近世代數(shù)楊子胥第二版課后習題集答案解析(最新發(fā)行版)

1、 近世代數(shù)題解 第一章 基本概念1. 11.4.5.近世代數(shù)題解 1. 22.3.近世代數(shù)題解 1. 31. 解 1)與3)是代數(shù)運算，2)不是代數(shù)運算2. 解 這實際上就是M中n個元素可重復的全排列數(shù)nn3. 解 例如ABE與ABABAB4.5.近世代數(shù)題解 1. 41.2.3.解 1）略 2）例如規(guī)定45略近世代數(shù)題解 1. 51. 解 1)是自同態(tài)映射，但非滿射和單射；2)是雙射，但不是自同構(gòu)映射3)是自同態(tài)映射，但非滿射和單射4)是雙射，但非自同構(gòu)映射2.略3.4.5.1. 61.2. 解 1)不是因為不滿足對稱性；2)不是因為不滿足傳遞性；3)是等價關(guān)系；4)是等價關(guān)系3. 解 3)

2、每個元素是一個類，4)整個實數(shù)集作成一個類4.則易知此關(guān)系不滿足反身性，但是卻滿足對稱性和傳遞性(若把Q換成實數(shù)域的任一子域均可；實際上這個例子只有數(shù)0和0符合關(guān)系，此外任何二有理數(shù)都不符合關(guān)系)5.6.證 1）略2）7.8.9.10.11.12.第二章 群2. 1 群的定義和初步性質(zhì) 一、主要內(nèi)容 1群和半群的定義和例子特別是一船線性群、n次單位根群和四元數(shù)群等例子 2群的初步性質(zhì) 1)群中左單位元也是右單位元且惟一； 2)群中每個元素的左逆元也是右逆元且惟一： 3)半群G是群方程a x=b與y a=b在G中有解(a ,bG) 4)有限半群作成群兩個消去律成立 二、釋疑解難有資料指出，群有5

3、0多種不同的定義方法但最常用的有以下四種： 1)教材中的定義方法簡稱為“左左定義法”； 2)把左單位元換成有單位元，把左逆元換成右逆元(其余不動簡稱為“右右定義法”； 3)不分左右，把單位元和逆元都規(guī)定成雙邊的，此簡稱為“雙邊定義法”； 4)半群G再加上方程a x=b與y a=b在G中有解(a ,bG)此簡稱為“方程定義法”“左左定義法”與“右右定義法”無甚差異，不再多說“雙邊定義法”缺點是定義中條件不完全獨立，而且在驗算一個群的實例時必須驗證單位元和逆元都是雙邊的，多了一層手續(xù)(雖然這層手續(xù)一般是比較容易的)；優(yōu)點是：不用再去證明左單位元也是右單位元，左逆元也是右逆元；從群定義本身的條件直接

4、體現(xiàn)了左與右的對稱性以施行“除法運算”，即“乘法”的逆運算因此，群的方程定義法”直接體現(xiàn)了在群中可以施行“乘法與除法”運算于是簡言之，可以施行乘法與除法運算的半群就是群為了開闊視野，再給出以下群的另一定義定義 一個半群G如果滿足以下條件則稱為一個群：對G中任意元素a，在G中都存在元素，對G中任意元素b都有(ab)=(ba)=b這個定義與前面4種定義的等價性留給讀者作為練習2在群的“方程定義法”中，要求方程a x=b與y a=b都有解缺一不可即其中一個方程有解并不能保證另一個方程也有解4關(guān)于結(jié)合律 若代數(shù)運算不是普通的運算(例如，數(shù)的普通加法與乘法，多項式的普通加法與乘法以及矩陣、變換和線性變換

5、的普通加法或乘法)，則在一般情況下，驗算結(jié)合律是否成立比較麻煩因此在代數(shù)系統(tǒng)有限的情況下，有不少根據(jù)乘法表來研究檢驗結(jié)合律是否成立的方法但無論哪種方法，一般都不是太簡單 5關(guān)于消去律 根據(jù)教材推論2，對有限半群是否作成群只用看消去律是否成立而消去律是否成立，從乘法表很容易看出，因為只要乘法表中每行和每列中的元素互異即可6在群定義中是否可要求有“左”單位元而每個元素有“右”逆元呢？答 不可以，例如上面例2就可以說明這個問題，因為e1是左單位元，而e1與e2都有右逆元且均為e1但G并不是群 7群與對稱的關(guān)系 1)世界萬物，形態(tài)各異但其中有無數(shù)大量事物部具有這樣或那樣的對稱性而在這些具有對稱性的萬事

6、萬物中，左右對稱又是最為常見的 由群的定義本身可知，從代數(shù)運算到結(jié)合律，特別是左、右單位元和左、右逆元，均體現(xiàn)出左右對稱的本質(zhì)屬性 2)幾何對稱設(shè)有某一幾何圖形，如果我們已經(jīng)找到了它的全部對稱變換(即平常的反射、旋轉(zhuǎn)、反演和平移變換的統(tǒng)稱)，則此對稱變換的全體關(guān)于變換的乘法作成一個群，稱為該圖形的完全對稱群這個圖形的對稱性和它的完全對稱群是密切相關(guān)的凡對稱圖形(即經(jīng)過對稱變換保持不變的圖形、亦即完成這種變換前后的圖形重合)，總存在若干個非恒等對稱變換和恒等變換一起構(gòu)成該圖形的完全對稱群反之，如果一個圖形存在著非平凡的對稱變換，則該圖形就是對稱圖形不是對稱的圖形，就不能有非恒等的對稱變換顯然，一

7、個圖形的對稱程度越高，則該圖形的對稱變換就越多也就是說它的完全對稱群的階數(shù)就越高，即圖形對稱程度的高低與其對稱群的階數(shù)密切相關(guān)因此；這就啟發(fā)人們用群去劊面對稱圖形及其性質(zhì)，用群的理論去研究對稱所以人們就把群論說成是研究對稱的數(shù)學理論顯然，每個n元多項式都有一個確定的n次置換群：例如n元多項式例6 任何n元對稱多項式的置換群都是n次對稱群 很顯然，一個多元多項式的置換群的階數(shù)越高，這個多元多項式的對稱性越強反之亦然因此，我們通常所熟知的多元對稱多項式是對稱性最強的多項式 三、習題21解答1.略2.3.4.5.6.2. 2 群中元素的階一、主要內(nèi)容 1群中元素的階的定義及例子周期群、無扭群與混合群

8、的定義及例子特別，有限群必為周期群，但反之不成立2在群中若n，則 4若G是交換群，又G中元素有最大階m，則G中每個元素的階都是m的因子 二、釋疑解難在群中，由元素a與b的階一般決定不了乘積ab的階，這由教材中所舉的各種例子已經(jīng)說明了這一點對此應(yīng)十分注意但是，在一定條件下可以由階與決定階，這就是教材中朗定理4： 4一個群中是否有最大階元?有限群中元素的階均有限，當然有最大階元無限群中若元素的階有無限的(如正有理數(shù)乘群或整數(shù)加群)，則當然無最大階元，若無限群中所有元素的階均有限(即無限周期群)，則可能無最大階元，如教材中的例4：下面再舉兩個(一個可換，另一個不可換)無限群有最大階元的例子5利用元素

9、的階對群進行分類，是研究群的重要方法之一例如，利用元素的階我們可以把群分成三類，即周期群、無扭群與混合群而在周期群中又可分出p群p是素數(shù))，從而有2群、3群、5群等等再由教材3. 9知，每個有限交換群(一種特殊的周期群)都可惟一地分解為素冪階循環(huán)p群的直積，從而也可見研究p群的重要意義三、習題22解答1.2.3.4.5.推回去即得6.2. 3 子 群一、主要內(nèi)容1子群的定義和例子特別是，特殊線性群(行列式等于l的方陣)是一般線性群(行列式不等于零的方陣)的子群4群的中心元和中心的定義二、釋疑解難關(guān)于真子群的定義教材把非平凡的子群叫做真子群也有的書把非G的于群叫做群G的真子群不同的定義在討論子群

10、時各有利弊好在差異不大，看參考書時應(yīng)予留意 2如果H與G是兩個群，且HG，那么能不能說H就是G的子群?答：不能因為子群必須是對原群的代數(shù)運算作成的群例如，設(shè)G是有理數(shù)加群，而H是正有理數(shù)乘群，二者都是群，且HG但是不能說H是G的子群答：不能這樣認為舉例如下例2 設(shè)G是四元數(shù)群則顯然是G的兩個子群且易知反之亦然 三、習題23解答1證 賂2證 必要性顯然，下證充分性 設(shè)子集H對群G的乘法封閉，則對H中任意元素a和任意正整數(shù)m都有amH 由于H中每個元素的階都有限，設(shè)n，則3對非交換群一放不成立例如，有理數(shù)域Q上全體2階可逆方陣作成的乘群中，易知 ， 的階有限，都是2，但易知其乘積的階卻無限即其全體

11、有限階元素對乘法不封閉，故不能作成子群4證 由高等代數(shù)知，與所有n階可逆方陣可換的方陣為全體純量方陣，由此即得證5證 因為(m，n)1，故存在整數(shù)s，t使 ms十n t1由此可得672. 4 循 環(huán) 群一、主要內(nèi)容1生成系和循環(huán)群的定義2循環(huán)群中元素的表示方法和生成元的狀況3循環(huán)群在同構(gòu)意義下只有兩類：整數(shù)加群和n次單位根乘群，其中n1，2，3，4循環(huán)群的子群的狀況無限循環(huán)群有無限多個子群n階循環(huán)群有T(n)(n的正出數(shù)個數(shù))個子群，且對n的每個正因數(shù)k，有且僅有一個k階子群二、釋疑解難 1我們說循環(huán)群是一類完全弄清楚了的群，主要是指以下三個方面： 1)循環(huán)群的元素表示形式和運算方法完全確定其

12、生成元的狀況也完全清楚(無限循環(huán)群有兩個生成元，n階循環(huán)群有個生成元而且ak是生成元(kn)1)； 2)循環(huán)群的子群的狀況完全清楚； 3)在同構(gòu)意義下循環(huán)群只有兩類：一類是無限循環(huán)群，都與整數(shù)加群同構(gòu)；另一類是n(n1，2，)階循環(huán)群，都與n次單位根乘群同構(gòu)2循環(huán)群不僅是一類完全弄清楚了的群，而且是一類比較簡單又與其他一些群類有廣泛聯(lián)系的群類例如由下一章9可知，有限交換群可分解為一些素冪階循環(huán)群的直積更一般地，任何一個具有有限生成系的交換群都可分解成循環(huán)群的直積由于循環(huán)群已完全在我們掌握之中，所以這種群(具有有限生成系的交換群)也是一類研究清楚了的群類它在各種應(yīng)用中有著非常重要的作用例如在組合

13、拓撲學中它就是一個主要的工具三、習題2. 4解答1.2.3.4.5.6.7.2. 5 變 換 群一、主要內(nèi)容 1變換群、雙射變換群(特別是集合M上的對稱群和n次對稱群)和非雙射變換群的定義及例子2變換群是雙射變換群的充要條件；雙射變換群與抽象群的關(guān)系1)集合M上的變換群G是雙射變換群G含有M的單或滿)射變換； 2)任何一個群都同一個(雙射)變換群同構(gòu)3有限集及無限集上非雙射變換群的例子(例2和例3)二、釋疑解難 1一般近世代數(shù)書中所說的“變換群”，都是由雙射變換(關(guān)于變換乘法)所作成的群，即本教材所說的“雙射變換群”而本教材所說的“變換群”則是由一個集合上的一些變換(不一定是雙射變換)作成的群

14、通過教材5定理2和推論1可知，實際上變換群可分成兩類：一類是雙射變換群(全由雙射變換作成的群，即通常近世代數(shù)書中所說的“變換群”)，另一類是非雙射變換群(全由非雙射變換作成的群)在學習本書時應(yīng)留意這種差異2本節(jié)教材定理2(若集合M上的變換群G含有M的單射或滿射變換則G必為M上的一個雙射變換群，即G中的變換必全是雙射變換)比有些書上相應(yīng)的定理(若集合M上由變換作成的群G含有M的恒等變換，則G中的變換必全為雙射變換)大為推廣因為后者要求G包含恒等變換(一個特殊的雙射變換)，而前者僅要求G包含一個單(或滿)射變換即可因此，后音只是前者(本節(jié)教材定理2)的一個推論，一種很特殊的情況兩相比較，差異較大這

15、種差異也說明，M上的任何一個非雙射變換群不僅不能包含恒等變換，而且連M的任何單射或滿射變換也不能包含另外，在這里順便指出，集合M上的任何雙射變換群G的單位元必是M的恒等變換3集合M上的全體變換作成的集合T(M)，對于變換的乘法作成一個有單位元的半群在半群的討論中，這是一類重要的半群并且本節(jié)習題中第4題還指出，當1時T(M)只能作成半群，而不能作成群三、習題2. 5解答1. 解 作成有單位元半群，是單位元但不作成群，因為無逆元2.3. 解 G作成群：因為易知4.5.2. 6 置 換 群一、主要內(nèi)容1任何(非循環(huán))置換都可表為不相連循環(huán)之積，任何置換都可表為若干個對換之積，且對換個數(shù)的奇陰偶性不變

16、從而有奇、偶置換的概念，且全體n次置換中奇、偶置換個數(shù)相等，各為個(n1)2k循環(huán)的奇偶性、階和逆元的確定方法，以及不相連循環(huán)乘積的奇偶性、階和逆元的確定方法 1)k循環(huán)與A有相反奇偶性 2)k循環(huán)的階為k又(i1，i2ik)1(ik，i2，i1 ) 3)若分解為不相連循環(huán)之積則其分解中奇循環(huán)個數(shù)為奇時為奇置換，否則為偶置換的階為各因子的階的最小公倍其逆元可由k循環(huán)的逆元來確定 3由置換，求置換的方法n次對稱群sn的中心 4傳遞群的定義、例子和簡單性質(zhì) 二、釋疑解難 1研究置換群的重要意義和作用 除了教材中已經(jīng)指出的(置換群是最早研究的一類群，而且每個有限的抽象群都同一個置換群同構(gòu))以外，研究

17、置換群的重要意義和作用至少還有以下幾方面： 1)置換群是一種具體的群，從置換乘法到判斷置換的奇偶性以及求置換的階和逆置換，都很具體和簡單同時它也是元素不是數(shù)的一種非交換群在群的討論中舉例時也經(jīng)常用到這種群 2)在置換群的研究中，有一些特殊的研究對象是別的群所沒有的如置換中的不動點理論以及傳遞性和本原性理論等等 3)置換群中有一些特殊的子群也是一般抽象群所沒有的例如，交代群、傳遞群、穩(wěn)定子群和本原群等等就教材所講過的交代群和傳遞群的重要性便可以知道，介紹置換群是多么的重要 2用循環(huán)與對換之積來表出置換的優(yōu)越性 首先，書寫大為簡化，便于運算。另外還便于求置換的階，判斷置換的奇偶性和求逆置換因為我們

18、知道： k循環(huán)的階是k ；不相連循環(huán)之積的階為各循環(huán)的階的最小公倍；k循環(huán)的奇偶性與k一1的奇?zhèn)H性相同；又k循環(huán)(i1，i2ik)的逆元為(i1，i2ik)1(ik，i2，i1 ) 3.由教材本節(jié)例3可直接得出以下結(jié)論:n次置換群G若包含有奇置換,則是一個偶數(shù)另外，由于偶置換之積仍為偶置換，故任何n次置換群G中的全體偶置換作成G的一個子群5在一般群中判斷二元素是否共扼(參考第三章6)并不容易，但是，在對稱群sn中二置換是否共扼卻容易判斷，即二者有相同的循環(huán)結(jié)構(gòu)(參考習題39第30題)其證明要用到本節(jié)的定理5，這也是該定理的一個重要應(yīng)用6法國數(shù)學家馬蒂厄于1861年和1873年曾發(fā)現(xiàn)四個4重傳遞

19、群，分別用M11，M12，M23，M24表示，后人稱為馬蒂厄群這四個群的階數(shù)都很大，它們的階數(shù)分別是：三、習題26解答1.略2.3.略4.略5.6. 證 因為H有限，故要證Hs4只用驗算H對置換乘法封閉即可7.解 令(123456)則G的全部6個置換是：27 陪集、指數(shù)和Lagrange定理一、主要內(nèi)容1左、右陪集定義和簡單性質(zhì)1)左陪集的五個基本性質(zhì)：1)一5)；2)全體左陪集與全體右陪集之間可建立雙射；3)群G關(guān)于子群H的左陪集分解式：4有限子群乘積的階同子群的階的關(guān)系沒H，K是群G的兩有限于群，則二、釋題解難1一般來說，兩個陪集的乘積不再是一個陪集例如，對三次對稱群S3的子群H=(1)，

20、(12)來說，(1)H與(13)H是兩個左陪集，但其乘積 (1)H(13)H(13)，(23)，(123)，(132)不再是左陪集三、習題27解答1證 利用Lagrange定理即得2略3.4.5. 6. 易知S3的以下六個子集：H1(1),H2(1),(12), H3(1),(13),H4(1),(23),H5(1),(123),(132),H6S3都是S3的子群 下證S3僅有這六個子群 設(shè)H為S3的任一非平凡子群,則由于是6的因數(shù),故只能2,3 當2時，H只能是H2, H3, H4 當3時，H中元素的階必為3的因數(shù)，即只能是1或3因此，此時H中除單位元外，另兩個元素必定都是3階元但S3中的三

21、階元有且僅有兩個，即(123)和(132)，因此，此時只能HH5綜上所述可知，S3有且僅有這六個子群7.8. 9.10.11.12.13.14. 證 若G是有限群，則G的子集個數(shù)是有限的，從而其子群個數(shù)當然也是有限的反之，若群G只有有限個子群，則G中顯然不能有無限階元素，因為無限循環(huán)群有無限個子群這樣，G中每個元素的階都有限任取a1G，則是G的一個有限于群；再取a2G一，于是是G的一個異于的有限于群再取a3G一U，同理又是G的一個異于，的有限子群但G只有有限個子群，故這種過程不能無限地持續(xù)下去，從而必存在s使16.17.18.19.20.21.22. 證 反證法設(shè)A4有6階子群H，則H除恒等置

22、換(1)外，23.24.25.26.第三章 正規(guī)子群和群的同態(tài)與同構(gòu)31 群同態(tài)與同構(gòu)的簡單性質(zhì) 一、主要內(nèi)容二、釋疑解難 1對于群同態(tài)映射有時不必要求是滿射，有時又必須要求是滿射例如教材本節(jié)定理1中的同態(tài)映射必須是滿射，而定理2和定理3的同態(tài)映射則不要求是滿射原因很簡單：因為定理1中的同態(tài)映射若不是滿射，則中必有元素沒有逆象，從而以及群G中元素的性質(zhì)對它們不會產(chǎn)生任何影陶，此時當然就不一定作成群；然而定理2和定理3的情形可就不同了：因為這時也是群，而且在同態(tài)映射 (不一定是滿射)之下單位元必有逆象，而于群必合單位元，從而的于群必有逆象，不會是空集例1 設(shè)G加F零有理數(shù)乘群，為全體有理數(shù)對乘法

23、作成的幺半群則顯然為G到的一個同態(tài)映射(不是滿射)雖然G是群，但對不僅不是群，連半群也不是(因為其代數(shù)運算不滿足結(jié)合律)2關(guān)于教材例3，若利用第三章6定理3(若pn則群G有p階元)的結(jié)論，則其證明可大為簡化現(xiàn)在本節(jié)是利用前面已學過的知識來證明，這也是Lagrange定理和已知結(jié)論的一種應(yīng)用這樣做雖然梢麻煩一點，但也很有意義 三、習題31解答12.3.4.5. 證 因為4，G又不是循環(huán)群，從而G無4階元于是由Lagrange定理知，G中除單位元e外每個元素的階均為2因此，若令6.32正規(guī)于群和商群一、主要內(nèi)容1正規(guī)子群定義、性質(zhì)和例子性質(zhì)主要有 2)正規(guī)子群在同態(tài)滿射下的象和逆象均仍為正規(guī)于群

24、3)正規(guī)子群與子群之積是子群；正規(guī)子群與正規(guī)子群之積是正規(guī)子群 2商群定義及商群的一個應(yīng)用(Cauchy定理pn階交換群必有p階子群，其中p為素數(shù)) 3介紹由正規(guī)子群來界定的兩類群：哈密頓群和單群這是兩類在群論研究中占很重要地位的群 二、釋疑解難 1教材在本節(jié)所舉的例子中，應(yīng)該十分注意S4、及Sn(n4)的正規(guī)子群的狀況因為這涉及S2，S3及S4都是可解群(參考本節(jié)習題第8題)，而當n5時Sn不是可解群這種名稱來源于一般的二、四次代數(shù)方程都有求根公式，即可根式解，但一般的五次和五次以上助代數(shù)方程都沒有求根公式，即不可根式解這是在教材中已經(jīng)證明了的對此也可以采取以下證法： 這種證法是最原始的一種

25、證法，當然不如教材中的證法簡單其所以簡單，是由于利用了子集乘法的性質(zhì)(AB)CA(BC)以及NbbN和N2N3在本教材中，共有三個定理(本節(jié)定理5、6定理3及8定理1)涉及pn(p是素數(shù))階群G必有p階子群從表面上看，這三個定理似有重復之感實際上三者互相聯(lián)系緊密，而且其中任何一個都不能由另一個所代替這是因為，本節(jié)定理5是假設(shè)G為交換群，6定理3并不假設(shè)G為交換群，但在證明中要用到本節(jié)定理5；又8定理1(即第一sylow定理)又要用到6定理3因此，三者密不可分，而且哪一個也不是多余的對此，示意如下：4李型單群是李代數(shù)中謝瓦菜單群和單扭群的統(tǒng)稱，它們是一些由矩陣作成的群三、習題32解答1略2.3.

26、4.5.6.7.8.33 群同態(tài)基本定理 一、主要內(nèi)容 1在同構(gòu)意義下，每個群能而且只能與其商群同態(tài)即指以下兩點： 2在同態(tài)映射下，循環(huán)群的同態(tài)象是循環(huán)群 3若G，則群G的所有包含核的子群同已的有于群間有一個保持包含關(guān)系的雙射二、釋疑解難 三、習題33解答1.2.3.4.5.這與(1)矛盾故Q+與Q不同構(gòu)34 群的同構(gòu)定理 一、主要內(nèi)容1本節(jié)主要介紹了群的三個同構(gòu)定理它們是：2借助同構(gòu)定理，作為例子證明了以下兩個結(jié)論； 二、釋疑解難1第一同構(gòu)定理還有另一證法，見本節(jié)習題第4題，此外還應(yīng)注意第一同構(gòu)定理中的兩個條件：這是無關(guān)緊要的，因為同構(gòu)關(guān)系具有對稱性 3第同構(gòu)定理說明商群中子群的特征簡言之，

27、商群中的子群仍為一種商群；且商群之商群可類似于普通分數(shù)那樣進行約分三、習題34解答1.2.3.4.5.6.35 群的自同構(gòu)群一、主要內(nèi)容 1群酌自同構(gòu)群、內(nèi)自同構(gòu)群以及特征子群和全特征子群的定義和例子 1)群G的全體自同構(gòu)關(guān)于變換的乘法作成一個群，稱為G的自同構(gòu)群記為AtuG2)群G的全體內(nèi)自同構(gòu)二、釋疑解難 1教材中曾經(jīng)指出，要從已知群定出其白同構(gòu)群，一船而言，是非常困難的，這由教材中所舉出的例子即可說明這一點但是，對有些群卻可定出其自同構(gòu)群偽一些性質(zhì)，就本教材而言，主要有：1)定理2指出，從循環(huán)群可定出其自同構(gòu)群的階2)從教材本節(jié)例1和上節(jié)例2知；Aut R主5：宣5JKi“從而Nein四

28、元群K4的自同構(gòu)群是非常清楚的，它是一個6階非交換群，而且其元素的階以及子群和正規(guī)子群的狀況都很清楚 3)本節(jié)習題第6題指出，無中心群的自同構(gòu)群仍是一個無中心群，從而由教材第二章6定理6可知當n3時，Sn的自同構(gòu)群是一個無中心群 2群G中元素a與b確定同一個內(nèi)自同構(gòu)(ab)的無要條件是： aCbC (a，bC)即a與b在同一個(關(guān)于C的)陪集中因此，有多少個關(guān)于C的陪集就有多少個G的內(nèi)自同構(gòu)，即InnG(GC)。其實這一點也是同構(gòu)InnGGC的直接結(jié)果，即 3群G的自同構(gòu)群顯然是G上對稱群S(G)(G的全體雙射變換關(guān)于變換乘法作成的群)的一個子群，即進一步，由于群的每個自同構(gòu)部保持單位元e不變

29、，因此實際上更有4由于 全特征子群特征子群正規(guī)子群,故特征子群是一類特殊的正規(guī)于群，而全特征子群又是一類特殊的特征子群我們知道，正規(guī)子群是不可傳遞的，即正規(guī)子群的正規(guī)子群不一定是原群的正規(guī)子群但是，對于特征子群和全待征子群來說，卻是可以傳遞的即若G1是群G2的(全)持征子群，又G2是群G3的(全)持征子群，則G1必是G3 的(全)特征子群這個證明并不難，留給讀者作為練習三、習題35解答1.2.3.4. 證 因為中心，而G是非交換單群，故只有Ce從而由定理4知： Inn GGCG因此，GInnG5.6.36 共軛關(guān)系與正規(guī)化子一、主要內(nèi)容 1群中子集的共軛(特別是元素的共軛、子群的共軛)定義，和

30、由此得到的共軛子集類(特別是共軛元素類和共軛子群類)以及群的類等式等概念2正規(guī)化子N(S)與中心化于C(S)的定義和性質(zhì)有： 3正規(guī)化子的作用(刻畫一個共軛類中成員的個數(shù))和一個應(yīng)用(cauchy定理：pn階群有p階于群) 二、釋疑解難 1二元素是否共軛同此二元素所在的群的范圍有關(guān)就是說，設(shè) a，bHG，則若a與b在H中共軛，當然在G中一定共軛；但是，當a與b在G中共軛時則在H中不一定共軛2群的類等式有很多應(yīng)用，教材中本節(jié)定理3(cauchy定理)的證明就是一個例子下面再舉一例， 例2 證明：交代群A4沒有6階子群 證 反證法設(shè)A4有6階于群H，則(A4H)2從而H是A4的正規(guī)子群但是， H是

31、A4的正規(guī)子群H是A4的若干個共軛類的并(一般也成立，讀者自證)而A4的類等式為 1十3十4十4，由于4個數(shù)1，3，4，4中任幾個的和也不會是6，矛盾因此A4無6階子群4對任二共軛的有限于群來說，由于二者包含的元素個數(shù)相等，當然不可能其中一個是另一個的真子群但對無限子群來說，這種情況卻可能發(fā)生三、習題36 解答1.略 2.略3.4.5.6.37群的直積Sylow定理有限交換群8.10.11.13.16.17.19.20.21.25.27.28.30.第四章 環(huán)與域1 環(huán)的定義一、主要內(nèi)容1環(huán)與子環(huán)的定義和例子。在例子中，持別重要的是效域上的多項式環(huán)、n階全陣環(huán)和線性變換環(huán)，以及集M的冪集環(huán)2環(huán)

32、中元素的運算規(guī)則和環(huán)的非空子集S作成子環(huán)的充要條件：二、釋疑解難1設(shè)R是一個關(guān)于代數(shù)運算十，作成的環(huán)應(yīng)注意兩個代數(shù)運算的地位是不平等的，是要講究次序的所以有時把這個環(huán)記為(R，十，)(或者就直接說“R對十，作成一個環(huán)”)但不能記為R， ，十)因為這涉及對兩個代數(shù)運算所要求滿足條件的不同我們知道，環(huán)的代數(shù)運算符號只是一種記號如果集合只有二代數(shù)運算記為，又R對 作成一個交換群，對滿足結(jié)合律且對滿足左、右分配律，即就是說，在環(huán)的定義里要留意兩個代數(shù)運算的順序2設(shè)R對二代數(shù)運算十，作成一個環(huán)那么，R對“十”作成一個加群，這個加群記為(R,十)；又R對“ ”作成一個半群，這個乍群記為(R，)再用左、右分

33、配律把二者聯(lián)系起來就得環(huán)(R，十)三、習題41解答12345678證明：循環(huán)環(huán)必是交換環(huán)，并且其子環(huán)也是循環(huán)環(huán)42 環(huán)的零因子和特征一、主要內(nèi)容環(huán)的左、右零因子和特征的定義與例子 2若環(huán)R無零因子且階大于1，則R中所有非零元素對加法有相同的階而且這個相同的階不是無限就是一個素數(shù) 這就是說，階大于l且無零因子的環(huán)的特征不是無限就是一個素數(shù) 有單位元的環(huán)的特征就是單位元在加群中的階3整環(huán)(無零因子的交換環(huán))的定義和例子二、釋疑解難 由教材關(guān)于零因子定義直接可知，如果環(huán)有左零因子，則R也必然有右零因子反之亦然但是應(yīng)注意，環(huán)中一個元素如果是一個左零因子，則它不一定是一個右零因子例如，教材例l中的元素就

34、是一個例子反之，一個右零因子也不一定是一個左零因子例如，設(shè)置為由一切方陣對方陣普通加法與乘法作成的環(huán)則易知是R的一個右零因子，但它卻不是R的左零因子2.關(guān)于零因子的定義關(guān)于零因子的定義，不同的書往往稍有差異，關(guān)鍵在于是否把環(huán)中的零元也算作零因子本教材不把零元算作零因子，而有的書也把零元算作零因子但把非牢的零因子稱做真零因子這種不算太大的差異，讀者看參考書時請留意3關(guān)于整環(huán)的定義整環(huán)的定義在不同的書中也常有差異大致有以下4種定義方法：定義1 無零因子的交換環(huán)稱為整環(huán)(這是本教材的定義方法)定義2 階大于l且無零因子的交換環(huán)，稱為整環(huán)定義3 有單位元且無零因子的交換環(huán)，稱為整環(huán)定義4 階大于1、有

35、單位元且無零因子的交換環(huán)，稱為整環(huán)以上4種定義中，要求整環(huán)無零因子、交換是共同的，區(qū)別就在于是否要求有單位元和階大于1不同的定義方法各有利弊，不宜絕對肯定哪種定義方法好或不好這種情況也許到某個時期會得到統(tǒng)一但無論如何現(xiàn)在看不同參考書時應(yīng)留意這種差異本教材采用定義1的方法也有很多原因，現(xiàn)舉一例。本章8定理1：設(shè)P是交換環(huán)R的一個理想則 P是R的素理想RP是整環(huán)這樣看起來本定理表述顯得干凈利索但若整環(huán)按定義2(或定義3、4)要求，那么以上定理表述就需變動究竟要怎樣變動，作為練習請讀者自己給出 。三、習題42解答設(shè)R是一個無零因子的環(huán)證明：若偶數(shù)，則R的特征必為2證明：P環(huán)無非零冪零元4.3 除環(huán)和

36、域 一、主要內(nèi)容1除環(huán)和域的定義及例子四元數(shù)除環(huán)2有限環(huán)若有非零元素不是零因子，則必有單位元，且每個非零又非零因子的元素都是可逆元 3有單位元環(huán)的乘群(單位群)的定義和例子 有單位元的環(huán)的全體可逆元作成的群，稱為該環(huán)的乘群或單位群除環(huán)或域的乘群為其全體非零元作成的群；整數(shù)環(huán)Z的乘群為 Z，；數(shù)域上n階全陣環(huán)的乘群為全體n階可逆方陣對乘法作成的群；Gaus s整環(huán)的乘群為 U(Zi) ，ii，二、釋疑解難1階大于l的有限環(huán)可分為兩類： ”1) 一類是有零因子的有限環(huán)例如，有限集M(1)上的冪集環(huán)P(M)，不僅是個有零因子的有限環(huán)，而且除單位元M外其余每個非零元素都是零因子；后面所講的以合數(shù)n為模

37、的剩余類環(huán)Zn也是一個有零因子的有限環(huán)2) 另一類就是無零因子的有限環(huán)實際上根據(jù)本節(jié)推論和魏得邦定理可知，這種有限環(huán)就是有限域例如，以素數(shù)p為模的剩余類環(huán)Zp以及教材第六章所介紹的伽羅瓦域都屬于這種倩形這就是說，階大子1的有限環(huán)或者有零因子或者無零因子，從而為域與群定義中要求兩個方程axb與yab都有解不同,這里僅要求方程axb或y ab (0a,bR)中有一個在R中有解即可教材中利用方程axb有解得到R的全體非零元有右單位元且每個非零元素都有右逆元，從而得到R是除環(huán)如果利用方程yab在R中有解，則將得到R的全體非零元有左單位元且每個非零元都有左逆元，從而也得到只是除環(huán)3關(guān)于有單位元環(huán)的單位群

38、設(shè)R是階大于l的有單位元的環(huán)則顯然R是除環(huán)R的單位群是R； R是域 R是交換群顯然，除環(huán)或域有“最大的單位群又顯然冪集環(huán)P(M)的單位群只有單位元(因其他元素那是零因子)，它是“最小”的單位群三、習題43解答1證略2證略3證明：域和其子域有相同的單位元即F與F1有相同的單位元(也可由F與有相同單位元直接得出)4564 環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)一、主要內(nèi)容1環(huán)的同態(tài)映射和同構(gòu)映射的定義和例子2環(huán)同態(tài)映射的簡單性質(zhì)設(shè)是環(huán)R到環(huán)豆的同態(tài)滿射，則1) (0)是的零元，(a)(a) (aR) ； 2)當R是交換環(huán)時，也是交換環(huán)； 3)當R有單位元時，也有；并且R的單位元的象是的單位元 3在環(huán)同態(tài)映射下，是否有零因

39、子不會傳遞即若環(huán)R，則當R有零因子時，可能沒有，當R無零因子時，卻可能有二、釋疑解難1在1已經(jīng)強調(diào)過，對于環(huán)的兩個代數(shù)運算一定要區(qū)分前后順序同樣，對于環(huán)的同態(tài)映射，也要注意其保持運算必須是：加法對加法，乘法對乘法即(ab)(a)(b)， (ab)(a)(b)第一式中等號左邊的加號“”是環(huán)R的加法，而等號右邊的加號“”是環(huán)R的代數(shù)運算二者雖然都用同一符號，但在實際例子中這兩個代數(shù)運算卻可能點很大差異，根本不是一回事對上述第二個式子中等號兩端的乘法完全類似，不再贅述 2由于零因子在環(huán)同態(tài)映射下不具有傳遞性，因此，若環(huán)R，則當R為整環(huán)時，不一定是整環(huán)；又當R不是整環(huán)時，卻可能是整環(huán)教材中的例1和例2

40、說明了這一點3關(guān)于環(huán)的挖補定理，三、習題44解答1. 證 略2.3.4.5.6.7.45模n剩余類環(huán)一、主要內(nèi)容2循環(huán)環(huán)定義、例子和簡單性質(zhì) 1) 整數(shù)環(huán)及其子環(huán)以及剩余類環(huán)及其子環(huán)都是循環(huán)環(huán)而且在同構(gòu)意義下這也是全部的循環(huán)環(huán)2) 循環(huán)環(huán)是交換環(huán)，但不一定有單位元而且這種環(huán)的子加群同子環(huán)、理想三者是一回事因此，n階循環(huán)環(huán)有且只有T(n)(n的正因數(shù)個數(shù))個子環(huán)(理想)二、釋疑解難1剩余類環(huán)是一類很重要的有限環(huán)，因為這種環(huán)是一種具體的環(huán)，特別是它的特征、子環(huán)(理想)、零因子、可逆元和單位群等都很清楚因此，在環(huán)的討論里常常以它作為例子來加以利用，并說明問題2整數(shù)環(huán)的任二不同的非零子環(huán)，作為加群，它

41、們顯然是同構(gòu)的(因為它們都是無限循環(huán)群)但是，作為環(huán)，它們并不同構(gòu)因為，例如設(shè)因此，與不能同構(gòu)3剩余類環(huán)Zn中任二不同的子環(huán)也不能同構(gòu)事實上，Zn的任二不同階的子環(huán)當然不能同構(gòu)又設(shè)置為Zn的任意k階子環(huán)，則k但由于(Zn，)是n階循環(huán)群，從而對n的每個正因數(shù)k，(Zn，)有且只有一個k階子群，于是環(huán)Zn有且僅有一個k階子環(huán)因此，Zn的任二不同的于環(huán)當然不同構(gòu) 4但是，有有限環(huán)存在，其有二不同子環(huán)是同構(gòu)的例如：令R是Z2上的2階全陣環(huán)，則16，且易知都是R的4階子環(huán)，而且易知R1還是一個域但是，R2無單位元(且不可換，又非零元都是零因子)，因此，R1與R2不能同構(gòu)此外易知：也都是環(huán)R的4階子環(huán)，

42、而且R1，R2，R3，R4都是互不同構(gòu)的對此不再詳述，茲留給讀者作為練習有文獻已經(jīng)證明，互不同構(gòu)的4階環(huán)共有11個對此不再贅述三、習題45解答1.證明：同余類的乘法是Zn的一個代數(shù)運算2. 試指出環(huán)Z8中的可逆元和零因子，再給出它的所有子環(huán)3. 試給出Z10的所有子環(huán)，并指出它們各自的特征4.5.6.7. 證明：整數(shù)環(huán)的不同子環(huán)不同構(gòu)，證：見上面“釋疑解難”部分中的28.6 理 想一、主要內(nèi)容1左、右理想、理想的定義和例子2單環(huán)的定義以及單環(huán)的一個重要性質(zhì)設(shè)環(huán)R有單位元，則R上全陣環(huán)Rnn的理想都是R中某個理想上的全陣環(huán)由此可知： Rnn是單環(huán)R是單環(huán)特別，除環(huán)和域上的全陣環(huán)都是單環(huán) 3由環(huán)中

43、元素山a，a，am生成的理想a，a，am特別，由一個元素a生成的主理想a 在一般情況下，主理想a中元素的表達形式在特殊環(huán)(交換環(huán)和有單位元的環(huán))中a的元素表達形式如下：1) 在有單位元的環(huán)R中：4理想的和與積仍為理想二、釋疑解難1關(guān)于理想的乘法 我們知道，如果A，B是群G的二子集或(正規(guī))子群，則A與B的乘積是如下規(guī)定的：ABabA,，bB但當A，B是環(huán)R的理想時，如果仍按以上規(guī)定相乘，則一般而言其乘積AB不再是理想由于這個原因，環(huán)中理想的乘法規(guī)定為AB有限和iA,，biB2對任意環(huán)R，則R至少有平凡理想和R通常把R本身叫做R的單位理想，這是由于以下原因：對R的任意理想N，顯然都有RNN， NRN但當R有單位元時，則顯然又有RNN， NRN從而有 RNNRN這就是說，此時R在理想乘法中的作用類似于數(shù)1在數(shù)的乘法中的作用 3設(shè)R為任意環(huán)，aR則易知 Nra是R的一個左理想若R是交換環(huán)，則當然但是應(yīng)注意，由于R不一定有單位元，故不一定有aN從而也不能說N是由a生成的理想例設(shè)R為偶數(shù)環(huán)，a4，則三、習題46解答1. 證 略2. 證 1)