機械設計仿真軟件（課堂PPT）

1、.1機械系統(tǒng)設計建模與仿真主講人：張玉華 機械工程學院 車輛工程系 教學安排教學安排計劃學時計劃學時 48 其中其中 20學時實驗學時實驗教材：教材：機械系統(tǒng)設計建模與仿真（兼上機實驗指導書）機械系統(tǒng)設計建模與仿真（兼上機實驗指導書） 張玉華張玉華 主編主編 上課時間：上課時間：119周周 20周考試周考試實驗安排：實驗實驗安排：實驗1 ADAMS基本操作基本操作 第第14周周 實驗實驗2 幾何建模與參數(shù)化幾何建模與參數(shù)化 第第15周周 實驗實驗3 機構約束與施加載荷機構約束與施加載荷 第第16周周 實驗實驗4 編輯樣機模型編輯樣機模型 第第17周周 實驗實驗5 樣機仿真分析樣機仿真分析 第第

2、18周周 地點：地點：機械樓機械樓 2層層 CAD中心中心 胡老師指導胡老師指導 上課要點上課要點 上課精力集中，上課精力集中， 認真思考認真思考 認真做好筆記，按時完成作業(yè)認真做好筆記，按時完成作業(yè) 遵守課堂紀律遵守課堂紀律 （不遲到，不早退，不開手機）（不遲到，不早退，不開手機） 第一章 緒論11 機械系統(tǒng)的設計機械系統(tǒng)的設計12 多剛體系統(tǒng)動力學多剛體系統(tǒng)動力學13 牛頓牛頓-歐拉方法歐拉方法14 虛擬樣機技術虛擬樣機技術 1 11 1 機械系統(tǒng)的設計機械系統(tǒng)的設計機器機器傳動傳動機構機構零件零件單缸內(nèi)燃機單缸內(nèi)燃機 牛頭刨床機器機器傳動傳動機構機構零件零件 機器、機構、機械系統(tǒng)機器、機

3、構、機械系統(tǒng)機構：機構： 是由兩個以上具有相對運動的構件是由兩個以上具有相對運動的構件組成的系統(tǒng)，機構的作用在于傳遞運動組成的系統(tǒng)，機構的作用在于傳遞運動或改變運動的形式?；蚋淖冞\動的形式。機器：是由若干機構組成的系統(tǒng)。例如，內(nèi)機器：是由若干機構組成的系統(tǒng)。例如，內(nèi)燃機包含曲柄滑塊機構、齒輪機構和控燃機包含曲柄滑塊機構、齒輪機構和控制進氣與排氣的凸輪機構。制進氣與排氣的凸輪機構。機械系統(tǒng)：是機構與機器的總稱。它由許多機械系統(tǒng)：是機構與機器的總稱。它由許多構件和零件組成。構件和零件組成。 構件與構件與零件的區(qū)別零件的區(qū)別構件是運動的單元；構件是運動的單元；零件是制造的單元。零件是制造的單元。構件

4、構件：組成機構的各個組成機構的各個相對運動部分相對運動部分稱為稱為構件構件。構件構件 可以是單一的整體，也可以是幾個元件的可以是單一的整體，也可以是幾個元件的剛性組合剛性組合。零件零件：組成構件的元件則稱為：組成構件的元件則稱為零件零件。 機械系統(tǒng)設計的基本問題 機械系統(tǒng)設計的基本問題是機構機械系統(tǒng)設計的基本問題是機構的的綜合綜合、運動學運動學和和動力學動力學分析與設分析與設計。計。機構綜合機構綜合著重研究創(chuàng)造性構思、著重研究創(chuàng)造性構思、發(fā)明、創(chuàng)新設計新機構的理論和發(fā)明、創(chuàng)新設計新機構的理論和方法。方法。而而機構的運動學機構的運動學和和動力學分析動力學分析，一方面是用于現(xiàn)有機械系統(tǒng)，一方面是用

5、于現(xiàn)有機械系統(tǒng)的性能分析與改進，另一方面是為機構的綜合提供理論依據(jù)。的性能分析與改進，另一方面是為機構的綜合提供理論依據(jù)。因而它們是機械系統(tǒng)設計中重點研究的內(nèi)容，也是本書要重因而它們是機械系統(tǒng)設計中重點研究的內(nèi)容，也是本書要重點介紹的內(nèi)容。點介紹的內(nèi)容。 本課程的任務本課程的任務熟悉熟悉多剛體系統(tǒng)動力學多剛體系統(tǒng)動力學的基本概念、基本理論，掌握的基本概念、基本理論，掌握建立機構的運動分析和動力分析數(shù)學模型的方法。建立機構的運動分析和動力分析數(shù)學模型的方法。以多剛體系統(tǒng)動力學為理論指導，以多剛體系統(tǒng)動力學為理論指導，虛擬樣機技術虛擬樣機技術為設為設計手段，研究機械系統(tǒng)的建模方法。計手段，研究機械

6、系統(tǒng)的建模方法。 熟悉熟悉ADAMS軟件的基本操作，掌握機械系統(tǒng)虛擬樣軟件的基本操作，掌握機械系統(tǒng)虛擬樣機的建模和仿真分析方法，提高機械系統(tǒng)的設計質(zhì)量，機的建模和仿真分析方法，提高機械系統(tǒng)的設計質(zhì)量，提高機械產(chǎn)品的性能，提高自主知識產(chǎn)權產(chǎn)品的核心提高機械產(chǎn)品的性能，提高自主知識產(chǎn)權產(chǎn)品的核心競爭力。競爭力。 12 多剛體系統(tǒng)動力學多剛體系統(tǒng)動力學 關于剛體的假設是不考慮物體的變形。但是物體總是有變形關于剛體的假設是不考慮物體的變形。但是物體總是有變形的，而物體的變形對系統(tǒng)的運動也是有影響的，有時則有決定性的，而物體的變形對系統(tǒng)的運動也是有影響的，有時則有決定性的影響，因此，嚴格地講多剛體系統(tǒng)應

7、為的影響，因此，嚴格地講多剛體系統(tǒng)應為多體系統(tǒng)即柔性體系多體系統(tǒng)即柔性體系統(tǒng)統(tǒng)。目前，國內(nèi)外已從多剛體系統(tǒng)的研究擴展到。目前，國內(nèi)外已從多剛體系統(tǒng)的研究擴展到多體系統(tǒng)多體系統(tǒng)( (包括包括柔體系統(tǒng)柔體系統(tǒng)) )的研究的研究。但是，在某些情況，比如構件的變形很小，。但是，在某些情況，比如構件的變形很小，且構件的變形對系統(tǒng)的動力學特性影響不大，仍然可以將這類系且構件的變形對系統(tǒng)的動力學特性影響不大，仍然可以將這類系統(tǒng)視為多剛體系統(tǒng)。我們僅研究多剛體系統(tǒng)并以此作為研究多體統(tǒng)視為多剛體系統(tǒng)。我們僅研究多剛體系統(tǒng)并以此作為研究多體系統(tǒng)動力學的基礎。系統(tǒng)動力學的基礎。 工程中的機械系統(tǒng)大多由許多構件組成，

8、研究這些復雜系工程中的機械系統(tǒng)大多由許多構件組成，研究這些復雜系統(tǒng)時，往往可以將構成系統(tǒng)的各構件簡化為統(tǒng)時，往往可以將構成系統(tǒng)的各構件簡化為剛體剛體，而剛體之間，而剛體之間靠靠運動副運動副連接，從而得到連接，從而得到“多剛體系統(tǒng)多剛體系統(tǒng)”。例如自行車、曲柄滑塊機構、汽車中的轉(zhuǎn)向機構、飛機的例如自行車、曲柄滑塊機構、汽車中的轉(zhuǎn)向機構、飛機的起落架、工業(yè)機器人等起落架、工業(yè)機器人等說明：說明： 運動副運動副 連接構件的運動副，可以是連接構件的運動副，可以是圓柱鉸鏈圓柱鉸鏈( (兩剛體之間有一個相對轉(zhuǎn)動的自由度兩剛體之間有一個相對轉(zhuǎn)動的自由度) )，萬向聯(lián)軸節(jié)萬向聯(lián)軸節(jié)( (兩個相對轉(zhuǎn)動自由度兩個

9、相對轉(zhuǎn)動自由度) )，球鉸球鉸( (三個相對轉(zhuǎn)動的自由度三個相對轉(zhuǎn)動的自由度) )，也可以是其它形式的也可以是其它形式的運動學約束運動學約束( (如棱柱形約束允許一個相對如棱柱形約束允許一個相對滑動的自由度滑動的自由度) )，甚至沒有物理意義上的運動學約束，而只有，甚至沒有物理意義上的運動學約束，而只有力的作用力的作用( (如彈簧連接如彈簧連接) )，即所謂的，即所謂的廣義鉸廣義鉸。 多剛體系統(tǒng)類型 多剛體系統(tǒng)從結構上可以分為兩類：多剛體系統(tǒng)從結構上可以分為兩類：樹狀結構樹狀結構和和非樹狀非樹狀結構結構。兩類結構的區(qū)分取決于。兩類結構的區(qū)分取決于“通路通路”的概念。的概念。如果系統(tǒng)中任意兩剛體

10、之間都只有一個通路存在，則稱系統(tǒng)為如果系統(tǒng)中任意兩剛體之間都只有一個通路存在，則稱系統(tǒng)為樹狀結構樹狀結構，圖中的，圖中的(a)(a)、(c)(c)。如果系統(tǒng)中至少有兩個剛體之間。如果系統(tǒng)中至少有兩個剛體之間存在兩個存在兩個( (或更多的或更多的) )通路，則稱系統(tǒng)為通路，則稱系統(tǒng)為非樹狀結構非樹狀結構，圖中的，圖中的(b)(b)，這時，從這時，從BiBi到到BjBj的兩個通路構成一個閉合鏈。的兩個通路構成一個閉合鏈。 多剛體系統(tǒng)結構示例 機械系統(tǒng)中，機械手，空間飛行器以及人體步行時的擺機械系統(tǒng)中，機械手，空間飛行器以及人體步行時的擺動相都可以視為樹狀結構系統(tǒng)。動相都可以視為樹狀結構系統(tǒng)。自行車

11、、曲柄滑塊機構以及人體站立時的支撐相則可視自行車、曲柄滑塊機構以及人體站立時的支撐相則可視為非樹狀結構系統(tǒng)。為非樹狀結構系統(tǒng)。 樹狀結構的分類樹狀結構的分類 樹狀結構樹狀結構是研究多體系統(tǒng)動力學的基礎，因為任何非樹是研究多體系統(tǒng)動力學的基礎，因為任何非樹狀結構均可將其閉合鏈打開加上某些附加約束而視為樹狀結狀結構均可將其閉合鏈打開加上某些附加約束而視為樹狀結構。樹狀結構又可以分為兩類：構。樹狀結構又可以分為兩類： 系統(tǒng)中某剛體系統(tǒng)中某剛體( (編號為編號為B1)B1)與一運動已知的剛體與一運動已知的剛體( (通常稱通常稱之為基座，編號為之為基座，編號為B B0 0) )相鉸接，此類稱為相鉸接，此

12、類稱為有根樹有根樹。典型的如工。典型的如工業(yè)機械手。業(yè)機械手。 系統(tǒng)中任一剛體都不與基座相連此類稱為系統(tǒng)中任一剛體都不與基座相連此類稱為懸空樹懸空樹。如衛(wèi)星、騰空的運動員等。如衛(wèi)星、騰空的運動員等。 多剛體動力學的特點多剛體動力學的特點 多剛體動力學的研究內(nèi)容同樣也分為運動學和動力學兩多剛體動力學的研究內(nèi)容同樣也分為運動學和動力學兩部分，與經(jīng)典力學的區(qū)別之處在于多剛體系統(tǒng)是十分復雜的部分，與經(jīng)典力學的區(qū)別之處在于多剛體系統(tǒng)是十分復雜的系統(tǒng)，其系統(tǒng)，其自由度數(shù)大自由度數(shù)大，且各構件的運動一般都有，且各構件的運動一般都有大位移變化大位移變化，因此，不但運動因此，不但運動微分方程數(shù)多微分方程數(shù)多，且

13、有大量的，且有大量的非線性項非線性項，一般，一般很難求得很難求得解析解解析解，而必須借助計算機作數(shù)值計算。，而必須借助計算機作數(shù)值計算。 多剛體動力學的主要研究多剛體動力學的主要研究 尋求建立多剛體系統(tǒng)運動微分方程的解析方法。這種尋求建立多剛體系統(tǒng)運動微分方程的解析方法。這種方法應是一種規(guī)格化的方法，能方便、快捷地統(tǒng)一處理各類方法應是一種規(guī)格化的方法，能方便、快捷地統(tǒng)一處理各類問題、面向計算機的分析方法。問題、面向計算機的分析方法。 發(fā)展與各種分析方法配套的算法，以實現(xiàn)復雜非線性發(fā)展與各種分析方法配套的算法，以實現(xiàn)復雜非線性常微分方程常微分方程(ODE)(ODE)或微分或微分代數(shù)方程代數(shù)方程(

14、DAE)(DAE)的數(shù)值積分。的數(shù)值積分。 根據(jù)計算結果提供易于分析的各種輸出形式，如曲線、根據(jù)計算結果提供易于分析的各種輸出形式，如曲線、圖象、動畫等。圖象、動畫等。 應用以上方法對具體系統(tǒng)進行分析，并解決力學性能應用以上方法對具體系統(tǒng)進行分析，并解決力學性能分析、參數(shù)優(yōu)化、尋求最優(yōu)控制規(guī)律等力學問題。分析、參數(shù)優(yōu)化、尋求最優(yōu)控制規(guī)律等力學問題。 13 牛頓-歐拉方法 牛頓牛頓歐拉法是一種規(guī)格化的方法，能方便、歐拉法是一種規(guī)格化的方法，能方便、快捷地統(tǒng)一處理各類問題、面向計算機的分析快捷地統(tǒng)一處理各類問題、面向計算機的分析方法。雖然方程數(shù)較多，但建立方程的過程卻方法。雖然方程數(shù)較多，但建立方

15、程的過程卻十分簡單，而且易于編程上機計算。十分簡單，而且易于編程上機計算。 下面討論如何采用牛頓下面討論如何采用牛頓歐拉方法對曲柄滑歐拉方法對曲柄滑塊機構進行動力學建模方法。塊機構進行動力學建模方法。 曲柄滑塊機構動力學建模曲柄滑塊機構動力學建模將曲柄滑塊機構看作由將曲柄滑塊機構看作由B B1 1和和B B2 2組成的系統(tǒng)，解除約束，組成的系統(tǒng)，解除約束，如圖所示，如圖所示，X X1 1，Y Y1 1，-X-X1 1，-Y-Y1 1與與Y Y2 2均為約束反力。均為約束反力。列出列出B B1 1、B B2 2的運動微分方程。的運動微分方程。B B1 1只有轉(zhuǎn)動只有轉(zhuǎn)動 B B2 2既有移動又有

16、轉(zhuǎn)動既有移動又有轉(zhuǎn)動 cossin111rYrXLJ (1.1)(1.1)cossincos)(1111112212212lYlXllYJgmYYymXxmcc (1.2)(1.2) 曲柄滑塊機構動力學建模曲柄滑塊機構動力學建模 從從(1.2)(1.2)式至式至(1.3)(1.3)式，前四個為微分方程，后三個為代數(shù)方式，前四個為微分方程，后三個為代數(shù)方程，共七個方程構成一封閉方程，可求得七個未知量程，共七個方程構成一封閉方程，可求得七個未知量 約束條件是約束條件是A A1 1與與A A2 2點重合以及點重合以及D D點在點在x x軸上，軸上，由此得到約束方程為由此得到約束方程為 0sin)(0

17、)sin(sin0)cos(cos111llylyrlxrccc(1.3) 所以，采用這種方法將使微分代數(shù)方程組中的方程數(shù)目所以，采用這種方法將使微分代數(shù)方程組中的方程數(shù)目增多，但每個方程的建立則要簡單得多。增多，但每個方程的建立則要簡單得多。 211,YYXyxcc 14 虛擬樣機技術虛擬樣機技術 虛擬樣機技術又稱為虛擬樣機技術又稱為機械系統(tǒng)動態(tài)仿真技術機械系統(tǒng)動態(tài)仿真技術，是國，是國際上際上2020世紀世紀8080年代隨著計算機技術的發(fā)展而迅速發(fā)展起年代隨著計算機技術的發(fā)展而迅速發(fā)展起來的一項計算機輔助工程（來的一項計算機輔助工程（CAECAE）技術。工程師在計算機）技術。工程師在計算機上

18、上建立樣機模型建立樣機模型，對模型進行各種，對模型進行各種動態(tài)性能分析動態(tài)性能分析，然后，然后改進改進樣機設計方案樣機設計方案，用數(shù)字化形式代替?zhèn)鹘y(tǒng)的實物，用數(shù)字化形式代替?zhèn)鹘y(tǒng)的實物樣機樣機實驗。實驗。 運用虛擬樣機技術，可以運用虛擬樣機技術，可以大大簡化大大簡化機械產(chǎn)品的設計機械產(chǎn)品的設計開發(fā)過程，開發(fā)過程，大幅度縮短大幅度縮短產(chǎn)品開發(fā)周期，產(chǎn)品開發(fā)周期，大量減少大量減少產(chǎn)品開產(chǎn)品開發(fā)費用和成本，明顯發(fā)費用和成本，明顯提高提高產(chǎn)品質(zhì)量，產(chǎn)品質(zhì)量，提高提高產(chǎn)品的系統(tǒng)級產(chǎn)品的系統(tǒng)級性能，獲得最優(yōu)化和創(chuàng)新的設計產(chǎn)品。性能，獲得最優(yōu)化和創(chuàng)新的設計產(chǎn)品。 機械系統(tǒng)動力學自動分析軟件機械系統(tǒng)動力學自動分

19、析軟件ADAMSADAMS (Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems) (Automatic Dynamic Analysis of Mechanical Systems)是美國是美國MDIMDI公司公司(Mechanical Dynamics lnc.)(Mechanical Dynamics lnc.)開發(fā)的著名的開發(fā)的著名的虛擬樣機分析軟件。虛擬樣機分析軟件。 ADAMSADAMS一方面是虛擬樣機分析的應用軟件，用戶可以運一方面是虛擬樣機分析的應用軟件，用戶可以運用該軟件非常方便地對虛擬機械系統(tǒng)進行用該軟件非常方便地對虛擬機械系統(tǒng)

20、進行靜力學靜力學、運動學運動學和和動力學動力學分析分析; ;另一方面，它又是虛擬樣機分析另一方面，它又是虛擬樣機分析開發(fā)工具開發(fā)工具，其開放性的程序結構和多種接口，可以成為特殊行業(yè)用戶其開放性的程序結構和多種接口，可以成為特殊行業(yè)用戶進行特殊類型虛擬樣機分析的進行特殊類型虛擬樣機分析的二次開發(fā)工具平臺二次開發(fā)工具平臺。 虛擬樣機虛擬樣機仿真分析基本步驟仿真分析基本步驟如圖如圖1-31-3所示。所示。 仿真分析基本步驟仿真分析基本步驟虛擬樣機仿真分析虛擬樣機仿真分析機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)建模建模l幾何建模幾何建模l施加約束施加約束運動副和運動參數(shù)運動副和運動參數(shù)l施加載荷施加載荷仿真仿真分析分析l設置

21、測量和仿真輸出設置測量和仿真輸出l進行仿真分析進行仿真分析仿真結果仿真結果分析分析l回放仿真結果回放仿真結果l繪制仿真結果曲線繪制仿真結果曲線 仿真分析基本步驟仿真分析基本步驟否否是是改進機械改進機械系統(tǒng)模型系統(tǒng)模型l增加摩擦力，改進載荷函數(shù)增加摩擦力，改進載荷函數(shù)l定義柔性物體和連接定義柔性物體和連接l定義控制定義控制驗證仿真驗證仿真分析結果分析結果分析分析l輸入實驗數(shù)據(jù)輸入實驗數(shù)據(jù)l添加實驗數(shù)據(jù)曲線添加實驗數(shù)據(jù)曲線與實驗結果一致與實驗結果一致重復仿真重復仿真分析分析l設置可變參數(shù)點設置可變參數(shù)點l定義設計變量定義設計變量機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)優(yōu)化分析優(yōu)化分析l進行主要設計影響因素研究進行主要設計

22、影響因素研究l進行試驗設計研究進行試驗設計研究l進行優(yōu)化研究進行優(yōu)化研究 第二章第二章 動力學動力學基本概念基本概念 2 21 1 非自由系統(tǒng)的約束非自由系統(tǒng)的約束 2 21 11 1 完整約束與非完整約束完整約束與非完整約束 2 21 12 2 定常約束與非定常約束定常約束與非定常約束 2 22 2 廣義坐標和自由度廣義坐標和自由度 2 22 21 1 廣義坐標廣義坐標 2 22 22 2 用廣義坐標表示的非完整約束方程用廣義坐標表示的非完整約束方程 2 22 23 3 坐標變分和自由度坐標變分和自由度 21 非自由系統(tǒng)的約束 多個質(zhì)點的集合可以組成一個質(zhì)點系多個質(zhì)點的集合可以組成一個質(zhì)點系

23、統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的運動是否受到預先規(guī)定的統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的運動是否受到預先規(guī)定的幾何及運動條件的幾何及運動條件的制約制約，可以分為，可以分為自由系自由系統(tǒng)統(tǒng)和和非自由系統(tǒng)非自由系統(tǒng)。 對于非自由系統(tǒng)，那些預先規(guī)定的、對于非自由系統(tǒng)，那些預先規(guī)定的、與初始條件及受力條件無關的、限制系統(tǒng)與初始條件及受力條件無關的、限制系統(tǒng)的幾何位置或的幾何位置或( (和和) )速度的速度的運動學條件運動學條件稱為稱為約束約束。約束有多種形式，這里只介紹其中。約束有多種形式，這里只介紹其中兩類。兩類。 2 21 11 1 完整約束與非完整約束完整約束與非完整約束 僅僅限制系統(tǒng)的幾何位置僅僅限制系統(tǒng)的幾何位置( (也稱位形也

24、稱位形) )的約束的約束稱為稱為完整約束。完整約束。完整約束又稱為完整約束又稱為幾何約束幾何約束。若不僅限制系統(tǒng)的若不僅限制系統(tǒng)的位形位形而且還限制系統(tǒng)的而且還限制系統(tǒng)的運動運動速度速度，這樣的約束稱為，這樣的約束稱為非完整約束非完整約束。 完整約束與非完整約束的表達完整約束與非完整約束的表達 約束方程的一般表達約束方程的一般表達式式 若用若用x xi i、y yi i、z zi i表示系統(tǒng)中某質(zhì)點的笛卡爾直角表示系統(tǒng)中某質(zhì)點的笛卡爾直角坐標，那么坐標，那么N N個質(zhì)點組成的質(zhì)點系統(tǒng)的完整約束的個質(zhì)點組成的質(zhì)點系統(tǒng)的完整約束的約束方程約束方程可寫作可寫作 0),(111111tzyxzyxzy

25、xzyxfNNNNNNk非完整約束的約束非完整約束的約束方程取微分的形式。一個由方程取微分的形式。一個由N N個個質(zhì)點組成的系統(tǒng)的非完整約束方程可寫作質(zhì)點組成的系統(tǒng)的非完整約束方程可寫作(2.1.2)(2.1.2)3;3, 2, 1 (Nrrkf fk k(x(x1 1，y y1 1,z,z1 1, x, x2 2，y y2 2,z,z2 2, x, xN N，y yN N,z,zN N,),)0 0 （k k1 1，2 2，3,3,r r r r3N3N） (2.1.1) (2.1.1) 圖2-1 輪子的約束例例2.1 一個半徑為一個半徑為r r的輪子沿斜面向下作純滾動，分析的輪子沿斜面向下

26、作純滾動，分析輪子所受的約束。輪子所受的約束。 解：輪子所受的解：輪子所受的幾何約束幾何約束為為 (2.1.3)(2.1.3)又又運動條件的限制運動條件的限制是輪子作純滾動時是輪子作純滾動時P P點的速度為零點的速度為零, ,即即 (2.1.4)(2.1.4)或或 (2.1.5)(2.1.5)這一約束方程顯然是可積分的，即這一約束方程顯然是可積分的，即 (2.1.6)(2.1.6)故而輪子仍受故而輪子仍受完整約束完整約束，其約束方程為，其約束方程為(2.1.3)(2.1.3)式和式和(2(21 16)6)式。式。 純滾動時輪子的約束純滾動時輪子的約束ryc0rvc0crxc0rxc 例例2.2

27、 質(zhì)點質(zhì)點m1和和m2由一長由一長為為l的剛性桿相連，設的剛性桿相連，設該系統(tǒng)在圖該系統(tǒng)在圖2-22-2所示所示xoy平面內(nèi)運動。若要平面內(nèi)運動。若要求桿中點求桿中點C的速度保持的速度保持沿桿軸方向，分析該沿桿軸方向，分析該系統(tǒng)的約束情況。系統(tǒng)的約束情況。 圖圖2-2 平面運動桿的約束平面運動桿的約束 解：由于桿是剛性的，所以解：由于桿是剛性的，所以m1與與m2必須滿足的必須滿足的幾何約幾何約束束是是 (x1x2)2十十(y1y2)2l2 (217)而而運動約束運動約束是是C點的速度必須沿桿軸方向，即點的速度必須沿桿軸方向，即平面運動桿的約束平面運動桿的約束12121212xxyyxxyy(2

28、(21 18)8)(2(21 18)8)式說明系統(tǒng)受到一個式說明系統(tǒng)受到一個非完整約束非完整約束。 tgxxyyxycc1212代入代入Ml，M2 2的坐標即為的坐標即為 我們經(jīng)常遇到的系統(tǒng)一般我們經(jīng)常遇到的系統(tǒng)一般是非完整系統(tǒng)是非完整系統(tǒng)。非完整約束。非完整約束又分為又分為一階線性非完整約束一階線性非完整約束、一階非線性非完整約束一階非線性非完整約束、二二階非完整約束階非完整約束等。等。 N N個質(zhì)點的系統(tǒng)受到個質(zhì)點的系統(tǒng)受到k k個一階線性非完整約束時，其約束個一階線性非完整約束時，其約束方程可以寫作方程可以寫作 非完整約束的類型非完整約束的類型或?qū)懗苫驅(qū)懗?(2.1.10)(2.1.10

29、)0)(dtdzcdybdxaiiiiiNii(2.1(2.19) 9) 0)(dzcybxaiiiiiNii), 2 , 1(k 2 21 12 2 定常約束與非定常約束定常約束與非定常約束 約束方程中約束方程中不顯含不顯含時間時間t t的約束稱為的約束稱為定常約束定常約束。約束方程中約束方程中顯含顯含時間時間t t的約束稱為的約束稱為非定常約束非定常約束。 例如由方程例如由方程 所確定的約束為所確定的約束為非定常約束。非定常約束。 )(2222tlzyx(2(21 112)12)2222lzyx (2 (21 111)11)例如由方程例如由方程 所確定的約束為所確定的約束為定常約束定常約束

30、。 例例2.3 例2.3 設質(zhì)點設質(zhì)點M所系繩子穿過所系繩子穿過o點，如圖點，如圖2-3所示，繩子另一端以一勻速所示，繩子另一端以一勻速v拉動拉動使使M在在xy平面內(nèi)運動。試討論平面內(nèi)運動。試討論M的約的約束。束。圖圖2-3 質(zhì)點質(zhì)點M的非定常約束的非定常約束解解: :設設M的起始位置為的起始位置為l0 0，則它到，則它到o點的距離點的距離l將隨時間變化。其約束將隨時間變化。其約束方程為方程為 x2 2+ +y2 2( (l0 0- -vt) )2 2 (2 (21 113)13)顯然，顯然，M M所受的約束所受的約束是非定常約束是非定常約束。 .362 22 2 廣義坐標和自由度廣義坐標和自

31、由度 圖圖2-4 動點動點M的位置的位置2 22 21 1 廣義坐標廣義坐標 我們習慣于用笛卡爾直角坐標系來描述系統(tǒng)的幾何位置即我們習慣于用笛卡爾直角坐標系來描述系統(tǒng)的幾何位置即位形。然而，根據(jù)問題的不同，位形。然而，根據(jù)問題的不同，不一定非得不一定非得采用長度坐標參數(shù)采用長度坐標參數(shù)來描述系統(tǒng)的幾何位置。來描述系統(tǒng)的幾何位置。例如，描述作平面運動的例如，描述作平面運動的動點動點M的的幾何位置幾何位置的參數(shù)可以用：的參數(shù)可以用： 直角坐標直角坐標( (x，y) )， 極坐標極坐標( (，r) )， 參數(shù)參數(shù)( (A，) )，等等。，等等。 這就是說，動點這就是說，動點M的幾何位置可以的幾何位置

32、可以用用不同的參數(shù)組來描述不同的參數(shù)組來描述，即有了選，即有了選擇參數(shù)的余地。為此，引入擇參數(shù)的余地。為此，引入廣義坐廣義坐標標的概念。的概念。 廣義坐標的概念廣義坐標的概念 所謂所謂廣義坐標廣義坐標，就是選擇，就是選擇一組互相獨立的參數(shù)一組互相獨立的參數(shù)q1 1，q2 2,，qn只要它們能夠確定系統(tǒng)的位形，而不管這只要它們能夠確定系統(tǒng)的位形，而不管這些參數(shù)的幾何意義如何。這樣的一組參數(shù)就稱為廣義些參數(shù)的幾何意義如何。這樣的一組參數(shù)就稱為廣義坐標。因此，上述中的坐標。因此，上述中的( (x，y) )，( (，r) )，( (A，) )等等都可以作為描述都可以作為描述M點的位形的廣義坐標?？梢?，

33、廣義點的位形的廣義坐標?？梢姡瑥V義坐標對于某一系統(tǒng)來講坐標對于某一系統(tǒng)來講不是唯一不是唯一的，或者說，可以任的，或者說，可以任意選取。廣義坐標可以用下面的意選取。廣義坐標可以用下面的通式通式表示表示 ri iri i( (q1 1，q2 2，qn, ,t) (2) (22 21)1)式中，式中，ri表示系統(tǒng)中第表示系統(tǒng)中第i個質(zhì)點的位形個質(zhì)點的位形；qj( (j1 1，2,2,n) )和和t是廣義坐標。是廣義坐標。 2 22 22 2 用廣義坐標表示的非完整約束方程用廣義坐標表示的非完整約束方程 一個由一個由N N個質(zhì)點組成的系統(tǒng)的非完整約束方程可寫作微分形個質(zhì)點組成的系統(tǒng)的非完整約束方程可寫

34、作微分形式。式。0),(111111tzyxzyxzyxzyxfNNNNNNkxi ixi i( (q1 1，q2 2，qn, ,t) ) yi iyi i( (q1 1，q2 2，qn, ,t) ) zi izi i( (q1 1，q2 2，qn, ,t) ) 速度的廣義坐標表示速度的廣義坐標表示 (1)速度的廣義坐標表示 設設N個質(zhì)點組成的系統(tǒng)有個質(zhì)點組成的系統(tǒng)有n個廣義坐標個廣義坐標qj( (j1,1,n),),且且qjqj( (t) )，則系統(tǒng)中第，則系統(tǒng)中第i個質(zhì)點的速度是個質(zhì)點的速度是式中，相應地式中，相應地 稱為稱為廣義速度廣義速度。v可以寫作如下投影形式可以寫作如下投影形式tr

35、qqrrvijnjjii1(2(22 22)2)tzqqzzrvtyqqyyrvtxqqxxrvijnjjiiizzijnjjiiiyyijnjjiiixx111(2(22 23)3) jq 定常系統(tǒng)定常系統(tǒng)對于定常系統(tǒng)，因?qū)τ诙ǔＯ到y(tǒng)，因 (2(22 24)4)0tri所以，所以， (2(22 25)5)jnjjiiqqrrv1 圖圖2-5 點點M的速度的速度例2.4 空間中的一動點空間中的一動點M，若選取極坐標，若選取極坐標r、為廣義坐為廣義坐標，如圖標，如圖2-52-5所示，求所示，求M點在笛卡爾直角坐標系中的點在笛卡爾直角坐標系中的位置位置和速度。和速度。(2(22 27)7)coss

36、insincossinrzryrx(2(22 26)6)M點的位置是點的位置是222222222sinrrrzyxv(2(22 28)8)M點的速度為點的速度為sincoscossinsincossinsinsinsincoscoscossinrrzrrryrrrx于是于是M點的速度為點的速度為 (2)(2)用廣義坐標表示的非完整約束方程用廣義坐標表示的非完整約束方程 一階線性非完整約束方程已由一階線性非完整約束方程已由(2(21 19)9)式給出：式給出：把第把第i個質(zhì)點的速度的廣義坐標分量代入該式得到個質(zhì)點的速度的廣義坐標分量代入該式得到0)(dzcybxaiiiiiNii), 2 , 1

37、(k0)(111dtzqqzctyqqybtxqqxaijnjjiiijnjjiiijnjjiNii0)()(1dtzctybtxaqqzcqybqxaiiiiiNiinjjjiijiijiNiidtzctybtxaBqzcqybqxaAiiiiiNiiNijiijiijiij)()(101BqAnjjj01dtBdqAnjjj 圖圖2-6 微分和變分微分和變分2 22 23 3 坐標變分和自由度坐標變分和自由度 坐標的變分與坐標的微分是兩個不同的概念。坐標的變分與坐標的微分是兩個不同的概念。設某系統(tǒng)運動的微分方程的解是設某系統(tǒng)運動的微分方程的解是)(,),(11tqqtqqnn坐標的變分坐標

38、的變分則是指在某一時刻則是指在某一時刻t，qj本身在約束許可條件下的任意本身在約束許可條件下的任意的無限小增量。也就是系統(tǒng)的可的無限小增量。也就是系統(tǒng)的可能運動能運動( (圖中的虛線所示圖中的虛線所示) )與真實與真實運動在某時刻的差，記作運動在某時刻的差，記作qj 既有既有不同點不同點，也有，也有共同點共同點。 所謂坐標的微分是指在上式所描所謂坐標的微分是指在上式所描述的真實運動中坐標的無限小變述的真實運動中坐標的無限小變化，即經(jīng)過化，即經(jīng)過dtdt時間之后發(fā)生的坐時間之后發(fā)生的坐標變化標變化dqdqj j ( (圖中實線部分圖中實線部分) )由于都是坐標的無限小由于都是坐標的無限小變化，故

39、變分也表現(xiàn)出變化，故變分也表現(xiàn)出微分的形式，并且和微微分的形式，并且和微分分具有相同的運算規(guī)則具有相同的運算規(guī)則。 自由度計算 我們把系統(tǒng)獨立的坐標變分數(shù)稱為我們把系統(tǒng)獨立的坐標變分數(shù)稱為系統(tǒng)的自由度系統(tǒng)的自由度。如果系統(tǒng)是如果系統(tǒng)是自由的自由的，則其位形的確定要，則其位形的確定要3N3N個坐標。這些坐標自個坐標。這些坐標自然相互獨立，其變分也相互獨立，故然相互獨立，其變分也相互獨立，故自由度為自由度為3N3N。對于對于N N個質(zhì)點組成的力學系統(tǒng)，如何計算自由度呢？個質(zhì)點組成的力學系統(tǒng)，如何計算自由度呢？如果系統(tǒng)受到如果系統(tǒng)受到k k個完整約束個完整約束，那么在，那么在3N3N個坐標中，只有個

40、坐標中，只有3N-k3N-k個個相互獨立，并且它們的變分也相互獨立，故其相互獨立，并且它們的變分也相互獨立，故其自由度為自由度為3N-k3N-k個。個。如果系統(tǒng)為如果系統(tǒng)為非完整系統(tǒng)非完整系統(tǒng)、假設該系統(tǒng)除了、假設該系統(tǒng)除了k個完整約束個完整約束之外，之外，還受到還受到l個非完整約束個非完整約束，該系統(tǒng)獨立的坐標數(shù)為，該系統(tǒng)獨立的坐標數(shù)為3N-k個，但其個，但其獨立的坐標變分數(shù)只有獨立的坐標變分數(shù)只有3N-k-l個個 (由于由于l個微分形式約束的存?zhèn)€微分形式約束的存在在)，故，故系統(tǒng)的自由度為系統(tǒng)的自由度為3N-k-l個個。廣義坐標數(shù)為廣義坐標數(shù)為n，獨立的坐標數(shù)，獨立的坐標數(shù), 獨立的獨立的

41、坐標變分數(shù)坐標變分數(shù),系統(tǒng)的自由度之間的關系。系統(tǒng)的自由度之間的關系。 自由度計算綜上所述，若一個系統(tǒng)的綜上所述，若一個系統(tǒng)的廣義坐標數(shù)為廣義坐標數(shù)為n，則：，則：完整系統(tǒng)完整系統(tǒng): n =獨立的坐標數(shù)獨立的坐標數(shù) 獨立的坐標變分數(shù)獨立的坐標變分數(shù) 系統(tǒng)的自由度。系統(tǒng)的自由度。非完整系統(tǒng)：非完整系統(tǒng)：n獨立的坐標數(shù)獨立的坐標數(shù) 獨立的坐標變分數(shù)系統(tǒng)的自由度。獨立的坐標變分數(shù)系統(tǒng)的自由度。 n 系統(tǒng)的自由度系統(tǒng)的自由度 例例25 一平面曲柄滑塊機構，一平面曲柄滑塊機構，A、B兩點的位置可確定系統(tǒng)的位兩點的位置可確定系統(tǒng)的位形，分析其自由度。形，分析其自由度。圖圖2-7 例例25 解：解： 這是一

42、個平面機構，這是一個平面機構，A、B共有共有2 2N4個坐標，系統(tǒng)要滿足個坐標，系統(tǒng)要滿足3 3個完整約束個完整約束 該系統(tǒng)沒有非完整約束，因此是一個完整系統(tǒng)，其自由度數(shù)為該系統(tǒng)沒有非完整約束，因此是一個完整系統(tǒng)，其自由度數(shù)為43431 1，獨立的坐標數(shù)也是，獨立的坐標數(shù)也是1 1。若選取。若選取為廣義坐標，當為廣義坐標，當給給定時，整個系統(tǒng)的位形也就確定了。定時，整個系統(tǒng)的位形也就確定了。0)()(222222BBABAAAylyyxxryx（2.2.152.2.15）0sincossincos222BBAAyrlrxryrx（2.2.162.2.16） 作業(yè)P12 習題習題2-1，2-4

43、3 31 1 剛體繞定點轉(zhuǎn)動的歐拉定理剛體繞定點轉(zhuǎn)動的歐拉定理 3 32 2 描述剛體定點轉(zhuǎn)動的解析法描述剛體定點轉(zhuǎn)動的解析法第三章 剛體定點轉(zhuǎn)動運動學 剛體定點轉(zhuǎn)動的方向余弦描述剛體定點轉(zhuǎn)動的方向余弦描述 剛體定點轉(zhuǎn)動的歐拉角描述剛體定點轉(zhuǎn)動的歐拉角描述 剛體定點轉(zhuǎn)動的廣義歐拉角描述剛體定點轉(zhuǎn)動的廣義歐拉角描述 3 31 1 剛體繞定點轉(zhuǎn)動的歐拉定理剛體繞定點轉(zhuǎn)動的歐拉定理 方位和方位變化方位和方位變化設設o為剛體的固定點，剛體上某為剛體的固定點，剛體上某ABo可可完全確定剛體的方位。完全確定剛體的方位。 今今ABo轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到ABO，存在一通過固定點，存在一通過固定點的軸的軸OC，當，當0A繞

44、繞OC轉(zhuǎn)過一轉(zhuǎn)過一角到達角到達0A時，時，ABO與與ABO一定完全重合，一定完全重合，這種這種轉(zhuǎn)動通常稱為轉(zhuǎn)動通常稱為剛體的一次轉(zhuǎn)動剛體的一次轉(zhuǎn)動或或歐拉轉(zhuǎn)歐拉轉(zhuǎn)動動，OC即為即為一次轉(zhuǎn)軸一次轉(zhuǎn)軸或或歐拉轉(zhuǎn)軸歐拉轉(zhuǎn)軸。 具有具有固定點的剛體固定點的剛體由某一由某一方位方位到另一方位的到另一方位的方位變方位變化化永遠等價于永遠等價于繞通過固定點的某軸繞通過固定點的某軸的一個的一個有限有限(轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角)的的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動，這就是，這就是剛體繞定點轉(zhuǎn)動的歐拉定理剛體繞定點轉(zhuǎn)動的歐拉定理。 靜錐和動錐如果將剛體的轉(zhuǎn)動過程分為如果將剛體的轉(zhuǎn)動過程分為若干時間間隔若干時間間隔，每一時刻，每一時刻歐拉轉(zhuǎn)軸的位置顯然

45、是不同的歐拉轉(zhuǎn)軸的位置顯然是不同的 。在某一時刻在某一時刻t ti i，當時間間隔，當時間間隔t00時時, ,oci稱為剛體在稱為剛體在ti時刻的時刻的瞬時轉(zhuǎn)動軸瞬時轉(zhuǎn)動軸，平均角速度向量的極值，平均角速度向量的極值i稱為稱為瞬時角速度向量瞬時角速度向量。瞬時轉(zhuǎn)軸位置的不斷變化瞬時轉(zhuǎn)軸位置的不斷變化在空間形成了以定點在空間形成了以定點O為頂為頂點的錐面，稱之為點的錐面，稱之為靜瞬時錐面靜瞬時錐面，簡稱，簡稱靜錐靜錐。 同時它同時它在剛體內(nèi)部留下了軌跡，構成了在剛體內(nèi)部留下了軌跡，構成了動瞬時錐面動瞬時錐面，它也是，它也是以以O為頂點的錐面，簡稱為頂點的錐面，簡稱動錐動錐。 剛體繞定點轉(zhuǎn)動的過程

46、剛體繞定點轉(zhuǎn)動的過程 剛體繞定點轉(zhuǎn)動的過程剛體繞定點轉(zhuǎn)動的過程可以看成是可以看成是一系列以角速度一系列以角速度i繞瞬時轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動的合成繞瞬時轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動的合成。也可以說，剛體做定點轉(zhuǎn)動也可以說，剛體做定點轉(zhuǎn)動時，動瞬時錐面在靜瞬時錐時，動瞬時錐面在靜瞬時錐面上以角速度面上以角速度( (t) )作無滑作無滑動的滾動，見圖動的滾動，見圖3232。 定點轉(zhuǎn)動剛體上點的速度和加速度當剛體相對某動參考系以當剛體相對某動參考系以1轉(zhuǎn)動而此動參考系又以轉(zhuǎn)動而此動參考系又以2相相對定參考系轉(zhuǎn)動，則剛體的運動可以看成繞某個對定參考系轉(zhuǎn)動，則剛體的運動可以看成繞某個OC軸以角軸以角速度速度1 1十十2 2作轉(zhuǎn)動，作

47、轉(zhuǎn)動，OC即為即為的方向。這就是說，剛的方向。這就是說，剛體繞相交軸轉(zhuǎn)動合成時，角速度的合成服從向量加法。體繞相交軸轉(zhuǎn)動合成時，角速度的合成服從向量加法。 設剛體的瞬時角速度為設剛體的瞬時角速度為，則剛體上相對定點的向徑為，則剛體上相對定點的向徑為r的點的速度為的點的速度為rrvdtd(3.1.1)(3.1.1) (3.1.2)(3.1.2) vrdtdva其中，其中， 為剛體的角加速度；為剛體的角加速度； 稱為轉(zhuǎn)動加速稱為轉(zhuǎn)動加速度；度； 稱為向心加速度。稱為向心加速度。 dtd ratnav 32 描述剛體定點轉(zhuǎn)動的解析法 上一節(jié)的討論實際上是剛體定點轉(zhuǎn)動的一種簡上一節(jié)的討論實際上是剛體定

48、點轉(zhuǎn)動的一種簡單的、幾何的、定性的描述，本節(jié)詳細介紹剛體單的、幾何的、定性的描述，本節(jié)詳細介紹剛體定點轉(zhuǎn)動的定量的描述。定點轉(zhuǎn)動的定量的描述。 剛剛體定點轉(zhuǎn)動的方向余弦描述剛剛體定點轉(zhuǎn)動的方向余弦描述 剛剛體定點轉(zhuǎn)動的歐拉角描述剛剛體定點轉(zhuǎn)動的歐拉角描述 剛剛體定點轉(zhuǎn)動的廣義歐拉角描述剛剛體定點轉(zhuǎn)動的廣義歐拉角描述 圖圖 3-3 i和和j 坐標系坐標系(1)方向余弦矩陣 假設以參考空間某一點假設以參考空間某一點O為原點，有兩個笛卡爾直角坐標系為原點，有兩個笛卡爾直角坐標系 o (簡稱簡稱i系系)和和oxyz(簡稱簡稱j系系)， 各坐標軸之間夾角的余弦值構成了一個方向余弦各坐標軸之間夾角的余弦值

49、構成了一個方向余弦矩陣矩陣A，它可以表示兩坐標系之間的，它可以表示兩坐標系之間的空間關系空間關系。 圖圖 3-3 i和和j 坐標系坐標系兩坐標系之間的兩坐標系之間的空間關系空間關系 如果以如果以j j系為參考系，系為參考系， i i系是由系是由j j系系繞繞O O點轉(zhuǎn)動后的結果；同理，如果以點轉(zhuǎn)動后的結果；同理，如果以i i系系為參考系，為參考系，j j系是由系是由i i系繞系繞O O點轉(zhuǎn)動后的點轉(zhuǎn)動后的結果結果. .)(jiee jiA)(ijijAee i相對相對j系的方系的方向余弦矩陣向余弦矩陣j相對相對i系的方系的方向余弦矩陣向余弦矩陣zyxji,zyxzyxzyxjieeeeeeee

50、eeeeeeeeeeA x y zeeeeeeeeeeeeeeeeeezyxAzzzyyyxxxij 展開：展開： 兩矩陣之間的兩矩陣之間的關系關系321321321)(nnnmmmllleeeeeeeeeeeeeeeeeeAzyxzyxzyxjijiee333222111)(nmlnmlnmleeeeeeeeeeeeeeeeeeAzzzyyyxxxijijee它們是兩個正交矩陣，即它們是兩個正交矩陣，即TjijiijAAA)()(1 矢量Q在不同空間中的表達和轉(zhuǎn)換 假設在假設在j系和系和i系的原點有一系的原點有一空間向量空間向量Q( (見見圖圖3-3)3-3)。用。用Qi( (Q，Q，Q)表

51、示表示Q在在i系系中的位置，用中的位置，用Qj( (Qx，Qy，Qz) )表示表示Q在在j系中系中的位置的位置, ,則則Qj可用可用Qi來表示為來表示為 QnQmQlQQnQmQlQQnQmQlQzyx333222111三個分量在某軸三個分量在某軸上的投影之和上的投影之和iijzyxjQAQQQnmlnmlnmlQQQQ333222111其中其中l(wèi)1、m1、n1分分別為別為j系的系的x軸與軸與i系的系的、三個軸夾角的余三個軸夾角的余弦值。其余類推。弦值。其余類推。 矩陣形式：矩陣形式：同理，同理，Qi可用可用Qj來表示為來表示為 jjiiQAQ (3.2.4)(3.2.4) 圖圖 3-3 i和

52、和j 坐標系坐標系 例3.1例例31 設在慣性空間有一固定不動的向量設在慣性空間有一固定不動的向量Q，在，在i系中的位置為系中的位置為ri(0，1，0)T當坐標系統(tǒng)當坐標系統(tǒng)軸轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動90之后得到之后得到j系系oxyz(見圖見圖3-4)求求Q在在j系中的位置系中的位置rj。 圖3-4解：因為解：因為j系相對系相對i系的方向余弦矩陣系的方向余弦矩陣 010100001333222111nmlnmlnmlAij100010010100001iijjrAr 圖3-5例3.2例例3 32 2 在上例中，若在上例中，若Q與與j系固連，當系固連，當j系從與系從與i系重合狀態(tài)繞系重合狀態(tài)繞軸正向轉(zhuǎn)動軸正向

53、轉(zhuǎn)動9090后，求后，求Q在在i系中的位置系中的位置ri( (見圖見圖3-5)3-5)。 解：因解：因Q與與j系固連，所以系固連，所以 rj(0(0，1 1，0)0)T T由上例已知，由上例已知，j系繞系繞軸正向轉(zhuǎn)動軸正向轉(zhuǎn)動9090之后，之后，也意味著也意味著i系繞系繞x軸負向轉(zhuǎn)動軸負向轉(zhuǎn)動9090，即，即 010100001ijA010100001jiA100010010100001jjiirAr 分析結論由上面的例子可以看出，剛體由上面的例子可以看出，剛體作定點轉(zhuǎn)動時，如果我們在定作定點轉(zhuǎn)動時，如果我們在定點點O建立兩個坐標系建立兩個坐標系: :一個為慣一個為慣性參考系即性參考系即定參考

54、系定參考系，以下簡，以下簡稱稱定系定系；另一個為與剛體固連；另一個為與剛體固連的坐標，即的坐標，即動坐標系動坐標系，以下簡，以下簡稱稱動系動系，那么，那么剛體的空間位剛體的空間位置可以通過兩個坐標之間的方置可以通過兩個坐標之間的方向余弦矩陣來描述向余弦矩陣來描述。由于方向。由于方向余弦矩陣余弦矩陣9 9個元素中只有個元素中只有3 3個是個是獨立的，因此，獨立的，因此，剛體定點轉(zhuǎn)動剛體定點轉(zhuǎn)動具有具有3 3個自由度個自由度。 圖圖3-6 定點轉(zhuǎn)動的剛體坐標系定點轉(zhuǎn)動的剛體坐標系 (2)連續(xù)轉(zhuǎn)動的合成 根據(jù)前面的討論，剛體的每次轉(zhuǎn)動都可以用后次相對前根據(jù)前面的討論，剛體的每次轉(zhuǎn)動都可以用后次相對前

55、次的坐標變換即次的坐標變換即方向余弦方向余弦來描述，那么多次轉(zhuǎn)動的合成如何來描述，那么多次轉(zhuǎn)動的合成如何用用方向余弦矩陣方向余弦矩陣來描述？來描述？ 用用Q表示剛體，假設開始時表示剛體，假設開始時動系動系oxyz與定系與定系o重合，重合，剛體第一次轉(zhuǎn)動之后動系為剛體第一次轉(zhuǎn)動之后動系為ox1y1z1 (1 (1系系) )，第二次轉(zhuǎn)動之后，第二次轉(zhuǎn)動之后動系為動系為ox2 2y2 2z2 2 (2 (2系系) )，Q相對定相對定系為系為ro o，相對，相對1 1系為系為r1 1；相對；相對2 2系系為為r2 2，1 1系相對定系、系相對定系、2 2系相對系相對1 1系的方向余弦矩陣分別為系的方向

56、余弦矩陣分別為1 1A0 0和和2 2A1 1， 圖圖3-7 3-7 剛體的連續(xù)轉(zhuǎn)動剛體的連續(xù)轉(zhuǎn)動 連續(xù)轉(zhuǎn)動矩陣0011rAr 1122rAr 002001122rrrAAA011202AAA 211020AAA 2 2A0 0表示表示2 2系相對定系的空間關系，系相對定系的空間關系，0 0A2 2表示定系相對表示定系相對2 2系的空間關系。系的空間關系。 由此可見，由此可見，若把剛體若把剛體( (動系動系) )的每次繞定點的有限轉(zhuǎn)動視為的每次繞定點的有限轉(zhuǎn)動視為動系的一次坐標變換，則剛體兩次有限轉(zhuǎn)動時，其合成轉(zhuǎn)動系的一次坐標變換，則剛體兩次有限轉(zhuǎn)動時，其合成轉(zhuǎn)動的方向余弦矩陣為兩次分轉(zhuǎn)動的方

57、向余弦矩陣的順次乘動的方向余弦矩陣為兩次分轉(zhuǎn)動的方向余弦矩陣的順次乘積。多次轉(zhuǎn)動也具有同樣的變換規(guī)律積。多次轉(zhuǎn)動也具有同樣的變換規(guī)律。 例33 空間中一固定不動的向量空間中一固定不動的向量Q，在定系，在定系o中為中為r0 0(0,1,0)(0,1,0)T T。動系動系0 xyz開始時與定系重合。開始時與定系重合。第一次第一次繞繞軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)9090，得到動系，得到動系ox1 1y1 1z1 1；第二次第二次接著繞接著繞y1 1軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)9090，得到動系，得到動系ox2 2y2 2z2 2。求合。求合成轉(zhuǎn)動的成轉(zhuǎn)動的方向余弦矩陣方向余弦矩陣2 2A0 0，并求，并求Q在在ox2 2y2 2z2 2中

58、的位置中的位置( (見圖見圖3-8)3-8)。 圖3-8 例3.3 解： 由兩次給定的轉(zhuǎn)動，可以求得由兩次給定的轉(zhuǎn)動，可以求得ox1 1y1 1z1 1系相對定系和系相對定系和ox2 2y2 2z2 2系相對系相對ox1 1y1 1z1 1系的方向余弦矩陣分別為系的方向余弦矩陣分別為 01010000101A00101010012A001100010010100001001010100011202AAA0010100011000100022rrAQ Q在在oxox2 2y y2 2z z2 2中得位置中得位置r2 2需要強調(diào)的是，需要強調(diào)的是，剛體連續(xù)轉(zhuǎn)動剛體連續(xù)轉(zhuǎn)動時，其時，其方向余方向余弦

59、矩陣的合成弦矩陣的合成與轉(zhuǎn)動的順序與轉(zhuǎn)動的順序是有關的是有關的。也。也就是說，在一就是說，在一般情況下，順般情況下，順序是不可交換序是不可交換的，即的，即 B B1 1B B2 2BB2 2B Bl l 三次連續(xù)轉(zhuǎn)動三次連續(xù)轉(zhuǎn)動假設：假設：第一次繞第一次繞x軸轉(zhuǎn)過軸轉(zhuǎn)過角，角，第二次繞第二次繞y1 1軸轉(zhuǎn)過軸轉(zhuǎn)過角，角，第三次繞第三次繞z2 2軸轉(zhuǎn)過軸轉(zhuǎn)過角角每次動系相對前一次動系每次動系相對前一次動系的變換矩陣：的變換矩陣： 考慮更一般的情況，具有固定點的剛體作考慮更一般的情況，具有固定點的剛體作三次連續(xù)轉(zhuǎn)動三次連續(xù)轉(zhuǎn)動csscA00001csscA0010010000csscA三次合成的結

60、果三次合成的結果A 角度角度( (如如角角) )的正弦和余弦記為的正弦和余弦記為s和和c 繞動系坐標軸轉(zhuǎn)動的三次合成cccssssccssssccsccscsscssscccAAAA以上討論的三次轉(zhuǎn)動都是以上討論的三次轉(zhuǎn)動都是繞動系的當時坐標軸即繞動系的當時坐標軸即“體軸體軸”進行進行的。如果轉(zhuǎn)動是的。如果轉(zhuǎn)動是繞定系的坐標軸繞定系的坐標軸即參考軸進行的，結果會是什即參考軸進行的，結果會是什么樣的呢么樣的呢? ?繞靜系坐標軸轉(zhuǎn)動的二次合成繞靜系坐標軸轉(zhuǎn)動的二次合成 繞靜系坐標軸轉(zhuǎn)動的二次合成 為了使討論簡單又能得到明確的結論，僅考慮兩次對應的為了使討論簡單又能得到明確的結論，僅考慮兩次對應的轉(zhuǎn)