ANSYS非線性求解的理論基礎(chǔ)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1ANSYS非線性求解的理論基礎(chǔ)非線性求解的理論基礎(chǔ)第一頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。2第1頁/共42頁第二頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。3第2頁/共42頁第三頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。是的函數(shù)。 ( )TU uuF ( )( )0P uFK uuF ( )K u u4第3頁/共42頁第四頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。公式（4） 1111iiiTiiiKuFuuu 5第4頁/共42頁第五頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。就是在每一級(jí)荷載增量上用Newton-Raphson或其變形的迭代法。6第5頁/共42頁第六頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。Fu真實(shí)解.

2、誤差.有限元解7第6頁/共42頁第七頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。 11()iiiiiiuuKKuF11iiFKK11iiTKK18第7頁/共42頁第八頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。Fu在一個(gè)荷載步或子步內(nèi)每次迭代后重新形成一次iTK缺點(diǎn)：消耗機(jī)時(shí)！優(yōu)點(diǎn)：適用于高度非線性問題。9第8頁/共42頁第九頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。Fu缺點(diǎn)：收斂性較差。優(yōu)點(diǎn)：消耗機(jī)時(shí)少。在一個(gè)荷載步或子步內(nèi)僅形成一次或每隔一定數(shù)目的迭代次數(shù)重新形成一次iTK10第9頁/共42頁第十頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。Fu0u1u2u3u0F1F2F3F0G1G2GiiiGuF 優(yōu)缺點(diǎn)介于前兩者之

3、間。11第10頁/共42頁第十一頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。或F.N.R。12第11頁/共42頁第十二頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。Newton-Raphson 選項(xiàng)：選項(xiàng)：Main MenuSolutionAnalysis TypeAnalysis Options13第12頁/共42頁第十三頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。NROPT，AUTO：程序基于非線性程度選用。NROPT，F(xiàn)ULL：如果自適應(yīng)下降關(guān)閉（Adptky為OFF），每次迭代均使用切線剛度；如果自適應(yīng)下降打開（Adptky為ON），則迭代保持穩(wěn)定時(shí)使用切線剛度，一旦程序在迭代中探測(cè)到發(fā)散傾向，將使用切線剛度和

4、割線剛度的加權(quán)組合。NROPT，MODI：程序在每一個(gè)子步中修正切線剛度。自適應(yīng)下降不可用。NROPT，INIT：程序在所有迭代中都使用初始剛度。自適應(yīng)下降不可用。14第13頁/共42頁第十四頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。 11iDiiuuu D位移收斂容差，一般取0.0010.005之間；iu某種范數(shù)，一般為二范數(shù)，即：12211NiikkuuN位移收斂準(zhǔn)則有時(shí)不可靠！15第14頁/共42頁第十五頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。FuuF很小的位移變化引起很大的力的變化！16第15頁/共42頁第十六頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。 iFFF iiFFP不平衡力 F外荷載矢量 iP

5、第 i 次迭代完成時(shí)與內(nèi)力相平衡的節(jié)點(diǎn)力矢量，即： iiiPKu不平衡力收斂準(zhǔn)則有時(shí)不可靠！17第16頁/共42頁第十七頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。FuuF很小的力的變化引起很大的位移變化！18第17頁/共42頁第十八頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。 11TTiiEuFPuFP把每次迭代時(shí)內(nèi)能的增量（不平衡力在位移增量上做的功）與初始的內(nèi)能比較：或者把上述內(nèi)能增量與當(dāng)前的總能量比較： TiiEiuFPU 11112TiiiiiUUuPP其中Ui為勢(shì)能：需要更多的計(jì)算！19第18頁/共42頁第十九頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。Main MenuSolutionLoad Step

6、 OptsNonlinearConvergence Crit20第19頁/共42頁第二十頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。缺省的收斂準(zhǔn)則：將不平衡力的范數(shù)與VALUETOLER進(jìn)行比較，來對(duì)力或者力矩進(jìn)行收斂檢查。VALUE的缺省值是所加荷載（或位移）的范數(shù)和MINREF（缺省為1.0）中的較大值。如果定義了任何收斂準(zhǔn)則，缺省準(zhǔn)則將“失效”！一般總要使用力的收斂準(zhǔn)則！21第20頁/共42頁第二十一頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。用戶收斂準(zhǔn)則：CNVTOL, Lab, VALUE, TOLER, NORM, MINREFq使用嚴(yán)格的收斂準(zhǔn)則將提高結(jié)果的精度，但以更多的平衡迭代為代價(jià)。q一般

7、情況下VALUE應(yīng)使用默認(rèn)值，而通過調(diào)整TOLER改變收斂準(zhǔn)則。q應(yīng)當(dāng)確保MINREF=1.0在分范圍內(nèi)有意義。22第21頁/共42頁第二十二頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。非線性屈曲的主要難點(diǎn)：當(dāng)荷載增至極值（臨界）荷載Fcr時(shí)，結(jié)構(gòu)的切線剛度趨于奇異，方程呈病態(tài)因而求解困難。因此，如何求得盡可能接近于真實(shí)的臨界荷載就成為非線性屈曲研究的重點(diǎn)。荷載的兩種類別：比例加載和非比例加載。23第22頁/共42頁第二十三頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。對(duì)大多數(shù)靜機(jī)械荷載或穩(wěn)態(tài)溫度情況，在荷載施加的過程中它們的分布函數(shù)不變，而各點(diǎn)荷載值是按比例增減。根據(jù)這一特點(diǎn)，可以把任一時(shí)刻的平衡狀態(tài)選為參考

8、狀態(tài)，結(jié)構(gòu)外荷載矢量為，其他時(shí)刻的荷載可以寫為，求解極值荷載轉(zhuǎn)化為求極值時(shí)的比例參數(shù)。下面僅討論比例加載情況下過極值點(diǎn)（過屈曲）的方法：當(dāng)前的主流方法是自動(dòng)步長(zhǎng)法。rFttrFFcrFcr24第23頁/共42頁第二十四頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。如前所述，非線性方程組的解法主要是增量加迭代法，即外荷載是逐級(jí)施加的，每施加一級(jí)荷載增量后進(jìn)行平衡迭代直至解的結(jié)果滿足允許容差。因此，荷載增量大小的控制對(duì)求解有很重要的意義：增量過大，解難于收斂甚至發(fā)散，這一點(diǎn)在接近極值點(diǎn)時(shí)特別明顯；增量太小，意味著求解次數(shù)過多，使計(jì)算工作量增大。25第24頁/共42頁第二十五頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分

9、。在一個(gè)問題的求解過程中，沒有必要采用等荷載增量。對(duì)于非線性程度不高的階段（一般是荷載作用的初始階段），步長(zhǎng)可選得大些；對(duì)于非線性程度較高的階段（一般是加載后期）步長(zhǎng)需選得小些。當(dāng)荷載接近極值點(diǎn)時(shí)，很小的荷載增量都會(huì)引起很大位移，此時(shí)可不再直接施加荷載，而是改由控制其他參數(shù)使計(jì)算可以安全超過極值點(diǎn)，人們僅給出一些控制參數(shù)，步長(zhǎng)由算法控制，這類方法就稱為自動(dòng)步長(zhǎng)法。26第25頁/共42頁第二十六頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。控制位移法是將有限元中的荷載作為變量而位移作為獨(dú)立量，即給出位移增量，反求荷載增量，就加載意義而言是一種自動(dòng)步長(zhǎng)法。下面是具體的推導(dǎo)過程：( )( )1112111(

10、)2122222jjrjiriiiKKuFRKKuRF 式中右上標(biāo)為第 j 荷載步，右下標(biāo)為第 i 次迭代。( )( )( )jjjRPF第 j 荷載步初始不平衡力。（6）27第26頁/共42頁第二十七頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。假定位移分量在屈曲時(shí)反應(yīng)明顯，將其選為人為的控制位移分量，令，為給定值。由式（6）交換變量得：2u22uu2 u( )( )( )11111122( )( )( )221222jjrjjjrjiiiiuKFRKuRKFK（7）式（7）展開： ( )( )( )( )11111122jjjjriiiiiKuFRKu ( )( )( )( )21122222jjj

11、jriiiiiKuFRKu （8）（9）28第27頁/共42頁第二十八頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。在一個(gè)迭代步中，（8）式為線性的，可以將其解分為兩個(gè)部分：( )III111jiiiiuuu （10）將式（10）代入（8）中，分別得到：( )I1111jriiKuF ( )( )( )II1111122jjjiiiiKuRKu（11）（12）由式（11）、（12）分別可以求得、I1iuII1iu29第28頁/共42頁第二十九頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。將由、表示的代入式（9），可以求得荷載增量因子：I1iuII1iu1iu( )( )( )2211222( )( )2211jj

12、jIIiiijiijrIiiRKuKuFKu（13）( ) ji上述方法要求將剛度矩陣分解為、等矩陣，在接近極值點(diǎn)處不是很合適。因此可仿造M.N.R，在一系列迭代步中，一直采用初始剛度矩陣，將它分解為、，在迭代中不再修改。 ( ) jiK( )11jiK( )12jiK( )21jiK( )22jiK ( )1jK( )111jK( )121jK( )211jK( )221jK30第29頁/共42頁第三十頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。將解分為兩部分：iu ( )1jIriKuF ( )( )1jjIIiiKuR（15）（16）對(duì)其中的控制分量有：( )III2222jiiiiuuuu （

13、17）由式（6）可得：( ) jIIIiiiiuuu （14）31第30頁/共42頁第三十一頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。22( )1121IIjIuuu （18）從第二步迭代開始，因?yàn)闉槎ㄖ担?，荷載增量因子為： 2u20u2( )22,3,IIjiiIiuiu （19）第一次迭代可定出荷載增量因子：32第31頁/共42頁第三十二頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分?？刂莆灰品ǖ乃惴ú襟E：1.求解式（15）得到，挑出指定位移分量。2.求解不平衡力及式（16）得到，挑出指定位移分量。3.如果是第一次迭代由式（18）求，如果是第二次以后的迭代，由式（19）求。4.由式（14）求。5.用迭代收

14、斂準(zhǔn)則檢驗(yàn)是否得到收斂解，如果未得到，i=i+1，重復(fù)2到5步驟；如果收斂，j=j+1，轉(zhuǎn)入下一位移增量步。Iiu2Iiu ( ) jiRIIiu2IIiu( )1j( ) jiiu33第32頁/共42頁第三十三頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。每施加一個(gè)荷載步時(shí)直接控制走多長(zhǎng)一段荷載位移曲線（多維情況為空間超曲線）。為此，需要對(duì)荷載增量比例參數(shù)加一個(gè)約束方程。對(duì)由 j 至 j+1 荷載步的第一次迭代，施加如下約束： 22111Tuuds （20）式中稱為廣義“弧長(zhǎng)”，是由用戶控制的值。ds34第33頁/共42頁第三十四頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。為保證迭代最近地走向收斂，迭代路徑應(yīng)

15、沿 j 點(diǎn)切線的垂直面上，也即切線與該面上矢量 的標(biāo)量積為零：tu0tu （21）式中 11jTietue （22） jTiiieuue （23）用矩陣表示式（21）為： 1102,3,Tiiuui （24）35第34頁/共42頁第三十五頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。與控制位移法一樣，將未知矢量分解為兩個(gè)部分：IIIiiiiuuu （25）式中及分別由式（15）和（16）求得。將式（25）代入式（24）可解出未知的荷載增量因子：IiuIIiuiu111TIIiiTIiuuuu （26）36第35頁/共42頁第三十六頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。如果用M.N.R，在迭代中只需對(duì)式（15）求解一次，也即，1IIiuu （27）而在第一次迭代開始前，可以認(rèn)為結(jié)構(gòu)處于平衡狀態(tài)，因此，由式（16）可知，從而由式（25）可得： 0iR10IIu11Iiuu（28）37第36頁/共42頁第三十七頁，編輯于星期五：十九點(diǎn) 五十五分。將式（28）代入式（26）中，于是得到弧長(zhǎng)法的最終形式： 121111TIIiiTuuuu （29）弧長(zhǎng)法與控制位移法的區(qū)別：求荷載增量因子的公式不同！弧長(zhǎng)法具有更好的適應(yīng)性。i38第37頁/共42頁第三十八頁，編輯于星期