DSP_19巴特沃斯濾波器

1、1巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filter2巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filterl巴特沃斯濾波器設計公式、步驟巴特沃斯濾波器設計公式、步驟l沖激響應不變法設計數(shù)字巴特沃斯濾波器沖激響應不變法設計數(shù)字巴特沃斯濾波器l雙線性變換法設計數(shù)字巴特沃斯濾波器雙線性變換法設計數(shù)字巴特沃斯濾波器3巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filter巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)濾波器的幅度響應在通帶內具有濾波器的幅度響應在通帶內具有最平坦的特性，且在通帶和阻帶內幅度特性是單調變化最平坦的特性，且在通帶和阻帶內幅度特性是單調變化

2、的。模擬巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)為的。模擬巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)為NcajH22/114巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filter707. 0c如下圖所示為如下圖所示為Butterworth濾波器的幅度特性，其中濾波器的幅度特性，其中 為為角頻率，在角頻率，在 處幅度響應的平方為處幅度響應的平方為 0.5，N為濾波器的階為濾波器的階數(shù)，當數(shù)，當 時，幅度響應為時，幅度響應為1。c0jHa5巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filter從式子和圖都可以看出，隨著從式子和圖都可以看出，隨著N的增大，幅度響應曲的增大，幅度響應曲線在截止頻率附近變

3、得越來越陡峭，即在通帶內有更線在截止頻率附近變得越來越陡峭，即在通帶內有更大部分的幅度接近于大部分的幅度接近于1，在阻帶內以更快的速度下降，在阻帶內以更快的速度下降至零。至零。Butterworth濾波器存在極點，而零點在濾波器存在極點，而零點在6巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filterl現(xiàn)在來分析現(xiàn)在來分析Butterworth濾波器極點的分布特點。如果濾波器極點的分布特點。如果用用 s 代替代替 ，得到，得到l由此得到極點由此得到極點j 2*( )aaaaaaaaHjHjHjHjHjh tHS HS 由于是實函數(shù) 211/aaNcHs Hssj7巴特沃斯濾波器巴特

4、沃斯濾波器 Butterworth Filter12 , 2 , 1 , 022NkesNkNjck，由此看出，巴特沃斯濾波器的極點分布特點：在由此看出，巴特沃斯濾波器的極點分布特點：在 s 平平面上共有面上共有2N個極點等角距地分布在半經為個極點等角距地分布在半經為 的圓周的圓周上上c22121/0/1/NcNcNcsjsjsj=(-1)121/22122NcNcNcsjssj(2k-1)j2k-1j( +)=(-1)=e e=e8巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filter這些極點對稱于虛軸，而虛軸上無極點；這些極點對稱于虛軸，而虛軸上無極點；N為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，實

5、軸上有兩個極點；實軸上有兩個極點；N為偶數(shù)時，實軸上無極點；各個為偶數(shù)時，實軸上無極點；各個極點間的角度為極點間的角度為 。圖示為。圖示為 N=3時各極點的分布時各極點的分布情況。情況。N/3cc9巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filter知道巴特沃斯濾波器的極點分布后，便可以由知道巴特沃斯濾波器的極點分布后，便可以由 s 平面平面左半平面的極點構成系統(tǒng)函數(shù)左半平面的極點構成系統(tǒng)函數(shù) ，根據極點分布，根據極點分布，可以得到可以得到上式中，上式中， l 是是 s 平面左半平面的極點，平面左半平面的極點， l是右半平面的極點，是右半平面的極點，lA 和和 B 都為常數(shù)都為常

6、數(shù)。 sHa NrrNkkNcaassBssAjssHsH112/11ksrs10巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth FilterButterworth濾波器有濾波器有 2N 個極點，且對稱于虛軸，所個極點，且對稱于虛軸，所以可將左半平面的極點分配給以可將左半平面的極點分配給 ，以便得到一個，以便得到一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，把右半平面的極點分配給穩(wěn)定的系統(tǒng)，把右半平面的極點分配給 ， 不是所需要的，可以不管它，于是有巴特沃斯濾波器系不是所需要的，可以不管它，于是有巴特沃斯濾波器系統(tǒng)函數(shù)：統(tǒng)函數(shù)： sHasHasHa 1aNkkAHsss11巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterw

7、orth Filterl值的確定值的確定N為偶數(shù)，為偶數(shù)，A由濾波器在由濾波器在 處的單位沖激響應來確處的單位沖激響應來確定，即定，即于是得到于是得到 N為奇數(shù)可得到一樣的結果。為奇數(shù)可得到一樣的結果。0 102/11NkkkNkkassAssAHNcNkcNkkkssA2/122/112巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filterl當為偶數(shù)時，模擬當為偶數(shù)時，模擬Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為式中，式中， 為左半平面的極點，為左半平面的極點， 為為 的共軛極點的共軛極點lN為奇數(shù)時，模擬為奇數(shù)時，模擬Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為濾

8、波器的系統(tǒng)函數(shù)為 為負實軸上的極點。為負實軸上的極點。 2/1NkkkNcasssssH 2/11NkkkpNcasssssssHksksksps13巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filter總結設計數(shù)字總結設計數(shù)字Butterworth濾波器的步驟如下濾波器的步驟如下根據實際需要規(guī)定濾波器的數(shù)字截止頻率根據實際需要規(guī)定濾波器的數(shù)字截止頻率 處處的衰減，單位為的衰減，單位為 dB 由數(shù)字截止頻率由數(shù)字截止頻率 處的衰減計算模擬巴特沃處的衰減計算模擬巴特沃斯濾波器的階數(shù)斯濾波器的階數(shù)N和頻率和頻率Tp，Tp，c14巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Fi

9、lter求模擬巴特沃斯濾波器的極點，并由求模擬巴特沃斯濾波器的極點，并由 s 平面左半平面平面左半平面 的極點構成系統(tǒng)函數(shù)的極點構成系統(tǒng)函數(shù)左半平面的極點：左半平面的極點：系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)：使用沖激不變法或雙線性變換法將使用沖激不變法或雙線性變換法將 轉換成數(shù)轉換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) sHa zH sHa1, 2 , 1 , 022NkesNkNjck， 2/1NkkkNcasssssH 2/11NkkkpNcasssssssH15巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filter例例 4.2 設計一個數(shù)字巴特沃斯濾波器，在通帶截止頻率設計一個數(shù)字巴特沃斯

10、濾波器，在通帶截止頻率 處衰減不大于處衰減不大于 1dB，在阻帶截止頻率，在阻帶截止頻率 處衰減不小于處衰減不小于 15dB。2 . 0p3 . 0T120lg()apHj 221()1apNpcHj阻帶通帶過渡帶11112pTjeHc22T 16巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filter解解 (1) 根據濾波器的指標得根據濾波器的指標得0.20.320lg120lg15jjH eH e220.1110NTc同理可得同理可得120.1110Npc120.10.1101101NpT17巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filter(2) 設設 T=1，

11、將數(shù)字域指標轉換成模擬域指標得，將數(shù)字域指標轉換成模擬域指標得代入巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)得代入巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)得解這兩個方程得解這兩個方程得按此值設計的濾波器滿足通帶指標要求，阻帶指標將超按此值設計的濾波器滿足通帶指標要求，阻帶指標將超過給定值。過給定值。20lg0.2120lg0.315aaHjHj 220.11.50.20.3110110NNcc 7032. 068858. 5cNN，取221()1apNpcHj18巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filter求解求解N的詳細過程的詳細過程代入巴特沃斯濾波器的幅度平方函數(shù)得代入巴特沃斯濾波器的幅度平方

12、函數(shù)得22220.11.50.11.5220.10.10.11.51.51.50.20.30.20.3110110 ,10101lg0.2100.2100.210, lglg, 2lglg,0.31010.31010.3101NNNNccccNNNN 0.11.5101010.22lg0.322221()1()1apNpcNpapcHjHj 2222lg0.2lg0.30.11.520.120lg0.2120lg0.3152lg0.20.12lg0.31.5lg0.20.1lg0.31.51010100.2100.3aaaaaaaaHjHjaaHjHjHjHjHjHjHjHj 21.51019

13、巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filter(3) 把把 代入式子代入式子得到得到 s 平面左半平面的平面左半平面的3對極點分別為：對極點分別為：由這由這3對極點構成的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為對極點構成的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為7032. 06cN，12 , 2 , 1 , 022NkesNkNjck，0.18200.67920.49720.49720.67920.1820jjj 4945. 03585. 14945. 09945. 04945. 03640. 012093. 02222/1sssssssssssHNkkkNca20巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth

14、 Filter(4) 將上述模擬將上述模擬Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)部分分式濾波器的系統(tǒng)函數(shù)部分分式展開，再按照沖激響應不變法求得數(shù)字濾波器的系展開，再按照沖激響應不變法求得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為統(tǒng)函數(shù)為可以代入可以代入 來驗證濾波器的各項性能指標是否滿來驗證濾波器的各項性能指標是否滿足要求?？梢钥闯?，設計的濾波器完全滿足規(guī)定的技術足要求?？梢钥闯?，設計的濾波器完全滿足規(guī)定的技術指標。指標。 -1-2-3-4-5-1-2-3-4-5-60.00063 z0.0101 z0.01614 z0.0041z0.0001z1 3.3635 z5.0685 z4.2759 z2.1067z0

15、.57066 z0.0661zH zjez 21巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filter(5) 實現(xiàn)上述設計的實現(xiàn)上述設計的MATLAB程序如下程序如下a=10.1.5-1; b=10.0.1-1; c=a/b; d=log10(c);n=d/2/log10(3/2),pause;n=ceil(n);wc=0.2*pi/b.(1/2/n),pause;z,p,k=butter(6,0.7032,s),pause;sosa,ga=zp2sos(z,p,k),pause;b,a=sos2tf(sosa,ga);bz,az=impinvar(b,a,1)sos,g=tf2s

16、os(bz,az)模擬濾波器模擬濾波器Butter(N,c ,S)二階節(jié)變?yōu)閭骱问蕉A節(jié)變?yōu)閭骱问搅銟O增益形式變?yōu)槎A節(jié)形式零極增益形式變?yōu)槎A節(jié)形式傳函變?yōu)閭骱優(yōu)槎A節(jié)形式二階節(jié)形式fs=122巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filter例例 4.3 用雙線性變換法設計一個數(shù)字巴特沃斯濾波器，用雙線性變換法設計一個數(shù)字巴特沃斯濾波器，設取樣頻率為設取樣頻率為 ，在通帶截止頻率，在通帶截止頻率 處衰減不大于處衰減不大于 1dB，在阻帶截止頻率，在阻帶截止頻率 處衰減不小于處衰減不小于 15dB。解解 (1) 將模擬截止頻率轉換成數(shù)字截止頻率將模擬截止頻率轉換成數(shù)字截

17、止頻率3 . 02 . 013000220002TTfTffTTppsTTpp，所以，因為kHzfs10kHzfp1kHzfT5 . 123巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filter(2) 計算計算將模擬截止頻率進行將模擬截止頻率進行預畸變預畸變，即，即于是得到于是得到 即即cN和2tan2ppT2tan2TTT15lg201lg20TapajHjH1523 . 0tan2lg20122 . 0tan2lg20TjHTjHaa1220.120.1110110NpcNTc24巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filterl現(xiàn)在可以認為模擬頻率時歸一化的

18、頻率，即令現(xiàn)在可以認為模擬頻率時歸一化的頻率，即令 T=1，得，得220.11.510.210.312tan1012tan1022NNcc 5.34666NN，取76622. 0cc即：即：解得：解得：再代入左邊下面阻帶指標式子求得：再代入左邊下面阻帶指標式子求得：可以驗算這個可以驗算這個 值對應的阻帶指標剛好滿足要求，值對應的阻帶指標剛好滿足要求，而通帶指標已經超過要求。而通帶指標已經超過要求。12220.10.1110110NNpTcc25巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filter(3) 把把 代入式子代入式子得到得到 s 平面左半平面的平面左半平面的3對極點分別為

19、：對極點分別為：由這由這3對極點構成的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為對極點構成的濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為76622. 06cN，12 ,2 , 1 ,022NkesNkNjck，0.198310.740120.541810.541810.740120.19831jjj 5871. 04802. 15871. 00836. 15871. 03966. 020237. 02222/1sssssssssssHNkkkNca26巴特沃斯濾波器巴特沃斯濾波器 Butterworth Filter(4) 將上述模擬將上述模擬Butterworth濾波器的系統(tǒng)函數(shù)按照雙線濾波器的系統(tǒng)函數(shù)按照雙線性變換法求得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為性變換法求得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 2-1 -2-1 -2-1 -2-1 -2-1 -2-11120.70513zz1.2686510.08717zz0.1775009036. 00.35827zz1.0105810.09036zz18068. 009036. 00.21552zz0.9043710.09367zz183