第五章代數(shù)系統(tǒng)

1、第三編 代數(shù)系統(tǒng) 本篇用代數(shù)方法來研究數(shù)學結(jié)構(gòu), ,故又叫代數(shù)結(jié)構(gòu), ,它將用抽象的方法來研究集合上的關(guān)系和運算。 代數(shù)的概念和方法已經(jīng)滲透到計算機科學的許多分支中, ,它對程序理論, ,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu), ,編碼理論的研究和邏輯電路的設計已具有理論和實踐的指導意義。 本篇討論一些典型的代數(shù)系統(tǒng)及其性質(zhì)。 第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu)5.1代數(shù)系統(tǒng)概述代數(shù)系統(tǒng)概述5.2運算及其性質(zhì)運算及其性質(zhì)5.3半群半群5.4群與子群群與子群第五章 代數(shù)結(jié)構(gòu) 教學目的及要求：教學目的及要求： 深刻理解和掌握代數(shù)系統(tǒng)的基本概念和運算。 教學內(nèi)容：教學內(nèi)容： 代數(shù)系統(tǒng)的引入、運算及性質(zhì)、半群、群與子群。 教學重點：教學重點： 群的

2、概念及運算。5.1 代數(shù)系統(tǒng)概述1、代數(shù)運算的定義定義1：設A是個非空集合，AA到A的一個映射f，f： AAA稱為A上的一個二元代數(shù)運算，簡稱二元運算； A到A的一個映射f，f： AA稱為A上的一個一元代數(shù)運算，簡稱一元運算。類似可定義n元運算。 通常用 , , ，+ +，等符號來表示二元或一元運算符。5.1 代數(shù)系統(tǒng)概述1、代數(shù)運算的定義例如：f是A上的二元運算，即AAA的映射。 x, yA, f()=zA，用公式表示為：x y = z注：映射有存在性和唯一性的要求，運算當然也要滿足該要求。5.1 代數(shù)系統(tǒng)概述1、代數(shù)運算的定義例1：（1）在實數(shù)集合R上定義二元運算 ， x， yR， x y

3、=y則2 3=3，0.5 (-1/4)=-1/4， 50 0=0，0*50=505.1 代數(shù)系統(tǒng)概述1、代數(shù)運算的定義例1：（2）在正整數(shù)集合Z+上的二元運算 ，+ x， yZ+， x y=x，y的最大公約數(shù)， x + y=x，y的最小公倍數(shù) 6 8=2， 6 + 8=245.1 代數(shù)系統(tǒng)概述1、代數(shù)運算的定義例1：（3）在實數(shù)集合R上定義除法運算，這不是一個代數(shù)運算，因0不能作為除數(shù)，運算的存在性不滿足 。例1：（4）在實數(shù)集合R上求平方根運算，不是一個代數(shù)運算。-9不存在平方根，存在性不滿足。9有兩個平方根：3和-3，唯一性不滿足。 但在R+上求平方根運算，是一個一元運算。5.1 代數(shù)系統(tǒng)

4、概述1、代數(shù)運算的定義例2：（1）自然數(shù)集合N上的乘法是N上的二元運算。（2）整數(shù)集合Z上的加法、減法、乘法是Z上的二元運算，但除法不是Z上的運算。（3）設Mn(R)表示所有n 階(n2)實矩陣的集合，矩陣加法和乘法都是Mn(R)上的二元運算。（4）在集合Z的冪集 (z)中， ， ， 均為二元運算，而“”是一元運算；5.1 代數(shù)系統(tǒng)概述1、代數(shù)運算的定義例2： （5 5） 命題公式 中,均為二元運算, ,而“ ”為一元運算（6 6） 雙射函數(shù) 中, ,函數(shù)的復合運算是二元運算；5.1 代數(shù)系統(tǒng)概述2、表示二元或一元運算的方法（1 1）公式法（2 2）運算表：在有限集上可以將結(jié)果一一列出來定義運

5、算，簡便明了的方法就是畫出運算表。 二元運算的運算表 一元運算的運算表5.1 代數(shù)系統(tǒng)概述2、表示二元或一元運算的方法（2 2）運算表：例例3 A=P(a,b), , 分別為對稱差和絕對補分別為對稱差和絕對補運算，（運算，（a,b為全集）為全集） 的運算表的運算表 的運算表的運算表5.1 代數(shù)系統(tǒng)概述3、運算的封閉性定義5-1.1若對給定集合中的元素進行運算, ,而產(chǎn)生的象點仍在該集合中, ,則稱此集合在該運算的作用下是封閉的。例4 4：（1 1）在正整偶數(shù)的集合E E中, ,對,+,+運算是封閉的；在正整奇數(shù)的集合中, ,對運算是封閉的, ,而對+ +運算不是封閉的。 （2 2）在集合R,I

6、R,I中+,-,+,-,運算； 在 (Z)(Z)的元素中,運算等均為封閉的。5.1 代數(shù)系統(tǒng)的引入4、代數(shù)系統(tǒng)定義5-1.2一個非空集合A A連同若干個定義在該集合上的運算f f1 1,f,f2 2,.,f,.,fk k所組成的系統(tǒng)就稱為一個代數(shù)系統(tǒng)，記作A, f 。實例：（1 1）,是代數(shù)系統(tǒng)， +和分別表示普通加法和乘法. （2）是代數(shù)系統(tǒng)， +和 分別表示 n 階(n2)實矩陣的加法和乘法. 5.1 代數(shù)系統(tǒng)的引入定義5-1.2一個非空集合A A連同若干個定義在該集合上的運算f f1 1,f,f2 2,.,f,.,fk k所組成的系統(tǒng)就稱為一個代數(shù)系統(tǒng)，記作A, f 。實例：（3）是代數(shù)

7、系統(tǒng)，Zn 0, 1, , n 1 ， 和 分別表示模 n 的加法和乘法， 對于x, yZn， x y=(xy)modn，x y=(xy)modn （4）也是代數(shù)系統(tǒng)， 和為并和交，為絕對補5.2 運算及其性質(zhì)定義5-2.1設*是集合A上的二元運算，對任一x,y A有x yAA，則稱 運算在A上是封閉的。例1 ： A=xx=2n，nN， 問運算封閉否，呢？解： 2r，2sA， 2r * * 2s=2r+sA （） 運算封閉 2，4A，2+4 A，運算不封閉 2，4A，2/4 A， 運算不封閉5.2 運算及其性質(zhì)定義5-2.2設* *是集合A A上的二元運算，對任一x,yx,y A A有x x

8、y=y y=y x x，則稱 運算在A A上是可交換的（或者說 在A A上滿足交換律) )。定義5-2.3設*是集合A上的二元運算,對任一x,y,z A都有（x y） z=x （y z）,則稱 運算在A上是可結(jié)合的（或者說*在A上滿足結(jié)合律）。 5.2 運算及其性質(zhì)定義5-2.4設 和 是集合A上的兩個二元運算, 對任一x,y,z A有 x （y z）=（x y） （x z）； （y z） x=（y x） （z x），則稱運算 對 是可分配的（或稱 對 滿足分配律）。定義5-2.5設 ， 是定義在集合A上的兩個可交換二元運算，如果對于任意的x,y A，都有：x (x y)=x；x (x y)=

9、x則稱運算 和運算 滿足吸收律。5.2 運算及其性質(zhì)定義5-2.6設*是A上的二元運算,若對任一x A有x x=x,則稱 滿足等冪律。討論定義：1)A上每一個元素均滿足x x=x,稱 在A上滿足冪等律；2)若在A上存在元素x A有x x=x,稱x為A上的冪等元；3)由此定義,若x是冪等元素,則有x x=x和xn=x成立。5.2 運算及其性質(zhì)例例 Z, Q, R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)集；分別為整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)集；Mn(R)為為n階實矩陣集合階實矩陣集合, n 2；P(B)為冪集；為冪集；AA為為A到到A，|A| 2。5.2 運算及其性質(zhì)例例 Z, Q, R分別為整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)集；分別為整

10、數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)集；Mn(R)為為n階實階實矩陣集合矩陣集合, n 2；P(B)為冪集；為冪集；AA為為A到到A，|A| 2.5.2 運算及其性質(zhì)下面定義特異元素：幺元,零元和逆元。定義5-2.7設*是集合A中的二元運算,(1)若有一元素el A,對任一x A有el*x=x；則稱el為A中對于*的左幺元(左單位元素)； (2)若有一元素er A,對任一x A有x* er=x；則稱er為A中對于*的右幺元（右單元元素）。5.2 運算及其性質(zhì)定理5-2.1若el和er分別是A中對于*的左幺元和右幺元,則對于每一個x A，可有el= er = e和e*x=x* e=x，則稱e為A中關(guān)于運算* 的幺元

11、，且e A是唯一的。證明： el和er分別是對*的左,右幺元， 則有el * er = er = el 有el = er = e成立。 （2）幺元e是唯一的。用反證法：假設有兩個不同的幺元e1和e2,則有e1* e2= e2= e1,這和假設相矛盾。若存在幺元的話一定是唯一的。5.2 運算及其性質(zhì)例：（1）在實數(shù)集合R中，對+而言， e+=0；對而言， e*=1 ；（2）在 (E)中， 而言， e =E（全集合）； 對 而言， e = （空集）；（3）雙射函數(shù)中,對“ ”而言， e =Ix（恒等函數(shù)）；（4）命題邏輯中，對而言，e =F（永假式）；對而言， e =T（永真式）。5.2 運算及其

12、性質(zhì)定義5-2.8設*是對集合A中的二元運算， （1）若有一元素l A，且對每一個x A有 l *x= l ，則稱l 為A中對于*的左零元；（2）若有一元素r A，且對每一個x A有 x* r= r ，則稱r為A中對于*的右零元。5.2 運算及其性質(zhì)運算及其性質(zhì)定理若l和r分別是A中對于*的左零元和右零元，于是對所有的x A，可有l(wèi) = r =，能使*x=x*=。在此情況下， A是唯一的，并稱是A中對*的零元。證明：方法同幺元。例：（1）在實數(shù)集合R中，對而言，l = r =0 （2）在 (E)中，對 而言， = ； 對 而言， = E ； （3）命題邏輯中，對而言， =T ； 對而言， =

13、F。5.2 運算及其性質(zhì)運算及其性質(zhì)定義5-2.9設*是A中的二元運算，且A中含幺元e，令x A，（1）若存在一xl A，能使xl *x= e，則稱xl是x的左逆元,并且稱x是左可逆的；（2）若存在一xr A，能使x* xr = e，則稱xr是x的右逆元，并且稱x是右可逆的；（3）若元素x既是左可逆的，又是右可逆的，則稱x是可逆的，且x的逆元用x-1表示。5.2 運算及其性質(zhì)運算及其性質(zhì)定理5-2.4設A是集合，并含有幺元e 。*是定義在A上的一個二元運算，并且是可結(jié)合的。若x A是可逆的，則它的左逆元等于右逆元，且逆元是唯一的。證明：（1）先證左逆元=右逆元： 設xl和xr分別是x A的左逆

14、元和右逆元，x是可逆的和*是可結(jié)合的（條件給出） xl *x=x* xr = e xl *x* xr =（ xl*x）* xr = e * xr= xr ； xl *x* xr = xl*(x* xr) = xl* e = xl xr = xl5.2 運算及其性質(zhì)運算及其性質(zhì)（2 2）證明逆元是唯一的（若有的話）： 假設x1-1和x2-1均是x的二個不同的逆元，則 x1-1= x1-1*e = x1-1 *（x* x2-1 ） =（ x1-1 *x）* x2-1 = e * x2-1 = x2-1， 這和假設相矛盾。x若存在逆元的話一定是唯一的。5.2 運算及其性質(zhì)運算及其性質(zhì)推論(x-1)-

15、1 =x , e-1= e證明： x-1 *x= (x-1)-1 *（ x-1 ）=x* x-1 = e 有(x-1)-1 =x e-1 * e= e= e* e 有e-1= e 實例分析 和和 E 分別分別表示表示n 階全階全0 矩陣矩陣 和和 單位實數(shù)矩陣單位實數(shù)矩陣5.2 運算及其性質(zhì)運算及其性質(zhì)定義設 為集合S S上二元運算，如果對于任意元素 x x, , y y, , z z S S, , x x ，都有 x x y y = = x x z z y y = = z z, , y y x x = = z z x x y y = = z z成立，則稱 運算滿足消去律。例如，普通加法和乘法

16、滿足消去律，矩陣加法滿足消去律，矩陣乘法不滿足消去律. . 集合的并和交運算也不滿足消去律，例如11 1,2=21,2=2 1,21,2，但是11 2. 2. 例題分析例例 設設 運算為運算為 Q 上的二元運算，上的二元運算， x, y Q, x y = x+y+2xy, (1) 判斷判斷 運算是否滿足交換律和結(jié)合律，并說明理由運算是否滿足交換律和結(jié)合律，并說明理由. (2) 求出求出 運算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元運算的單位元、零元和所有可逆元素的逆元.解解 (1) 運算可交換運算可交換. 任取任取x, y Q, x y = x+y+2xy = y+x+2yx = y x, 運算可結(jié)

17、合，任取運算可結(jié)合，任取x, y, z Q, (x y) z = (x+y+2xy) + z + 2(x+y+2xy) z = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz x (y z) = x + (y+z+2yz) + 2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz(2) 設設 運算的單位元和零元分別為運算的單位元和零元分別為 e 和和 ，則對于任意，則對于任意 x 有有 x e = x 成立，即成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于由于 運算可交換，所以運算可交換，所以 0 是幺元是幺元.給定給定 x，設，設 x 的逆元為的逆元為 y, 則有則有 x

18、 y = 0 成立，即成立，即 x+y+2xy = 0 (x = 1/2) 是是 x 的逆元的逆元, x 1/2. xxy21 xxy21 例題分析(續(xù))對于任意對于任意 x 有有 x = 成立，即成立，即 x+ +2x = x+2x =0 = 1/2 1/2為零元為零元. 例題分析(續(xù))下面是三個運算表下面是三個運算表 (1) 說明哪些運算是可交換的、可結(jié)合的、冪等的說明哪些運算是可交換的、可結(jié)合的、冪等的. (2) 求出每個運算的單位元、零元、所有可逆元素的逆元求出每個運算的單位元、零元、所有可逆元素的逆元.解解 (1) 滿足交換律、結(jié)合律；滿足交換律、結(jié)合律； 滿足結(jié)合律、冪等律；滿足結(jié)

19、合律、冪等律； 滿足交換律、結(jié)合律滿足交換律、結(jié)合律. (2) 的單位元為的單位元為 b, 沒有零元，沒有零元， a 1=c, b 1=b, c 1=a 的單位元和零元都不存在，沒有可逆元素的單位元和零元都不存在，沒有可逆元素. 的單位元為的單位元為 a，零元為，零元為c, a 1=a. b, c不是可逆元素不是可逆元素 5.5.3 半群定義5-3.1一個代數(shù)系統(tǒng)，S為非空集合， *是S上的二元運算，如果運算*是封閉的，則稱代數(shù)系統(tǒng)為廣群。定義5-3.2設是一代數(shù)系統(tǒng)，S為非空集合， *是S上的二元運算，若(1)*運算是封閉的。(2)*運算滿足結(jié)合律，則稱為半群。例： , , ,均為半群5.5

20、.3 半群定義5-3.3對于*運算，擁有幺元的半群稱為含幺半群。（幺半群，獨異點）。例： , 均為含幺半群， 而就不為幺半群。例：設A A為非空集合， (A) (A)是A A的冪集，則 , , ,A均為含幺半群。而，其中max(xmax(x1 1,x,x2 2) )取二者之大值；，其中min(xmin(x1 1,x,x2 2) )取二者之小值，均不為幺半群（不存在幺元）。則為含幺半群，其中 e =0e =0 5.5.3 半群定理5-3.1設是一半群，B S，且*在B上是封閉的，那么也是半群，稱是 的子半群。討論定義：（1）因為*在S上是可結(jié)合的，而B S且*在B上是封閉的，所以*在B上也是可結(jié)

21、合的。 （2）由定義可知， S S ， 也是的子半群（子含幺半群）。為了和其它子半群相互區(qū)別，稱是的“平凡子半群”;5.5.3 半群定義設是一個含幺半群，B S，且*在B上是封閉的，則也是一個含幺半群，稱是的子含幺半群。討論定義：（1）在幺半群中，由于幺元e的存在， 保證在運算表中一定沒有相同的行和列。設任一x1,x2 Z，且x1 x2 ， 則e * x1 = x1 e * x2 = x2 ；（2）在中若存在零元的話，上述性質(zhì)繼續(xù)存在。5.5.3 半群例：半群是的子半群，而不是子含幺半群。*運算由運算表定義： 10100010*1011000010 10 *由運算表可見：由運算表可見：中幺元為

22、中幺元為1，而在，而在中幺元為中幺元為 。5.5.3 半群 定理定理5-3.2如果半群如果半群的載體的載體S為有限集，則為有限集，則必有必有a S，使，使a*a=a。（。（有限半群一定含冪等元有限半群一定含冪等元）證明：因證明：因 S, 是半群，對任意的是半群，對任意的b b S S，由由* *的封閉性，的封閉性，b b* *b b S S，b b3 3 S S，b b4 4 S S，由于由于S S是有限集，必有是有限集，必有ijij，使，使b bi i=b=bj j設：設：p=jp=j i i，則，則b bj j=b=bp p* *b bi i，即：，即： b bi i=b=bp p* *b

23、 bi i當當qiqi時，時，b bq q=b=bp p* *b bq q，又因又因p1p1，總可以找到，總可以找到k1k1，使，使kpikpi，對，對S S中的中的b bkpkp有有b bkpkp=b=bp p* *b bkpkp=b=bp p* *(b(bp p* *b bkpkp)=b)=b2p2p* *b bkpkp =b =b2p2p* *(b(bp p* *b bkpkp)=b)=b3p3p* *b bkpkp=.=b=.=bkpkp* *b bkpkp令令a=ba=bkpkp，則，則a a* *a=aa=a。5.5.3 半群定理5-3.3設是獨異點，則在關(guān)于運算*的運算表中任何兩

24、行或兩列都是不相同的。 證明：設獨異點的幺元是e， 對任意的a a，b b S S且a ab a*e b*e， 運算表中a a，b b兩行不同。 由a a，b b的任意性，運算表中任兩行不同。 e*a e*b， 運算表中a a，b b兩列不同。 由a a，b b的任意性，運算表中任兩列不同。5.5.3 半群定理5-3.4設是獨異點，對于任意a，b S，且a， b均有逆元，則 a)(a-1)-1=a b)a*b有逆元，且(a*b)-1=b-1*a-1 證明：a)因為a-1是a的逆元，即a* a-1= a-1*a=e 所以 (a-1)-1=a b)因為(a*b)*(b-1*a-1)= a*(b*b

25、-1)*a-1=a*e*a-1=e 同理可證：(b-1*a-1) * (a*b)=e 所以 (a*b)-1=b-1*a-15.5.4 群與子群1.群的定義定義5-4.1設是一代數(shù)系統(tǒng)，S是非空集合，*為S上的二元運算，它滿足以下四個條件時，則稱為群（1）*運算是封閉的；（2） *運算是可結(jié)合的；（3）存在幺元e； （4）S中每一個元素均有逆元。 例：, ,等均為群 （其中Z2 =0,1, Z3 =0,1,2 ），而,只是含幺半群而不是群。5.5.4 群與子群例：設M= 0,60,120, 180,240,300表示平面上幾何圖形順時針旋轉(zhuǎn)的六種位置，定義一個二元運算*，對M中任一元素a,b有a

26、*b=圖形旋轉(zhuǎn)(a+b)的角度，并規(guī)定當旋轉(zhuǎn)到360時即為0，試驗證是一個群。240180120600300300180120600300240240120600300240180180600300240180120120030024018012060603002401801206000300240180120600*5.5.4 群與子群（1）運算是封閉的）運算是封閉的（2）*是可結(jié)合的是可結(jié)合的（3）幺元為）幺元為0 ；（4）每一個元素均有逆元：）每一個元素均有逆元： (0 )-1= 0 , (60 )-1=300 , (120 )-1=240 , (180 )-1= 180 , (240

27、)-1=12 0 , (300 )-1= 60 是一個群。是一個群。 5.5.4 群與子群定義5-4.2設是一個群，如果G是有限集合，則稱為有限群，并把|G|稱為群的階數(shù)，如果G為無限集合，則稱為無限群。例：為無限群，上例中為有限群，群的階為|M| =6。至此，可以概括地說：廣群僅僅是具有一個封閉的二元運算的非空集合；半群是一個具有結(jié)合運算的廣群；獨異點是具有幺元的半群；群是每個元素都有逆元的獨異點。5.5.4 群與子群2.群的性質(zhì) 由群的定義可知:（1）群具有半群和含幺半群所具有的所有性質(zhì)；（2）由于群中存在幺元，在群的運算表中一定沒有相同的行（和列）（3）在群中，每一個元素均存在逆元，所以

28、群相對半群和含幺半群來說有一些特殊的性質(zhì)。下面以定理形式介紹群的性質(zhì)5.5.4 群與子群 定理5-4.15-4.1一個群 G , 中一定不存在零元。 零元不存在逆元。5.5.4 群與子群定理5-4.2 若是一個群，則對任一a,b G有：（1）存在唯一的元素x G ，使a * x= b； （2）存在唯一的元素y G ，使y * a= b。證明：（1）（a）在G中存在x，使a * x= b成立。a * (a-1 * b) = (a * a-1 ) *b =e* b=b， 至少有一x = (a-1 * b)滿足a * x= b成立。（b）下面證明這樣的x是唯一的。 若x是G中任一元素，且能使a* x

29、= b成立， 則有x =e *x = (a-1 * a) * x = a-1 * (a * x) = a-1 * b， x = (a-1 * b)是滿足a * x= b的唯一元素，即x是唯一的。（2）的證明同上。5.5.4 群與子群 定理5-4.35-4.3若G , 是一個群，則對任一a,b,ca,b,c G G有：（1 1）a a * * b = a b = a * * c c b = c b = c（a a是左可消去的）; ;（2 2）b b * * a = c a = c * * a a b = c b = c（a a是右可消去的）。結(jié)論：在代數(shù)系統(tǒng)中，二元運算是可結(jié)合的，且a a是可逆

30、的，則a a是可約的。此定理說明群滿足消去律。5.5.4 群與子群定義5-4.3設S是一個非空集合，從集合S到S的一個雙射稱為S的一個置換。定理5-4.4：群的運算表中的每一行或每一列都是G的元素的一個置換。5.5.4 群與子群證明： 首先，證明運算表中的任一行或任一列所含G中的一個元素不可能多于一次。 （反證法）如果對應于元素a G的那一行中有兩個元素都是c，即有a*b1=a*b2=c，且b1 b2 由可約性，得： b1b2，這與b1 b2矛盾。其次，證明G中的每一個元素都在運算表的每一行和每一列中出現(xiàn)。5.5.4 群與子群 考察對應于元素a G的那一行，設b是G中的任一元素，由于b=a*(

31、a-1*b)，所以b必定出現(xiàn)在對應于a的那一行。再由運算表中沒有兩行（或兩列）是相同的，所以， 的運算表中的每一行都是G的元素的一個置換，且每一行都是不相同的。同樣，對于每一列結(jié)論同樣成立。5.5.4 群與子群 定義5-4.45-4.4代數(shù)系統(tǒng) G , 中，如果存在a a G,G,有a a* *a=aa=a，則稱a a為等冪元。定理5-4.5一個群中，除了幺元e之外，不存在其它等冪元素。證明：若任一a G ，有a * a = a的話， 則a = e 。 e = a * a-1 = (a * a ）* a-1 =a * (a * a-1 ) =a * e = a5.5.4 群與子群3.子群定義5

32、-4.5設是一個群，且S G是一個非空集合。若滿足下列三個條件，則稱是的子群： （1）e是的幺元，且e S；（保持幺元） （2）對任一 a S一定有a-1 S ； （保持逆元） （3）對任一a,b S一定有a*b S （運算的封閉性）討論定義： （1）任一群至少可找到二個子群，即和 ，稱此二子群為平凡子群； （2）除了平凡子群以外的子群稱為的真子群。5.5.4 群與子群定義設是群的真子群，若不再有一個真子群 （其中S T），則稱 是的極大子群。例：是一個群，設S=x|x是6的倍數(shù)，T =y|y是3的倍數(shù)，則,是的真子群。 S T， 不是的極大子群。5.5.4 群與子群定理5-4.7設是一個群，B是G的非空子集，如果B是一個有限集，那么，只要運算*在B上是封閉的，則必定是的子群。5.5.4 群與子群證明：設b B，已知*在B上封閉，則b*b B，即b2 B， b