度施工圖審查人員勘察專業(yè)繼續(xù)教育-馮永能ppt課件

1、復復 習習)(2mcpcHti自在電子的自在電子的Dirac方程方程 0 0iii 0 0 或或 Pauli-Dirac表象中表象中的矩陣表示。的矩陣表示。 的矩陣表示：的矩陣表示：22 0 00 00 ,1 00 1I 44 I- 00 I113自在電子的平面波解自在電子的平面波解)(2mcpcHti2mcpcH為了了解為了了解Dirac方程的物理性質(zhì)，下面，求解自在方程的物理性質(zhì)，下面，求解自在電子的電子的Dirac方程的解方程的解.自在電子的自在電子的Dirac方程方程 1 由于H不顯含時間，所以能量為守恒量。這是自在電子時間均勻性的表現(xiàn)。有哪些守量？有哪些守量？0,2mcpcpHp所以

2、動量所以動量p為守恒量，闡明自在電子具有空間均勻性。為守恒量，闡明自在電子具有空間均勻性。波函數(shù)可以取能量和動量的共同本征態(tài)波函數(shù)可以取能量和動量的共同本征態(tài))(,)(),(EtrpiEpeputrEuumcpc)(2)(pu代入代入1式，得式，得滿足的方程：滿足的方程： (2)(3)(2mcpcHti 2 0 0 I 00 I 14321)(uuuupu4321,uuuu4均為二分量波函數(shù)均為二分量波函數(shù)利用利用Pauli-Dirac表象，表象，其中其中代入代入3式式,得：得： Euumcpc)(2u為多分量波函數(shù)，思索到電子有自旋，令為多分量波函數(shù)，思索到電子有自旋，令(3)EmcpcEm

3、cpc22 0 0EmcpcEmcpc22kp0)(0)(22mcEkckcmcE 5 方程具有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的行列式為方程具有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的行列式為0。即：。即：0 22mcEkckcmcE令令0)(22422kkccmE即：即： 6 0)(22422kkccmE)()(BAiBABA0222422kccmE224222242pccmkccmEE2242pccmE2242pccmE利用利用 正能量解正能量解 負能量解負能量解 下面，求波函數(shù)下面，求波函數(shù)由由5式，式，0)(0)(22mcEkckcmcE)()(22kmcEckmcEc上式給出了上式給出了, 之間的關(guān)

4、系，詳細表達式還未確定之間的關(guān)系，詳細表達式還未確定.可得：可得： 7 j)(i 0,jipj角動量和動量分量不對易角動量和動量分量不對易 所以所以j, p不能有共同的本征態(tài)，不能有共同的本征態(tài)，p的本征態(tài)不是的本征態(tài)不是j的本征的本征態(tài)。不能把態(tài)。不能把j 的分量包含在的分量包含在H, P這個守恒量的完選集這個守恒量的完選集中。但是，對自在電子，存在內(nèi)稟角動量中。但是，對自在電子，存在內(nèi)稟角動量 . 00 或或 z)y,x,(i 00 iii0,2mcpcpHpp所以所以守恒。守恒。對自在電子，對自在電子，H,P為守恒量，為守恒量，l,s不是守恒量，不是守恒量，但但j=l+s是守恒量是守恒量

5、 pppp所以所以和和H, P都對易，都對易，H, P的本征態(tài)也是的本征態(tài)也是的本征態(tài)的本征態(tài). 因此，可選因此，可選 ，H, P為為一組守恒量的完選集。即一組守恒量的完選集。即H, P的本征態(tài)的本征態(tài)u(p)同時也是同時也是的本征態(tài)：的本征態(tài)：uup)(8利用關(guān)系：利用關(guān)系：)()(BAiBABA2222)(kpp0,ppp, kkk,所以所以的本征值的本征值采用采用Pauli-Dirac表象表象 00 p,下面，經(jīng)過求解下面，經(jīng)過求解滿足的本征值方程，求出滿足的本征值方程，求出。 00 ppp 00 )(pu代入代入8式式uup)( 8pp 00 ,k以上兩式在方式上一樣，闡明以上兩式在方

6、式上一樣，闡明都是都是 的本征態(tài)，的本征態(tài)， 二者之間最多相差一個系數(shù)。二者之間最多相差一個系數(shù)。方程方程9的解：的解： zyxyxzzzyyxxzzyyxxkikkkkkkkikkkkkkkk- i - - 00 0 i - 00 0令令21uu方程方程9滿足：滿足：2121- i - uuuukikkkkkzyxyxz)()(22kmcEckmcEc化簡：化簡：0- i - -21uukikkkkkzyxyxz-)i -(21zyxyxzkkkikkkuu 2121- i - uuuukikkkkkzyxyxz-)i -(21zyxyxzkkkikkkuu, kkkkkkikkkkuuzy

7、xyxz-)i -(21kkkkkikkkkuuzyxyxz)i -(21 yxzikkukku21,21uu21uu可令可令或或求出以后，求出以后，可求?？汕?。zyxkkuikku21,kkkkkikkkkuuzyxyxz-)i -(21kkkkkikkkkuuzyxyxz)i -(2121uu求出以后，求出以后，)(pu)(,)(),(EtrpiEpeputr根據(jù)根據(jù)7式式可求出可求出滿足的波函數(shù)滿足的波函數(shù)自在電子的平面波解：自在電子的平面波解：kpkkEE,對于給定的動量對于給定的動量)()(22kmcEckmcEc 7 ，分別對應(yīng)，分別對應(yīng)4個本征態(tài)，分別討論：個本征態(tài)，分別討論：可

8、求可求114電磁場中電子的電磁場中電子的Dirac方程與方程與非相對論極限非相對論極限 mcc2pHti 0 0 I 00 I利用利用Pauli-Dirac表象表象：電磁場中電子的：電磁場中電子的Dirac方程：方程：1自在電子的自在電子的Dirac方程方程:AtiEetiEipAcepp , ,),(A0 mc)(c2Acepeti電磁場的矢勢電磁場的矢勢電磁場的標勢電磁場的標勢電子在電磁勢中運動的中運動的Dirac方程：方程： 3作替代：作替代：2Hti mc)(c2eAcepH或或 設(shè)電子帶電設(shè)電子帶電-e，在電磁勢，在電磁勢),(A中運動，中運動，),(A電子在電磁勢中運動的中運動的D

9、irac方程：方程：Hti mc)(c2eAcepH mcc2pHti自在電子的自在電子的Dirac方程方程:),(AEtiertr)(),()(r)()( mc)(c )(2rEreAceprH假設(shè)假設(shè)與時間無關(guān)，那么與時間無關(guān)，那么存在定態(tài)解，方式為存在定態(tài)解，方式為 5滿足能量本征方程：滿足能量本征方程：6E-電子的能量本征值電子的能量本征值 下面，討論下面，討論6式的非相對論極限。式的非相對論極限。0 mc)(c2Acepeti電子在電磁勢中運動的中運動的Dirac方程的解：方程的解： ),(Atmcie2) mc)(c (2eAcepti 0 0 I 00 I代入代入4式，得到式，得

10、到滿足的方程：滿足的方程： (4)利用利用Pauli-Dirac表象表象 7,二：非相對論極限與電子磁矩二：非相對論極限與電子磁矩 將將Dirac方程中的波函數(shù)寫成雙分量方式，令方程中的波函數(shù)寫成雙分量方式，令tmcitmcieHeti22I 00 mc 0 )()( 0 mc)(c22IeAcepAcepceAcepH代入代入4式，得到：式，得到： (8) 0 0 I 00 I利用利用Pauli-Dirac表象表象 (4)tmcitmcieHeti22t (8)|2mce先討論先討論(8b)式，在非相對論極限下，動能遠小于靜能式，在非相對論極限下，動能遠小于靜能，庫侖能量也遠小于靜能，即：，

11、庫侖能量也遠小于靜能，即：所以可以略去不含光速所以可以略去不含光速c的項。的項。t eAcepcxi)( (8a) (8b)t 22)(mceAcepcxit |2mcxit )(21Acepmc略去不含光速略去不含光速c的項：的項：闡明：在非相對論極限下，四旋量中的中的分量遠小于分量遠小于9式代入式代入8a式，式， 9分量。分量。 (8a) (8b) 1022)(mceAcepcxit eAcepcxi)(t eAcepmxi2)(21t )()(BAiBABABceAcepAceAceppAApceiAcepAcepAcepiAcepAcepAcepAcep22222)()()()()()

12、()()()(利用關(guān)系：利用關(guān)系： 1011eAcepmxi2)(21t 方程方程10化簡為：化簡為： Pauli方程 12 10BceAcepAcep22)()(eAcepmxi2)(21t 2)(212eBmceAcepmxit BBmce2mceB2令：令： 電子內(nèi)稟磁矩電子內(nèi)稟磁矩電子內(nèi)稟磁矩的值: Bohr磁子磁子那么：那么：Pauli方程方程電子內(nèi)稟磁矩與外磁場的相互作用能電子內(nèi)稟磁矩與外磁場的相互作用能2)(212eBmceAcepmxit 兩個自在度。由此可見，兩個自在度。由此可見，Dirac方程是非相對論量子力方程是非相對論量子力學中泡利方程的推行。因此，它和學中泡利方程的推

13、行。因此，它和Pauli方程一樣，都方程一樣，都是描畫自旋為是描畫自旋為1/2的粒子的運動，而且自旋這一自在度，的粒子的運動，而且自旋這一自在度，無論是在相對論量子力學中還是在非相對論量子力學無論是在相對論量子力學中還是在非相對論量子力學中，都同樣存在。電子磁矩的丈量值中，都同樣存在。電子磁矩的丈量值:B00116. 1方程方程12叫做叫做Pauli方程。方程。的兩個分量描寫自旋的的兩個分量描寫自旋的 122)(212eBmceAcepmxit 三：中心力場下的非相對論極限三：中心力場下的非相對論極限 自旋軌道耦合自旋軌道耦合)(r)()(rerV思索電子在中心力場中運動，例如電子在原子核的思

14、索電子在中心力場中運動，例如電子在原子核的Coulomb引力場引力場中運動，中心力場中運動，中心力場 1ErVH)(ErVp)( mcc 2EE mc2為了便于過渡到非相對論情況，令為了便于過渡到非相對論情況，令2(3) 4ErVp)( mcc 2EE mc2 0 0 I 00 I)()c(rVEp 利用利用Pauli-Dirac表象表象 5 6(3) 4)()( mc2)(1)(212rVEprVEpm由由6式，得：式，得：代入5式，得到滿足的方程：滿足的方程： 8 7 6 5)()c(rVEp)()( mc2)(1)(212rVEprVEpm 8利用關(guān)系：利用關(guān)系：2)()(pppippp

15、p)()( )()(cm41cm4p-p21222222rVEprVpEm9)()( )()(cm41cm4p-p21222222rVEprVpEm9)(),()(),(rViprVprV)()()()( )(rVirVpprVdrrdVrlVrdrrdVrVpdrrdVrrpiVipVirVprVpirVpirVprVpirVpprVp)(1)()()()()()()()()( )()()()()( )()(2222222102)()(pppipppp)()( )()(cm41cm4p-p21222222rVEprVpEm0)()()(1cm41)-(Vcm4p-V2p222222222rd

16、rrdVVldrrdVrEEm10代入代入9式，得到：式，得到：91110式中第二項、第三項都是相對論修正項，略去式中第二項、第三項都是相對論修正項，略去高級修正項，得到：高級修正項，得到：0)()()(1cm41)-(Vcm4p-V2p222222222rdrrdVVldrrdVrEEmmVE2p)(21111式改寫為：式改寫為：ErdrrdVVlSdrrdVrm)(cm4)()(1cm21cm8p-V2p2222222342 (12)ErdrrdVVlSdrrdVrm)(cm4)()(1cm21cm8p-V2p2222222342)()(1cm2122lSdrrdVrdrrdVrr)(1c

17、m21)(22)()()(1cm2122lSrlSdrrdVr (12) 自旋軌道耦合項自旋軌道耦合項Thomas效應(yīng)效應(yīng)令令那么自旋軌道耦合項：那么自旋軌道耦合項：234cm8p-動能的相對論修正動能的相對論修正),(),(),(,)(21pmc)4,()2( ,(),(2222cmpmcp)41 ( ,(),(),(),(222cmp下面，求非相對論近似下的波函數(shù)下面，求非相對論近似下的波函數(shù)條件：在非相對論極限下，總概率守恒波函數(shù)規(guī)一化堅持不變條件：在非相對論極限下，總概率守恒波函數(shù)規(guī)一化堅持不變的關(guān)系：的關(guān)系：)81 (222cmp)81 (222cmp或或 13)81 (222cmp

18、ErdrrdVVldrrdVrm)(cm4)()(1cm4pc8mV-Ecmp)16181(-V2p22222222222342 代入代入12式式: 1314ErdrrdVVlSdrrdVrm)(cm4)()(1cm21cm8p-V2p2222222342 (12)滿足的方程：滿足的方程：略去高階項，得到略去高階項，得到ErdrrdVVldrrdVrm)(cm4)()(1cm4pc8mV-Ecmp)16181(-V2p22222222222342rdrdVVVpipVipVpppVpV22222, 利用關(guān)系利用關(guān)系14rdrdVVVpVp22222215rdrdVVVpVp222222Erdr

19、rdVVldrrdVrm)(cm4)()(1cm4pc8mV-Ecmp)16181(-V2p22222222222342234222c16mpV)-E(c8mp 代入代入14式，式， 利用利用151414式化為：式化為：EVlSdrrdVrmcm8)()(1cm21c8mp-V2p2222222342rZerV2)(rZedrrdVrr22222cm2)(1cm21)(在中心力場在中心力場V(r)中運動的粒子的中運動的粒子的Dirac方程的非相方程的非相對論極限。對論極限。對類氫原子：對類氫原子：EVlSdrrdVrmcm8)()(1cm21c8mp-V2p2222222342115氫原子光譜的精細構(gòu)造氫原子光譜的精細構(gòu)造:中心力場中電子的守恒量中心力場中電子的守恒量1.相對論情況相對論情況在中心力場在中心力場Vr 中運動的粒子，不思索自旋軌道中運動的粒子，不思索自旋軌道耦合，耦合，Hamiliton量為：量為：0,Hlnlm守恒量：守恒量：所以軌道角動量l為守恒量，l2也為守恒量?？扇?H,l2,lz)為守恒量完選集，共同本征態(tài))(