矩陣的概念及其運(yùn)算-ppt課件

1、一、矩陣的引入一、矩陣的引入11121212221211212122nnnmmnnnmmbbxxxaaabxxaaaaxaaxxx1. 線性方程組線性方程組m n當(dāng)當(dāng) 時時,上式稱為上式稱為 元線性方程組元線性方程組mnn方程組的解取決于方程組的解取決于系數(shù)系數(shù)(1,2,;1,2,)ija im jn常數(shù)項常數(shù)項(1,2,)ib im將方程組的未知量系數(shù)將方程組的未知量系數(shù)與常數(shù)項按原來的位置與常數(shù)項按原來的位置可以排成一個矩形數(shù)表可以排成一個矩形數(shù)表12111212122212nnmmmnmaaaaaaaaabbb對線性方程組的對線性方程組的研討可轉(zhuǎn)化為對研討可轉(zhuǎn)化為對這張矩形數(shù)表的這張矩形

2、數(shù)表的研討研討11121212221211212122nnnmmnnnmmbbxxxaaabxxaaaaxaaxxx2.某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四城市四城市之間開辟了假設(shè)干航線之間開辟了假設(shè)干航線 ,如下圖如下圖表示了四城市間的航班圖表示了四城市間的航班圖,假設(shè)假設(shè)從從A到到B有航班有航班,那么用帶箭頭的那么用帶箭頭的線從線從 A 指向指向BABCD發(fā)站發(fā)站到站到站ABCDABCD為了便于計算為了便于計算,把表中的把表中的 改為改為1,而空白處填而空白處填0,那就得到了如下的數(shù)表那就得到了如下的數(shù)表1111111000000000這個數(shù)表反映了四個城市之間的交通銜接情況這個數(shù)表反

3、映了四個城市之間的交通銜接情況二、矩陣的概念定義定義111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA其中其中 稱為矩陣的第稱為矩陣的第 行行 列列(1,2,;1,2,).im jnijaij元元矩陣矩陣 也記為也記為m nAAm n或者或者 .ijm na稱為一個稱為一個 矩陣矩陣,m n由由 個數(shù)排成的一個個數(shù)排成的一個m行行n列的的數(shù)表列的的數(shù)表m n111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA當(dāng)當(dāng) 時時,即矩陣的行數(shù)等于列數(shù)時即矩陣的行數(shù)等于列數(shù)時,稱稱 為為n階方陣階方陣mnA其中其中 稱為方陣稱為方陣A的主對角線元的主對角線元.1122,nnaaa當(dāng)當(dāng) 矩陣矩陣

4、中一切的元均為零時中一切的元均為零時,稱稱 為為 m nAA零矩陣零矩陣,記為記為 . 假設(shè)不引起混淆假設(shè)不引起混淆,記為記為 .m nOO留留意意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.三、幾種特殊的方陣一階方陣一階方陣 視同普通的數(shù)視同普通的數(shù) . Aaa1122,nndiag aaa通常對角矩陣記為通常對角矩陣記為對角矩陣：假設(shè)對角矩陣：假設(shè) 階方陣階方陣 中的元滿足中的元滿足n0,ija ( ,1,2,),ij i jn那么稱那么稱 是對角矩陣是對角矩陣AijAa1122000000nnaaAa數(shù)量矩陣：假設(shè)數(shù)量矩陣：假設(shè) 階對角矩陣階對角矩陣 中元中元nA1122,nn

5、aaaa很多書也記為很多書也記為 或或 .特別的特別的,當(dāng)當(dāng) 時時,該數(shù)量矩陣稱為單位矩陣該數(shù)量矩陣稱為單位矩陣,記為記為 或或1a nEEnII000000aaAa上上(下下)三角矩陣：假設(shè)三角矩陣：假設(shè) 階方陣階方陣 中的元滿足中的元滿足nijAa0,( ,1,2, ),ijaij i jn那么稱那么稱 為上三角矩陣為上三角矩陣A假設(shè)假設(shè) 階方陣階方陣 中的元滿足中的元滿足nijAa0,ijaij那么稱那么稱 為下三角矩陣為下三角矩陣.A( ,1,2, ),i jn下11212212000nnnnaaaAaaa上11121222000nnnnaaaaaAa111211222212nnnnn

6、naaaaaaAaaa其實(shí)其實(shí),引例中航班只需單程的情況比較少見引例中航班只需單程的情況比較少見,國內(nèi)航班國內(nèi)航班大多為雙程大多為雙程,也就是說也就是說,其道路矩陣為對稱矩陣其道路矩陣為對稱矩陣.對稱矩陣：假設(shè)對稱矩陣：假設(shè) 階方陣階方陣 中的元滿足中的元滿足nA( ,1,2,)ijjiaai jn那么稱那么稱 為對稱矩陣為對稱矩陣ijAa反稱矩陣：假設(shè)反稱矩陣：假設(shè) 階方陣階方陣 中元滿足中元滿足nijAa( ,1,2, )ijjiaai jn 那么稱那么稱 為反稱矩陣為反稱矩陣.A由定義可以推出由定義可以推出,假設(shè)假設(shè) 為反稱矩陣為反稱矩陣,那么那么 ,即即Aiiiiaa 0(1,2, )

7、iiain因此反稱矩陣的主對角線元全為零因此反稱矩陣的主對角線元全為零12112212000nnnnaaaaAaa2.2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算定義定義(1,2,;1,2,)ijijab im jn且滿足且滿足假設(shè)假設(shè) 是兩個是兩個 矩陣矩陣, ,ijijAaBbm n那么稱矩陣那么稱矩陣 與矩陣與矩陣 相等相等,記為記為ABAB對比行列式相等的概念對比行列式相等的概念只需兩個行列式值相等，就說這兩個行列式相等只需兩個行列式值相等，就說這兩個行列式相等行數(shù)列數(shù)對應(yīng)相等的矩陣為同型矩陣行數(shù)列數(shù)對應(yīng)相等的矩陣為同型矩陣 ijijijijm nm nm nABabab兩個兩個 矩陣矩陣 的和的和,ij

8、ijAaBb定義定義指的是指的是 矩陣矩陣 ,即即ABmnmn()ijijab只需同型矩陣才干相加，結(jié)果也是同型矩陣只需同型矩陣才干相加，結(jié)果也是同型矩陣ABBA交換律交換律()()ABCABC結(jié)合律結(jié)合律AOA其中其中 , 是同類型矩陣是同類型矩陣OA負(fù)矩陣負(fù)矩陣記記 ,那么稱其為那么稱其為 的負(fù)矩陣的負(fù)矩陣ijm nAa AAAO ijijijijm nm nm nABabab 定義減法定義減法()ABAB 減法同樣也要求同型矩陣減法同樣也要求同型矩陣加減法其實(shí)是兩個矩陣的對應(yīng)位置上的元分別相加相減加減法其實(shí)是兩個矩陣的對應(yīng)位置上的元分別相加相減111212122212nnmmmnkaka

9、kakakakakAkakaka設(shè)設(shè) 是是 矩陣矩陣, 是常數(shù)是常數(shù),數(shù)數(shù) 與矩陣與矩陣ijAa定義定義的乘積指的是矩陣的乘積指的是矩陣 ,記為記為 ,即即m n()ijkakkAkA數(shù)數(shù) 與矩陣與矩陣 的乘積就是把的乘積就是把 中的每個元都乘以中的每個元都乘以 .kkAA數(shù)乘后的矩陣與原矩陣為同型矩陣數(shù)乘后的矩陣與原矩陣為同型矩陣()k ABkAkB1AA數(shù)乘法那么數(shù)乘法那么假設(shè)假設(shè) ,那么那么kAO0,kAO()kl AkAlA()()()kl Ak lAl kA0AO矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.矩陣矩陣 完全由矩陣完全由矩陣

10、 和矩陣和矩陣 決議決議, 中第中第 行第行第 列元列元 是由是由 中第中第 行的每一個元與行的每一個元與 中第中第 列的對應(yīng)元相列的對應(yīng)元相乘然后再相加得到的乘然后再相加得到的ijcjiAACBCBij設(shè)設(shè) 是是 矩陣矩陣, 是是 矩陣矩陣 ijAa定義定義m s ijBbs n1 122(1,2,;1,2, )ijijijissjca ba ba bim jn那么由元那么由元構(gòu)成的構(gòu)成的 矩陣矩陣m n ijCcCAB稱為矩陣稱為矩陣 與矩陣與矩陣 的乘積的乘積,記為記為ABS列S行 與與 乘積的第乘積的第 行行 列元列元 是由是由 中的第中的第 行的每一個元行的每一個元與與 中的第中的第

11、 列的對應(yīng)元相乘然后得到列的對應(yīng)元相乘然后得到BAAijcijijBi 行j 列乘積矩陣乘積矩陣 的行數(shù)等于的行數(shù)等于 的行數(shù)，列數(shù)等于的行數(shù)，列數(shù)等于 的列數(shù)的列數(shù)ABCAB位于左邊的矩陣位于左邊的矩陣 的列數(shù)與位于右邊的矩陣的列數(shù)與位于右邊的矩陣 的行數(shù)一樣的行數(shù)一樣ABABC=ABm ssnm n2 22 27428?1233動動筆動動筆2 22 22874?33122 2682418矩陣乘法不滿足交換律矩陣乘法不滿足交換律,BAAB 即即：留意：留意：2 2268414矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)那矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)那么么 1AB CA BC 2 A BCABACBC ABACA 3 k ABkA

12、BA kB其中其中 為常數(shù)為常數(shù);k 4;m nnmm nm nn pm pq mm nq nAEE AA AOOOAO設(shè)設(shè)A是是 階矩陣，稱階矩陣，稱 為為A的的 次冪，即次冪，即 5nkAkkkAA AA 個.kmmkAA,m k為正整數(shù),mkm kA AA并且并且不一樣的乘法不一樣的乘法 1 AB存在不一定 存在BA 2,AB BA都存在也不一定相等 3,AO BO ABO卻能夠等于 4,ACBC CO并不能推出AB 225;()()kkkABA BABABAB222()2ABAABB并不能推出AOkAO并不能推出AE 2AE方程組可用矩陣表示為 用矩陣表示線性方程組用矩陣表示線性方程組

13、11121212221211212122nnnmmnnnmmbbxxxaaabxxaaaaxaaxxx111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA12nxXxx12mbBbbAXB定義定義111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA將矩陣將矩陣 的行取作列或列取作行，的行取作列或列取作行， ijm nAa n m可得到一個可得到一個 矩陣，稱此矩陣為矩陣，稱此矩陣為 的轉(zhuǎn)置矩陣，的轉(zhuǎn)置矩陣，A112111222212mmnnnmaaaaaaaaaA 的轉(zhuǎn)置，記為的轉(zhuǎn)置，記為AA簡稱簡稱矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì)矩陣轉(zhuǎn)置的性質(zhì) 1AA 2ABAB 3kAkA其中其中 為常數(shù)為常數(shù);k 4ABB A 階方陣階方陣 是對稱矩陣的充要條件是是對稱矩陣的充要條件是 5 nAAA 階方陣階方陣 是反稱矩陣的充要條件是是反稱矩陣的充要條件是nAAA