第三章剛體力學(xué)習(xí)題答案

1、精品資料第三章剛體力學(xué)習(xí)題答案3-1 如圖3-1示,一輕桿長度為21 ,兩端各固定一小球,A球質(zhì)量為2m ,B球質(zhì)量為m,桿可繞過中心的水平軸O在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，求桿與豎直方向成角時(shí)的角加速度.解：系統(tǒng)受外力有三個(gè)，即 A, B受到的重力和軸的支撐作用力，軸的作用力對軸的力臂為零，故力矩為零，系統(tǒng)只受兩個(gè)重力矩作用.以順時(shí)針方向作為運(yùn)動的正方向，則 A球受力矩為正，B球受力矩為負(fù)，兩個(gè)重力的力臂相等為d 1 sin ，故合力矩為M 2mgl sin mgl sin mgl sin系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為兩個(gè)小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）的轉(zhuǎn)動慣量之和J 2ml2 ml2 3ml2應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律M J2有：mgl

2、sin 3ml解得gsin3l3-2 計(jì)算題3-2圖所示系統(tǒng)中物體的加速度.設(shè)滑輪為質(zhì)量均勻分布的圓柱體，其質(zhì)量，忽略桌為M，半徑為r,在繩與輪邊緣的摩擦力作用下旋轉(zhuǎn) 面與物體間的摩擦，設(shè) n = 50kg，m2 = 200kg,M=0.1m.m1，m2運(yùn)用牛頓定律，有解：分別以m1，m2滑輪為研究對象，受力圖如圖（b）所示.對m2g T2m2aT1m1a對滑輪運(yùn)用轉(zhuǎn)動定律，有可修改又，聯(lián)立以上4個(gè)方程，得m2gMmim22200 9.8 7.6155 20023-3飛輪質(zhì)量為60kg,半徑為0.25m,當(dāng)轉(zhuǎn)速為1000r/min時(shí)，要在5s內(nèi)令其制動，求制動力F ,設(shè)閘瓦與飛輪間摩擦系數(shù)=

3、0.4,飛輪的轉(zhuǎn)動慣量可按勻質(zhì)圓盤計(jì)算，閘桿尺寸如圖所示.圖3-31_2解：以飛輪為研究對象，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量J -mR ,制動前角速度,1000為 2rad/s ，制動時(shí)角加速度為-制動時(shí)閘瓦對飛輪的壓力為Fn ,閘60t瓦與飛輪間的摩擦力 FfFn ,運(yùn)用轉(zhuǎn)動定律，得12FfRJ-mR2f2則FnmR2 t以閘桿為研究對象，在制動力 F和飛輪對閘瓦的壓力Fn的力矩作用下閘桿保持平衡，兩力矩的作用力臂分別為l(0.50 0.75) m 和 l1 = 0-50m ,則有Fl Fn110l1mR12 t0.500.50 0.7560 0.25 210002 0.4 5 60157 N3-4設(shè)有一均

4、勻圓盤，質(zhì)量為m ,半徑為R,可繞過盤中心的光滑豎直軸在水平桌面上轉(zhuǎn)動.圓盤與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為，若用外力推動它使其角速度達(dá)到°時(shí),撤去外力，求：(1)此后圓盤還能繼續(xù)轉(zhuǎn)動多少時(shí)間？(2)上述過程中摩擦力矩所做的功.解：(1)撤去外力后，盤在摩擦力矩 M f作用下停止轉(zhuǎn)動-設(shè)盤質(zhì)量密度為mR2有RMf ° g2r2drmgRM f 1根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，J mRJ 24 g 3Rt 3 3R4 g(2)根據(jù)動能定理有121_22摩擦力的功Wf ° -J °2-mR2 02243-5 如題3-6圖所示，一勻質(zhì)細(xì)桿質(zhì)量為于水平位置由靜止開始擺下.求：(1)初始

5、時(shí)刻的角加速度；(2)桿轉(zhuǎn)過角時(shí)的角速度.m，長為l ,可繞過一端O的水平軸自由轉(zhuǎn)動，桿圖3-6解：(1)由轉(zhuǎn)動定律，有mg2(1m|2) 33g2l(2)由機(jī)械能守恒定律，有-l .mg - sinIm1)3g sinOO轉(zhuǎn)動.設(shè)大小圓柱3-6固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸體的半徑分別為 R和r,質(zhì)量分別為 M和m .繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體m1和m2相連，mi和m2則掛在圓柱體的兩側(cè)，如3-8圖所示.設(shè)R = 0.20m, r = 0.10m, m=4 kg, M=10 kg, m1 = m2=2 kg,且開始時(shí) m1,m2離地均為h =2m .求：(1)柱體轉(zhuǎn)動

6、時(shí)的角加速度；(2)兩側(cè)細(xì)繩的張力.解：設(shè)a1, a2和3分別為m1, m2和柱體的加速度及角加速度，方向如圖(如圖b).(a)圖(b)圖(1) m1, m2和柱體的運(yùn)動方程如下：T2 m2gm2a2m1g 工m1alT1 R T, r I式中 T1 T1,T2 T2,a2 r ,a1 R1cle而I MR mr22由上式求得Rm1rm 2'22.T gIm1Rm2r0.2 2 0.1 2 9.8 12122210 0.2024 0.1022 0.2022 0.102226.13 rad s 2(2)由式T2m2rm2g 2 0.10 6.13 2 9.8 20.8 N由式T1m1gm

7、1R 2 9.8 2 0.2. 6.13 17.1 N3-7一風(fēng)扇轉(zhuǎn)速為900r/min,當(dāng)馬達(dá)關(guān)閉后，風(fēng)扇均勻減速，止動前它轉(zhuǎn)過了 75轉(zhuǎn),在此過程中制動力做的功為44.4J,求風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動慣量和摩擦力矩.解：設(shè)制動摩擦力矩為 M ,風(fēng)扇轉(zhuǎn)動慣量為 J ,止動前風(fēng)扇的角位移 力矩所做的功為AM M2 N摩擦力所做的功應(yīng)等于風(fēng)扇轉(zhuǎn)動動能的增量，即A 0 1J 2 22A 2 ( 44.4)2J 20.01 kg m(900 2 /60)A 44.4 M0.0942N mh高處只滾不滑2 N 2753-8 一質(zhì)量為M、半徑為r的圓柱體，在傾斜 角的粗糙斜面上從距地面而下,試求圓柱體滾止地面時(shí)的瞬時(shí)

8、角速度.解：在滾動過程中，圓柱體受重力Mg和斜面的摩擦力F作用，設(shè) 圓柱體滾止地面時(shí)，質(zhì)心在瞬時(shí)速1 . 2, .、率為v,則此時(shí)質(zhì)心的平動動能為 一Mv ,與此同時(shí)，圓柱體以角速度繞幾何中心軸轉(zhuǎn)2t 一八，12 ,動，其轉(zhuǎn)動動能為 -J 2.將勢能零點(diǎn)取在地面上，初始時(shí)刻圓柱體的勢能為Mgh ,由于圓柱體只滾不滑而下，摩擦力為靜摩擦力，對物體不做功，只有重力做功，機(jī)械能守恒，2j2r，代入上式得-12于是有Mgh -Mv2一 12式中J Mr ,v 2Mgh2(Mr2122-Mr2) 223-9一個(gè)輕質(zhì)彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)k 2.0N/m,它的一端固定，另一端通過一條細(xì)繩繞過一個(gè)定滑輪和一個(gè)質(zhì)量為

9、m =80g的物體相連，如圖所示.定滑輪可看作均勻圓盤，它的質(zhì)量為M =100g,半徑r = 0.05m.先用手托住物體 m,使彈簧處于其自然長度，然后松手.求物體m下降h = 0.5m 時(shí)的速度為多大？忽略滑 輪軸上的摩擦，并認(rèn)為繩在滑輪邊緣上不打滑.解：由于只有保守力（彈性力、重力）做功，所以由彈簧、滑輪和物體 械能守恒，故有m組成的系統(tǒng)機(jī)1212ngh 5kh -1v r, I - Mr222 mv2所以v2mgh kh242Mm1.48m/s圖 3-123-10有一質(zhì)量為m1、長為l的均勻細(xì)棒，靜止平放在滑動摩擦系數(shù)為的水平桌面上，它可繞通過其端點(diǎn) O且與桌面垂直的固定光滑軸轉(zhuǎn)動.另有

10、一水平運(yùn)動的質(zhì)量為 m2的小滑塊，從側(cè)面垂直于棒與棒的另一端A相碰撞,設(shè)碰撞時(shí)間極短.已知小滑塊在碰撞前后的速度分別為V1和V2,如圖示，求碰撞后從細(xì)棒開始轉(zhuǎn)動到停止轉(zhuǎn)動的過程所需的時(shí)間（已知棒繞-e 口12O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣重J mJ ）.3解：對棒和滑塊組成的系統(tǒng)，因?yàn)榕鲎矔r(shí)間極短，所以棒和滑塊所受的摩擦力矩遠(yuǎn)小于相互間的沖量矩，故可認(rèn)為合外力矩為零， 所以系統(tǒng)的角動量守恒， 且碰撞階段棒的角位移忽略不計(jì)，由角動量守恒得1 2m2vlim2v2l - mil碰撞后在在轉(zhuǎn)動過程中棒受到的摩擦力矩為t一 mi1一M f 0g 丁dx2 rngl由角動量定理得轉(zhuǎn)動過程中t12M f dt 0 -m1l

11、03聯(lián)立以上三式解得：t 2 m2 VV2ng3-11哈雷彗星繞太陽運(yùn)動的軌道是一個(gè)橢圓.它離太陽最近距離為r1 =8.75 X 1010 m時(shí)的速率是 5=5.46 X 10 4m s-1,它離太陽最遠(yuǎn)時(shí)的速率是v2 = 9.08 x 10 2m - s-1,這時(shí)它離太陽的距離2為多少？（太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).）所以角動量守恒；又由于解：哈雷彗星繞太陽運(yùn)動時(shí)受到太陽的引力一一即有心力的作用, 哈雷彗星在近日點(diǎn)及遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速度都與軌道半徑垂直，故有1v1 v2r1mM r2mv25.26 1012 m8.75 1010 5.46 10429.08 1023-12平板中央開一小孔，質(zhì)量為m的小

12、球用細(xì)線系住，細(xì)線穿過小孔后掛一質(zhì)量為M1的重物.小球做勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)半徑為0時(shí)重物達(dá)到平衡.今在M1的下方再掛一質(zhì)量為 M2的物體，如3-14解：在只掛重物時(shí) M1，小球作圓周運(yùn)動的向心力為 Mg ,即2Mgm0 0掛上M2后，則有(MiM2)gmr重力對圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動量守恒.r0mv0 r mv2 roo聯(lián)立、得3-13 如圖示,長為l的輕桿,兩端各固定質(zhì)量分別為m和2m的小球，桿可繞水平光滑軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸O距兩端的距離分別為1/3或21/3.原來靜止在豎直位置.今有一質(zhì)量為 m的小球，以水平速度v0與桿下端的小球 m做對心碰圖 3-13撞，碰后以v。/2的

13、速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度解：將桿與兩端的小球視為一剛體，水平飛來的小球m與剛體視為一系統(tǒng)，在碰撞過程中，外力包括軸 O處的作用力和重力，均不產(chǎn)生力矩，故合外力矩為零，系統(tǒng)角動量守恒-選21 mvo 逆時(shí)針轉(zhuǎn)動為正方向，則由角動量守恒得vo 2l.m J2 32m(；)233v。2l3-14圓盤形飛輪A質(zhì)量為m,半徑為r,最初以角速度 0轉(zhuǎn)動，與A共軸的圓盤形飛輪B質(zhì)量為4m,半徑為2r,最初靜止,如圖所示,兩飛輪嚙合 后，以同一速度 轉(zhuǎn)動，求 及嚙合過程中機(jī)械能的損失 .圖 3-14解：以兩飛輪組成的系統(tǒng)為研究對象，由于運(yùn)動過程中系統(tǒng)無外力矩作用,角動量守恒，有122mr 011

14、71 2mr21254m(2r)2初始機(jī)械能為嚙合后機(jī)械能為122-mr 02 21 12 2mr221 2一 mr41 1則機(jī)械能損失為4m(2r) 221612 2mr o17401 12mr 17416人, W173-15 如圖示，一勻質(zhì)圓盤半徑為r,質(zhì)量為mi,可繞過中心的垂軸轉(zhuǎn)動.初時(shí)盤靜止，一質(zhì)量為m2的子彈一速度v沿與盤半徑成1 60的方向擊中盤邊緣后以速度v/2沿與半徑方向成2 30的方向反彈，求盤獲得的角速度圖 3-15解：對于盤和子彈組成的系統(tǒng)，撞擊過程中軸O的支撐力的力臂為零，不提供力矩，其他外力矩的沖量矩可忽略不計(jì)，故系統(tǒng)對軸O的角動量守恒，即L1 L2,初時(shí)盤的角動量

15、為零，只有子彈有角動量，故L1 m2vr sin 60末態(tài)中盤和子彈都有角動量，設(shè)盤的角速度為，則v12L2 m2 -r sin30m1r221一 m1r 2-v(2 3 1)m2v可解得:故有 m2vr sin60 m25rsin 302m1r3-16一人站在一勻質(zhì)圓板狀水平轉(zhuǎn)臺的邊緣，轉(zhuǎn)臺的軸承處的摩擦可忽略不計(jì)，人的質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)臺的質(zhì)量為10 m，半徑為R .最初整個(gè)系統(tǒng)是靜止的，這人把一質(zhì)量為 m的石子水平地沿轉(zhuǎn)臺的邊緣的切線方向投出，石子的速率為v （相對于地面）.求石子投出后轉(zhuǎn)臺的角速度與人的線速度.解：以人、轉(zhuǎn)臺和石子組成的系統(tǒng)為研究對象，由于系統(tǒng)無外力矩作用，角動量守恒， 設(shè)轉(zhuǎn)

16、臺角速度的轉(zhuǎn)向與投出的石子速度 v方向一致，初始時(shí)系統(tǒng)角動量為零，得J mRv 0 一 . 1 一' -2'2一人和轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)動慣量 J 10mR mR ,代入上式后得2mv6m R 人的線速度為v R ?6m其中負(fù)號表示轉(zhuǎn)臺角速度轉(zhuǎn)向和人的線速度方向與假設(shè)方向相反-3-17一人站在轉(zhuǎn)臺上，兩臂平舉，兩手各握一個(gè) m 4 kg,啞鈴距轉(zhuǎn)臺軸r0 0.8 m,起初轉(zhuǎn)臺以0 2 rad/s的角速度轉(zhuǎn)動，然后此人放下兩臂，使啞鈴與軸相距r 0.2m,設(shè)人與轉(zhuǎn)臺的轉(zhuǎn)動慣量不變，且J 5kg m 2 ,轉(zhuǎn)臺與軸間摩擦忽略不計(jì)，求轉(zhuǎn)臺角速度變?yōu)槎?大？整個(gè)系統(tǒng)的動能改變了多少？解：以人、轉(zhuǎn)臺

17、和啞鈴組成的系統(tǒng)為研究對象，由于系統(tǒng)無外力矩作用，角動量守恒，有一 2一 2(J 2mr0 ) 0 (J 2mr )12.0 rad/sJ 2mr025 2 4 0.82_20_ 2J 2mr5 2 4 0.2動能的增量為122122W W W0 -(J 2mr2) 2 -(J 2mr02) 02122122-(5 2 4 0.22) 122 -(5 2 4 0.82) (2 )2=183J3-18 如3-20圖所示，質(zhì)量為M，長為l的均勻直棒，可繞垂直于棒一端的水平軸O無摩擦地轉(zhuǎn)動，它原來靜止在平衡位置上.現(xiàn)有一質(zhì)量為 m的彈性小球飛來，正好在棒的下端與棒垂直地相撞.相撞后，使棒從平衡位置處

18、擺動到最大角度30。處.(1)設(shè)這碰撞為彈性碰撞,試計(jì)算小球初速v0的值；於入(2)相撞時(shí)小球受到多大的沖量 ？,吟 L Xilk- j圖18解：(1)設(shè)小球的初速度為 v0,棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為，而小球的速度變?yōu)関 ,按題意，小球和棒做彈性碰撞，所以碰撞時(shí)遵從角動量守恒定律和機(jī)械能守恒定律，可 列式：mv0lImvl12112122mv0I2一 mv212上兩式中I - Ml ,碰撞過程極為短暫，可認(rèn)為棒沒有顯著的角位移；碰撞后，棒從豎直 3位置上擺到最大角度由式得由式由式所以求得30°,按機(jī)械能守恒定律可列式:12 l-I 2 Mg2(1cos30 )12cos30 )

19、I v v0 mlV0ml)2V03g丁(1VoT(1ml2) 2(1. 6(2 .3 3m M12 m(2)相碰時(shí)小球受到的沖量為由式求得Fdt mv mv mv0Fdt mv mvo.6(2 . 3)M 6、g1負(fù)號說明所受沖量的方向與初速度方向相反.3-19如圖示，一個(gè)轉(zhuǎn)動慣量為I ,半徑為R的定滑輪上面繞有細(xì)繩，并沿水平方向拉著一個(gè)質(zhì)一一 R量為M的物體 A.現(xiàn)有一質(zhì)量為 m的子彈在距轉(zhuǎn)軸 一的 2水平方向以速度V。射入并固定在定滑輪的邊緣，使滑輪拖住A在水平面上滑輪.求(1)子彈射入并固定在滑輪邊緣后，滑輪開始轉(zhuǎn)動時(shí)的角速度.(2)若定滑輪拖著物體A剛好轉(zhuǎn)一圈而停止，求物體A與水平面

20、間的摩擦系數(shù)(軸上摩擦力忽略圖3-19不計(jì))A構(gòu)成的系統(tǒng)角動量守恒解：(1 )子彈射入定滑輪前后，子彈、定滑輪及物體R mv。一 2_2- 2mR I MR 解得mv0R 2_ 22(mR I MR )(2)定滑輪轉(zhuǎn)動過程中物體 A受的摩擦力所做的功等于系統(tǒng)動能的增量1(I mR2 MR2) 2 Mg 2 R解得m2v0R-Z2_ 216 Mg(mR MR I)3-20行星在橢圓軌道上繞太陽運(yùn)動，太陽質(zhì)量為 由，行星質(zhì)量為m2,行星在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)離太陽中心的距離分別為A和萬，求行星在軌道上運(yùn)動的總能量解：將行星和太陽視為一個(gè)系統(tǒng)，由于只有引力做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，設(shè)行星在近日點(diǎn)精品資料一

21、，、«- 12 _ m1m212 _ m1m2和遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí)的速率分別為 v1和v2,有 一m1vl G -m2v2 G2r12r2行星在軌道上運(yùn)動時(shí)，受太陽的萬有引力作用， 引力的方向始終指向太陽， 以太陽為參考點(diǎn), 行星所受力矩為零，故行星對太陽的角動量守恒m1rv1 m2r2 v2行星在軌道上運(yùn)動時(shí)的總能量為1 2 - m1m212 八 m1m2Em1v1 Gm2v2 G 2 r12r2聯(lián)立以上三式得：EGm1m23-21 半徑為R質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓盤水平放置，可繞通過圓盤中心的豎直軸轉(zhuǎn)動.圓盤邊緣及R/2處設(shè)置了兩條圓形軌道，質(zhì)量都為m的兩個(gè)玩具小 車分別沿兩軌道反向運(yùn)行，相對于圓盤的線速度值同為 v.若圓 盤最初靜止，求兩小車開始轉(zhuǎn)動后圓盤的角速度 .解：設(shè)兩小車和圓盤運(yùn)動方向如圖所示，以圓盤轉(zhuǎn)動方向?yàn)檎颍?外軌道上小車相對于地面的角動量