Ch4.4矩、協方差矩陣

1、第四節(jié)第四節(jié) 矩、協方差矩陣矩、協方差矩陣原點矩原點矩 中心矩中心矩協方差矩陣協方差矩陣n 元正態(tài)分布的概率密度元正態(tài)分布的概率密度一、一、 原點矩原點矩 中心矩中心矩定義定義 設設X和和Y是隨機變量，若是隨機變量，若 , 2 , 1),(kXEk存在，稱它為存在，稱它為X的的k階原點矩階原點矩，簡稱，簡稱 k階矩階矩. , 3 , 2,)(kXEXEk若存在，稱它為存在，稱它為X的的k階中心矩階中心矩.可見，均值可見，均值 E(X)是是X一階原點矩，方差一階原點矩，方差D(X)是是X的二階中心矩。的二階中心矩。協方差協方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的二階混合中心矩二階混合中心矩.稱它為稱

2、它為 X 和和 Y 的的 k+L 階混合（原點）矩階混合（原點）矩.若若)()(LkYEYXEXE存在，存在，稱它為稱它為X 和和 Y 的的 k+L 階混合中心矩階混合中心矩. )(LkYXE設設 X 和和 Y 是隨機變量，若是隨機變量，若 k,L=1,2,存在，存在，可見，可見，二、二、協方差矩陣協方差矩陣將二維隨機變量（將二維隨機變量（X1,X2）的四個二階中心矩）的四個二階中心矩)(21111XEXEc)()(221112XEXXEXEc排成矩陣的形式排成矩陣的形式:)()(112221XEXXEXEc)(22222XEXEc稱此矩陣為稱此矩陣為（X1,X2）的協方差矩陣）的協方差矩陣.

3、22211211cccc這是一個非這是一個非負定對稱矩陣負定對稱矩陣 類似定義類似定義n 維隨機變量維隨機變量(X1,X2, ,Xn) 的協方差矩陣的協方差矩陣.為為(X1,X2, ,Xn) 的協方差矩陣。的協方差矩陣。都存在都存在,( i, j=1,2,n ),(jijiXXCovc若若)()(jjiiXEXXEXEnnnnnncccccccccC212222111211矩陣矩陣稱稱三、三、n 元正態(tài)分布的概率密度元正態(tài)分布的概率密度)()(21exp|)2(11212 XCXCnf (x1,x2, ,xn)則稱則稱 X 服從服從 n 元正態(tài)分布元正態(tài)分布.其中其中C是是(X1,X2, ,X

4、n) 的協方差矩陣的協方差矩陣.|C|是它的行列式，是它的行列式， 表示表示C的逆矩陣，的逆矩陣，1CX 和和 是是 n 維列向量，維列向量， 表示表示X 的轉置的轉置.X 設設 =(X1,X2, ,Xn)是一個是一個n維隨機向量維隨機向量,若它的概率密度為若它的概率密度為Xn元正態(tài)分布的幾條重要性質元正態(tài)分布的幾條重要性質1. X=(X1,X2, ,Xn)服從服從n元正態(tài)分布元正態(tài)分布a1X1+ a2 X2+ + an Xn 均服從正態(tài)分布均服從正態(tài)分布.對一切不全為對一切不全為0的實數的實數 a1,a2,an， 由此得到，由此得到，n維正態(tài)變量維正態(tài)變量(X1,X2, ,Xn)的每的每一個

5、分量一個分量Xi都是正態(tài)隨機變量；反之，若每個分都是正態(tài)隨機變量；反之，若每個分量量Xi都是正態(tài)隨機變量，且它們相互獨立，則都是正態(tài)隨機變量，且它們相互獨立，則(X1,X2, ,Xn)是是n維正態(tài)變量。維正態(tài)變量。若若 X=(X1, X2 , , Xn) 服從服從 n 元正態(tài)分布元正態(tài)分布， Y1,Y2, ，Yk是是Xj（j=1,2,n）的線性函數的線性函數，則則 (Y1,Y2, ，Yk) 也服從多元正態(tài)分布也服從多元正態(tài)分布.2. 正態(tài)變量的線性變換不變性正態(tài)變量的線性變換不變性. 3. 設設(X1,X2, ,Xn)服從服從n元正態(tài)分布元正態(tài)分布，則則“X1,X2, ,Xn相互獨立相互獨立”

6、等價于等價于“X1,X2, ,Xn兩兩不相關兩兩不相關” 例例 1 設隨機變量設隨機變量X和和Y相互獨立且相互獨立且XN(1,2), YN(0,1). 試求試求Z=2X-Y+3的概率密度的概率密度.故故X 和和Y 的聯合分布為正態(tài)分布的聯合分布為正態(tài)分布，X 和和Y 的任意線的任意線性組合是正態(tài)分布性組合是正態(tài)分布.解解: XN(1,2),YN(0,1)，且且 X 與與Y 獨立獨立,D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即即 ZN(E(Z), D(Z)故故 Z 的概率密度是的概率密度是,231)(18)5(2zZezf zZN(5, 32)

7、例例 設隨機變量設隨機變量X,Y獨立獨立,均服從正態(tài)分布均服從正態(tài)分布 令令U=aX+bY, V=aX-bY,問常數問常數a,b滿足什么條件時滿足什么條件時隨機變量隨機變量U,V相互獨立？相互獨立？2( ,)N 解解 . ),( , 0, 20, 10),21(76),( ),( 2數數的協方差矩陣及相關系的協方差矩陣及相關系求求其他其他函數為函數為的聯合密度的聯合密度設二維連續(xù)型隨機變量設二維連續(xù)型隨機變量YXyxxyxyxfYX yxyxfxXEdd),()( xyxyxxdd )21(7610202 xxxd767121023 ,75 例例 2yxxyxxXEdd )21(76)(102

8、0222 ,7039 ,49023757039)( 2 XD故故xyxyxyYEdd )21(76)(10202 因因為為,78 xyxyxyYEdd )21(76)(1020222 ,2134 ( 2 YD故故xyxyxxyXYEdd )21(76)(10202 ,2117 )()()(),(Cov YEXEXYEYX 故故,147178752117 ),( 的協方差矩陣為的協方差矩陣為于是于是YX.147461471147149023 的相關系數的相關系數與與YX)()(),(CovYDXDYXXY .6915 備備 用用 例例 題題四、小結四、小結 在這一節(jié)中我們學習了隨機變量的原點矩在這一節(jié)中我們學習了隨機變量的原點矩和中心矩以及協方差