第五節(jié)曲面平面及其方程

1、第五節(jié)曲面第五節(jié)曲面 平面及其方程平面及其方程一、曲面及其方程一、曲面及其方程二、平面及其方程二、平面及其方程三、小結(jié)三、小結(jié)一、曲面及其方程一、曲面及其方程1. 曲面方程的概念曲面方程的概念在軌跡觀點下討論在軌跡觀點下討論引例引例物體（杯子、臺燈的罩子）的表面等物體（杯子、臺燈的罩子）的表面等曲面方程定義曲面方程定義有有如如下下關(guān)關(guān)系系：與與一一個個三三元元方方程程若若曲曲面面0),( zyxFS（1） 曲面曲面S上任一點的坐標都滿足方程；上任一點的坐標都滿足方程；（2）不在曲面）不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程；上的點的坐標都不滿足方程；那么，方程那么，方程0),( zyxF就叫做曲面就

2、叫做曲面 S 的方的方程，而曲面程，而曲面 S就叫做方程的圖形就叫做方程的圖形2. 常見的曲面常見的曲面.球心在點球心在點),(0000zyxM、半徑為、半徑為 R的球面方程的球面方程.解解設(shè)設(shè)),(zyxM是球面上任一點，是球面上任一點，RMM |0根據(jù)要求有根據(jù)要求有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為2222Rzyx (1) 球面方程球面方程10與與原原點點O及及)4 , 3 , 2(0M的的距距離離之之比比為為2:1的的點點的的全全體體所所組組成成的的曲曲面面方方程程.解解設(shè)設(shè)),(zyx

3、M是曲面上任一點，是曲面上任一點，,21|0 MMMO根據(jù)題意有根據(jù)題意有 ,21432222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程為所求方程為20已知已知)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求線段，求線段AB的垂的垂直平分面的方程直平分面的方程.設(shè)設(shè)),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一點點，根據(jù)題意有根據(jù)題意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程. 07262 zyx解解(2) 中垂面中垂面zxyo方程方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？1)2()1(22 yxz根據(jù)題意有根據(jù)題意有1

4、z用用平平面面cz 去去截截圖圖形形得得圓圓：)1(1)2()1(22 ccyx 當當平平面面cz 上上下下移移動動時時，得得到到一一系系列列圓圓圓心在圓心在), 2 , 1(c，半徑為，半徑為c 1半徑隨半徑隨c的增大而增大的增大而增大.圖形上不封頂，下封底圖形上不封頂，下封底解解c例例1 以上幾例表明研究空間曲面有以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題兩個基本問題：（2）已知坐標間的關(guān)系式，研究曲面形狀）已知坐標間的關(guān)系式，研究曲面形狀（討論旋轉(zhuǎn)曲面為例）（討論旋轉(zhuǎn)曲面為例）（討論柱面、二次曲面為例）（討論柱面、二次曲面為例）（1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程）已知曲面作為點的軌跡時

5、，求曲面方程 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面.2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面1.定義定義這條這條定直線定直線叫旋轉(zhuǎn)叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸播放播放 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面.2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面1.定義定義這條這條定直線定直線叫旋轉(zhuǎn)叫旋轉(zhuǎn)曲面的曲面的軸軸xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM設(shè)設(shè)1)1(zz （2）點點M到到 z 軸軸的的距距離離|122yyxd 旋轉(zhuǎn)過程中的特

6、征：旋轉(zhuǎn)過程中的特征：如圖如圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd2. 方程方程將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxfyoz坐標面上的已知曲線坐標面上的已知曲線0),( zyf繞繞z軸旋軸旋轉(zhuǎn)一周的轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程.得方程得方程同同理理：yoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面方方程程為為 . 0,22 zxyf直直線線L繞繞另另一一條條與與L相相交交的的直直線線旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周，所所得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面叫叫圓圓錐錐面面兩兩直直線線的的交交點點叫叫圓圓

7、錐錐面面的的頂頂點點，兩兩直直線線的的夾夾角角 20叫叫圓圓錐錐面面的的半半頂頂角角試試建建立立頂頂點點在在坐坐標標原原點點，旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸為為z軸軸，半半頂頂角角為為 的的圓圓錐錐面面方方程程xozy解解 yoz面面上上直直線線方方程程為為 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz oxzy 例例2將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生將下列各曲線繞對應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程（1）雙曲線）雙曲線12222 czax分別繞分別繞 x 軸和軸和 z 軸；軸；繞繞 x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)繞繞 z 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czya

8、x122222 czayx旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面例例3（2）橢圓）橢圓 012222xczay繞繞 y 軸和軸和 z 軸軸；繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面（3）拋拋物物線線 022xpzy繞繞 z 軸軸；pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面播放播放定義定義3. 柱面柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C移動的直線移動的直線L所所形成的曲面稱為柱面形成的曲面稱為柱面.這條定曲線這條定曲線C叫柱面的叫柱面的準線準線.動直線動直線L叫柱叫柱面的面的母線母線.定義定義3. 柱面柱面

9、觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C移動的直線移動的直線L所所形成的曲面稱為柱面形成的曲面稱為柱面.這條定曲線這條定曲線C叫柱面的叫柱面的準線準線.動直線動直線L叫柱叫柱面的面的母線母線.柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面從柱面方程看柱面的從柱面方程看柱面的特征特征： 只只含含yx,而而缺缺 z 的的方方程程0),( yxF，在在空空間間直直角角坐坐標標系系中中表表示示母母線線平平行行于于 z 軸軸的的柱柱面面，其其準準線線為為xoy面面上上曲曲線線 C.（其他類推）（其他類推）實實 例例12222 czby

10、橢圓柱面母線橢圓柱面母線 / 軸軸x12222 byax雙曲柱面母線雙曲柱面母線 / 軸軸zpzx22 拋物柱面母線拋物柱面母線 / 軸軸y二、平面方程二、平面方程(1)平面上的點都滿足上方程，滿足上方程平面上的點都滿足上方程，滿足上方程的坐標點均在平面上的坐標點均在平面上(2)不在平面上的點都不滿足上方程。不在平面上的點都不滿足上方程。 平面平面與三元函數(shù)與三元函數(shù) f(x,y,z)有如下關(guān)系：有如下關(guān)系：1. 平面方程的概念平面方程的概念上方程稱為平面上方程稱為平面的方程，平面的方程，平面稱為方程稱為方程的圖形的圖形(1) 平面方程的定義平面方程的定義xyzo0MM如果一如果一非零非零向量

11、垂直于向量垂直于 一平面，這向量就叫做一平面，這向量就叫做該平面的該平面的法線向量法線向量法線向量的法線向量的特征特征： 垂直于平面內(nèi)的垂直于平面內(nèi)的任任一向量一向量已知已知, 0, CBAn,),(0000 zyxM設(shè)平面上的任一點為設(shè)平面上的任一點為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMMn (2) 平面法向量的定義平面法向量的定義 ,0000zzyyxxMM (*)0)()()(000 zzCyyBxxA其中法向量其中法向量,CBAn 已知點已知點).,(000zyx,),( zyxM若若nMM 0不成立不成立即即(x,y,z)不滿足不滿足(*)式式式式為為其其方方程程。上上在在平平

12、面面從從而而法法向向量量為為(*),0 Mn此方程為一個三元一次方程。此方程為一個三元一次方程。反之，任意一個三元一次方程反之，任意一個三元一次方程Ax + By + Cz + D = 0（*）A、B、C不同時為零。不同時為零。則則(*)式可確定一個平面式可確定一個平面事實上，任取事實上，任取(*)的一組解的一組解(x0,y0,z0),有有0000 CzByAx0)()()(000 zzCyyBxxA從從而而有有點點的的一一個個平平面面的的方方程程。過過它它是是法法向向量量為為0,Mn從而任意一個三元一次方程可確定一個平面。從而任意一個三元一次方程可確定一個平面。在直角坐標系中，每個平面的方程

13、是一個三在直角坐標系中，每個平面的方程是一個三元一次方程，而每個三元一次方程又都能確元一次方程，而每個三元一次方程又都能確定一個平面。定一個平面。1. 平面的點法式方程平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA2. 平面的一般式方程平面的一般式方程0 DCzByAx平面基本定理：平面基本定理：2. 平面方程平面方程, 0)1( D平面通過坐標原點；平面通過坐標原點；特別地特別地, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標面；坐標面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CB

14、CA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.3. 平面的截距式方程平面的截距式方程. 0, 1 cbaczbyax其中其中設(shè)設(shè)平平面面與與zyx,三三軸軸分分別別交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點坐標代入得將三點坐標代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解xyzabc例例4,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y

15、軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距求求過過三三點點)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的的平平面面方方程程.解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx例例5求求過過點點)1 , 1 , 1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程.,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得.

16、0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解平平面面方方程程。軸軸和和另另外外：求求過過)1,3,4( Mx03 zy方程為：方程為：例例6設(shè)設(shè)平平面面過過原原點點及及點點)2, 3, 6( ，且且與與平平面面824 zyx垂垂直直，求求此此平平面面方方程程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx由平面過原點知由平面過原點知, 0 D由由平平面面過過點點)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解例例7求平行于平面求平行于平面0566 zyx而與三個坐標而與三個坐標面所圍成的四面體體積為一個單

17、位的平面方程面所圍成的四面體體積為一個單位的平面方程.設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解例例8,61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角.定義定義（通常取銳角通常取銳角）1 1n2 2n

18、 , 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 3. 兩平面的夾角兩平面的夾角(1) 夾角的定義夾角的定義實際上兩平面的夾角就是二面角實際上兩平面的夾角就是二面角(2) 計算公式計算公式222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式(3) 兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.21212121DDCCBBAA 21 )3( .21212121DDCCBBAA 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系

19、：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos 例例9)2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.設(shè)設(shè)),(0000zyxP是平面是平面ByAx 0 D

20、Cz外一點，求外一點，求0P到平面的距離到平面的距離. ),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P 00101PrnPPPPjn ,10101001zzyyxxPP 解解例例10 2222222220,CBACCBABCBAAn00101PrnPPPPjn 222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx 0111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|222000CBADCzByAxd 點到平面距離公式點到平面距離公式小結(jié)小結(jié)曲面及其方程曲面及其方

21、程曲面方程的概念曲面方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法旋轉(zhuǎn)曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母線、準線母線、準線). 0),( zyxF平面的方程平面的方程點法式方程點法式方程一般方程一般方程截距式方程截距式方程 （熟記平面的幾種（熟記平面的幾種特殊位置的方程）特殊位置的方程）兩平面的夾角（注意兩平面的兩平面的夾角（注意兩平面的位置位置特征）特征）點到平面的距離公式點到平面的距離公式思考題思考題1. 指出下列方程在平面解析幾何中和空間指出下列方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？解析幾何中分別表示什么圖形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy思考題解答思考

22、題解答平面解析幾何中平面解析幾何中空間解析幾何中空間解析幾何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y軸軸的的直直線線平平行行于于yoz面面的的平平面面圓圓心心在在)0 , 0(，半半徑徑為為2的的圓圓以以z軸為中心軸的圓柱面軸為中心軸的圓柱面斜率為斜率為1的直線的直線平平行行于于z軸軸的的平平面面方程方程2. 若平面若平面02 zkyx與平面與平面032 zyx的夾角為的夾角為4 ，求，求? k,1)3(2)2(112)3(214cos222222 kk,1453212 kk.270 k 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成

23、的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面.2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面1.定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面.2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面1.定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面.2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面1.定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面.2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面1.定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線

24、繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面.2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面1.定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面.2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面1.定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面.2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面1.定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面.2. 旋轉(zhuǎn)曲

25、面旋轉(zhuǎn)曲面1.定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面.2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面1.定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面.2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面1.定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面.2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面1.定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周一條直線旋

26、轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面轉(zhuǎn)曲面.2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面1.定義定義定義定義3. 柱面柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C移動的直線移動的直線L所所形成的曲面稱為柱面形成的曲面稱為柱面.這條定曲線這條定曲線C叫柱面的叫柱面的準線準線.動直線動直線L叫柱叫柱面的面的母線母線.定義定義3. 柱面柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C移動的直線移動的直線L所所形成的曲面稱為柱面形成的曲面稱為柱面.這條定曲線這條定曲線C叫柱面的叫柱面的準線準線.動直線動直線L叫柱叫柱面的面的母線母線

27、.定義定義3. 柱面柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C移動的直線移動的直線L所所形成的曲面稱為柱面形成的曲面稱為柱面.這條定曲線這條定曲線C叫柱面的叫柱面的準線準線.動直線動直線L叫柱叫柱面的面的母線母線.定義定義3. 柱面柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C移動的直線移動的直線L所所形成的曲面稱為柱面形成的曲面稱為柱面.這條定曲線這條定曲線C叫柱面的叫柱面的準線準線.動直線動直線L叫柱叫柱面的面的母線母線.定義定義3. 柱面柱面觀察柱面的形觀察柱面的形成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C移動的直線移動的直線L所所形成的曲面稱為柱面形成的曲面稱為柱面.這條定曲線這條定曲線C叫柱面的叫柱面的準線準線.動直線動直線L叫柱叫柱面的面