3振動與波習題思考題精編版

1、最新資料推1習題 3 33-13-1 原長為0.5m的彈簧，上端固定，下端掛一質量為0.1kg的物體，當物體靜止時，彈簧長為0.6m現(xiàn)將物體上推，使彈簧縮回到原長，然后放手，以放手 時開始計時，取豎直向下為正向，寫出振動式。（g g 取 9.89.8）解：振動方程：x二Acos（，t ），在本題中，kx =mg，所以k =9.8;取豎直向下為 x x 正向，彈簧伸長為 0.1m0.1m 時為物體的平衡位置，所以如果使彈簧的初狀態(tài)為原長，那么：A=0.1A=0.1 m m,當 t=0t=0 時，x=-Ax=-A，那么就可以知道物體的初相位為所以：x=0.1cos（、,98t二） 即：x - -0

2、.1cos（98t）3-23-2 有一單擺，擺長I -1.0m，小球質量m =10g,t =0時，小球正好經(jīng)過-0.06rad處，并以角速度0.2rad/s向平衡位置運動。設小球的運動可看作簡諧振動，試求：（1 1）角頻率、頻率、周期；（2 2）用余弦函數(shù)形式寫出小球的 振動式。（g g 取 9.89.8）解：振動方程：x二Acos（，t ）我們只要按照題意找到對應的各項就行了。（2 2）振動方程可表示為：v -Acos（3.13t）0根據(jù)初始條件，t =0時：cos, sin二AA =8.8 10，m，即=227 - -1330- -2.32 ,所以得到振動方程：v -8.8 10cos(3

3、.13t-2.32) m 3-33-3一質點沿x軸作簡諧振動，振幅為12cm，周期為2s。當t = 0時，位移為6cm，且向x軸正方向運動。求：（1 1）振動表達式；（2 2）t =0.5s時，質點的位 置、速度和加速度；（3 3）如果在某時刻質點位于x= 6cm，且向x軸負方向運 動，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。8-98。Tto,扌=-3.13Asin(3.13t)J |：0(1 ,2象限)3.13A0(3 ,4象限)可解得:周期:最新資料推22j解：（1 1）由題已知 A=0.12mA=0.12m, T=2T=2 s s，二-T又/ t=0t=0 時，X。=6cm,Vo0，由旋轉矢

4、量圖，可知：3故振動方程為：八0.12co（匕）;（2 2）將 t=0.5t=0.5 s s 代入得：/JI、Hx =0.12cos（二t - 3）二0.12cos6=0104m，, n、Kv =-0.12：sin（二t - ）0.12cos0.188m/ s,362応22a - -0.12二cos（ t ） - 0.12 cos 1.03m/s,3 6方向指向坐標原點，即沿 x x 軸負向；A(3)由題知，某時刻質點位于*= -6cm=-2P位置回到亠5有：=t s。63-43-4.兩質點作同方向、同頻率的簡諧振動，振幅相等。當質點 且向左運動時，另一個質點2 2 在x2=-A/2位相差。解

5、：由旋轉矢量圖可知：當質點 1 1 在xA/2處，且向左運動時，n相位為一，3而質點 2 2 在X2二-A/2處，且向右運動，且向X軸負方向運動，如圖示，質點從平衡位置Q處需要走，建立比例式:32Xi二A/2處,A23最新資料推34兀相位為。3所以它們的相位差為二。處，且向右運動。求這兩個質點的最新資料推43-53-5.當簡諧振動的位移為振幅的一半時，其動能和勢能各占總能量的多少？物體在什么位置時其動能和勢能各占總能量的一半？121212 2解：由EPk x2，Ekmv2，有：EPkA2cos2(，t亠)，22 212 2 212 2Ekm A sin (，t)k A sin (，t)，2 2

6、A當石時，由xcos(J， 有:1(2)當EP=EkE時，有：cos2(J=s in2( t J23-63-6.兩個同方向的簡諧振動曲線 ( (如圖所示) )(1) 求合振動的振幅。(2) 求合振動的振動表達式。 解：通過旋轉矢量圖做最為簡單。 由圖可知，兩個振動同頻率，且A1初相：1,A2初相：；2:2 2表明兩者處于反相狀態(tài)，(反相門1 12 2- - 打=(2k 1)二，k=0,1,2, ,11)TA A，合成振動的振幅：A = A2- A；合成振動的相位：=2二-；1 cos( t )：x二A=：0.707AO最新資料推5薦合成振動的方程：/、/ 2兀兀、x( (A?- A)cost)

7、03-73-7.兩個同方向，同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為20cm，與第一個振動的位相差為一。若第一個振動的振幅為10. 3cm。則（1 1）第二個振動的振幅為63-8.3-8.質點分別參與下列三組互相垂直的諧振動:由圖知y A-2A1Acos30=0.01=0.01 m m A A2=0.1=0.1 m m ,sinsin 300再利用正弦定理：，有：AA2.A兀sin1, .r -o2A22n/2/2。多少？ （ 2 2）兩簡諧振動的位相差為多少?解：如圖，可利用余弦定理：說明 A A1 與 A A2 間夾角為n/2/2 即兩振動的位相差為最新資料推6(1)x =4 co s戲 +【6

8、丿 .；(2)(兀)I y =4 co s陽一一I I 6丿(31 )s照+6丿5二y = 4 c o s二8t -I I 6丿(3)fH=4 co sJT8t + t亠)，試寫出：(1) 該平面簡諧波的表達式；(2)B點的振動表達式(B點位于A點右方d處)。解：(1 1)仿照上題的思路，根據(jù)題意，設以0點為原 點平面簡諧波的表達式為：xy =Acos2(t -)0，則A點的振動式：uyAcos2：(t) -;：ou題設A點的振動式y(tǒng)二Acos(2 t )比較，有：0=-,ul x該平面簡諧波的表達式為：y二AC0S2汀(t -)：u u(2 2) B B 點的振動表達式可直接將坐標X = d

9、 -1，代入波動方程：I-J _ Iy =Acos2：(t - - -)=Acos2：(t )u uu3-12.3-12.已知一沿x正方向傳播的平面余弦波, 為2s。(1) 寫出0點的振動表達式；(2) 寫出該波的波動表達式；(3) 寫出A點的振動表達式；(4) 寫出A點離0點的距離。解：由圖可知：A二0.1m, - 0.4m，而T =2s，則：u -，/T二0.2m/s,=5二，波動方程為：y = 0.1cos(二t-5二x：0)考慮到此時 :0由圖形可知：1t二一s時：yO=0.05，有：0.05=0.1cos（0）33O點的振動方程可寫成:jr/cmy。=0.1cos（：t）t時的波形如

10、圖所示，且周期T3最新資料推10dt33最新資料推11那么：(1 1)0點的振動表達式：yO=0.1cos(：t )；3(2 2)波動方程為：y =0.1COS(二t -5. x )；3(3 3)設A點的振動表達式為：yA= 0.1COS(二t ? H)1 1H H由圖形可知：t s時：yA =0，有：cos(飛)=033考慮到此時0：A=-主(或 A A= =)dt66-A點的振動表達式：5兀7兀yA=0.1cos( t)，或yA=0.1cos( t66(4(4)將 A A 點的坐標代入波動方程，可得到A A 的振動方程為:JTyA=0.1cos(二t -5二XA)，與(3 3)5兀兀 :

11、tt -5- xA，所以:633-133-13 .一平面簡諧波以速度u二0.8m/s沿x軸負方向傳 播。已知原點的振動曲線如圖所示。試寫出：(1) 原點的振動表達式；(2) 波動表達式；(3) 同一時刻相距1m的兩點之間的位相差。解：這是一個振動圖像！由圖可知 A=0.5cmA=0.5cm,設原點處的振動方程為：yO=5 10J3cos( -t0)。(1)當t=0時，yt出=2.50，考慮到： 鳥0,有：0二,dt |3,上5兀兀.原點的振動表達式：yO=5 10 cos(- t )；63(2(2)沿 x x 軸負方向傳播，設波動表達式:y =5 10 cos( t kx-)630.50.25

12、r0V求得的 A A 點的振動表達式比較，有:XA0.233m。30當t =1時，y t#= 0,考慮到:d y。dtJT5 ：最新資料推1235兀24 n兀八5 10 C0SWt WX二)；x25.=2k x3.27rad丸243-143-14 一正弦形式空氣波沿直徑為14cm的圓柱形管行進，波的平均強度為9.0 103J/（s m），頻率為300Hz，波速為300m/s。問波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每兩個相鄰同相面間的波段中含有多少能量?解：（1 1）已知波的平均強度為：1=9.0 10”J/（sm），由l=Wu有:wmax=2W=6 10“J/m3；_ 12_12U(2)

13、由W=wV，二W=w d =w d 44 v_53応27=3 10 J /m3(0.14m)21m =4.62 10 J43_43-153-15 .一彈性波在媒質中傳播的速度u =10 m/s，振幅A =1.0 10 m，頻率33匸-10 Hz。若該媒質的密度為800kg/m，求：（1 1 ）該波的平均能流密度；（2 2） 1 1 分鐘內垂直通過面積S =4.010 *m2的總能量。解：（1 1）由：I=u YA2,2，有：2I=11038 00（10，）2（2二103）2=1.58 105W /m2;2（2 2） 1 1 分鐘為 6060 秒，通過面積S=4.010，m2的總能量為：W=IS

14、t=1.58 1054 10，60=3.79 103J。1兀3-163-16.設S1與S2為兩個相干波源，相距波長，S1比S2的位相超前。若兩42波在在S1、S2連線方向上的強度相同且不隨距離變化，問S1、S2連線上在S1外 側各點的合成波的強度如何？又在S2外側各點的強度如何？9.0 1030053=3 10 J/m壬,5兀124兀而k =u6 0.825（3 3）位相差:最新資料推13解：（1 1）如圖，S1、S2連線上在S1外側，S廠J1S2最新資料推14屮”小2兀兀2兀h：=2- 1(r2_*)=九2扎 4兩波反相，合成波強度為 0 0;(2 2)如圖，Si、S2連線上在S外側，2-三

15、(1)一三r 0,Si丸2丸4ri |zr2v兩波同相，合成波的振幅為2A,I -匕？2 2合成波的強度為：I -(2A) -4A -4Io。3-173-17 . .圖中所示為聲音干涉儀， 用以演示聲波的干涉。S為聲源，D為聲音探測器，如耳或話筒。路徑SBD的長度可以變化，但 路徑SAD是固定的。干涉儀內有空氣，且知聲音強度在B的第 一位置時為極小值 100100 單位，而漸增至B距第一位置為1.65cm的第二位置時，有極大值900單位。求：(1 1 )聲源發(fā)出的聲波頻率；(2 2)抵達探測器的兩波的振幅之比。解：根據(jù)駐波的定義，相鄰兩波節(jié)( (腹) )間距：.x二一,2相鄰波節(jié)與波腹的間距：

16、x，可得：，=4厶x=6.6cm。4(1)聲音的速度在空氣中約為340m/s340m/s,所以：-=一=5151(Hz)o丸6.6匯102 2 2(2)T二A2,Imin,1max=(A1+ A)，依題意有：(宀丁100= A。，那么2(A A?)2=900 A10A213-183-18.蝙蝠在洞穴中飛來飛去，是利用超聲脈沖來導航的。假定蝙蝠發(fā)出的超聲1頻率為 39000Hz39000Hz。當它以空氣中聲速的的運動速率朝著墻壁飛撲過程中，試40最新資料推15問它自己聽到的從墻壁反射回來的脈沖頻率是多少？解：根據(jù)多普勒效應，最新資料推16反u u + Vs= 0 -u -vsuu +Vs=- o

17、u Vsu -40=390004139=41000(Hz)1080Hz1080Hz，相對于地以3-193-19 .一聲源的頻率為一反射面相對于地以 65m/s65m/s 的速率向左運動,(1 1)(2 2)(3 3)(4 4)30m/s30m/s 的速度向右運動，在其右方有設空氣中的聲速為 331m/s331m/s,求：聲源在空氣中發(fā)出聲音的波長;每秒鐘到達反射面的波數(shù)； 反射波的波速；反射波的波長。解：(1 1)在聲源前方靜止接收器接收到的頻率聲音的波長，=- - -v1u1 0-u Vs-Vs 0uI 1二 0-u Vs331一30= 0 28(m)1080)每秒鐘到達反射面的波數(shù)u +v

18、反 2 =；：0 -等于反射波的頻率)為(3)(3)(331 + 65 = 1080=1421( H z)u -vs331-30波速只取決于媒質的性質，因此反射波的波速仍為u =331(m/s)u 3312 -3-203-20 .試計算：一波源振動的頻率為 墻壁接近(如圖所示)，觀察者在3Hz，求波源移動的速度(4(4) 反射波的波長為0 233( m)1421解：根據(jù)觀察者不動，波源運動，即：2040Hz，以速度Vs向A點聽得拍音的頻率為vs,設聲速為340m/s。Us,UR= 0,波源o-u0，u - us其中u =340,、=2043, 、0=2040,分別代入，可得:觀察者認為接受到的

19、波數(shù)變了:us二0.5m/ s。最新資料推17最新資料推18思考題3-13-1.試說明下列運動是不是簡諧振動：（1 1）小球在地面上作完全彈性的上下跳動；（2 2）小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅度的擺動。答：要使一個系統(tǒng)作諧振動，必須同時滿足以下三個條件：1描述系統(tǒng)的各種參量，如質量、轉動慣量、擺長等等在運動中保持為常 量；2系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復運動；3在運動中系統(tǒng)只受到內部的線性回復力的作用?；蛘哒f，若一個系統(tǒng)的運動微分方程能用d2=0描述時，其所作的運動dt就是諧振動。那么，（1）拍皮球時球的運動不是諧振動。第一、球的運動軌道中并不存在一個 穩(wěn)定的平衡位置；第二、球在

20、運動中所受的三個力：重力，地面給予的彈力，擊 球者給予的拍擊力，都不是線性回復力。要使一個系統(tǒng)作諧振動，必須同時滿足 以下三個條件：一、描述系統(tǒng)的各種參量，如質量、轉動慣量、擺長等等在運動中保持為常量；二、系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復運動；三、在 運動中系統(tǒng)只受到內部的線性回復力的作用?；蛘哒f，若一個系統(tǒng)的運動微分方d2巴程能用=0描述時，其所作的運動就是諧振動。dt）小球在圖所示的情況中所作的小弧度的運動，是諧振動。顯然，小球在運動過程中，各種參量均為常量；該系統(tǒng) （指小球凹槽、地球系統(tǒng)）的穩(wěn)定平衡位置即 凹槽最低點，即系統(tǒng)勢能最小值位置點 O O ;而小球在運動中的回復力為-mgs

21、in二。題中所述，“S：R，故0,所以回復力為-mg。（式R中負號表示回復力的方向始終與角位移的方向相反）即小球在 O O 點附近的往復運最新資料推19動中所受回復力為線性的。若以小球為對象，則小球在以00為圓心的豎直平面內作圓周運動，由牛頓第二定律，在凹槽切線方向上有3-23-2.簡諧振動的速度和加速度在什么情況下是同號的？在什么情況下是異號的？加速度為正值時，振動質點的速率是否一定在增加？反之，加速度為負值時，速率 是否一定在減??？答：簡諧振動的速度：v - - Asin( t )；加速度：a = -A，cos(，；要使它們同號， 必須使質點的振動相位在第一象限。 其他象限的相位兩者就 是

22、異號的。加速度為正值時，振動質點的速率不一定在增加，反之，加速度為負值時， 速率也不一定在減小。只有當速度和加速度是同號時，加速度才能使速率增加； 反之，兩者異號時，加速度使速率減小。3-33-3.分析下列表述是否正確，為什么 ？(1) 若物體受到一個總是指向平衡位置的合力，則物體必然作振動，但不 一定是簡諧振動；(2) 簡諧振動過程是能量守恒的過程，凡是能量守恒的過程就是簡諧振動。 答：(1 1)的表述是正確的，原因參考 7-17-1 ;(2 2)的表述不正確，比如自由落體運動中能量守恒，但不是簡諧振動。3-43-4.用兩種方法使某一彈簧振子作簡諧振動。方法 1 1 :使其從平衡位置壓縮l，

23、由靜止開始釋放。方法 2 2 :使其從平衡位置壓縮 2 2 厶|，由靜止開始釋放。若兩次振動的周期和總能量分別用、T2和Ej、E2表示，則它們滿足下面那個關系？(A A)T1= T2EE2(B B)T1 T2E1I-E2(C C)=T2Ei= E2(D D)T|=T2Ei= E2答：根據(jù)題意，這兩次彈簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。選Dd29mRmRmR2dt2=mg丁，令/g，則有:Rdt2最新資料推20擇（B B ）。A3-53-5. 一質點沿 x x 軸作簡諧振動，周期為 T,T,振幅為 A,A,質點從x1運動到X2= = A A2處所需要的最短時間為多少？A答：質點從x1=運動到x2= A處所需要的最短相位變化為23-63-6 彈簧振子，沿x軸作振幅為A的簡諧振動，在平衡位置x = 0處，彈簧振 子的勢能為零，系統(tǒng)的機械能為50J，問振子處于x=A/2處時；其勢能的瞬時 值為多少？答：由題意，在平衡位置x = 0處，彈簧振子的勢能為零，系統(tǒng)的機械能為50J,所以該振子的總能量為50J，當振子處于x=