期內(nèi)每只掛鉤非空的概率若求出一周期內(nèi)每只掛鉤非空的概率p，則，則 s=mp為確定為確定s s，從，從工人工人考慮還是從考慮還是從掛鉤掛鉤考慮，哪個(gè)方便？考慮，哪個(gè)方便？ 設(shè)每只掛鉤為空的概率為設(shè)每只掛鉤為空的概率為q，則，則 p=1-q如如何何求求概概率率 設(shè)每只掛鉤不被一工人觸到的概率為設(shè)每只掛鉤不被一工人觸到的概率為r，則，則 q=rn 設(shè)每只掛鉤被一工人

6、觸到的概率為設(shè)每只掛鉤被一工人觸到的概率為u，則，則 r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m1-(1-1/m)n/n一周期內(nèi)有一周期內(nèi)有m個(gè)掛鉤通過每一工作臺(tái)的上方個(gè)掛鉤通過每一工作臺(tái)的上方模型解釋模型解釋若若(一周期運(yùn)行的一周期運(yùn)行的)掛鉤數(shù)掛鉤數(shù)m遠(yuǎn)大于工作臺(tái)數(shù)遠(yuǎn)大于工作臺(tái)數(shù)n, 則則)2)1(1(12mnnmnnmD 傳送帶效率傳送帶效率(一周期內(nèi)運(yùn)走一周期內(nèi)運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）)11(1nmnmD定義定義E=1-D (一周期內(nèi)未運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）一周期內(nèi)未運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）提高效率提高效率的途徑：的途徑： 增加增加m 習(xí)題習(xí)題1當(dāng)

7、當(dāng)n遠(yuǎn)大于遠(yuǎn)大于1時(shí)時(shí), E n/2m E與與n成正比，與成正比，與m成反比成反比若若n=10, m=40, D 87.5% (89.4%)mn2119.2 報(bào)童的訣竅報(bào)童的訣竅問問題題報(bào)童售報(bào)：報(bào)童售報(bào)： a (零售價(jià)零售價(jià)) b(購進(jìn)價(jià)購進(jìn)價(jià)) c(退回價(jià)退回價(jià))售出一份賺售出一份賺 a-b；退回一份賠；退回一份賠 b-c 每天購進(jìn)多少份可使收入最大？每天購進(jìn)多少份可使收入最大？分分析析購進(jìn)太多購進(jìn)太多賣不完退回賣不完退回賠錢賠錢購進(jìn)太少購進(jìn)太少不夠銷售不夠銷售賺錢少賺錢少應(yīng)根據(jù)需求確定購進(jìn)量應(yīng)根據(jù)需求確定購進(jìn)量每天需求量是隨機(jī)的每天需求量是隨機(jī)的優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長期的日平均收入優(yōu)化

8、問題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長期的日平均收入每天收入是隨機(jī)的每天收入是隨機(jī)的存在一個(gè)合存在一個(gè)合適的購進(jìn)量適的購進(jìn)量等于每天收入的期望等于每天收入的期望建建模模 設(shè)每天購進(jìn)設(shè)每天購進(jìn) n 份，份，日平均收入為日平均收入為 G(n)調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律每天每天需求量為需求量為 r 的概率的概率 f(r), r=0,1,2準(zhǔn)準(zhǔn)備備)()(rncbrnrbarnr賠退回賺售出nbannr)( 賺售出nrnrrnfbarfrncbrbanG01)()()()()()(求求 n 使使 G(n) 最大最大 已知售出一份賺已知售出一份賺 a-b；退回一份賠；退回一份賠 b-cnndrrnpbadr

9、rprncbrbanG0)()()()()()(dndG求解求解將將r視為連續(xù)變量視為連續(xù)變量概率密度）()()(rprf0dndGcbbadrrpdrrpnn)()(0nndrrpbadrrpcb0)()()()(ndrrpbannpba)()()()(ndrrpcbnnpba0)()()()(cbbadrrpdrrpnn)()(0結(jié)果解釋結(jié)果解釋nnPdrrpPdrrp201)(,)(nP1P2cbbaPP21取取n使使 a-b 售出一份賺的錢售出一份賺的錢 b-c 退回一份賠的錢退回一份賠的錢ncbnba)(,)(0rp9.3 隨機(jī)存貯策略隨機(jī)存貯策略問問題題以周為時(shí)間單位；一周的商品銷

10、售量為隨機(jī)；以周為時(shí)間單位；一周的商品銷售量為隨機(jī)；周末根據(jù)庫存決定是否訂貨，供下周銷售。周末根據(jù)庫存決定是否訂貨，供下周銷售。（s, S) 存貯策略存貯策略制訂下界制訂下界s, 上界上界S，當(dāng)周末庫存小于，當(dāng)周末庫存小于s 時(shí)訂貨，時(shí)訂貨，使下周初的庫存達(dá)到使下周初的庫存達(dá)到S; 否則，不訂貨。否則，不訂貨?？紤]訂貨費(fèi)、存貯費(fèi)、缺貨費(fèi)、購進(jìn)費(fèi)，制訂考慮訂貨費(fèi)、存貯費(fèi)、缺貨費(fèi)、購進(jìn)費(fèi)，制訂（s, S) 存貯策略存貯策略, ,使使( (平均意義下平均意義下) )總費(fèi)用最小總費(fèi)用最小模型假設(shè)模型假設(shè) 每次訂貨費(fèi)每次訂貨費(fèi)c0, 每件商品購進(jìn)價(jià)每件商品購進(jìn)價(jià)c1,每件商品每件商品一周貯存費(fèi)一周貯存費(fèi)

11、c2,每件商品缺貨損失費(fèi)每件商品缺貨損失費(fèi)c3 (c1c3) 每周銷售量每周銷售量 r 隨機(jī)、連續(xù)，概率密度隨機(jī)、連續(xù)，概率密度 p(r) 周末庫存量周末庫存量x, 訂貨量訂貨量 u, 周初庫存量周初庫存量 x+u 每周貯存量按每周貯存量按 x+u-r 計(jì)計(jì) 0)(0),()(10uxLuuxLuccuJxxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(建模與求解建模與求解（s, S) 存貯策略存貯策略0usx確定確定(s, S), 使目標(biāo)函數(shù)使目標(biāo)函數(shù)每周總費(fèi)用的平均值最小每周總費(fèi)用的平均值最小平均平均費(fèi)用費(fèi)用 訂貨費(fèi)訂貨費(fèi)c0, 購進(jìn)價(jià)購進(jìn)價(jià)c1, 貯存費(fèi)貯存費(fèi)c2, 缺貨費(fèi)缺

12、貨費(fèi)c3, 銷售量銷售量 r Suxusx, 0s 訂貨點(diǎn)，訂貨點(diǎn)， S 訂貨值訂貨值12130)()(ccccdrrpdrrpSSuxuxdrrpcdrrpccdudJ0321)()(建模與求解建模與求解1）設(shè)）設(shè) xs, 求求 u 使使 J(u) 最小，確定最小，確定SSSdrrpccdrrpcc01321)()()()(Sux01)(drrp0dudJScSc23,建模與求解建模與求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJSP1P20rp21PP2）對(duì)庫存）對(duì)庫存 x，確定訂貨點(diǎn)確定訂貨點(diǎn)s)()(101SLxSccJ

13、若訂貨若訂貨u, u+x=S, 總費(fèi)用為總費(fèi)用為 )(2xLJ 若不訂貨若不訂貨, u=0, 總費(fèi)用為總費(fèi)用為 12JJ )()(1xIxLxc記)()(0SIcxI訂貨點(diǎn)訂貨點(diǎn) s 是是的最小正根的最小正根建模與求解建模與求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJ)()()(10SLxSccxL不訂貨不訂貨)()(101SLSccxLxc)()(0SIcxI)()(0SIcxI最小正根的最小正根的圖解法圖解法J(u)在在u+x=S處達(dá)到最小處達(dá)到最小 x I(x) 0 S I(S) s I(S)+c0I(x)在在x=S處達(dá)

14、到最小值處達(dá)到最小值I(S)I(x)圖形圖形建模與求解建模與求解xxdrrpxrcdrrprxcxL032)()()()()(0)(0),()(10uxLuuxLuccuJ)()(1xLxcxIJ(u)與與I(x)相似相似I(S)()(0SIcxI的最小正根的最小正根 s9.4 軋鋼中的浪費(fèi)軋鋼中的浪費(fèi)軋制鋼材軋制鋼材兩道工序兩道工序 粗軋粗軋(熱軋熱軋) 形成鋼材的雛形形成鋼材的雛形 精軋精軋(冷軋冷軋) 得到鋼材規(guī)定的長度得到鋼材規(guī)定的長度粗軋粗軋鋼材長度正態(tài)分布鋼材長度正態(tài)分布均值可以調(diào)整均值可以調(diào)整方差由設(shè)備精度確定方差由設(shè)備精度確定粗軋鋼材長粗軋鋼材長度大于規(guī)定度大于規(guī)定切掉多余切掉

15、多余 部分部分粗軋鋼材長粗軋鋼材長度小于規(guī)定度小于規(guī)定整根報(bào)廢整根報(bào)廢隨機(jī)因隨機(jī)因素影響素影響精軋精軋問題：如何調(diào)整粗軋的均值，使精軋的浪費(fèi)最小問題：如何調(diào)整粗軋的均值，使精軋的浪費(fèi)最小背背景景分析分析設(shè)已知精軋后鋼材的規(guī)定長度為設(shè)已知精軋后鋼材的規(guī)定長度為 l， 粗軋后鋼材長度的均方差為粗軋后鋼材長度的均方差為 記粗軋時(shí)可以調(diào)整的均值為記粗軋時(shí)可以調(diào)整的均值為 m，則粗軋得到的，則粗軋得到的鋼材長度為正態(tài)隨機(jī)變量，記作鋼材長度為正態(tài)隨機(jī)變量，記作 xN(m, 2)切掉多余部切掉多余部分的概率分的概率)(lxPP整根報(bào)廢整根報(bào)廢的概率的概率)(lxPPPPm,存在最佳的存在最佳的m使總的浪費(fèi)最

16、小使總的浪費(fèi)最小lPPPm,0p(概率密度概率密度)mxP mPP lldxxxpdxxplxW)()()(ldxxlpdxxxp)()(建模建模選擇合適的目標(biāo)函數(shù)選擇合適的目標(biāo)函數(shù)切掉多余部分切掉多余部分的浪費(fèi)的浪費(fèi)整根報(bào)廢整根報(bào)廢的浪費(fèi)的浪費(fèi)總浪費(fèi)總浪費(fèi) =+lPm粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長度粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長度粗軋粗軋N根根成品材成品材 PN根根成品材長度成品材長度l PN總長度總長度mNNlPNmN lPm共浪費(fèi)長度共浪費(fèi)長度 mN-lPNlPmPNlPNmN)()(mPmmJ記222)(21)(,)()(mxlexpdxxpmP選擇合適的目標(biāo)函數(shù)選擇合適的目標(biāo)函數(shù)粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)

17、長度粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長度lPmNlPNmN得到一根成品材平均浪費(fèi)長度得到一根成品材平均浪費(fèi)長度更合適的目標(biāo)函數(shù)更合適的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化模型：求優(yōu)化模型：求m 使使J(m) 最?。ㄒ阎钚。ㄒ阎猯 , ）建模建模粗軋粗軋N根根得成品材得成品材 PN根根,mxylm,)()(J2221)()()(yzeydyyz)()(mPmmJ222)(21)()()(mxlexpdxxpmPz)()()(zzzJ)()(J求解求解求求 z 使使J(z) 最?。ㄒ阎钚。ㄒ阎?） 求解求解)()()(zzzJ0)()()(zzz)(/ )(zzz)()(zz0dzdJ2221)()()(yzeydyyz)(/

18、)()()(zzzFzzF簡表)()()(zzzFz*z例例設(shè)設(shè)l=2(米米), =20(厘米厘米)，求求 m 使浪費(fèi)最小。使浪費(fèi)最小。 =l/ =10z*=-1.78 *= -z*=11.78m*= * =2.36(米米)求解求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)zzF)(1.02.00-1.0-2.0105F(z)z9.5 隨機(jī)人口模型隨機(jī)人口模型背景背景 一個(gè)人的出生和死亡是隨機(jī)事件一個(gè)人的出生和死亡是隨

19、機(jī)事件一個(gè)國家或地區(qū)一個(gè)國家或地區(qū)平均生育率平均生育率平均死亡率平均死亡率確定性模型確定性模型一個(gè)家族或村落一個(gè)家族或村落出生概率出生概率死亡概率死亡概率隨機(jī)性模型隨機(jī)性模型對(duì)象對(duì)象X(t) 時(shí)刻時(shí)刻 t 的人口的人口, 隨機(jī)變量隨機(jī)變量.Pn(t) 概率概率P(X(t)=n), n=0,1,2,研究研究Pn(t)的變化規(guī)律；得到的變化規(guī)律；得到X(t)的期望和方差的期望和方差若若X(t)=n, 對(duì)對(duì)t到到t+ t的出生和死亡概率作以下假設(shè)的出生和死亡概率作以下假設(shè)1)出生一人的概率與出生一人的概率與 t成正比，記成正比，記bn t ;出生二人及二人以上的概率為出生二人及二人以上的概率為o(

20、t).2)死亡一人的概率與死亡一人的概率與 t成正比，記成正比，記dn t ;死亡二人及二人以上的概率為死亡二人及二人以上的概率為o( t).3)出生和死亡是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件。出生和死亡是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件。 bn與與n成正比，記成正比，記bn= n , 出生概率出生概率；dn與與n成正比，記成正比，記dn= n， 死亡概率死亡概率。進(jìn)一步假設(shè)進(jìn)一步假設(shè)模型假設(shè)模型假設(shè))()1)()()()(1111totdtbtPtdtPtbtPttPnnnnnnnn建模建模為得到為得到Pn(t) P(X(t)=n),的變化規(guī)律，的變化規(guī)律，考察考察Pn(t+ t) =P(X(t + t)=n).事件事件X(t + t)=n的分解的分解X(t)=n-1, t內(nèi)出生一人內(nèi)出生一人X(t)=n+1, t內(nèi)死亡一人內(nèi)死亡一人X(t)=n, t內(nèi)沒有出生和死亡內(nèi)沒有出生和死亡其它其它(出生或死亡