概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第3章

1、第三章第三章 多維隨機(jī)變量及其概率多維隨機(jī)變量及其概率3.1 二維隨機(jī)變量的概念二維隨機(jī)變量的概念3.1.1 二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)二維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)1212,(3 1(1,2, ),).nninXXXXXXnni inXXX個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的整體稱定義維隨機(jī)變?yōu)橐粋€(gè)或,稱量維隨機(jī)向量第的個(gè)分量為,.()(, )( , ),( , )X YX YF x yP Xx YyxyF x yXY 稱二元函分布數(shù)數(shù)的函設(shè)為一個(gè)二維隨機(jī)變量，記為 與聯(lián)合分布函或?yàn)閿?shù)的稱定定義義 3-23-2邊緣分布函數(shù)：邊緣分布函數(shù)： (X,Y)的兩個(gè)分量X與Y各自的分布函數(shù)分別為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X與關(guān)于

2、Y的邊緣分布函數(shù),記為FX(x)與FY(y).邊緣分布函數(shù)可由聯(lián)合分布函數(shù)來確定. 如下( ),( ,)lim( , );XyFxP XxP Xx YF xF x y ( ),(, )lim( , ).YxFyP YyP XYyFyF x y 幾何意義幾何意義：分布函數(shù)F(x,y)在(x,y)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在以(x,y)為頂點(diǎn)、位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形D內(nèi)的概率,見下圖見下圖.yx(x,y)0D 利用分布函數(shù)及其集合意義不難看出利用分布函數(shù)及其集合意義不難看出,隨機(jī)點(diǎn)隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在矩落在矩形域形域x1X x2, y1Y y2內(nèi)內(nèi)(如下圖如下圖)的概率為：的概率為：yxo

3、y2y1x2x1(x1, y2)(x2, y2)(x1,y1)(x2, y1)221122221111(,)( ,)(,)(,.,)F xyF xP xXxyyF xyyYyF x回憶回憶: 分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)的性質(zhì)的性質(zhì).(1) 0( ) 1;F x1212(2)( )( )( );F xxxF xF x是不減函數(shù)，對(duì)于任意的有(3)()lim( ) 0,()lim( ) 1;FF xFF xxx (4)( )lim()( ).0F xF xxF xx 是右連續(xù)，即( , )F x y分布函數(shù)具有下列性質(zhì)：21212121(1)( , )(),(, )( , );,( ,)( ,).F

4、 x yxyyxxF xyF x yyyF x yF x y是變量 或 的不減函數(shù) 即對(duì)任意固定的 ，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)(2) 0( , )1,(, )0;,( ,)0;(,)0,(,)1.F x yy Fyx F xFF 對(duì)任意固定的對(duì)任意固定的00(3)( , ),( , )lim(, )( , )lim( ,).xyF x yxyF x yF xx yF x yF x yy 關(guān)于 和關(guān)于 均是右連續(xù) 即；121222211211(4),.(,)(,)( ,)( ,)0.xxyyF xyF xyF x yF x y對(duì)任意固定的例例 3-10,0,( , )1,0.xyF x yxy判斷二元函數(shù)是不是

5、某二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).2221211(,)(,)( 1,)( ,)0.F xyF xyF x yF x y12120,0,1,1,1,( , )1,0.1,xxyxyF xyyxy 而本題中若取2221211(,)(,)( 1,)( ,)1 1 1010.F xyF xyF x yF x y ( , ).F x y故函數(shù)不能作為某二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)1212( , ),xF x yxyy作為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)對(duì)任意的應(yīng)有解解3.1.2 二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量定義定義3-3 若二維隨機(jī)變量若二維隨機(jī)變量(X ,Y )只能取有限多對(duì)或可列無只能取有限多對(duì)或可列無窮多對(duì)窮多對(duì)

6、( Xi ,Yj ),( i , j=1,2,)則稱則稱(X ,Y )為二維離散型隨機(jī)變?yōu)槎S離散型隨機(jī)變量量. 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量 (X ,Y) 的所有可能取值為的所有可能取值為 ( Xi ,Yj ),( i ,j=1,2,),( X, Y )在各個(gè)可能取值的概率為：在各個(gè)可能取值的概率為：PX=xi,Y=yj= pij ( i, j=1,2,)稱PX=xi,Y=yj= pij ( i, j=1,2,)為為( X , Y )的分布律的分布律.( X , Y ) 的分布律還可以寫成如下列表形式：的分布律還可以寫成如下列表形式：XYy1 y2 yj x1x2xip11 p12 p1j

7、p21 p22 p2j pi1 pi2 pij (X,Y) 的分布律具有下列性質(zhì):回憶：回憶：分布律PK的性質(zhì).(1) 0 PK 1；(2) P1 +P2 + + PK =1.(1) 0 Pij 1 ( i,j=1,2, ) ;(2)1.ijijp 反之,若數(shù)集pij ( i,j=1,2, ) 具有以上兩條性質(zhì),則它必可作為某二維離散型隨機(jī)變量的分布律.例例 3-2 設(shè)設(shè)(X,Y)的分布律為的分布律為XY1 2 3 122aa1 11 13 36 64 41 10 04 4求常數(shù)求常數(shù)a的值的值.解解 由分布律性質(zhì)知，由分布律性質(zhì)知，21111,3644aa2610, (31)(21)0,aa

8、aa 則111(),.323aaa 解得 或負(fù)值舍去 所以例例3-3 設(shè)(X,Y)的分布律為XY1 2 3 0 0.1 0.1 0.3 1 0.25 0 0.25求求: (1)PX=0; (2)PY2; (3)PX1,Y1=_.練練 習(xí)習(xí)1, 01, 01,( , )0,.xyf x y其他3.設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度的概率密度則則PX+Y1=_.5.設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度的概率密度221()21( , )e2xyf x y則則(X,Y)關(guān)于關(guān)于X的邊緣概率密度的邊緣概率密度fX(x)=_.6 ,0,0,( , )0,xxyf x y其他4.設(shè)

9、二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為的概率密度為則則(X,Y)關(guān)于關(guān)于Y的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為_.3.2 隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性回憶回憶：兩個(gè)事件兩個(gè)事件相互獨(dú)立的定義相互獨(dú)立的定義若P(AB)=P(A)P(B), 則稱A與B相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 簡(jiǎn)稱A,B獨(dú)立獨(dú)立.( , ),( )( )( , )., ,.( )( ),)XYXYF x y FxFyX Yx yF x yFx FXYy設(shè)和分別是二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)和兩個(gè)邊緣分布函數(shù)若對(duì)任意實(shí)數(shù)有則稱義相互獨(dú)立（與*）定定3-93-9, , .x yP Xx YyP Xx P Yy式等價(jià)于對(duì)任意實(shí)數(shù)有（*）,

10、 ,.XYx yXxYy由此可知 隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立 即對(duì)任意實(shí)數(shù)事件與相互獨(dú)立(, )(1)(1),0,0.( , )0,.xyX YeexyF x yXY設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為其他證明:互獨(dú)立義與 相定定3-143-14(1)(1),0,0.( , )0,.xyeexyF x y其他明明證證(1,0,0)( ),.xXeF xxFx 其他Y關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)為1,0( )0,(., )yYeFyFyy ，其他( , )( )(,.)XYF x yFx Fyx yXY因此對(duì)任意的有成立 故 與 相互獨(dú)立X關(guān)于 的邊緣分布函數(shù)為3.2.2 二維離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性二維離散型隨機(jī)變量

11、的獨(dú)立性(, ), ,1,2,.ijijX YPP Xx Yyi j設(shè)為離散型隨機(jī)變量 其分布律為,1,2,;iijjPiP Xxpi邊緣分布律為,1,2,.jijiP jP Yypj邊緣分布律為, ,.(*)ijijijP Xx YyP Xx P YyPPiXYi jP j與 相互獨(dú)立的充要條件為：對(duì)一切有，,(*)XYi j： 與 相互獨(dú)立要求對(duì)所以的值都成立.注注意意XY判斷3.1節(jié)例1-6中 與 是否相互獨(dú)立.例例3-153-15(1) 有放回摸球情況：因?yàn)榻饨?3 30,00 0,255 5P XYP XP Y63 20,10 0,255 5P XYP XP Y62 31,00 0,

12、255 5P XYP XP Y42 21,10 0,255 5P XYP XP YXY所以 與 相互獨(dú)立.(2) 不放回摸球情況：因?yàn)? 3900,5 525P XP Y30,0,10P XY000,0,P XP YP XY.XY所以 與 不相互獨(dú)立例例 3-16 設(shè)設(shè)(X,Y)的分布律為的分布律為ab1 12 21 11 19 91 11 12 26 63 31 13 31 1 8 8YX,.XYa b且 與 相互獨(dú)立 求常數(shù)的值1,11 1, 3,13 1,XYP XYP XP YP XYP XP Y由于 與解相互獨(dú)立,則111,13 191811111131.9189618P XYP X

13、P YP XaP XbP Y而，21,.99ab解得11111199318183ab故，3.2.3 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性(,)( ,)X Yfx y設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為,( )( )XYfxfyXYXY,分別為關(guān)于 和 的邊緣概率密度,則 與幾乎處處成立.相互獨(dú)立的充要條件是:等式( , )( )( )XYf x yfx fy這里這里“幾乎處處成立幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為的含義是：在平面上除去面積為 0 的集合的集合外，處處成立外，處處成立.3.11-8.3-17XY證明節(jié)例中 與 的獨(dú)立性例例2222(, )( , )2( , ),(1)(14),X YF

14、 x yf x yx yxyxy 的概解率密度為21( )(1)XXfxxx 關(guān)于 的邊緣概率密度為，22( )(14)YYfyyy 關(guān)于 的邊緣概率密度為，,( , )( )(, )XYf x yxfx fyy從而對(duì)任意有.XY因此 與 相互獨(dú)立221212(, ) (, )3,18X YNXY = 0設(shè)證明 與 相互獨(dú)立的充要條件是：例.2211222221212()()()()122(1)2121(, ).2,1xxxxXfYx ye 的概率明密度證為先證充要性.設(shè) =0,此時(shí)2222121222221212()()1()()112221212111( ,2(.2)( )2XxxxYxf

15、 x yeeefx fy .,( , )( )( ).XYXYx yf x yfx fy再證必要性 若 與 相互獨(dú)立 則對(duì)任意的有2121212121,2211xy 代入上式有現(xiàn)令，211從知，即而=0.(, )X YXY設(shè)在以原點(diǎn)為圓心、半徑為1的圓域上服從均勻分布,問 與 是否相互獨(dú)立.例例3-193-1922(, )1,1,( , )0,.X Yxyf x y的概率密度為其他解解221211,12( )1,xXxxfxdxx當(dāng)時(shí)1( )( , )0Xxfxf x y dy當(dāng)時(shí)，221,1,( )0,1,XXxxfxx關(guān)于 的邊緣密度為221,1,( )0,1,YYyyfyy同理關(guān)于 的邊

16、緣密度為222411,1,1,( )( )0,.XYxyxyfx fy其他,1,1,( , )( )( ).XYxyf x yfx fy易見 當(dāng)時(shí),.XY所以與 不相互獨(dú)立 聯(lián)合分布函數(shù)與邊緣分布的關(guān)系:聯(lián)合分布可確定邊緣分布,但一般情況下,邊緣分布是不能確定聯(lián)合分布的.然而由隨機(jī)變量相互獨(dú)立的定義及充要條件可知,當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí),(X,Y)的分布可由它的兩個(gè)邊緣分布完全確定.,2,(, )XYXYX Y設(shè) 與 為互相獨(dú)立的隨機(jī)變量在-1,1上服從均勻分布,服從參數(shù)的指數(shù)分布 求：的概率密度.例例3-203-20,X Y由已知條件得的概率密度分別為解解21,11,2,0,( )( )20,.

17、0,.yXYxeyfxfy 其他其他,(, )XYX Y因?yàn)?與 相互獨(dú)立 所以的概率密度為2,11,0,( , )( )( )0,.yXYexyf x yfx fy 其他2:,()( ).,21,.XYf Xg YXYXYXY可以證明 如果隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立 那么 它們各自的函數(shù)與也相互獨(dú)立比如與 相互獨(dú)立 則與也相互獨(dú)立與也相互獨(dú)立等(, )8,01,0,( , )0,.,.X Yxyxyxf x yXYXY設(shè)的概率密度為其他求：關(guān)于 及關(guān)于 的概率密度 并判斷 與 是否相互獨(dú)立例例3-213-21X關(guān)于 的邊緣概率密度解解( )( , ).Xfxf x y dy01x當(dāng)時(shí)，30( )

18、84xXfxxydyx，01xx當(dāng)或時(shí)，( )0Xfx ，3401( )0.Xxxfx，所以，其他128014 (1-)01( )0.0.yYxydxyyyyfy，同理，其他，其他0101,( , )( )( ).XYxyf x yfx fy當(dāng)，時(shí).XY所以 與 不相互獨(dú)立n維隨變3.2.4機(jī)3.2.4機(jī)量量,.n以上所述關(guān)于二維隨機(jī)變量的一些概念 可推廣到 維隨機(jī)變量的情況12(,)nXXX設(shè)分布函為義的數(shù)定定3-103-10121122(,),nnnF XXXP Xx XxXx12(,),nf XXX其概率密度為則函數(shù)12( ),iXiiinFxP XXXxX 111111( )( ,)i

19、Xiiiiniinfxf xxx xx dxdx dxdx和分別稱12(,),1,2, .niXXXXin為關(guān)于的邊緣概率分布函數(shù)和邊緣概率密度12,nx xx義若對(duì)一切有定定3-113-1111221,nnniiiP Xx XxXxP Xx12112212(,)()()(),nnnXXXnF Xx XxXxFx FxFx即12,.nXXX則稱是相互獨(dú)立21212,(,)(1,2, ),(,).niiinXXXXNinXXX 設(shè)相互獨(dú)立 且求的概率密度例例3-223-221212,nnXXXXXX由于相互獨(dú)立 ()的概率密度可解表示為：222112222212121122()()()12212

20、( ,)()()()1.(2 )nnnnnnxxxnnf x xxf xfxfxe 12,(2)nXXXkkn還可證明：若相互獨(dú)立 則其中任意個(gè)隨機(jī)變量也相互獨(dú)立.1211222221212,nnnnnXXXXXXXXXXXX設(shè)相互獨(dú)立,則它們各自的函數(shù)g(),g (), ,g ()相互獨(dú)立,比如相互獨(dú)立，則也相互獨(dú)立.等等1,3.713,(),.9XYaAXaBYaP ABa設(shè)隨機(jī)變量 與 相互獨(dú)立,都在區(qū)間上服從均勻分布設(shè)若事件且求常數(shù) 的值例例3-233-23,XY由已知 隨機(jī)變量 與 均在區(qū)間1,3上服從均勻分布.因此，解解13(1)(3)( ),( ),(),224aaaaP AP

21、BP AB13(1)(3)7(),2249aaaaP AB18(1) 18(3)9(1)(3)28,aaaa2936350,(35)(37)0,aaaa即57.33aa或 1. 設(shè)隨機(jī)變?cè)O(shè)隨機(jī)變量量 (X,Y) 的的概率密度是概率密度是 2,0,01,0,其它.yxxfx y 問問 X 和和 Y 是否相互獨(dú)立是否相互獨(dú)立?練練 習(xí)習(xí)(, )X Y設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為2.2.,02, 02,( , )0,.cxyxyf x y其他(1);(2)(, ),( ),( );(3)(4)1,1.XYcX YX YfxfyXYP XY求常數(shù)求分別關(guān)于的邊緣密度判斷 與 的獨(dú)立性,并說明理由；求0,

22、1,2,3.Z解的可能取值為3.3 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布3.3.1 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例例 3-24 設(shè)設(shè)(X,Y)的分布律為的分布律為求求Z=X+Y的分布律的分布律.012111046811114812XY00,0,ZXY因?yàn)槭录?00,0;4P ZP XY所以10,11,0ZXYXY事件，0,11,0XYXY事件與互不相容，所以1151;4612P Z 20,21,1ZXYXY事件，0,21,1XYXY事件與互不相容，所以1112884P Z ；31,2,ZXY事件Z從而得出 的分布律為13,12P Z 所以1511412412

23、0123ZP1212,(),(),().X YXPYPZXYP設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 且證明：例例3-253-251212() :兩個(gè)相互獨(dú)立且都服從泊松分布 參數(shù)分別為 和的隨機(jī)變量之和仍服從泊松分布,見且具有參數(shù)+.由由此此可可3-24,(1);(2) .ZXYP XY接例求：的分布律例例3-263-26(1)0,1,2.Z的可能取值為解解Z=00,01,00,10,2,XYXYXYXY由于1111190;446824P Z 所以1111181213212ZXYP ZZXYP Z同理，ZXY則的分布律為012191124812ZP113(2)0,01,1.488P XYP XYP XY兩個(gè)獨(dú)連續(xù)隨變3.3.2立3.3.2立型型機(jī)機(jī)量量之之和和的的概概率率分分布布XYY設(shè) 與 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,X在0,1上服從均勻分布, 的概率密度為例例3-273-27121,0,( )20,0.yYeyfyy(1)(, )(2) 1;(3) 3.X YP XYP XY求:的概率密度；(1),(, )XYX Y由已知 與 相互獨(dú)立解的概率密度為121,01,0,( , )( )( )20,yXYexyf x yfx fy其他.(